книги / Потенциальная теория неустановившихся сверхзвуковых течений
..pdfЕсли разложение функции Ф в ряд по степеням частоты
ф = 2 н 2 'Ч Ъ |
(4.4.4) |
о |
|
подставить в уравнение (4.4.1—3) и приравнять члены при одинаковых степенях х, мы получим следующую совокуп ность упрощенных задач:
( |
Л'Фо = 0, |
|
(4.4.5) |
|
п = 0 |
Фо. U o = - V , |
{x \ y )^ S \ |
(4 |
.4.6) |
I |
Ф о и о = 0, |
{x \ y )^ R \ |
(4.4.7) |
|
f |
Д 'Ф „ = -Ф ,,_ 1 , |
(4.4.8) |
||
п > 1 1 |
1>n,Uo = 0, |
( x ' ,y ) iS \ |
(4.4 |
.9) |
I |
Ф„|.=о = 0, |
(*',!/) 6 Л ' |
(4.4 |
.10) |
(Заметим, что для получения решения нет необходимости разлагать V в ряд по частоте, хотя это и может оказаться целесообразным в окончательном результате для того, чтобы получить принятую точность аппроксимации).
Первая из задач (п = 0), формулированная соотноше ниями (4.4.5—7), есть не что иное, как задача о стационар ном обтекании крыла той же формы в плане. Последующие задачи (л = 1 , 2, . . . ) , формулированные соотношениями (4.4.8— 10), по существу, также являются задачами стацио нарного типа, в том смысле, что и дифференциальное урав нение, и граничные условия по форме сходны с имеющими место в стационарных задачах. Это станет еще более оче видным, если решение уравнения (4.48) представить в виде
ф = + ф<,“)+ ф»’^ (л > I), (4.4.11)
где ф|?*^ есть некоторое частное решение уравнения (4.4.8),
а Фп ^ и Фп ^ являются решениями следующих |
граничных |
|
задач: |
|
|
Д'ф<“>= |
0, |
(4.4.12) |
ФЙ’ I-O = - Ф Й > 1,-0. |
(x '.y ) e S ', |
(4.4.13) |
Ф Й >|-о = 0. |
(x',y)iR', |
(4.4.14) |
Д 'ф ^ ^ О ; |
|
(4.4.15) |
|
U O= о, |
(Jf', |
у) € 5 ', |
(4.4.16) |
(Djf) I = -(D Jf) U o , |
|
у) 6 /?' |
(4.4.17) |
Первая из этих задач (4.4.12— 14) идентична по форме ста ционарной задаче (4.4.5—7), а вторая дополнительная задача (4.4.15— 17) решается теми же общими методами.
Если задняя кромка крыла дозвуковая, то граничные условия в следе (на пелене) (3.9.5) следует включать в фор
мулировку задачи; эти условия напишутся так: |
|
|
(0 .^ .-f/M-Ix(D)^=O* = о, |
{x \ y )^ W . |
(4.4.18) |
Теперь уже наряду с четными следует включить и нечетные степени х в разложение функции Ф в ряд. При этом удоб нее записать ряд так, чтобы члены с четными и нечетными степенями х разделялись:
ф = 2 к,“(Ф,„+ /кФ,..0- |
(4.4.19) |
Подставляя (4.4.19) в (4.4.1—3) и (4.4.18) и приравнивая члены C одинаковыми степенями х, получим
при /г = о
Д'Фо = 0, |
{x\y)^s\ |
OozUo= |
|
Фо Iz=O= 0, |
{x\y)^R\ |
Фох' Iz-O* = 0» |
{x\iMW; |
(4.4.20) (4.4.21) (4.4.22)
при 2л + 1 > 1 |
|
|
|
Д'Фгп+1 = - Ф 2 « - |
( = 0, если |
л = |
(4.4.24а) |
Ф(2п-Н)г)г=о = о, |
(л-', у) 6 S ', |
|
(4.4.25а) |
^(2п+1) |г=о = о. |
{x\ y)^ R \ |
|
(4.4.26а) |
Ф(2п+1)х. Iz=O* = - |
М-'Фгд |*=о*, |
у) 6 |
(4.4.27а) |
при 2 n > 2 |
|
|
|
|
|
|
(4.4.24b) |
^ 2,wl.=o = |
0, |
{x\ tj)^ S \ |
(4.4.25b) |
Фгн Iz=O = |
O, |
{x \ y )^ R \ |
(4.4.26b) |
Ф211 . |.=o* = Ч- М‘ 1ф2п-1 Iz=O-, |
{x\ y) 6 |
(4.4.27b) |
Задача, формулированная системой (4^.4.20—23), — это стационарная задача для крыла заданной формы в плане. Вводя частные решения уравнений (4.4.24), четную и не четную задачи (4.4.24—27) можно разбить на стационар ные и дополнительные, аналогичные тем, которые фор
мулируются |
соотношениями |
(4.4 |
.12— 14) |
и |
(4.4.15— 17), |
|
плюс еще одна |
дополнительная |
задача с |
неоднородными |
|||
граничными |
условиями для Ф^', на пелене W' |
|||||
Заканчивая |
этот раздел, |
мы дадим метод |
разложения |
в ряд по степеням частоты решения задачи о крыле в виде интегрального уравнения (см. § 10.5),
У я = М {Ф }= 2 ч2ЧМ {Ф г,}-1-тЛ4{Ф 2г,1}], (4.4.28)
г= 0
где символ M означает операции, определяемые интеграль ным уравнением. Примем, что интегральное уравнение для стационарной задачи может быть обращено по соот ношению
Ф, = Л4-М1^} = ^ { П |
(4.4.29) |
Теперь, представляя V H M B виде рядов по степеням х, уравнение (4.4.28) можно переписать в следующей форме:
S K“ [V „ + < W „ .J = г=0
= 2 2 х “ " ‘Ч/И,. + 1хМ „..И Ф „ + <хФ ,„,}. (4.4.30)
г= 0 S=O
Перемножив |
обе части уравнения |
(4.4.30) на оператор |
L^l = М~^) и |
приравнивая члены с |
одинаковыми степе- |
и н, получим
8 = 0
H- Ъ ^2(г-8)-1 {^^2s+l}) |
(4.4.31а) |
^2r+l ~ |
{^2r+J |
^2(i--s) {^^2s+l} |
S = O
- 2 Л ^ 2 ( г-8Н1{Ф28}}. |
(4.4.31b) |
S =O
Отметим, что Mog^i тождественно обращается в нуль, если задняя кромка нигде не имеет дозвуковых участков, поскольку X в.ходит в M только через х^ в дифференциаль ном уравнении; в то же время Ogr+i всегда сохранится из-за наличия Kgr+i- C другой стороны, если V не разлагать в ряд, как это было в рассмотренном ранее методе решения диффе ренциального уравнения (V' участвует непосредственно лишь в определении Ф^), то фд,.+! будет обращаться в нуль вместе
CA las*!-
Взаключение отметим, что итерационный процесс, опи
сываемый соотношениями (4.4.31), можно рассматривать как некоторую модификацию известного метода Лиувилля — Неймана (см. Курант и Гильберт, том 1) и что он в равной мере применим к разложению по любому параметру, для которого решение (т. е. обратный оператор L^) интегрального уравнения может быть найдено, если этот параметр обра щается в нуль, и для которого существует разложение типа (4.4.30). В некоторых случаях может возникнуть необходи мость во введении в разложение членов вида x ” log x (см., например, § 9.8), однако основной порядок действий изло женного в этом разделе метода не изменится.
§ 4.5. Случай очень низкой частоты колебаний
Преобразования, рассмотренные в предыдущем разде ле, дают формальный метод, позволяющий свести кано ническую граничную задачу, сформулированную в § 3.9, к совокупности эквивалентных стационарных задач.
Однако, |
пользуясь этим методом, не |
следует |
забывать, |
||
что переход к исходным переменным х |
и t |
сам |
по |
себе |
|
является |
преобразованием, зависящим |
от |
частоты. |
Если |
мы хотим применить полученные результаты к случаю негармонического, медленно изменяющегося движения, параметр tx можно интерпретировать как оператор (Ojdt'), а полученный результат преобразовать к переменным (л:, /) C помощью видоизмененного преобразования Лоренца (§ 3.4). Случай гармонического движения может быть рас смотрен методом параграфа 3.10.
Для иллюстрации рассмотрим задачу о гармоническом движении, в предположении, что частота колебаний очень мала. Это, по-видимому, наиболее важный случай примене ния метода разложения в ряд по степеням частоты, так как он непосредственно применим к расчету вращательных про изводных.
Сначала рассмотрим крыло со сверхзвуковыми задними кромками. Пусть символ Фц [х , у, z; V (л:', //)} означает реше ние граничной задачи, формулированной соотношениями (4.4.5 — 7), т. е. задачи об установившемся движении со
скоростью, соответствующей числу M = V 2. Если дви жение гармоническое, функции Ф и К связаны с ком
плексными амплитудами ф и о соотношениями (3.1.0.б,7). Разлагая экспоненциальные члены в ряд и сохраняя лишь
члены первого порядка относительно частоты, |
получим |
|||||
(см. Майлс [1°8]) |
1) |
|
|
|
|
|
Ф = ехр^ — |
|
|
|
|
|
|
х Ф о {х ', г/, г; e x p ( + i*M ’'- p )J ( A :, г/)} + |
О М = |
(4.5.1а) |
||||
= |
У' |
У)} + |
^ * |
[ ® » { f ’ |
У' |
|
- х Ф |
, { | , у. а; |
? ( x , i / |
) } ] + |
0 ( ^ ^ ) . |
|
(4.5.1b) |
Если движение не гармоническое, но медленно меняю |
||||||
щееся, |
параметр |
ik в уравнении (4.5.Ib) |
можно |
заменить |
||
на |
а дифференцирование по t |
переставить ме- |
'^) См. также работы Зауэра Е®®] и Московнча и Мекля [“ ®1.
стами C оператором Ф,,. Тогда |
|
||
1/. z; v{x, у, |
о } |
+ |
|
+ CF ) {^^0 [ f |
’ |
|
о ] - |
|
[ f |
’ |
У' ^)].} (^-^-2) |
Подчеркнем, что здесь, равно как и в выражении (4.5.1), операцию, налагаемую оператором Фц на и, нельзя менять местами с умножением на х.
Если рассматриваемое крыло имеет дозвуковые задние кромки, то под символом Ф о{К} следует подразумевать решение задачи, формулируемой соотношениями (4.4.20—
23), |
а к результату (4.5.Ib) |
добавить |
помноженное на tx |
||||||
решение |
задачи, |
которую формулируют |
соотношения |
||||||
(4.4.24а— 27а), |
если положить |
в них |
п = 0: |
|
|||||
|
|
|
|
А'Ф1 = |
0, |
|
|
|
(4.5.3) |
|
|
|
OuIz=O = O, |
|
{х\ y)^ S\ |
|
(4.5.4) |
||
|
|
|
O i Iz= O = O, |
|
(х\ у) ^ R' |
|
(4.5.5) |
||
O K-C-IZ=O+= — М'^Оо{х ', |
i/, |
о + ; |
у {х\ |
у)], |
] |
||||
|
|
|
|
(=C ,y)iW '. |
|
|
|
!(■ ‘ -З-б) |
|
Решение этой |
задачи |
(4.5.3 — 6) дано Майлсом |
|||||||
в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Oi {х', у, |
Z- У} = |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
л' |
|
|
|
|
|
|
|
= |
-M -^ |
5 |
1Фо{5, у, г; |
^ ) - Ф '{ 5 , |
y, z-, V)-\dt |
(4.5.7) |
|||
|
|
(V, z) |
|
|
|
|
|
|
|
где |
Xo {у, |
z) — уравнение |
поверхности, являющейся оги |
бающей конусов Маха, верщины которых располагаются
на передней кромке поверхности крыла S; Ф ' |
является |
||
решением задачи (4.4.20 |
—22) |
с условием |
|
Ф! U-O = |
O. |
(x ',y )e w ' |
(4.5.8) |
вместо условия (4.4.23). Полное решение имеет в таком
случае |
вид |
|
|
|
9(JC. |
У, 2)=^Фо{|-. у, z; у (л, у, о} + |
|
||
|
+ |
МР-" [Ф о{у . У> z; XVt {х, 1/. О}- |
||
|
- ^ o j f . t/. z; |
Vi {х, у, о } ] |
+ |
|
|
+ |
J [Фо{^, |
г/, z; у, (л:, |
у, t ) } - |
|
|
0 |
|
|
|
-Ф ^и. i/. z; Vt {X, у, t))]dt |
(4.5.9) |
Заметим, что в практических приложениях этого резуль тата, возможно, более удобным было бы оперировать непо
средственно C давлением, |
как это сделано в работе Майлса |
где рассмотрено |
крыло* трапецеидальной формы |
в плане (см. также § 8.3). |
|
Замечание о дозвуковых и сверхзвуковых кромках. Следуя терминологии, принятой при. рассмотрении установившихся
течений (Уорд |
стр. 21), кромка называется дозвуковой |
или сверхзвуковой, |
в зависимости от того, меньше или |
больше скорости звука а^ составляющая скорости, нормаль ная к этой кромке и лежащая в плоскости крыла.
Г Л А В А 5
ДВУМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ
§ 5.1. Введение
Многочисленные авторы, пользуясь разнообразными методами, подробно исследовали двумерные сверхзвуковые нестационарные задачи. Результаты этих исследований широко используются в практике анализа флаттера, в рам ках так называемой теории полоски, в которой локальное течение принимается двумерным. Здесь мы рассмотрим последовательно: задачу о колеблющемся профиле — приме нительно к расчету продольного демпфирования; случай произвольной зависимости от времени (применительно к расчету аэродинамических нагрузок при входе в порыв ветра) и, наконец, случай бегущих волн, возникающий при исследовании флаттера панелей обшивки.
§ 5.2. Колеблющийся профиль
Впервые эта задача была рассмотрена Поссио [^***], который получил ее решение в виде разложения в ряд по сте пеням частоты. Позднее более общие решения были полу чены Борбели I®'’ ] и многими другими ^). Обзор различных решений был дан в монографии Карпа, Шу, Вайля и Био (^^Ч, за которой последовала вторая монография тех же авторов содержавшая результаты численных расче тов. Вопрос о звуковом (М = 1) обтекании был предметом
1) Темпль 11 Яп |
Био [‘®], Гаррик и Рубинов [т®], Маплс |
||
[i*®], Е. А. Краснлыцнкова [“ ®], А. П. Паннчкин |
Таусски |
||
Вебер |
[а®®], Хоил [ю®], Шварц [“ ®1, Дорр [«®J, |
Унллн 1®®®], |
|
Хакель |
н Дурлипг |
I^®®], Хасснг [®®]. Упрощенное |
приближенное |
решение дано в работе Коллара [*®]. См. также Вебер и Руппель [®®®].
специального рассмотрения в работах Ротта |
[252] |
|
и Нельсона и Бермана |
[“ Ч. |
|
Начнем с рассмотрения гиперболического уравнения |
||
Гельмгольца в двумерном пространстве |
|
|
|
|
(5.2.1) |
решение которого нам |
нулшо наити при |
следующих |
x'=z
/
Рис. 5 .1 . Граничная задача для двумерного крылового профиля.
граничных условиях (рис. 5.1.):
O J z = O = - F |
(X') |
(X' > 0) |
(5.2.2) |
OIz=O = O |
( х '< 0 ) . |
(5.2.3) |
При таком типе граничных условий естественно приме нить преобразование Лапласа по х' (см. §3.11), и тогда вновь полученная задача будет формулироваться следую щим образом:
Oz*z - Я^О* = 0, |
Я = (S^+ н2) 1/2 |
(5.2.4) |
O t I z = O = - V * ( S ) . |
(5.2.5) |
. Решение этой задачи, обращающееся в нуль на бесконеч ности, имеет вид:
ф * = |
(S) е-л* |
(Z > 0). |
(5.2.6) |
|
КОЛЕБЛЮЩИПСЯ |
ПРОФИЛ Ь |
|
69 |
||
Используя соотношение (см. Кэмпбелл |
и Фостер I®®], |
|||||
стр. 866), согласно |
которому |
|
|
|
||
|
ехр [ — (s“ -1- X^)'/аZ]} = |
|
|
|||
|
= |
J , |
[X (Л''2- 22)V2] I ( X ' - |
2 ), |
(5.2.7) |
|
и применяя |
теорему |
сперты пия |
(см. там |
же, стр. 202), |
||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
Ф = 5 Л ( к [ { д :'- а = - 2 * 1 ‘/.)1/® <Л . |
(5.2.8) |
||||
Теперь, |
пользуясь |
соотношениями (3.4.10), |
(3.10.6) |
и (3.10.7), перейдем к координатам (х, /). Комплексная амп
литуда потенциала па крыле (z = |
0-Ь) может быть пред |
ставлена в виде |
|
> U o + = -f |
(5.2.9) |
Я (-^) — охр^ рг J «^0 рг (5.2.10)
Следует отметить, что v является здесь функцией х, а не х'. Подставляя выражение потенциала (5.2.9) в (3.3.5) или, иным путем, C помощью соотношений (3.9.3) и (3.10.8), найдем амплитуду давлений, которая выразится соотноше нием
X |
|
|
7(x) = a,i(x ) + a„^ |
+ |
(5.2.11) |
О
где
(5.2.12)
Первый член выражения (5.2.11) является кваэистационарным, т. е. получается с помощью решения стационарной задачи, величина есть производная коэффициента подъем ной силы по углу атаки для плоской пластины (по Аккерету). Интегрируя по -частям, тот же результат можно