книги / Трехмерная теория устойчивости стержней, пластин и оболочек

При таком выборе основных функций обеспечивается выполнение граничных условий (5.14) и условий периодичности в окружном на­ правлении. Разрешающая система шести дифференциальных уравне­ ний первого порядка составляется из трех уравнений равновесия (1.138) и трех соотношений (первого, второго, восьмого) формул (1.137),

Систему шести дифференциальных уравнений можно записать в виде

4	r - A (D».				(5-76)
где у — {t/i, i/2, .... Уо) — вектор*столбец;			А — квадратная матрица
шестого порядка.					(г — г0, гы)
Граничные условия (5.13) на боковых поверхностях
принимают вид:
У\ ('о) =	Уг (Го) =	Уз (h) =		0;	(5.77)
Ух(г*) =	Уг М =	Уз(Гн) =		0.
Выпишем отличные от нуля компоненты матрицы А:					^
аи = — -у- [l — - J f Р (vM + v31v23) J ;			ап =		~ Щ г) :

« и - v(l -

-

$ t ) '•

ФЕ1 + П’А

+

(№г +

о°оо);

а1й =

-

- f

агх= —

~7 ^ - ( ( £ , +

с& v J2) (v21 - f v 31v M) —

arf+ a"Vi3(Val +

a

2g /

o°rr

r

К

Л

° 22 =

—

~ V

+ ~G^ + ~ ^ T

dr I

« м

= —

[ £ * +

c ?r (V12 + Vj3v 32) -

Г

' ( 2 a " +

r

:

Огв =

7 г [ 7V 2 ( G 23+

- i -

033J—

— 2< £ — Г

+

ft2Pa?r (vl2 +

v 13v 32) +

n^E\ *

fl2e = ^ [ G 23-

4“aa3+

+ P°°rr(V« + VmVm)] :

(5’78)

Q3X ---------- ^ - [ ( £ 3 +

O0rrV13)(v31 + V32V21) -

p - ‘t& +

(VM +

V03lVa4

fl34 = —

^ 3 V32 +

(vla +

V13v32) — P '1

+

r *■

) J ’

141

fl35 =			[ G 23------ J - <*00 +					Pv32£ 3 + Р Orr (v 12 +			VI3V32) | ;
a3a=	Y2n [p£3 + P<& (vn +						vltvM) +		r ^ r	( ° 2з +	-Y <& )];
^41	=	~ jr ~	P	----P	(Vl2	(V2| +	V23V3l) +		V13 ( V31 H" VS1V3!i) 1}»
fl44=		— P	r	_(vM1 +		v,3v32);		а4Б =	rapr~‘ (v12 +		v13v32);
			a« =		YP (V,S +		v12v23);		e„ = G\2 ;
Q»4= — гаг-1;					a65 =			a03 =	Gi3 ;	dot =	— Y»
M O - V J - 1; T = - 7 ; | = ( i + ^ _ j										; 4 - ( l + - ^ - ) •

К решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений (5.76), (5.78) с граничными условиями (5.77) можно применить метод дискретной ортогонализации (§ 17). Причем отрезок [r„, rN\ разбива­ ется на частичные интервалы точками интегрирования таким обра­ зом, чтобы на границы контакта между слоями попадала какая-либо точка разбиения.

Таблица 16

		10“ Н/м*			1
Номер		£, £,=- Й =		V,! vu
слоя	Е,				*
		=-	Ga
1	4.9	3.9	3,9	0.4	0.2
2	3.9	3.9		0.5	----
		4.9		0,2	0,4

j
обо-	X
JНомер
1	1
2	2
3	5

Таблица 17

н

ъ.
V*	• i

19.643 24.335 1,239

75.570 98,125 1,298

431,640 620,150 1,437

В качестве примера рассмотрим задачу устойчивости двухслойной цилиндрической оболочки, находящейся под действием осевого сжатия [104]. Механические характеристики слоев одинаковой тол­ щины, изготовленных из стеклопластика с сильно различающимися свойствами, приведены в табл. 16. Геометрические параметры оболоч­ ки: г0 = 25 см, / = яг0. Результаты расчета даны в табл. 17, где h —

толщина каждого слоя, Тпр и Г,*р — критические нагрузки, получен­ ные соответственно по трехмерным линеаризированным уравнениям и на основе гипотезы Кирхгофа — Лява [101 ]. Из табл. 17 следует, что пренебрежение погрешностями, вносимыми гипотезой Кирхгофа — Лява при решении задач устойчивости слоистых цилиндрических обо­ лочек с анизотропными слоями, не всегда оправдано.

142

§ 43. Области применимости двумерных прикладных теорий в задачах устойчивости оболочек из композиционных материалов.

Сравнение с экспериментальными данными

Приведем сравнения соответствующих результатов, полученных в задачах устойчивости цилиндрических оболочек по строгой трехмер­ ной линеаризированной теории и приближенным теориям [§ 13].

Рассмотрим шарнирно-опертую цилиндрическую оболочку, сжа­ тую вдоль оси Р усилиями интенсивности р и нагруженную внешним равномерным боковым давлением q. Выбирая решение уравнений (1.162) в виде (1.163), на торцах (i = 0 и р = / оболочки выполня­ ем граничные условия:

и = 0; щ = 0; г|>а = 0; Тр = 0; М ь = 0.

(5.79)

Подставляя решения (1.163) в систему уравнений (1.162), в которой

следует	принять,	что	Ra = Я;	Яр = оо;	Т® =	—<?Я; 7р =	—2ph\
Тар = 0,	приходим	к системе разрешающих			уравнений:
— Ах(О^Ха		Gj2Xp) — А^Х-аЩ(^цСц +			С?12) -f- i43b'flllXa =		0;
А%(а22хр -f- GjoXa) — А-уЯаХр (v2la22 “Ь G12) -f* Лзвхрт21й22 =							0;
i41ea11xa -Ь ^aevi2GuxP — Аэ[(1 — б) (G13x | +						G23xp) — РХР +
+	е2а,г -----ge~‘x |] — ByG13f l (Л)Ха— 5 2G23/p (h) Щ= 0;
"3~ [бДцХа			6 (v12an + 2G12) хахр — 3(1 — 6) G13xa] —
		[6a {h) (a11xa +		G12xp) -{- 2G13/a (^)l			(5.80)
		— B2bl (h) (v12au -f Gl2) x«xp =				0;
*3“A [6a22xp -f- 6 (v21a22 +				2G12)x£xp — 3(1		6)G^xp]
	^2 [6p {h) (a22xp +			G12xa) +	2G2S/p (Л)!
		— Вг6а (Л) (v21a22 + G12) XaXp =				0;

Из условия нетривиальное™ решения системы уравнений (5.80) получаем характеристическое уравнение для определения критиче­ ской нагрузки:

_	det||m „|| = 0 (i, / = 1, 2,		. . . , 5).	(5.81)
Здесь				т13—eauXa;
	тп — — aux | — хр;	тп = — (1 + v12axl) xaxp;
	ти — Щъ — 0; яг21	— (1 + v21a22) х«хр;	т2й= ~ °22ХР —

143

Щз —ev2iа22х0; mu = m2B= 0;							m3l = ^32 =
	2	-		-f (2 +	v12au ) xaxp] — 2(1 — 6) G13xa;
W33= - 3- e
	m34 -		— b*a (ft) (xp — anXe) — 2G13f« (ft);
		m36 =		— ftp (ft) (1 + v12au ) xaxp;
mn — mi2 =	0; m4s =			g	+	(2 + v21a22) x|xp] — 2(1 — 8)G23xp*,
		m44 =		— 6« (ft) (1 + v2la22) x«xp;
	m«	-	-	*>;(ft) (x£ +		a22x|) -	2GJ l	(ft);
		ты — eauXa;				mB2 = ev12auxp;		(5.82)
m63 =	(1 — 6) (G13Xe - f G23xp) — e2axi + pxp + ~ д н ае2 *;
	m54		fa (ft) GJ3Xa‘,			Ш55------ fp (ft) G23Xp;
Задавая	упругие постоянные an , a^, v12, v21							(v12On = v21a22), G^3,

Gt3, геометрические параметры e, xe, xp, а также величины 6, /« (ft),

fp (ft), ft« (ft), ftp (ft), связанные с различными гипотезами,							из	харак­
теристического уравнения (5.81), (5.82) определяем ркр.
Относительно величин, связанных с гипотезами, имеем:
для	гипотезы	Кирхгофа — Лява [при				этом Q a , Q p следует		опреде­
лять	из уравнений		(1.161)]
	6 = 1 ;	ba (ft) =		ftp (Л) = 0;	Gt/ a (ft) = G23fp (ft) =		1;	(5.83)
для статической гипотезы Тимошенко
		6 = 1 ;		fa(T) = /p(Y) =		6A*
l U h )	= /; (A) -	4 - ;	ft.(ft) = ft, (ft) =		I	4 - ft * ; (5.84)
				6: (A)= 5; (ft)=		4 - ;

144

для

кинематической

гипотезы

Тимошенко

*

0

ba (А) = ftp (А) =

6 = 0;

/«(Y) = M

Y) =

Y;

Г уЧу = -j- А3;

-л

(5.85)

Й(А) « б » (* )= -§ ■ ;

f*(h) = fl(h) =

1.

Рассмотрим цилиндрическую оболочку при осевом сжатии в слу­

чае осесимметричных деформаций. Из (5.82) при ха =

0 имеем:

/Пц — — Ир>

771^2 = т13=

Шц — /72jg — 0;

/722j = 0;

/72j2 =

— fljjKp}

m23 =

ev21a22xp; mM =

m26 =

0;

m3I =

m32 =

т м =

0;

m3t = — bl (ft) xp — 2G J« (ft);

^

=

0;

m4I =

ml2 =

0; (5.86)

/^43 =

^

2(1 — fi)

=

0;

m45 =

— bp (ft) я22хр — 2G Jp (ft);

mbl = 0;

m62 =

ev12auxp;

т БП= — (1 — 6) G23xp — e2au +

pxp;

m64 =

0;

m55 =

— /p (A) G2Sxp.

Раскрывая определитель (5.81) при условии (5.86), получаем урав­

нение

e2au [6р (ft) а22хр +

2G.Jp (ft)] (1 — v12v21) +

6<^sG Jp (ft) xp +

+ (1 - 6 ) G j ;

(ft) a22xp -

pxp [2G.Jp (ft) +

bl (A) a2,x|] =

0, (5.87)

из

которого

p =

- 4 - 5ц 0 - * „ % ) +

( 1 - 6 ) G23 +

*0

2 (1 - б) ОJ

/p (h) 5,8 f46a22x£ -

+

----------------------------—

---------L •

(5.88)

6p (Л) fljs^p +

2/p (ft) бая

В случае кинематической гипотезы Тимошенко из (5.88) получаем;

6 = 0; t f ( A ) = l ; 6? № )= -§ - ;

вЯ

_

4 - о 2г023ч|

(5.89)

Р = —

яи (1 — v12v2l) + -

2бгз + — Оа2Кр

ХР

Формулу (5.89) можно записать в виде

/>

2ftgi

|

D2X®

(5.90)

2ft

х*

'

1 +

2GJ»/?®

14$

где

	n _		2Eah3		.			nmR
	° л ~		3 (1 — vt2v21)		’			/
Минимизируя (5.90) по			к, находим
			D'lEx	,	1	У" 2 ^ / 1
			G23#a		V?						(5.91)
					,	2G2SW?a )
После преобразований		выражение (5.91)					приводим		к	виду
			l	+	r	j	/ S				(5.92)
*1л = - | Г | Л	| - ) / 1 2	( 1 - ^ Л 1);			ё = -						- . (5.93)
							У? 1/3(1 — V12Val)				<*28
Подставляядстав,	(5.92) в (5.90), получаем выражение для критической на-
грузки:
			1 + - Г ‘	V	1						(5.94)
/'ад — / з ~(1— v		Т	” — критическое					усилие	по	теории Кирхго-
а — Лява.
Если модуль сдвига			G23 в выражении для е						(5.93)		заменить на
АЧ?2з (£' =	— коэффициент сдвига),						то	формула		(5.94) совпадает

o'аналогичной формулой, полученной в [79].

В случае неосесимметричной формы потери устойчивости цилиндри­ ческой оболочки характеристический определитель (5.81), (5.82) ис­ следовался численно при осевом сжатии и внешнем равномерном бо­ ковом давлении. Численные результаты получены для классической теории, также для статической и кинематической теории типа Тимо­ шенко.

■На рис. 31...33 (штриховые линии) представлены зависимости без­ размерного параметра р* (ркр = р*р„ — критическая нагрузка, по­ лученная из решения характеристического уравнения (5.81), (5.82) по уточненной кинематической теории типа Тимошенко) от величины R/2h. Численные расчеты проводились для механических характерис­ тик материала, представленных в табл. 13.

На рис. 37...43 (штриховые линии) представлены графики зависи­ мости величин q* {qKp = q*qw — величина верхнего критического

М

давления, полученная на основании уточненной кинематической тео­ рии типа Тимошенко) от параметра UR. Численные расчеты приведены

для геометрических и механических параметров, приведенных в табл. 15.

Характерные

графики для безразмерных критических нагрузок

Р * =

Р к р /Р м

и

q * =

</Кр/Рзп

[ркР

и </„р — значения

критических

на,-

грузок, полученных на основании кинематической

(сплошные линии)

и статической

(пунктирные линии) гипотез

Тимошенко; рм и

qM —

соответствующие значения

критических

нагрузок,

вычисленных

по

классической

теории ]

приведе­

ны на рис.

45,

46.

На

рис. 45

7П1

R/1 =

0,5;

на

рис.

46

R/2h =

яр-Г

= 25. Значения упругих постоян­

*

^ 5

ных

на

рисунках

следующие:

Ег/Е3 =

0,2;

Е21Е3 =

1,0;

E 3/G23 =

2,5;

v23 — 0,25; v12 =

= v13 =

0,20.

На рис. 47 приведены резуль­

таты зависимости безразмерного

ш.

параметра q*

критической

на­

£>4

грузки от отношения UR для

it_____

частного случая

комбинирован­

вД5

30

50

70

90 ft/27)

ного

нагружения — случая

все­

Рис. 45

стороннего

сжатия

трансвер­

сально-изотропной цилиндрической оболочки ((г, 0) — плоскость изо­

тропии)		npii	2h/R = 0,01; E JE 3= E JE 3 = 0,4; E3/G12 = 6,5; v12 =*
=	0,3;	v13 =	v23 =	0,2.
	Кривым 1, 2, 3, 4 на рис. 45, 46 соответствуют значения E3/G12 =»
=	E3/G13 =		5, 20,	50, 100, а	на рис. 47 E3/Gl3 = E3!G23 = 5, 20,
50,	100.			численных	результатов следует, что погрешности
	Из полученных

теории, основанной на гипотезе Кирхгофа — Лява, в основном зависят от параметров E3/G, E JE 3, 2h/R, UR и могут достигать 50% и более. Расхождение между значениями критических нагрузок, полученными по классической и трехмерной линеаризированной теориям при осе­ вом сжатии цилиндрических оболочек и при внешнем равномерном давлении, практически одинаково. Поэтому ниже в качестве примера рассмотрим случай внешнего равномерного поперечного давления. Для цилиндрических оболочек, находящихся под внешним равномер-. ным боковым давлением, погрешности теории, которая основана на

гипотезе	Кирхгофа — Л ява, с ростом параметров 2h/R, E3/G, £ 3/£»
и R/1 увеличиваются.				^
Погрешности теорий типа Тимошенко существенно зависят от па­
раметров 2h/R и Et/E3 и не привышают 30%			для рассмотренных диа-.
пазонов	изменения указанных	параметров	(2hlR < 0,04;	EJE3
> 0,025).	Параметры же EJG и UR в рассмотренных диапазонах из­
менения	(E3/G < 100; 0,75 <	l/R < 3,50) мало влияют на		погрей^

ности уточненных теорий типа Тимошенко. В то же время с ростом, например, параметра 1/R от 0,75 до 3,5 расхождеине,между резуль;

,И7

татами, полученными по уточненным и классической теориям, умень­ шается от 40 до 10%. С ростом параметра E.JG (5 < E.JG < 100) ука­ занные расхождения увеличиваются от 2 до 30%.

Из результатов, полученных по уточненным теориям типа Тимо­ шенко и, в частности, из приведенных на рис. 45, 46, следует, что при осевом сжатии и внешнем боковом равномерном давлении кинемати­

ческая и статическая [139, 5] теории дают практически одинаковые результаты (расхождение не превышает 5%), однако статическая ги­ потеза предпочтительнее, так как приводит к более точному ре­ зультату.

. Д л я стеклопластиковых оболочек (Е3Ю < 20), находящихся под внешним равномерным боковым давлением, ограничиваясь точностью до 10%, можно применять теорию, основанную на гипотезе Кирхго­ фа — Лява в следующих диапазонах изменения параметров: E J E S > > 0 ,1 ; 2h/R < 0,015; UR > 0,75.

Уточненные теории типа Тимошенко можно применять'с такой же степенью точности для оболочек из других композиционных материа­

л е

лов (боропластиков, углепластиков и др.) при £ 3/G >								20 в тех же диа­
пазонах изменения			параметров		E JE3\ 2h/R		и UR.	(2hIR > 0,0 1 5 ) и
Для	более	толстых цилиндрических оболочек
при E JE Z <		0,1 погрешности уточненных теорий типа Тимошенко
увеличиваются и могут достигать 15...30%
(для приведенных выше областей изменения							9 “
остальных геометрических и механических
параметров). В этом случае для расчета
устойчивости цилиндрических оболочек не­
обходимо применять трехмерную или более 4-
точные двумерные теории.
Некоторые		результаты		численных		рас­
четов	при осевом		сжатии	и внешнем		по­
перечном равномерном давлении сравни- №
вались	с экспериментальными				данными,			Рис. 47
полученными		для	стеклопластиковых			ци­
линдрических		оболочек [80, 89].
На	рис. 48 приведена			кривая зависимости величины ркр/£ 3 от па­

раметра тонкостенности оболочки 2h/R, полученная по трехмерным линеаризированным уравнениям при осевом сжатии стеклопласти­ ковой цилиндрической оболочки, со следующими геометрическими и

№ -
						№1	V	t/R
механическими			параметрами:		RII =	0,31;	0,005 < 2hfR ^		0,013;
£ г/ £ 3 =		0,10;	£ г/ £ 3 = 0,31; £ 3/G12 =			Е3Ю13 = £ 3/G,3 =		10;	v12 =
= 0,20;		v13 =	0,25; v23 = 0,30.		Экспериментальные точки			заимство­
ваны	из работы [89].						величины q*p/E3 от па­
На	рис. 49		приведен	график зависимости
раметра		UR (1 < UR <		5) при 2h/R =		0,0314 для стеклопластиковой

цилиндрической оболочки, находящейся под внешним равномерным по­

перечным	давлением, со следующими			механическими параметрами:
£ j / £ 3 = 0,20; £ 2/ £ 3 =		1,27;	£ 3/G23 =	4,30; £ 3/G12 =	£ n/G13 = 10;
vi2 = 0.35;	v13 = 0,30;	v23 =	0,16. Экспериментальные		результаты
получены в работе [80].

§44. Устойчивость стержней, пластин

иоболочек из неупругих материалов

Выше были исследованы задачи устойчивости элементов конструк­ ций для линейно- и нелинейно-упругих тел, причем характеристиче­ ские определители в последнем случае получены независимо от вида упругого потенциала.

149

Исследование устойчивости неупругих тел можно провести в рам­ ках трехмерной линеаризированной теории, принимая соответствую­ щие концепции и критерии устойчивости.

В случае упругопластических моделей сред, принимая концепцию продолжающегося нагружения [64, 75, 100, 138], линеаризированные соотношения указанных моделей представляют собой для определен­ ных видов нагрузок частные случаи соотношений трансверсально-изо­ тропного тела. Поэтому полученные выше характеристические опре­ делители для трансверсально-изотропных стержней, пластин и оболо­ чек справедливы и для упругопластических тел, если величины а и Gij определить из линеаризированных соотношений соответствующей

теории пластичности.
Для	вязкоупругой		модели,		применяя	квазистатический подход
[64, 117]	и	выделяя	во	всех	величинах	возмущений	множитель
exp iQt,	для	амплитудных		величин получаем основные			соотношения

в такой же форме, как и для упругого трансверсально-изотропного тела. При этом коэффициенты йф и Gif будут комплексными, характе­ ристические уравнения также будут совпадать с полученными выше характеристическими уравнениями для упругих трансверсально-изо­ тропных тел, однако их уже следует рассматриватькакуравнения от­

носительно Q.	; I
Исследование критериев устойчивости при ползучести	приведено

в работе [117]. Если в качестве критерия устойчивости принять зату­ хание возмущений и исследовать их изменение на малом интервале времени в окрестности точки линеаризации t = t0 (квазистатический подход), то, поступая, как и в случае вязкоупругих моделей тел, мож­ но показать, что линеаризированные соотношения теории ползучести с упрочнением при определенных типах нагрузок имеют вид соотно­ шений закона Гука для трансверсально-изотропного тела с комплекс­ ными модулями.

Построим решения трехмерной линеаризированной теории устой­ чивости деформируемых сжимаемых изотропных тел при малых [для первого (1-43), (1.44) и второго (1.49), (1.50) вариантов] однородных докритических деформациях в виде, общем для различных моделей сред, а также получим выражения для определения коэффициентов йф и Gih входящих в общие решения, для некоторых конкретных мо­ делей. При таком подходе для упругих и неупругих моделей сред ис­ следование устойчивости элементов конструкций можно проводить об­ щим методом до построения характеристических уравнений. Анализ и решение полученных характеристических уравнений необходимо про­ водить для каждой конкретной модели.

	Докритическое состояние определяем по формуле
где	u°n = 8 t„ (h - l)*f,	(5.95)
	=

Для моделей, учитывающих пластические деформации, будем считать, что в возмущенном состоянии граница зоны разгрузки совпадает с соответствующей границей в докритическом состоянии, т. е. применим концепцию продолжающегося нагружения. Такой подход в трехмер-

.150