книги / Трехмерная теория устойчивости стержней, пластин и оболочек

ные функцией X, записываются так:
«1 =	— («хг +	Gia) dXldxt X;		«г = J(au — 6р)-		- + С -	х:
			f	, ои - 6 р	д* \	д у
		- «12^1“ Ы		+	■ £ Г ] _й 7 Х’		(4.15)
F22	Г	да	З а (дц — ^P) — а12 (Qi2 4- g>2)
	= «22^12 I -^2~ Н					дх*
				a22Gu

Согласно соотношениям (2.10) и (4.11) получаем значения проекций внешней нагрузки при х, = 0, I:

Л -

= «12— Р- а*,

(4.16)

Граничные условия при х2 = ± Л выводим из соотношений (2.10):

«12 к=±л = 0;	о22	= 0.	(4.17)
Из соотношений (4.15), (4.12)	и (4.16)	следует,	что при хг = 0, I

условия шарнирного опирания выполняются в интегральном смысле

«п Ui=o,/ = 0; и2|дг,=о,/ = 0.

(4.18)

Подставляя решение (4.12) в граничные условия (4.17), получаем систему алгебраических уравнений. Из условия существования нетри­ виальных решений этой системы приходим после некоторых преобра­ зований к трансцендентному характеристическому уравнению для определения критической нагрузки:

[йЗ-	дп		дгг(дп —&р) — Оц (fliz + (?1г) (CiSh a ^ c h o ^ —
	Д12
— Casha^2ch a ^ ) +		-	- (Ci sh «Ci ch aCa — Сгsh o£2 ch a^ ) — (4.19)
— (C1C2sh	ch a£2	— C2C1sh a£2 ch a^i) Д22 (Д11 —Sp) — д1* (Д12 + Gti)
			a2tGl2

„яft

§26. Оценка точности классических гипотез

Известно, что существуют три направления, по которым проника­ ют погрешности в двумерные прикладные теории: первое — допуще­ ния геометрического характера при описании деформирования тела, второе — допущение при составлении соотношений между напряже­ ниями и деформациями и третье — допущения при приведении трех­ мерной задачи к двумерной. В указанном выше смысле соотношения (2.12)...(2.15) третьего варианта теории малых начальных деформаций имеют одинаковую погрешность с двумерными (одномерными) при­ кладными теориями устойчивости по первому направлению. Если же воспользоваться одинаковыми соотношениями между напряжениями

и деформациями, то	соотношения (2.12)...(2.15) могут служить осно­
вой для определения	погрешности, которая допускается	при переходе
к двумерным (одномерным) теориям устойчивости. Эти		погрешности

в зависимости от свойств материала стержней и пластин будут уста­ новлены в § 27.

Здесь покажем, что для тонких стержней и пластин гипотезы плос­ ких сечений и Кирхгофа — Лява являются асимптотически-точными независимо от свойств материала.

Сначала исследуем уравнения (4.7) и (4.10) для сплошного тонкого

стержня nRIl <			1. Положив т — 1 и воспользовавшись разложением
функций Бесселя			[32]
				' . и - 2 р г ? г р г ( т ) ‘ .					(4.20)
из уравнения		(4.7)		и (4.10)	выводим с точностью до а 3
det I c i, ||«		-gg- tt9SiSa£a			С |- Й		+ P ) J-----g” (a ” —		2) +
					fl]"s	G jd i a vs
+ j£u-° ^ , r + c ' ° ,, + C> 1+ 2							( 0	- - g & r ) +
									(4.21)
+ Ci	(Дц — Оц) (flia +			p)	Й - Й - 4			■ % £ & } +
	24--------- ( Й +
+-}гйь.+А^ Х $ ' * +в>
		—		ЙЙОцО +		4 - °И <й +	Й )(0 -	P) +
+	-Я-4..ЙЙ Й						+ ^	. g (t» +	^ ) x
x	6ачР (дч + g) —				(g — p) — (ata +		p) (flu — д12) (aia +		0) ]\
					•	a JS +	G

Решение уравнения (4.21) представим в виде

оо21

			/ • £ ( “ ) •					(4.22)
	В результате имеем:
	А> =	0;	рх =	1 ОцОзз+		а12Дэз ~ 2д^3		(4.23)
				4	аи +		al2
	Следовательно, для длинных стержней				критическая нагрузка
	„	1	Я ,\а °па»з +			an fl83 — 2aJ3		oii
	Рнр »	т	| я	--------	5-	^	--------- ч __	(4.24/

82

Преобразуем формулу (4.24), выражая значения аи через технические постоянные £<, vtJ. Используя соотношения (1.142)...(1.144) для ортотропного трехмерного тела, находим:

Из выражений (4.24) и (4.25) с учетом тождеств (2.38) выводим

(4-26)

Значение ркр из формулы (4.26) совпадает с результатом, полученным с использованием гипотезы плоских сечений. Таким образом, гипотеза плоских сечений в теории устойчивости длинных стержней является асимптотически-точной независимо от свойств материала стержня.

Аналогично можно исследовать трансцендентное уравнение (4.7), (4.8) для полого стержня.

Исследуем характеристическое уравнение (4.19) для тонкостенной

бесконечно длинной пластинки а	= nhll < 1. С точностью до а4 вы­
водим алгебраическое уравнение	пятой степени относительно г =
= р!ап .

— 4

(4.27)

апаи (1 — г) — а?2 — 2аи°м

83

Решение уравнения (4.27) представим в виде

2	Е a 2,2i.	(4.28)
	f-n

Подставляя выражение (4.28) в уравнение (4.27), получаем уравнения для определения г0, zlt г2и т. д. В результате решения каждого из уравнений имеем:

г0= 0; гу	1	an a22— а]г .	fli i a aa a i2 (баиа23—
	3	«„в* ’ 8	45(1^^22^12
	с	2 ~ /-> \	1 в11°22_

6а'2~- 2а 12° и ) ---- § ------^

С точностью до а 4 из выражений (4.27) получаем формулу для опреде­ ления критической нагрузки:

Ркр Рэл	1— а 2	2 3 (ацагз — flf2) — а1аД18		1
		15	aMG13	3 J| ’
где рЭл — эйлерова	критическая		нагрузка,
			112
Учитывая соотношения		(4.25) и (1.144), с точностью до а 4 выводим

в технических постоянных формулу для вычисления критической на­ грузки:

('-“‘[-Мт- V13VS1 0 12	1-	VtsV3l
Р к р « Р э л 1 — 0?
Для изотропной пластины
РкР» Р э Л[1 —	Т +	! " ) ] •

Таким образом, для тонкостенных длинных пластин гипотеза Кирх­ гофа — Лява является асимптотически-точной независимо от свойств материала.

Для прямоугольных, круговых, кольцевых пластин, а также для трехслойных пластин получаются аналогичные выводы. Некоторые из этих результатов будут приведены ниже в § 28...31.

§27. Влияние свойств материала стержней

ипластин на критические нагрузки

Для тонких стержней и пластин гипотезы плоских сечений и Кирх­ гофа — Лява являются асимптотически-точными независимо от свойств материала. Однако для сравнительно толстых стержней и пластин и для материалов с малой сдвиговой жесткостью (композиционные ма­ териалы) вопросы о величине погрешности прикладных теорий и о зна­ чениях критических нагрузок остались невыясненными. Чтобы их вы­ яснить, рассмотрим задачи § 24, 25.

84

Вначале исследуем влияние свойств композиционного материала сплошного стержня кругового поперечного сечения на критическую нагрузку. Введем следующую замену:

Ркр = Р*Рэл, Рэл =		а 2£ 3,	(4.29)
где рэл — критическое	напряжение, полученное на		основании гипо­
тезы плоских сечений.	Для трансверсально-изотропного стержня,

рось изотропии которого совпадает с осью Охз, имеем:

\	Е1 = Е2 = £; Vjo = va = v;
	vis = v23 = v';

\v3i = Vj» = v";

ОEv' = £ 3v"; Gl3 = Gi3 = G; (4.30)

	ом		\		2G12( 1 + V) =			£.
				а.	Характеристическое уравнение (4.7),
		о,оч ops
		рис# 5			(4.10) для сплошного стержня с учетом
					соотношений	(4.25),	(4.29) и (4.30) реша­
лось численно на ЭВМ. На					рис. 3...5 для	различных		механических
характеристик материала				стержня получены зависимости параметра
р* (сплошные кривые)			от	величины а = nRU (0 ^			а ^	0, 1) соответ­
ственно		при £ /£ 3 =	0,08;		0,20; 0,80. Для всех графиков				v =	0,3;
v' =	0,2.	Кривым /...7	соответствуют значения EJG =					6, 10,	20,	30,
40,	60.	100.

Как видно из графиков, величина р* (и соответственно критическое напряжение ркр) мало зависит от параметров £ / £ s, v, v' и существенно зависит от величины £ 3/G. Для сравнительно толстых стержней (а > > 0,13), выполненных из композиционного материала с низкой сдви­ говой жесткостью (E3/G > 20), погрешностями при определении кри­ тических нагрузок на основании гипотезы плоских сечений пренебре­ гать нельзя. В то же время для сравнительно тонких стержней из ком­ позиционных материалов (типа стеклопластика) в диапазоне измене­ ний 0 ^ а ^ 0,13 и E3IG ^ 30 применение формулы для критической

85

нагрузки, полученной в рамках теории плоских сечений, приводит к погрешностям, не превышающим 10...12%.

Выясним влияние свойств материала длинной пластины на крити­

ческую

нагрузку. Характеристическое

уравнение

для ортотропиой

пластины имеет вид (4.19). Сохра­

Таблица 5

няя специфические

свойства

мате­

риала с низкой сдвиговой жестко-

Номер

V

стыо,

ограничимся

случаем

тран-

рисунка

сферсально-изотропной

пластинки,

плоскость изотропии которой совпа­

6

0 ,50

дает

с плоскостью х2Охл. В этом

7

.0 ,10

случае для трансверсально-изотроп­

ного тела в выражениях (4.25) следу­

8

0,30

0,15

0,05

ет принять:

9

0,01

е .2 =

е 3 =

е -,

v,o =--=v... =

v ;

V23 =

^32 =* v;

*

(4-31)

10

0,20

0,20

V31 =

V21 =

v ' ‘.

G 12 =

G 13 =

G ;

'

11

0,30

0,50

2Gi3 (1 +

v) =

E.

Характеристическое

уравнение

(4.19) с учетом

выражений

(4.25)

и (4.31) исследовалось численно на ЭВМ

при

различных

параметрах

E/Elt

E JG, v, V

и а =

nh/l, для

которых подсчитывались величины

Р* =

Ркр/рэл,

где ркр — значение

критической

нагрузки,

вычислен­

ное в результате

решения уравнения (4.19),

р9П— соответствующее

значение, полученное в рамках теории

Кирхгофа — Л ява

pM = T - a 2-

f t

(V')8

Зависимости параметра р* от величины a (0 ^

а

<1 0,32)

представле­

ны на

рис. 6

... 11 для

механических характеристик,

приведенных в

табл. 5. Кривым 1...8 соответствуют значения параметра EJQ — б, 8, 10, 20, 30, 50, 70, 100.

Р*

t

Р*L	I	I	I	л
’ 0	0,08	0,15	024	а
	Рис. 6
Как	следует	из	полученных результатов, приведенных на рис.

6...11, значения критических нагрузок, которые вычислены па ос­ новании гипотезы Кирхгофа — Лява, являются сильно завышенными, т, е. погрешности теории, основанной.на гипотезах Кирхгофа— Ляваг

86

в этом случае могут достигать 50% и более. Даже для пластин, изго­ товленных из стеклопластика, при 0,13 < а < 0,32; £ Х/С > 10 по­ грешности классической теории превышают 40%. В то же время для тонких пластин (а ^ 0,13) при EJG < 10 эта погрешность не пре­ вышает 12%.

^■

1\ \

§ 28. Устойчивость шарнирно-опертых прямоугольных пластин

Рассмотрим устойчивость равновесия шарнирно-опертой линейно­ упругой ортотропной прямоугольной пластины толщиной 2Л(ось Ох3) при сжатии ее вдоль оси Охх (сторона шириной а) усилиями интенсив­ ности /?, а вдоль оси Охг (сторона длиной Ь) — q.

Основные трехмерные линеаризированные уравнения и граничные условия для второго варианта теории малых начальных деформаций имеют вид (2.8), (2.10). Соотношения упругости для ортотропного тела представляются в виде (2.37), а начальное (докртическое) напряжен­ ное состояние характеризуется величинами:

ап = — р\ ой == — Я\ <гзз = 0; о?/ = 0 (i Ф /).

Тогда из соотношений (2.8) без инерционных членов и (2.37) получаем систему дифференциальных уравнений* в перемещениях:

(%, - Р> ^	^	дгих	+ to , + М 7^	д*и2
		+ 0* ^		+

+	{аи + Gn )	-1- (<*23 +		°2з)	dxJ ^	=	°'-
(G13- P ) - ^ r +		(<323 — 9 ) - ^ Г +			азэ - ^ Г		+
+	(<*23 + Огз)	+	(°1S +	Gu)	ajc,ai,	“	°*
Решения системы уравнений (4.32) ищем в виде
о, =	и (дг3) cos ахг sin Р*2;		itj =	и (х3) sin ctx, cos px2;
u8 =	. . .	. о	a =	Я/П	f,		«Л
	о» (Xg) sin a*! sin рх2;			——	; p =		•

Подставляя решения (4.33) в систему уравнений (4.32), имеем относи­

тельно и, v, w следующую систему уравнений:

с 1з -§г—

А3и — (а1г+

GX2) XXX2I>+

(a13 +

GX3)

= 0;

(*2з "^5----- A2V +

(a23+

G23)

----- (<*124- 612) х ххао = 0. (4.34)

Q33-jp -----A3w — (a23 +

G23) XJJ- £ ------(aX3 +

(*13) xi

— 0-

A-! =

(«и — p) x? — (G12— p) xh

A2 =

(Gj2— p)

4- (<*22— <?)

i43 = (G13 — p) X| -)- (Ggg — 9) x?;

x3— hz\

xx — 01/1;

x2 =

Частные решения системы уравнений (4.34) имеют вид:

u(l) = Ci‘V ,z;

o P -C iV * * ;

ш(0 =

C(V<2,

(4.35)

где £< (i = 1,

2, ..., 6)

являются

некратными

корнями следующего

характеристического

уравнения:

<*зз^1з^2зСв 4* (G23 (aX3 4* G13)2 xi -f- G13 (a23 +

G23)2 xjj — Gx3G23/43 —

<*33^ 23^1— <*33GX3/42I £? + ( G ^ A

4" Gl3/42A3 4~ о33ЛхЛ2 4~

4- 2 (oX24- Gu ) (aX3+

G13) (a23-f- G23) x 2x|j —

(4.36)

— (<*i3 4~ G13)2 4 2XI — a33(Oj2 4“

x ix2—

-

(aM 4- G03)2A3xl] £2 4- 4 3 Кац 4- G12)2

-

ЛЛ

1 = 0.

Коэффициенты

Cj°

(t =

1,

2,

6; j =

2t

3)

можно

определить из

(4.34) и

(4.35)

при

С',0

-

1.

Частные решения для кратных корней & определяются согласно аналитической теории дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Общее решение системы дифференциальных уравнений (4.32) пред-

	ставим в таком виде:
	«1 = S DiU{l)cos аххsin Элс2;			и2=		Д »(/) sin ах, cos p*s
								(4.37)
	«з =	X	Dfa>(0 sin axxsin P*2 (/$).
	Из соотношений (2.10)	на ненагруженных поверхностях х3 =						±А по­
	лучаем граничные условия:
	а зз |*,=±л — 0;		ol3|je,=±h — 0;			а23 |*1=±A =	0.	(4.38)
	Граничные условия при х1 — 0, а			и х2 =		0, b для «следящих» нагру­
	зок р w q принимают вид:
	С„ |х,=о.а =	0;	a12 |х,=о.а =		0;	°i3 к=о.а =	0;	(4.39)
	0*2 UJ= O,/J — 0;		о,22 |х,=о,ь =		0;	®23 |*,=0.6 =	0.

Для «мертвых» нагрузок р и q с учетом общих решений (4.37) имеем:

о „ к - . ,	=	0;	(ст1з	р	) |*1=в,оя	о;	и =	«
								(4.40)
q i	£	r	)	= 0 ; °г	г =	° ;	=	0.
							(а« - » - я в | X,=0,6
Подставляя			в граничные		условия	(4.38) общие решения		(4.37),

можно построить характеристическое'уравнение для определения кри­ тических нагрузок в случае ортотропной прямоугольной пластинки.

Для	трансверсально-изотропной					прямоугольной	пластинки
{ххОх3— плоскость изотропии) при р =						q можно построить общее ре­
шение через функции ¥ и X, которые удовлетворяют уравнениям (2.30).
Решения	уравнений		(2.30)	выберем в виде
	=	Amn sh -jT- *3cos аххcos fk2; у = V a 2 +					P2;
			a =	- ^ L ;	P = ^ L ;		(4.41)
	X =		ch -jr- x3+ Almnch - j - x^j sin axxsin P*2,
где величины		(t =	1, 2, 3) вычисляем по формулам (2.40) при
		^3 =	^1 = 1*	°П =	022 =	— р; . ст33 = 0.

Выбрав решения в виде (4.41), при хх = 0, а и х2 = 0, b получаем:

u2|x1=o.a =	0;	и3|х,=о.а =	0;	аи |х,=о.а = 0;	^
их|x,=o.f> =	0;	и3|х,=о.ь‘=	0;	<т22 |х,=о,& — 0.

Таким образом, на границе при хх = 0, а и хг — 0, b выполняются граничные условия шарнирного опирания в интегральном смысле, которые при переходе к тонкостенной пластине преобразуются точно в условия шарнирного опирания.

89

Подставляя в граничные условия (4.38) решения (4.41), получаем

трансцендентное» уравнение для			определения	критической		нагрузки
		d e t||M = 0	( /,/ = 1 ,2 ,3 ) ,			(4.43)
где
»П =	0;	»и ( Ы = [ 0зз	^ £ . ( _ £	_ - й )	+
		^13 — ^12 (Сз)'у	&21 ■= ---Р	!
				й ) - 1	] ;	( « 4 )
		^23 ~ ^22 Ы	^31------ а	»
^	=	Р		й ) -	. ] ;

&зэ = М С з): a> = yh.

Уравнения (4.43), (4.44) можно представить в более компактном виде:

Е> Сз	аи — Р
	°i3 + G
	X “"	Г	- г	а33	О п-Р	G	—	й) +
					ai3 + G	Дц — Р
	+ ^	l [ -	S	f ( -	^ - ^	) - 1l th i -		= a	<4-45>

Уравнение (4.45) совпадает по виду с характеристическим уравне" нием (4.19). при б = 1 для бесконечно длинной пластинки в случае плоской деформации в плоскости х3Ох3, если в (4.45) положить со = = л hll.

Определим критическую нагрузку для тонкостенной прямоугольной пластинки, т. е. когда со < 1. Для этого случая можно принять при­ ближенно, что

Из выражений (2.40) получаем
Дяз<<	у2 , *2 _	(Дц — Р) + G(G— р) — (а1я+ б)а
(<*п — р ) (G — р)	W + W -	' (fli, — Р) (G— р)
Используя предыдущие	соотношения, уравнение (4.45) с точностью'
до со4 можно преобразовать к такому виду:
а!з& (e„ + G) р +	a33G {(a13 + G) р \N - G(al3 + p)\ -
— 2 (G— p) [ai3N +		a33G(au — p)]\ +