книги / Потенциальная теория неустановившихся сверхзвуковых течений

§12.6. Переходное движение тела вращения

Вэтом разделе мы рассмотрим переходное движение

тела вращения (см. Майлс	Эта задача относится
к случаю Bg из таблицы 2.

Простейшим и практически наиболее интересным являет­ ся случай чистого поступательного движения (в любом по­ перечном сечении) в направлении отрицательной оси z (может быть непосредственно применен» например, к зада­

че о порыве ветра).
Граничные условия в этом случае в полярных				коорди­
натах будут иметь вид
Фг |г=а(.х) =	— п (х , О Sin 0	(/ >	0),	(12.6.1)
Фг |г=а(зс) =	0	^	::1
			0),

а дифференциальное уравнение, которому должен удовлет­

ворять	потенциал <р	(в	безразмерной		форме § 2.3), запи­
шется в виде
	Фгг +	7	Фг +	Ф60 =	V .		( 12.6.2)
Применяя преобразование Лапласа к уравнению
(12.6.2)	и граничным		условиям (12.6.1),			получим
	ф* |г=а = — V* (Х, S) Sin 0						(12.6.3)
	'• ('■фПг + ФО0 -			(Msry ц>* =		0.	(12.6.4)
Решением этой задачи, имеющим нужный характер
поведения на бесконечности,				будет выражение
			v*Ki (Msr) sin0,				(12.6.5)
			MsK'i (Msa) ^
где / C l-модифицированная				функция		Бесселя	второ­

го рода.
Преобразование	Лапласа от выражения для давления
на поверхности тела		(включая члены с ф,. и ф^) имеет вид
( 2 7	»	) ‘ = - 2 ( ip 5 + » p * ) .= ..	(12.6.6)

Если в это выражение подставить ф* из (12.6.5), выпол-

НИТЬ дифференцирование по х (с учетом	зависимости
а = а {х )) и исключить /С", воспользовавшись	дифференци­

альным уравнением, которому удовлетворяет функция K i,

то выражение	(12.6.6) примет		вид
= _	2 SinG {[(1 -f- M	W	) F 2 (Msa) -Ь
-I-F (M sa)Ja' (дс) о *-J-aF (Msa) [uj-bsy*]},				(12.6.7)
	F (0) = -	К, (а)		( 12.6.8)
		aK'i{q) *

Преобразование от выражения для распределения силы имеет вид

Zn

др*	(Р — Po)* О Sin 0 dQ	(12.6.9а)
дх - i
или, вставляя значения {р — р^)* из (12.6.7), получим
= 9 {[(1 + M W ) F^ (Msa) -I-F (Msa)J S'v* -J-
+	2F (Msa) S [v%-Ь sy*J},	(12.6.9b)
где S означает площадь поперечного сечения,
S(X ) = яа’*(х).		(12.6.10)

Заметим, что если v зависит только от одного аргумента t — X (как в случае порыва ветра, см. ниже), то последний

член в выражении (12.6.9Ь) тождественно	обращается
в нуль.
Рассмотрим теперь специальный вид распределения скоса
потока
v(x, t) = v , { x ) l [ t - t M ] ,	(12.6. 11)

(I — функция Хевисайда), который, по существу, является довольно общим благодаря теореме Дюамеля о суперпо­ зиции. Преобразование Лапласа от соотношения (12.5.11)

t>* (jc, s)=^^^e-sro(A.).

( 12. 6. 12)

Подставляя это выражение в формулу (12.6.9b) и переходя к оригиналу, получим

1	дР
' ^ = S - { x ) v , ( x ) f , [ L ^ \ +
2? I T =
	+					(12.6.13)
где мы воспользовались обратными преобразован
			о
			T
			+ 1 / (ч )/ '(» -Л )< г ч + / (0 )/ (т )}.			(12.6.14)
			T
			/.(’^ )= 5 / (Л )*1			(12.6.15)
			у-моо
	/ ( T ) = i ? - f ( a ) = - ^ .			5		(12.6.16)
			V -i®
В	которых	t	И (т заменяют	действительные		аргументы
	■“ Q lM a	и	Msa соответственно.		и V[ соответ­
	Функции Д и / идентичны			функциям
ственно, из работы Уорда [^“Ч, (§ 8.5). Функция						впервые

была вычислена отделом Британского Адмиралтейства (см. работы Эрдели 1*®1 и Уорда [^*"*]) в связи с исследованием Обтекания квазицилиндрического тела сверхзвуковым пото­ ком, выполненным Лайтхиллом [^^®1. Что касается функций /о и fi, то они были вычислены Тани ^) путем численного

Приватное сообщение.

интегрирования выражений (12.6.14) и (12.6.15). Эти резуль­ таты представлены на рис. 12.3 ^).

Поскольку функции /, /ц и fi нельзя выразить через известные функции, можно получить их разложения в ряд

для больших и малых значений х из разложений соответ­ ствующих преобразований Лапласа для малых и больших значений а соответственно. Эти разложения будут иметь вид

(12.6.17а)

f (T) = - 2т“» - (62 - 24 In (2т)1 т"5 + О(т’ ’ In* т),

(1 2 .6 .17Ь)

(12.6.18а)

fo (1^) = 1 + 4 + [3815In(2т)1 T-*4- О(т-« In*т),

(1 2 .6 .18Ь)

1) Между результатами Тани и Уорда [*®®] для функции имеется небольшое численное расхождение.

fj(T ) =	T - l t » + 0 ( T 3 ) ,				(12.6.19а)
/i (О =	I +	-P"* + (14 -	6 In (2т)1 X-* +		О (т-« In* t ) . 1)
					(12.6.19b)
В важном		частном случае		ступенчатого порыва ветра
C амплитудой a i l скос потока задается					уравнением
		о =	а !(т — х),		(12.6.20)
(I — ступенчатая функция			Хевисайда),		которое получится
из (12.6.11), если положить				= а и	= х . Подстановка
зависимости (12.6.20) в формулу (12.6.13) дает нам
	-^ = 2 < 7 OS '(J C)/O				(12.6.21)

Интегрируя выралсение (12.6.21) по а: от 0 до < или от 0 до 1, в зависимости от того, меньше t единицы или больше ее (т. е. тело, вращения частично или полностью вошло в об­ ласть порыва), мы соответственно получим

С)

F(t) = 2qa 5	( ( S I ) . <12.6.22)
о

Поскольку величина функции /„ ограничена при всех значе­ ниях ее аргумента и асимптотически стремится к единице, то и асимптотическое выражение для силы F имеет вид

	1
lim F (0 =	2^7a \ S '(х) d x = 2 qaS (\),	(12.6.23)
1-.0О	J

что совпадает с хорошо известным выражением для тела вращения, движущегося с постоянным углом атаки а (см. (12.5.16), если там k положить равным нулю). Поделив выражение (12.6.22) на (12.6.23) и введя замены

а{х) = Ьа{х), б = а (1), (12.6.24)

1) Разложения (12.6.7Ь, 18Ь, 19Ь) имеют ограниченную точность, поскольку в них пренебрегается экспоненциальными членами, связан­ ными C двумя нулями функции K'l (см. Майлс [^"^]).

МЫ получим нормированную функ ю, характеризующую нарастание подъемной силы

Cl

в качестве числового примера рассмотрим конус еди­ ничной длины, для которого а = х . Тогда

С)

= 2	(12.6.26а)

О

Иначе ту же функцию можно выразить так:

F{t) = 2M6t^		5	( Ж	- »		^	1),	(12.6.26Ь)
F{t)	= Z= + 2M6<=					( 0 < / <	1).	(12.6.26с)
F ( 0 =	1+2M 6^2	^	Г/о(т)-1]		dx			(12.6.26d)
			(1+Мбт)з

(/-1)/Л/й

Эти результаты графически показаны на рис.12.4 для Л 4б=0, Mb = 0,1 и Md = 0,5 (хотя для последнего значения Мб линейная теория, по-видимому, дает значительную погрешность), и их можно сравнить с соответствующими

результатами для треугольных	(рис.	10.7,в) и прямо­
угольных (рис. 9.6.) крыльев	малого	удлинения.	Как
и можно было ожидать, имеет место явное сходство			всех

этих результатов, особенно для конуса и треугольного крыла.

Заметим в заключение, что задача о переходном движе­ нии тела вращения могла также быть решена с использова­ нием виртуального количества движения, однако следует

учесть тот факт, что поперечный поток не является более несжимаемым и встает задача об определении зависящей

Рис. 12.4. Нарастание подъемной силы конического тела вращения, входящего в ступенчатый порыв ветра (12.6.2). Подъемная сила отнесена к своему предельному значению при / оо, время — к н и , I — длина тела.

ОТ времени виртуальной массы кругового цилиндра в сжи­ маемом потоке. Решение этой последней задачи (см.

Майлс		ведет к той же вспомогательной функции /(т).
		§	12.7. Ускоренное		движение
Определение			сопротивления		ускоряющегося		тонкого
тела	требует вычисления функций					{х, t) в	(12.2.4) и
построения		интеграла		сопротивления,		аналогично тому,
как	это сделано в §			12.3 (Майлс		Р®“],	[*“ 1;

Фициаи Франкель Л . [°М). C другой стороны, по крайней мере для тел вращения можно построить решение через запаздывающие потенциалы (Франкль Ф.

Принципиальный интерес представляют результаты в трансзвуковом диапазоне скоростей, где линеаризованная теория установившихся течений неприменима (см., на­

пример, работы Кола [‘*2],	Майлса	Бара­
нова [’], [®]; Бевиера	и Дайринджера 1^®]). В	работе

Кабанна[®П рассмотрено влияние ускорения на криволи­ нейный скачок уплотнения.

Как показал Франкель, результаты, полученные Фнцианом лля соп|ютиилсння, ошибочны.

НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ

§ 13.1. Введение

Результаты предыдущих глав базировались исключитель­ но на линейной теории, а потому к ним относятся прибли­ жения и допущения, сделанные в главе 1. Для того чтобы

более четко продемонстрировать	ограничения, связанные
C этими допущениями, и дать	некоторое представление

о трудностях, C которыми мы встречаемся при попытке выйти за рамки линейной теории, рассмотрим вкратце несколько простейших нелинейных задач.

Вообще говоря, нелинейные добавки к нестационарным характеристикам, связанные с толщиной тел и углом атаки, должны быть малыми для крыльев и тел, имеющих малое сопротивление при умеренных сверхзвуковых скоростях. Поэтому обычно при рассмотрении таких эффектов бывает достаточно учесть лишь члены второго порядка относитель­ но амплитуды возмущений, вносимых в поток (см. §§ 13.2

и13.3). Кроме того, в таком приближении изменениями энтропии, являющимися величинами третьего порядка малости (см. Хоуарт [^“^], стр. 122), можно по-прежнему пренебрегать и рассматривать течение как изэтропическое

ибезвихревое. C другой стороны, всякая попытка учесть влияние членов третьего порядка в сверхзвуковых задачах потребует отказа от представлений об изэнтропическом тече­

нии. В то же время, весьма вероятно, что влияние вязкости и теплопроводности, окажется по меньшей мере столь же существенным, как и влияние членов третьего порядка малости, вычисленных в рамках теории идеальной жид­ кости.

При гиперзвуковых скоростях потока положение ослож­ няется тем, что теперь малые возмущения скорости приво­ дят к большим изменениям в давлении. На это указывает нам имеющее место при гиперзвуковых скоростях наруше­ ние ограничений Мб < 1 и ЛМб < 1, которые мы устано­ вили при построении линейной теории (см. (1.2.32)). К счастью, оказывается, что возникающая в этом случае нелинейная задача может быть решена относительно про­ стым приближенным методом, разработанным Хейсом иЛайтхиллом (§ 13.4).

Мы не будем рассматривать члены второго порядка малости относительно амплитуды нестационарных возму­ щений, вносимых в поток. Предполагается, что эта ампли­ туда во всех задачах исследования устойчивости мала.

§ 13.2. Теория крыла во втором приближении

Нелинейные уравнения потенциала и Бернулли (1.1.9,6) после введения безразмерных параметров § 3.2 можно запи­ сать в следующем виде:

V^-CfTT = (Y -I) [MCPT+ -5-M4V9)“] V4 +

+ [ м	( ж ) + т	М Ч Т ф - Т ) ] (Лф)"	(13 .2 .1)
Х = { | _ ( у _ 1 )	[М ф т +	| м » ( ф ф ) 2 ] } " " '" "	(13 .2 .2)

В дальнейшем анализе будет удобно воспользоваться сис­ темой координат, связанной с крылом (или телом), так что (см. § 3.3)

(1 3 .2 .3 )

Пусть теперь движение верхней и нижней поверхностей крыла задано уравнениями

2^=^)(л:, I/, t) = ± b g { x , у) Л - { х , у, О + 0 (a ), (13.2.4)

где б H g - порядок величины и функция распределе­ ния толщины (симметричная по определению), е и А — со­ ответствующие величины для нестационарных смещений

I5*