книги / Трехмерная теория устойчивости стержней, пластин и оболочек

Алиментами для г £ [0, оо) можно построить в обобщенных степрннну рядах (2.55), (2.61), (2.62).

В общем случае, вводя переменную

х [г — R (1 +

^)jt решения в

области

| х 1 <

~

ищем в виде степенных рядов:

teO

ч , - 2 Д Г ,л

(2.68)

fr=0

'

'

Для

определения постоянных Л**\

Д*я) (ft =

2,

3, ...)

получаем

рекуррентные системы 2 (/г +

1) уравнений:

2 (а1г + рГ) Л ^ +

(2аи +

2р^' + rf*) Л Р +

[2 (я12 - а22__

—

— Р20)) — л (л 4* 1) (012 + Р20))1 Ло *+ л (л -f

1) (а12 _)_

4 “ ^ 12) Д Р

+

П(П+

1) (с 12--- а 22---- а 23---- ^12 ---- 2р?0)) £?{|П)

0;

- (аи 4- 0 12) л(,л) -

(а224- «гз +

2<?124- 2р£0)) Л(0л) 4.

4" 2 ((?„ 4* pi0))Дгп) 4-1(1 — л2 — л) (а224~ Рг *) —

—

— 2Gia -

р(20)1В{0п) 4- (2С1г 4- 2рГ 4* Л

Д!'4 =

0;

(flu 4- р{0)) (ft + D (k + 2) Aft* + /V H И ол),

Д р , . . .

. . . .

Л*+ь Д $ 0

= 0;

(2.69)

(Ом 4- р{0)) (Л 4-

1) (* 4- 2) Д $ 2 4- & -н ( 4 Л),

Д(оя), . . .

где

. . . .

A{k%u B $ i) = О,

р Г =

р Г

(Я, Р) = aiR^dn 4- М Г 11* #

(i -

1. 2);

</,т) = pim) а , p) =

a1tf4cf_l,m—&1P^~ed,ie+"'n,

c£> и

— лг-е коэффициенты

в разложениях по степеням

соответ­

ственно выражений

(1 4- х)х и (1 + х)-р .

Коэффициенты

Л 0, Л1( В0,

— произвольные постоянные. Если

постоянные Л*1’ и В[п) определяем по формулам (2.68), то находим част­

ные решения uSl\	и® (i = 1, 2, 3, 4). Общее решение уравнений (2.65)
имеет вид
и ,= £	DtttfPn (cos 0); «в = £ Dd'P'n (cos 0) sin 0.	(2.70)
1=1	«=.1

Если запишем соответствующие граничные условия и подставим в них общие решения (2.70), то получим систему четырех однородных линейных уравнений для постоянных Dt. Приравняв к нулю ее опре­ делитель, найдем характеристическое уравнение, определяющее би­ фуркационное значение параметра нагрузки, минимальное значение которого находится выбором числа узлов л искомой формы равновесия при заданных геометрических параметрах оболочки.

В последующих главах при решении конкретных задач будут при­ менены общие решения (§ 14) и решения в рядах.

61

§ 16. Метод конечных разностей

Рассмотрим применение к решению трехмерных линеаризирован­ ных статических уравнений конечно-разностного подхода [78]. Уп­ ругое тело будем считать прямоугольно-ортотропным, а направления ортотропии — совпадающими с осями Охг, Ох2, 0хд декартовой систе­ мы координат. Ниже будем рассматривать второй вариант теории ма­ лых начальных деформаций (§ 14). При изложенной постановке для определения компонентов докритического состояния необходимо в об­ ласти D (D = D ^ 5) найти решение уравнений теории упругости:

	oLs =		F°m		(2.71)
при следующих условиях на границе S:
	NiOQim\st = fm\		Umk =	4',°„.	(2.72)
Здесь F° =	(F°i, F°2, F§ — вектор	объемных		сил;
N =	(Nlt N2, N3) — вектор	внешней		нормали к	поверхности
	тела;
	- вектор	поверхностных сил;
V = OF?, V2, т5) — вектор упругих			смещений, заданный на части 53

поверхности S. Компоненты о?/ докритического состояния определя­ ются по формулам (2.37), в которых производные от перемещений сле­ дует писать с индексом 0.

В результате решения задачи (2.71), (2.72) определим компоненты

напряжения а°( докритического состояния, а также интенсивность начальной нагрузки р° на границе упругого тела. Предполагая, что внешние нагрузки пропорциональны некоторому параметру р, в компо­

нентах тензора {о0} выделим множитель р. При этом введем	тензор
{(о0)'}:
< 4 = Р (<&•)'.	(2.73)

Подставляя соотношения (2.37), (2.73) в уравнения (2.8), (2.10), све­

дем задачу устойчивости к решению линеаризированных			уравнений:
	= 0		(2.74)
при следующих условиях на границе:
N i (olm +	pOtoUm.„) Is, = 0;	um |s, = 0,	(2.75)
где
= a"4	d*n£*l	^ ~ 6'm) G/mS/m	+
	+ p - k { ^ 4 r ) -		<2-76)

Для решения задач (2.71), (2.72) и (2.74) ...(2.76) методом конечных разностей в области, занятой упругим телом, введем разностную (на­ пример, равномерную по каждому из направлений) сетку ©л, на ко­ торой дифференциальным задачам (2.71), (2.72) и (2.74), (2.75) поставим

62

в соответствие разностные задачи:
Ау = Ь	(2.77)
Аг = pBz,	(2.78)

представляющие собой соответственно систему линейных алгебраиче­ ских уравнений и алгебраическую задачу на собственные значения. Характерной особенностью рассматриваемых систем алгебраических уравнений является их высокий порядок. Чтобы получить решения задач (2.71), (2.72) и (2.74), (2.75) с достаточной для практики точностью, необходимо область, в которой находится решение этих задач, покрыть сеткой в 103...104 узлов. Поэтому системы уравнений (2.77) и (2.78) будут иметь высокий порядок, что затрудняет возможность при­ менения прямых методов их решения. Обычно решение подобных си­ стем осуществляется интерационными методами.

Вначале рассмотрим решение системы линейных алгебраических уравнений (2.77), являющейся разностным аналогом дифференциаль­ ной задачи (2.71), (2.72) определения докритического напряженного состояния. Известно (ПО), что оператор, соответствующий задаче (2.71), (2.72), является самосопряженным и положительно опреде­ ленным. Применяя, например, вариационно-разностный способ по­ строения разностных схем, можно строить различные разностные схе­ мы так, что разностный оператор А задачи (2.77) будет сохранять свой­ ства оператора дифференциальной задачи. Поэтому в дальнейшем будем считать оператор А самосопряженным и положительно-опре­ деленным, т. е.

А = А* > 0.

(2.79)

Свойства оператора А позволяют применять к решению задачи (2.77) быстросходящиеся итерационные процессы. Здесь для опреде­ ления компонентов докритического состояния используем двухшаго­

вый метод, который можно описать так [121]:
у"+' = т т 1 г У'~' +	т т к г № + Р ~ АУ*)	(2.80)
( Л -	1, 2, ...) .

Параметры сходимости т и х определяем из выражений:

		х	А + б	(2.81)
	Удб *		4

где б, Д — границы спектра оператора А.

Процесс сходится при любом начальном приближении со скоростью геометрической прогрессии, знаменатель которой

УЕ=Ь

Р/ д + б *

Реализация процесса осуществляется следующим образом: определя­ ют экстремальные собственные числа оператора А (обычно приближен-

63

ным способом находят их оценки); задают произвольным образом на-

чальные значения (у° и у1) вектора у на нулевой и первой итерации; по формуле (2.80) определяют последующие приближения искомого вектора.

Процесс заканчивают обычно при выполнении одного из условий:

max | yk+l — ук| < ei; шах \F — Ayk\< е2,

где elf е2 полагают равными 1СР5 ... 10-6 .

Рассмотрим решение задачи (2.78). Она представляет собой алгеб­ раическую обобщенную задачу на собственные значения. Разностный оператор В имеет в качестве переменных коэффициентов компоненты докритического напряженного состояния, которые в общем случае могут быть произвольными функциями координат. Поэтому задача (2.78) не является полностью определенной задачей на собственные значения [110]. Вариационно-разностным способом можно построить такие разностные схемы, в которых оператор В будет самосопряжен­ ным. (Наличие аналогичного свойства у соответствующего дифферен­ циального оператора показано в работе [69]). Поэтому в дальнейшем будем считать оператор В самосопряженным, т. е. В = В*.

Для определения ркр необходимо отыскать минимальное по модулю собственное число задачи (2.78). Эту задачу можно решить, используя

итерационный процесс		[78]:
	z* = zk 14-		(k =	1, 2, . . .) ;
		т = Azk— р/Дг*;		(2.82)
		^	(&*, **) ’
Здесь г \	р*. а* — соответственно значения			на k-й итерации вектора
невязки,	приближения	собственного числа		и параметра сходимости;

(у, z) — скалярное произведение векторов у и г.

Итерационный процесс позволяет определить максимальное и ми­ нимальное собственные значения задачи (2.78). Эта возможность обес­

печивается выбором	параметра		сходимости a ft, определяемого	по фор­
муле
,* d_	V s ± У	f t . 'б)а + 4 /Л		(2.83)
1,2			2 ( ^ - а д
где	= (rk,	rk); t2 = {Azk, r k);
ts = {Brk— pMr*. t*)\			t4 = (Ark, r*); ta= (Azk, zk).

Для сходимости к минимальному собственному числу на каждой ите­ рации выбирают такой параметр а [формулы (2.83)], который обеспе­ чивает выполнение неравенства f (a) < 0, где

	/ И	2Ш1+	a ft	(2.84)
		ts+ 2о/2 4- o?t4

Для обеспечения сходимости к максимальному собственному числу задачи (2.78) выбирают такой параметр а, который после подстановки

64

в '(2.84) обеспечивает получение неравенства /(а ) > 0. Чтобы приме­ нить описанный итерационный процесс к нахождению минимального

по модулю числа задачи (2.78), достаточно записать	(2.78) в виде
Вг= цАг; рц= 1,	(2.85)
тогда

где ц,, (.1/V— экстремальные собственные числа задачи (2.85).

§ 17. Метод дискретной ортогонализации

В § 15 для ортотропных тел исходя из вида граничных условий после неполного разделения переменных основные трехмерные линеари­ зированные уравнения (1.47) или (2.8) приводятся к системе обыкно­ венных дифференциальных уравнений с переменными коэффициен­ тами. Для решения полученных систем обыкновенных дифференци­ альных уравнений там же изложены методы степенных и обобщенных степенных рядов. При некоторых видах внешней нагрузки и условий закрепления на торцах оболочки или пластины (условия шарнирного опирания в интегральном смысле) основные уравнения и граничные условия в частных производных можно свести к системе обыкновен­ ных дифференциальных уравнений в нормальной форме Коши с оп­ ределенными условиями на границе.

Пусть краевая задача (2.8), (2.10) сведена к системе обыкновенных дифференциальных уравнений в нормальной форме Коши вида

- § - = A(r)y + J(r)			(r0< г <	RN)	(2.86)
с граничными условиями:
	В1у(г0) = Ь1;				(2.87)
	в	. г у { =&г ы2.			(2.88)
где у — {ух, У2,	Уп) — неизвестный		вектор;	я; f —вектор	правой
А — заданная	квадратная	матрица	порядка

части;

и В2 — соответственно заданные прямоугольные матрицы поряд­

ков (k	х п) и (п — k)	х п (k < п);
bj,	Ьй — заданные	векторы.

Для решения краевой задачи (2.86)... (2.88) применим метод дискрет­ ной ортогонализации [39], позволяющий (ввиду ортогонализации век­ торов — решений задач Коши в конечном числе точек интервала из­ менения аргумента) получить устойчивый вычислительный процесс. Перейдем к изложению метода и приведем расчетные формулы 143].

Рассмотрим более общую краевую задачу для системы уравнений (2.86), т. е. предположим, что в ряде точек г, £ [/•„, rN] могут быть

3

410

65

заданы дополнительные условия на искомую функцию у (г):

		у+ (п) =			Р&- (п) +	gh		(2.89)
где Р( — неособенная квадратная матрица						порядка п:
& — п — мерный вектор.
Решение краевой задачи (2.86)...(2.88) найдем в виде
		у (D =	I	С£, (г) + ут+>(г),				(2.90)
где уj — решения задачи			Коши		для системы уравнений		(2.86)		при
f — О с начальными		условиями,			удовлетворяющими граничным				усло­
виям	(2.87) при bt =	0;
i/m+i — решение задачи			Коши для системы (2.86) с начальными
условиями, удовлетворяющими				условиям (2.87); т = п — к — число
граничных условий на правом конце интервала интегрирования.
Разобьем весь интервал [г0, гы) на N участков точками							rt	(1 = 0,
1,	N). Среди этих точек выберем точки					ортогонализации		R{	(i =

= 0, 1, .... М). Пусть в точке Я,- каким-либо численным методом най­

дены решения задач

Коши,

которые обозначим

через и$ (Rt)

(s =

1,

2, ..., т -f 1). Предполагая, что в точке Rt заданы условия

(2.89),

рассмотрим векторы

u f (Я,):

т

=

(*<)

(s =

1,

2 ,

. . . ,

m );

& g j)

Й + , (Rl) = PlUm+l (Rt) +~gu

где щ ,

иТ, ..., Um — решения однородных

задач

Коши;

Um+\ — ре­

шение неоднородных задач

Коши.

в точке Rt следующие

Таким образом, до ортогонализации имеем

векторы:

u f (/?,), u t

(Rt), ...;

u t

(Ri),

u f+1 (#*).

Проортонормируем

векторы

u t (Rt) (/ =

1, 2, ..., m) в точке Rt и

обозначим

их

соответ­

ственно через zt (Rt),

z2 (Я<), ..., zm (Rt). Векторы

zt

выражаются

че­

рез векторы u t следующим

образом:

~z$ =

— £

(HsiZtj

(S =

1,

2............m),

(2.92)

©5/ = (uf, z,)

(j <

$);

- ]

/

(Zt, ; t ) - s ' o

Вектор гт+ , не нормируется. Его можно получить, вычитая из вектора uf+i его проекцию в пространство из векторов г1э г2, ..., zm:

Zm+, = Um+l — S ©'TH-1,/2/.

(2.93)

66

Конкретные формулы ортогонализании нр„ , =

^

получим из «ара-

жений (2.92) и

(2.93):

«11 - Г

(u,

,

u i h b -

—

,

= ( u t , *i):

®»

V

(ut* u t) —©2i;

г2 = -J - («2+ —©21^);

%1 =

Й ",г.> ;

« - “

/ й

- . г л — А — *

7 , =

j

-

(из+

— ©3)21 — © 8 2 ^);

“ 83

, . .

(2.94)

— ©miZ, — <йтчЦ—

— (От,т-1г« -0 ;

COm +l,l

=

Й

+ i,

z0 ;

©m+1.2 -

(«m +l,

*0 -

* * * »

OJm+l.m = («m +l.

2j ;

J . +

, =

Й

+1 -

© m + 1,.2, -

»A

---------------------C0« + I.m 2m,

Выражения (2.94) представим в матричном виде

•

u

t

(Ri)

1

1

2 i

( ^ . )

u t

(Rt)

2,{Rt)

(2.95)

« Q |

•

u t (Ri)

1Й +1 (Rd

1Zm+l (R i)

|© a (Rd

0

0

©22 (R0

I ©21 (R0

Q._ I©31 (R d

©82 (Ri)

©33 (&)

( * * ,( /? ,)

©m2 (Ri)

©m3 (A)

. . . ©m.m- 1 № )

©•«* <*<)

0

L m + 11(/?0

©m+1.2 (Ri)

©m+1.3 (Ri) •••

©m+J.m- 1

(#«) ©m+l.m (Я<) 1 ||

(2.96)

Векторы

1

являются начальными значениями задач' К°™ *ля

родной (s =

1,

2, .... т) и

неоднородной

(* “

« + ] )

£истем

диФФе'

ренциальных

уравнений

(2.86) в интервале Rt < r ^

R,+,.

Решение системы уравнений (2.86). удовлетворяющее граничным

условиям

(2.87), в каждой точке ортогонализации Rt можно записать

4*

после ортогонализации в виде
y(Ri) = £ ^ zi	+2,п+|	(2.97)

Решение системы (2.86) в интервале /?£ < г <; Rt+t можно представить

в	виде
	J ( n - v <№,(?>+ ъ~н(')-	<2-98)
	После выполнения интегрирования на последнем	участке RM~I <
<	г < RM и ортогонализации в точке RM по формуле (2.97) имеем

у	Ш = Е С \ М	( ) RгM ), + z*+. (Дм).	(2-99)
Удовлетворяя граничным условиям		(2.88), т. е. подставляя	(2.99) в

(2.88), получаем систему т линейных алгебраических уравнений от­

носительно неизвестных C f '( /= 1. 2, ..., m). Из условия нетривиальности решения полученной системы можно получить характеристи­ ческий определитель m-го порядка для определения критической на­ грузки.

§ 18. Вариационные методы

Динамические задачи устойчивости и статические задачи при ди­ намическом методе исследования сжимаемых и несжимаемых тел (гла­ ва 1) в общем случае представляют собой несамосопряженные краевые задачи на собственные значения. Непосредственный анализ собствен­ ных значений этих задач удается провести до конца лишь в самых прос­ тейших случаях. Поэтому важное место занимают приближенные под­ ходы решения указанных задач. Одним из эффективных приближенных методов является метод, основанный на представлении компонентов вектора смещения в виде рядов по системе координатных функций, удовлетворяющих всем или части граничных условий. Используя ме­ тод Бубнова — Галеркина, несамосопряженные краевые задачи типа (1.49), (1.50) можно свести к системам обыкновенных дифференциаль­ ных уравнений. Для статических задач при статическом методе ис­ следования (подход Эйлера) приходим к бесконечной системе алгеб­ раических уравнений.

Рассмотрим применение метода Бубнова — Галеркина на примере сжимаемого упругого тела [281. Представим функции ит в виде ряда

“m= f a	Фтл (*1, *2. *з)	(2-ЮО)
(т = 1, 2, 3;	п = I, 2, . . . ,	то).

Будем предполагать, что система функций qw, (хь х2, х3) является полной и удовлетворяет условиям (1.26). В качестве полной системы функций qw, (*i, хг, х3), удовлетворяющей указанным условиям, можно выбрать, например, собственные функции свободных малых колебаний ненагруженного тела.

Уравнения метода Бубнова — Галеркииа запишем в виде

J l(fW 0M a.eb + х т — Рит\бumdV — | (N<(ojmapua>p — P J 6umdS = 0.

(2. 101)

Подставляя выражения (2.100) [при этом учитывая представления возмущений объемных поверхностных сил в виде (1. 122)] в уравнения (2. 101) и приравнивая к нулю множитель при бfp с помощью формулы Гаусса — Остроградского, после преобразований получаем бесконеч­ ную систему обыкновенных дифференциальных уравнений [69]:

Caifi -f Anifj +		Bn,h =	0	(я.	/ = 1, 2, . . . , оо),
где
C v = р j ф/ияф/п/^У;	Ап/= — |		4>mnM{ma<pajdV — J			фтЛП ^ ф а/^5;
•^п/ ~	Г	П		г	S'	(2.102)
	\ tfmnMmafpajdV			J	фямПщд (paydS -f-

+j" N(Ш/таРфа/.рфтл^ — j (<^та0фа/.рЬ tymndV =

=— j фтл^Ишафа/^ — j ф/ллПтафа/dS + j й)/тарфа/1рфтл1|Л Г.

Для статических задач при динамическом методе исследования и при подходе Эйлера система уравнений (2.102) имеет соответственно вид:

Cnif, + Bn/fj = 0; BnifI = 0.

Если возмущения объемных и поверхностных сил не зависят от возмущений перемещений при исследовании динамических и стати­ ческих задач как в случае однородных, так и неоднородных докритических малых деформаций, то непосредственно можно использовать сформулированные в § 8. 9 вариационные принципы. В монографии [75] рассмотрено применение вариационных принципов к исследова­ нию задач устойчивости горных выработок.

ГЛАВА 3. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАСТИН, СТЕРЖНЕЙ

	И ОБОЛОЧЕК ПРИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ
	НЕЛИНЕЙНОМ ДОКРИТИЧЕСКОМ СОСТОЯНИИ
	§ 19. Длинные пластины
	Рассмотрим устойчивость бесконечно длинной в на­
правлении	Ох2 пластины толщиной 2А (—А < ха < А) и шириной
I (0 < JC, <	/), нагруженной вдоль оси Oxt. Границы полосы х3 = ± А

предполагаем ненагруженными (а« = 0). В этом случае граничные

условия при x3 = ± h получаем	из	соотношений	(2.6),	(2.17), (2:35)
(2,42):
|й1з(G,s + o W 2)	°эзС13-Щ -j -§£-			=	О*.
|«г!,ЯГ2 - аи) - £ г +	“зз	- £ г Х[	_ 1В =	°'

Решения уравнения (2.43) при вещественных £? Ф Сз выберем в

виде ■
X = [4, ехр у ^ з + В, exp (— vCi*3) + 4	exp у ^ х 3-|-
+ В2ёхр (— у Ы ] COS yxi, у =	.	(3.2)

Из выражений (2.42), (2.35), (2.44) и (3.2) для рассматриваемого слу­

чая плоской.деформации следует,	что при хх =	0, I имеют место ра­
венства:
ц3 = 0;	Р, = 0.	(3.3)

Таким образом, на торцах пластины при xt = 0, I выполняются в интегральном смысле условия шарнирного опирания.

Подставляя решения (3.2) в граничные условия (3.1), получаем характеристический определитель, который распадается на произве­ дение двух определителей. Первый определитель соответствует изгибной форме потери устойчивости в случае четных перемещений и3 по х3, а второй — симметричной форме потери устойчивости (и3 — нечетная функция по х3). В результате обычных преобразований характеристи­ ческие определители для указанных случаев можно представить в виде

	det Цоб//1| = 0	( / , / = 1 , 2 ) .					(3.4)
Здесь введены	следующие обозначения:
для изгибной формы потери устойчивости
« и (Ci) = Ci (G 33£I 4~ G13 —		« n t a	) c h а £ г; а 12 =		а и	(£ 3);
a 2i (Ci) = (Оэз^хэС? +		fli3G13 + л13(Т11^ з 2) sh					(3.5)
	«гг = «21 (Сз):		« = yh\
для симметричной формы потери устойчивости
«и (Ci) ^ Ci (Я33С1 4- &1з — п ц Х з			) sh а ^ ;	=	а п (£3);		^ ^
«2 1 (Ci) “	(а з з ^ 1зС1 4 - а 1з ^ 1з 4 " Й130 цА.з ) c h а ^ ;			а 22 =		а 21 (£ 3) .
Постоянные а£/ и Gl3 определяются по формулам				(2.36),		а величины
Ci H ' Сз— по	формулам (2.43).	Компоненты докритического					состоя­
ния определяются из выражений		(2.35).

Исследуем устойчивость полосы, нагруженной в двух направлени­ я х ' ^ Ф 0; 0зз ф 0). Из выражений (2.17), (2.35), (2.42) и (2.44) по­

70