книги / Потенциальная теория неустановившихся сверхзвуковых течений
..pdfучасток тела, заключенный между сечениями 0 и д:
F {x ,t) = Y {x ,t) + iZ {x ,t). |
(12.3.1) |
Вычисляя скорость изменения поперечной состаоляющей количества движения внутри контрольной поверхности
i>2ir=r,)
Рис. 12.1. Контрольная поверхность для вычисления поперечной силы (12.3.2).
« ПОТОК той же составляющей импульса через эту поверх
ность (помня, |
что |
ф = 0 на |
Si), получим |
|
|
P = - |
\\ |
|
(Ф„ + |
Фг1 dS^- |
|
- J S |
д(У2(1+Ф^)(Ф„-1-1ф,) r f S j- |
|
|||
Szix, О) |
|
|
|
|
|
, |
д ^ |
( 5 |
et'(«P. + ‘'P.)<iSs- |
(12.3.2) |
|
|
|
||||
о8з(|. О
Вбольшинстве практических приложений распределение площадей поперечных сечений (а следовательно, и величи на Sg) не зависит от времени, хотя для вычисления вели чины (12.3.2) это условие и не является необходимым огра ничением.
Врамках теории обтекания тонких тел в (12.3.2) Qможно заменить плотностью в невозмущенном потоке Q^, производ
ной пренебречь в сравнении с единицей, а величину давле ния P подставить из выражения (12.2.10). Тогда, заменяя
в первом интеграле сумму -р„ + (ф^ на хй» выражение
\\ [фДад— у ! |
] d 5 j + |
Sz(X) |
|
+ I ^ 9,e«><iSj - |
55 (9„ + |
,9,) d s ,+ |
|
|
^ |
Sa.ЧоГт(X. О |
|
|
|
|
а |
5 |
(<p„ + i9,)d S3 . |
(12 .3 .3) |
+ 5 5 9 .» ‘'’ < lS ,- | 5 < ig |
||||
Ь’2(л) |
О |
5з(|,<) |
|
|
Подставляя в это выражение ф и х. из (12.2.4) и интегрируя по полярному углу вдоль контура г = л , убедимся, что первый интеграл в (12.3.3) тождественно обращается в нуль.
Применяя к третьему интегралу теорему Стокса (в комплекс ной форме), получим
i% + iVz)dSa = i 4\
5 |
ф ^ ш + W |r=r,e»rid0.( 12.3.4) |
|
nfv |
§\ |
TX |
Второй член этого выражения сокращается со вторым инте гралом в выражении (12.3.3) после выполнения интегриро вания по д; .на поверхности S^. Аналогичный результат можно получить и Д.ЯЯ двух последних интегралов. После всех этих упрощений и дифференцирования по х можно окончательный результат представить в следующей форме:
^ |
= |
(12.3.5) |
M = |
— i C ф dxs). |
(12.3.6) |
|
C ( i i) |
|
Контурный интеграл в выражении (12.3.6), согласно рабо там Уорда ([^®^]; Р® ], §'9.7)1), можно представить в виде
M = 2па^ + ^ шф,, dl. |
(12.3.7) |
1) В вьфажении (9.7.2) работы Уорда |
по-видимому, пропу |
щен множитель /. |
|
M = |
2jtai + |
-^(IWgS). |
|
(12.3.8) |
Это выражение после замены Oi через а' |
и |
(пользуясь |
||
соотношением (12.2.9)) |
и подстановки |
из |
соотношения |
|
(12.2.5) примет вид*) |
|
|
|
|
M = 2 n o ; + |
S ^ . |
|
(12.3.9) |
|
|
|
Dt |
|
|
Момент крена, действующий на часть тела, расположенную впереди сечения х, можно вычислить, рассмотрев скорость изменения момента количества движения внутри контроль ной поверхности, показанной на рис. 12.1. Если считать момент положительным, когда он действует по часовой стрел ке (в соответствии с правилом знаков, принятым в исследо ваниях динамической устойчивости летательных аппаратов, где момент крена считается положительным, если он стре мится опустить правое крыло), то мы получим
/ V = |
Qt/><p,<po<(s,+ 55 еиМ1-1-<р.)Фо<г5.-1- |
|
|||
|
S2(Xfi) |
вз(х, о |
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
+ |
|
Ц QUcpedS,, |
(12.3.10) |
|
|
|
о |
SadTo |
|
|
Заменяя Q на Q^, пренебрегая производной |
по сравнению |
||||
C единицей и опуская |
первый |
интеграл как тождественно |
|||
равный нулю (в чем можно убедиться как подставляя зна чение ф из (12.2.4), так и непосредственно пользуясь тем обстоятельством, что в соответствующем двумерном потен циальном потоке через окружность не может быть передан
момент количества движения), окончательный резул1>тат можно представить в форме
|
|
(12.3.11) |
Я = J J Фе^5з = ^ J {yep^-z<p^)dS„ |
(12.3.12) |
|
Ss |
Sa |
|
ч е н ы ^ э к со м Щ . |
результаты были полу- |
Применяя к этому интегралу теорему Стокса, получим
Я = ^ cp(t/di/ + 2 dz) = у К е |
^ Xd{ww). (12.3.13) |
C |
C |
Поскольку последнее подынтегральное выражение не яв ляется аналитическим по w, то дальнейшие упрощения, по-ви димому, невозможны. Заметим лишь, что члены In z-\-b^
ввыражении для % не влияют на значение этого интеграла.
§12.4. Виртуальное количество движения
Воригинальной работе Мунка I®’*’ ] по теории тонкого тела поперечная сила определялась через скорость измене ния виртуального количества движения двумерного попе речного потока в каждом сечении. Результаты Мунка можно обобщить, показав, что величины M иН , определенные соот ношениями (12.3.6,12), представляют собой соответственно виртуальные количество движения и момент количества движения в безразмерной форме при движении плоского профиля, идентичного поперечному сечению^). Подчеркнем, что указанное соответствие относится лишь к силам, дей ствующим в данном поперечном сечении. Этого, однако, достаточно для определения сил, действующих на тело при нестационарном обтекании, если его рассматривать как возмущение однородного стационарного течения. Но Сэкс показал, что можно также получить полные силы и моменты
вслучае более общих установившихся движений, при выпол нении соответствующих ограничительных.условий. Напри мер, полная подъемная сила может быть отождествлена
непосредственно с виртуальным количеством движения
вдонном поперечном сечении тела, если только контур тела
всечении симметричен относительно осей у п z.
Выражение для виртуального количества движения можно получить, исходя из конформного отображения
1) Т. е. количество движения, связываемое с коэффициентам
присоединенных масс |
при движении двумерного контура в несжи |
||
маемой жидкости. |
M это впервые было |
|
|
®) Для |
величины |
показано Сэксом |
|
и Майлсом |
правда довольно окольным |
путем и в менее общей |
|
форме. |
|
|
|
области S на круг |С|< с. Пусть
есть функция, конформно отображающая область 5 на Kpyr jC l= C . Для сохранения движения на бесконечности потребуем, чтобы выполнялось условие
Iim |
= 1. |
(12.4.2) |
Теперь, используя хорошо известное решение задачи об обтекании круга радиуса с потоком несжимаемой жидкости, комплексная скорость которого на бесконечности равна v, найдем поперечное течение в плоскости ш', подставив C из уравнения (12.4.1) и вычитая комплексный потенциал тече ния на бесконечности. В результате получим
Х' = vf (и;') 4- |
(iw') — vw\ |
(12.4.3) |
|
Коэффициент при |
в разложении функции f{w') опре |
||
делим как Res(Z), тогда |
как |
вследствие условия (12.4.2) |
|
коэффициент при а ;'"'в разложении функции |
будет просто |
||
единицей. Следовательно, |
|
|
|
= V Res (/) + VC^. |
(12.4.4) |
||
Подставляя это выражение в формулу (12.3.9), получим
окончательно |
Dw^ |
— |
|
M = (2я:с® — 5 )o + 2 n R e s(/ )y , ^= |
(12.4.5) |
§ 12.5. Оперенное тело вращения
Теперь воспользуемся полученными результатами для решения задачи об обтекании заостренного тела вращения радиуса а{х), на котором установлено плоское крыло малого удлинения C местным размахом, равным 2Ь{х). Поперечное сечение такой системы показано на рис. 12.2^). Предпола-
1) Принимается, что крыло имеет тот же угол атаки, что н тело вращения, однако благодаря линейности задачи влиянне угла заклинения (которое в стационарном случае было рассчитано Стоккером [*’ “]) можно исследовать независимо от рассматриваемых здесь видов движения.
гается, |
|
что |
за |
задней кромкой крыла тело вращения либО( |
|||||
заканчивается, |
либо имеет постоянное поперечное сечение, |
||||||||
чтобы |
освободиться от |
|
|
|
|||||
учета влияния вихревой |
|
|
|
||||||
пелены |
|
крыла. |
|
|
|
|
|||
|
Двойное |
преобразо |
|
|
|
||||
вание Жуковского |
|
|
|
||||||
|
ау'-Ь- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(12.5.1) |
|
|
|
|
отображает область пло |
|
|
|
||||||
скости w', |
внешнюю по |
|
|
|
|||||
отношению |
к |
контуру |
|
|
|
||||
оперенного тела враще |
|
|
|
||||||
ния, на |
|
внешность пло |
|
|
|
||||
ской пластинки — 2с < |
Рис. 12.2. Отображение поперечного |
||||||||
< |
Я, < 2 с |
в плоскости X, |
|||||||
сечения |
оперенного тела |
вращения |
|||||||
а |
затем |
на |
внешность |
на |
круг C помощью |
(12 .5 .1). |
|||
круга |
радиуса |
= |
|
|
|
||||
как это |
|
показано на рис. |
12.2. Рассмотрим вначале слу |
||||||
чай, когда поперечное сечение оперенного тела вращения
является жестким |
и движется |
поступательно (в |
рассма |
триваемой плоскости X = const) |
C комплексной скоростью |
||
V в смысле § 12.4. Из преобразования (12.5.1) |
получим |
||
= / Ю |
= т ( “’' + 5^)^ |
|
|
+ 4 [»'>> + ( 2 a = - 4 c '') + | i ] |
(12.5.3) |
||
откуда |
|
|
|
|
Res (/) =а^ —C^. |
(12.5.4) |
|
Подставляя этот результат и
S = Har
M = Jt [(26^* — а^) и + 2 (о“ — с®) о], |
( 12.5.5а) |
= jm \-\ -ijt(^b^ -a^ -\-^'^v,, |
(12.5.5b) |
где VyViV^- составляющие скорости v, направленные вдоль осей у п Z соответственно.
Таким образом, при движении параллельно плоскости крыла (т. е. вдоль оси у) виртуальная масса является мас сой среды, вытесненной телом, в соответствии с хорошо известным результатом для круга. В случае же движения в направлении нормали к поверхности крыла виртуальная масса равна массе среды, вытесненной кругом с эквивалент ным радиусом
|
(12.5.6) |
Отметим, что |
становится равным радиусу описанной |
окружности лишь в предельных случаях отсутствия крыла (Ь = а) или отсутствия тела вращения (а = 0). В послед нем случае то же выражение для силы, приходящейся на единицу длины, полученное дифференцированием М, может быть получено по теории крыла очень малого удли нения §9 .2 .
В качестве наглядного примера использования получен ных результатов рассмотрим гармонические колеба ния в поперечном направлении и продольных колебаний относительно оси х = х^, Z = Oтела вращения с задан ным законом распределения площадей поперечные сечения 5 (x ). В случае оперенного тела достаточно лишь положить
S = |
Jtaj, |
где Qg определено соотношением (12.5.6). Рас |
|
сматриваемые виды движений заданы законами |
|
||
|
|
z<f^)= |
(12.5.7) |
|
|
2 f“) = а (Х о — х)е |
(12.5.8) |
Взяв |
со |
знаком минус полные производные по |
времени |
от этих смещений, мы получим законы распределения скоса
потока в виде
= ikhe^^^
■a[\+ik{xr-Xa)]e^^K (12.5.10)
Соответствующие этим законам распределения силы полу чатся в результате подстановки зависимостей (12.5.9,10), в формулы (12.5.5) и (12.3.5):
= |
+ |
( S W { „ ,,+ . 4 “ - x . ) l } ) * “ - < '2 5 -Ч ) |
Подъемная сила и момент определяются соотношениями
(12.5.12)
^\(^o— -^) dx. (12.5.13)
Подставляя в них распределения (12.5.11), получим (см. Майлс Р Ч )
|
L„ = 2qSl[ik~k^Io]ei^^^, |
(12.5.14) |
||||
M;, = |
2д18г [ i k { - |
1 + x , + |
I,)^ k^ { h - x M , |
(12.5.15) |
||
La = |
2gS^ 11 + 1A: ( I - Xo+ |
/о) + |
Л* (;^о/о- Л)! |
(12.5.16) |
||
M a = 2glS, ( - (I - Xo - |
/о ) - |
/Л (I - |
Хо)2 + |
|
||
|
|
+ |
A:M /2-2XO/I + X »/O)], |
(12.5.17) |
||
где Si — площадь донного сечения Ч, о — скоростной напор (QC/V2) И
(12.5.18)
1) Если S i= O , |
то D выражениях (12 .5 .14 — 17) в нуль |
обра |
щаются лишь члены, не содержащие /„ , так как произведение |
SiZn |
|
остается конечным. |
|
|
Для более общих видов движений оперенного тела вра щения решение можно получить или путем разложения в тригонометрический ряд в плоскости C или по формуле Пуассона для круга, как это сделано в § 9.2. Окончатель ный результат может быть представлен в виде
|
|
л |
|
|
|
|
Ф = |
|
^ |
IQ = C ^ |
. Ф , |
ф ) |
(12.5.19) |
|
|
о |
|
|
|
|
где (см. (9.2.5,7)) |
|
|
|
|
|
|
£ ('■ .# . Ф) = |
-|-2 |
|
|
(12.5.20а) |
||
|
= |
|
|
|
|
. (12.5.20b) |
В соответствии с |
преобразованием (12.5.1) получим |
|||||
фо Io=C — Фг Ir= |
|
|
COS Фоsin Ф |
|
( ^ 0 < # < п - « |
|
|
cos® Фо— cos® ф |
|
||||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
<12.5.21а) |
Фо 1о=с= фг' 1г'=0[ |
1 ± |
^ ,рзз7-со5® фо J |
^ (.Л ~ Ф ^ о< Ф < д ) ’ |
|||
|
|
|
|
|
|
(12.5.21Ь) |
|
|
|
^o = a rcco s --, |
|
(12.5.22) |
|
|
= |
^ |
( ^ о < ^ < « - ^ о ) |
(^2-5-23) |
||
у ' = C [cos ф ± |
( я°5ф^< Ф < r t) • ^ |
Если поперечное сечение совершает чисто поступатель ное движение, то общие соотношения (12.5.19—24) приводят к выражениям для сил, согласующимся с теми, которые дают более прямой метод с использованием виртуального количества движения. Примером с иепоступательным дви жением поперечных сечений, когда полученные интегралы могут быть легко вычислены, является чистое вращение (крен) относительно оси, проходящей через центры тяжести сечений. Демпфирующий момент в этом случае выражается следующим образом (см. работу Майлса 1^*®]):
+ |
+ |
2а^) |
a *J a rc c o s y -f |
-{--^(с* — а *)-I-а (с® — 2а®) 1/с®-а®-|- |
|||
_ц±а® (с® -а® ), |
|
(12.5.25) |
|
где Q — угловая скорость крена, а с и а — истинные (а не безразмерные) радиусы соответственно круга в плоскости g и тела вращения, измеренные в плоскости сечения, проходя щего через заднюю кромку крыла. Сходный, хотя и более сложный по форме, результат можно получить и для тела
вращения |
с крестообразным крылом (см. работы Майл |
са т и |
Е®®]). |
Как отмечалось ранее, результаты этого раздела спра ведливы лишь, если тело вращения заканчивается в сече нии, где проходит задняя кромка крыла, или если за этим сечением радиус тела остается постоянным. Это связано C тем, что при таких условиях возмущения в вихревой пеле не крыла зависят лишь от аргумента х — t, субстанциональ ная производная по времени которого тождественно равна нулю. Любой потенциал, индуцированный этими возмуще ниями в области кормовой части тела вращения, будет вести себя точно так же.
Метод, изложенный в § 9.8, применялся к расчету про изводных динамической устойчивости тонких оперенных
тел при звуковых скоростях Лэндалом |
а при сверх |
звуковых скоростях Сардаряном и Эшелеем |
[®^П. |