книги / Нелинейные задачи динамики цилиндрических композитных оболочек
..pdfтов теории с точки зрения учета тех или иных малых членов, но и сформулировать доступные для практической проверки при ре шении конкретных задач критерии применимости полученного в
конечном итоге простейшего варианта уравнений движения обо лочки. Наряду с уравнениями нелинейной теории, учитывающей деформации поперечных сдвигов, выведены уравнения, основан ные на модели Кирхгофа—Лява. Особое внимание уделено нели нейным уравнениям технической теории ортотропных оболочек. Получены также соответствующие варианты линеаризованных
уравнений.
Во второй главе на основе общих уравнений, приведенных в главе 1, получены нелинейные и линеаризованные уравнения дви жения ортотропных цилиндрических оболочек. Помимо уравнений, соответствующих моделям Кирхгофа—Лява и Тимошенко в сово купности с допущениями технической теории, рассмотрены лине аризованные уравнения более общего вида. При их выводе исполь зован известный подход, впервые примененный в работах В. Флюгге. Вторая глава содержит все исходные уравнения движения обо лочки, используемые в последующих главах.
В третьей главе рассмотрены задачи собственных колебаний свободно опертых ортотропных цилиндрических оболочек. Полу чены выражения для частоты собственных колебаний, а также критических статических нагрузок на основе различных вариантов теории. Проведены аналитическое исследование этих выражений в различных предельных случаях и их сравнение с соответствую щими формулами технической теории. Приведены результаты чис ленных расчетов, иллюстрирующие зависимость погрешности, вно симой допущениями технической теории в значения собственных частот, от соотношений между геометрическими параметрами обо лочки при различных формах колебаний. Для различных форм колебаний исследуются зависимости относительной поправки, вно симой в значения частот учетом поперечных сдвигов, от соотно шений между радиусом оболочки и толщиной, между модулем сдвига в плоскости слоя и модулями поперечных сдвигов. Пред ставлено также подробное количественное исследование эффек
тов, связанных с учетом тангенциальных инерционных членов и инерции вращения.
В результате проведенных в третьей главе исследований полу чены всесторонние количественные оценки пределов применимости уравнений технической теории ортотропных цилиндрических обо лочек, основанной на модели Кирхгофа—Лява. Эти уравнения ис пользуются в последующих главах для решения нелинейных за дач динамики цилиндрических оболочек.
Четвертая глава посвящена решению задач о параметричес ких колебаниях упругих и вязкоупругих ортотропных цилиндри ческих оболочек. На основе линеаризованных уравнений движе ния выведены уравнения границ главных областей динамической
неустойчивости. При этом учитываются деформации поперечных ■сдвигов и предполагается, что материал обладает вязкоупругими свойствами при сдвиговом деформировании. Расчет спектра об ластей динамической неустойчивости является необходимым пред
варительным этапом для решения задачи о параметрических ко лебаниях с учетом геометрической нелинейности.
Суть излагаемого далее подхода к расчету нелинейных пара метрических колебаний состоит в предварительном разделении ре зонансных и нерезонансных режимов и выборе исходной аппрок симации прогиба исходя из того, какие пространственные формы колебаний являются резонансными для заданных параметров виб рационной нагрузки. На основе этого подхода можно рассчитать
напряженно-деформированное состояние оболочки, возникающее в любом режиме параметрического резонанса. Проведено исследо
вание характерных особенностей развития во времени прогиба и напряжений, в том числе и при параметрах нагрузки, соответствую
щих пересечению нескольких областей динамической неустойчи вости. Иллюстрируются возможности управления начальными
участками спектров областей динамической неустойчивости волок нисто-слоистых цилиндрических оболочек и приводятся некоторые примеры решения задач оптимального проектирования при физи ческих ограничениях, характерных для работы оболочки в режиме
параметрического резонанса.
В пятой главе исследованы задачи импульсного нагружения ортотропных цилиндрических оболочек. В геометрически нелиней ной постановке, с использованием продольной схемы метода пря мых, для разнообразных граничных условий получено решение за дачи осесимметричного деформирования оболочки, нагруженной импульсом продольного сжатия. Рассматривается влияние на про цесс деформирования осесимметричных начальных несовершенств. Проводится сравнение теоретических и экспериментальных ре зультатов. Для того же вида нагружения рассматривается реше ние задачи деформирования оболочки, имеющей неосеснмметричные начальные несовершенства. Применяются метод Бубнова— Галеркина по окружной координате и метод конечных разностей по осевой координате. Исследуется влияние условий закрепления
торцов и вида функции начального прогиба на взаимодействие про цессов осесимметричного и неосесимметрнчного выпучивания. По лучено также решение задач неосесимметричного динамического выпучивания в пренебрежении продольной инерцией оболочки. При этом по обеим пространственным переменным используется метод Бубнова—Галеркина. Изучен эффект взаимосвязанности окружных форм выпучивания при нагружении оболочки импуль сами продольного сжатия или внешнего давления. Сопоставление результатов решения задачи неосесимметрнчного динамического выпучивания оболочки при осевом сжатии, полученных согласно
двум рассмотренным выше подходам, позволило сформулировать
условие применимости суперпозиции осесимметричной и неосесим метричной составляющих при расчете характеристик напряженно-
деформированного состояния оболочки.
Шестая глава, базирующаяся на методах расчета и результа тах, изложенных в главе 5, посвящена исследованию начального разрушения и процессов послойного разрушения в цилиндрических оболочках из слоисто-волокнистых композитов при импульсных нагрузках (осевом сжатии, внешнем давлении). Первая задача формулируется следующим образом: для заданных прочностных характеристик ортотропного материала монослоя определить вели чину нагрузки (импульса), при которой хотя бы в одной точке оболочки нарушается условие прочности. В результате ее решения находится первое предельное значение нагрузки (импульса), иден тифицируется форма начального разрушения в слое и устанавли вается местоположение зоны начального разрушения. Кроме того,, проводится анализ величин, которых достигают поперечные и меж слойные напряжения в оболочке в момент начального разрушения от напряжений, действующих в плоскости слоя. Решение второй задачи — расчета процесса послойного разрушения оболочки после момента начального разрушения — основывается на модели редуцированных жесткостей. Оно дает возможность получить вто рое предельное значение нагрузки (импульса), в большей степени соответствующее полному исчерпанию оболочкой несущей способ ности. В результате анализа большого объема численных данных сформулированы практические выводы относительно выбора структур многослойных оболочек, обеспечивающих наилучшую со противляемость динамическим сжимающим нагрузкам.
Изложенный в монографии общий подход позволяет, таким об разом, в комплексе исследовать процессы деформирования, дина мического выпучивания и послойного разрушения цилиндрических оболочек из волокнистых композитов. По всем описанным алго ритмам разработаны пакеты прикладных программ, предназна ченных для использования на ЕС ЭВМ.
Автор считает своим приятным долгом выразить благодар ность чл.-кор. АН ЛатвСССР В. П. Тамужу за постоянное внима ние к работе. Значительный вклад в подготовку материалов для монографии внес канд. физ.-мат. наук С. П. Юшанов. Автор бла годарен Л. Л. Волгиной, взявшей на себя труд по техническому оформлению рукописи.
ГЛАВА 1
О с н о в н ы е у р а в н е н и я н е л и н е й н о й т е о р и и
т о н к и х о р т о т р о п н ы х о б о л о ч е к в о р т о г о н а л ь н ы х к р и в о л и н е й н ы х к о о р д и н а т а х
Выведена система уравнений, описывающих в геометрически нелинейной по становке деформирование тонкостенной орУотропной оболочки в предположении
линейно-упругого поведения материала. При построении всех фрагментов тео рии последовательно используются уравнения и формулы нелинейной теории упругости в ортогональных криволинейных координатах. Такой подход позво
ляет сформулировать единуюсистему допущений, на основе которых проводится оценка порядка малости тех или иных членов в соотношениях между деформа циями и перемещениями, в уравнениях равновесия, в формулах обобщенного
закона Гука.
Из общих выражений получены уравнения нелинейной технической теории (теории пологих оболочек). Параллельно с вариантом уравнений, учитываю щих деформации поперечных сдвигов, рассматривается вариант, соответствую щий модели Кирхгофа—ява. Из общих нелинейных уравнений выведены ли неаризованные уравнения устойчивости. Все окончательные результаты запи саны относительно исходной иедеформированной системы координат.
Линейная теория однородных изотропных оболочек, начало ко торой положили работы Арона и Лява, в 30—40-е гг. была предме том многочисленных и разнообразных исследований отечествен
ных и зарубежных ученых. Подробный обзор и оценка достижений советских механиков в разработке классической теории оболочек даны в статье В. В. Новожилова [211]. Отмечено, что фундамен тальное значение для этих исследований имели более ранние ра боты Б. Г. Галеркина, П. Ф. Папковича, Ю. А. Шиманского, С. П. Тимошенко. В частности, Б. Г. Галеркиным был разработан оригинальный метод, заключавшийся в получении всех формул
теории оболочек из общих уравнений теории упругости. Он имел огромное значение с точки зрения построения математически по следовательной линейной теории тонких оболочек и широко ис пользовался в работах А. И. Лурье, В. 3. Власова, А. Л. Гольден
вейзера, В. В. Новожилова, X. М. Муштари. Впервые этим путем: вывел уравнения теории тонких оболочек А. И. Лурье [181]. Ос новные принципы, заложенные этими учеными в линейную теориюоднородных изотропных оболочек, послужили методологической основой для построения уточненных теорий, теорий анизотропных и многослойных оболочек. Они имеют фундаментальное значение для построения нелинейных теорий оболочек.
По теории анизотропных оболочек первое исследование, по-ви
димому, было выполнено И. Я- Штаерманом [269]. В 30-е годы Флюгге, Дшоу, Тейлор, X. М. Муштари проводили расчеты на ус тойчивость конструктивно-ортотропных оболочек. Однако по-нас
тоящему глубокое развитие теория анизотропных оболочек полу чила в работах С. А. Амбарцумяна [15—18]. Как отмечено в [22]г эти исследования представляли собой симбиоз классической тео рии изотропных оболочек (в частности, теории пологих оболочек
B.3. Власова [94]) и теории анизотропных слоистых пластинок
C.Г. Лехницкого [179, 180]. В [15] получены уравнения для «весьма пологой» (в терминологии В. 3. Власова) однородной по толщине оболочки. В [16, 17] предложена теория «весьма пологих» многослойных оболочек с симметричной по толщине ук
ладкой слоев. В [18] впервые изложена теория многослойных ортотропных оболочек с произвольной укладкой слоев по толщине. Следует добавить, что в 1953 г. была опубликована также работа Э. И. Григолюка [132] по теории биметаллических (изотропных двухслойных) оболочек, где установлены эффекты, аналогичные рассмотренным в [18]. Дальнейшие исследования С. А. Амбарцу мяна [19, 20] были посвящены уточненным теориям анизотроп ных и слоистых оболочек. Особо отметим работу [20], в которой изложена уточненная теория анизотропной оболочки, основанная на априорном задании параболического распределения попереч ных касательных напряжений по толщине (теория получила до статочно широкое распространение в задачахизгиба,устойчивости и колебаний).
Развитию теории слоистых оболочек посвящены работы Э. И. Григолюка и П. П. Чулкова [140—142], где рассмотрены как трехслойные, так и общего вида многослойные оболочки, в том числе вязкоупругие. При этом кинематические гипотезы принима лись для каждого отдельного слоя. Один из вариантов, получив ший наибольшее распространение, основан на модели «ломаной линии», введенной Э. И. Григолюком для трехслойных оболочек
(1957—1958 гг.). Подробный анализ работ этого направления дан в обзорной статье [136].
Для построения теории оболочек регулярной по толщине струк туры В. В. Болотин применил прием «энергетического размазыва ния» [76]. Для несущих слоев использовались гипотезы Кирх
гофа—Лява, а связующие слои рассматривались как мягкие, сжи маемые заполнители.
За последние 20 лет опубликовано огромное число работ (оте чественных и зарубежных) по линейной теории анизотропных и многослойных оболочек. В них использовались принципы и методы,, заложенные в работах С. А. Амбарцумяна, Э. И. Григолюка,. В. В. Болотина, а также основные идеи построения уточненных вариантов теории однородных изотропных оболочек. Этим иссле дованиям посвящены, в частности, монографии [24, 143, 173], об зорные статьи [115, 136, 138, 154].
Фундаментальные принципы и положения, выработанные в линейной механике оболочек (выбор исходных аппроксимаций не известных функций по толщине; согласование точности всех эле ментов теории как между собой, так и с точностью исходных ап проксимаций; методы вывода уравнений равновесия и соотноше ний упругости; возможность введения функций напряжений и ис пользование уравнений равновесия в смешанной форме), послужили методологической обновой при разработке нелинейной теории.
Первые результаты по теории конечных перемещений тонко стенных упругих оболочек получены в работах Лява, С. П. Тимо шенко, Саусвелла. fto1детальная теоретическая разработка геомет рически нелинейной теории началась с исследований X. М. Муштари [193], получившего основные соотношения нелинейной теории тонких ортотропных оболочек в предположении, что переме щения точек срединной поверхности, сравнимые с толщиной, малы по сравнению с другими характерными размерами оболочки. В по следующих работах X. М. Муштари построил более общую нели нейную теорию, справедливую при произвольных изгибах средин ной поверхности, провел качественное исследование напряженного состояния оболочки при малых деформациях и произвольных пе ремещениях, предложил строгую классификацию задач нелиней ной теории оболочек. В работах [194, 195] он получил (с позиций геометрически нелинейной теории) основные уравнения для обо лочек, обладающих произвольными полями начальных напряже ний и начальных геометрических несовершенств.
Крупный вклад в нелинейную теорию оболочек внес К. 3. Гали мов. На основе общих уравнений нелинейной теории упругости он получил тензорную форму уравнений равновесия нелинейной тео рии оболочек, в общем виде сформулировал статические граничные условия для случая конечных деформаций, применил вариацион ные методы к задачам нелинейной теории оболочек.
Геометрически нелинейная теория оболочек, основанная на ги потезах Кирхгофа—Лява, изложена X. М. Муштари, К. 3. Гали мовым в монографии [196], оказавшей большое влияние на все последующие исследования в этой области. Фундаментальное зна чение для разработки геометрически нелинейной теории оболочек имели результаты, полученные В. В. Новожиловым [208], изло жившим общий подход к проблеме деформации гибких тел (тонких стержней, пластин и оболочек). На основе нелинейной теории
упругости в [208] были выведены уравнения тонких оболочек в
ортогональных координатах.
Исследования по нелинейной теории оболочек проводили од новременно А. И. Лурье, В. 3. Власов, Ю. Н. Работнов, Н. А. Алумяэ. Зарубежные авторы до начала 60-х гг. не уделяли большого внимания нелинейной теории оболочек, хотя ими и были опубли кованы отдельные важные результаты. Так, Доннел [311, 312] по лучил нелинейные уравнения среднего изгиба цилиндрической обо лочки, обобщенные затем Маргерром [371] на случай пологих оболочек произвольной кривизны. Эти уравнения в настоящее время являются классическими в теории пологих оболочек. Сле дует отметить также оригинальные исследования Ченя [302] по общей нелинейной теории оболочек.
Классическое направление нелинейной теории однородных изо тропных оболочек, основанное на модели Кирхгофа—Лява, полу чило дальнейшее развитие в работах Церны [465], Нагдн [387, 389], Сандерса [413], Койтера [360], В. М. Даревского [148], Л. И. Шкутина [265], Л. А. Шаповалова [260—262], Э. И. Григо-
люка и В. И. Мамая [137], В. В. Кабанова [160, 161], а также в [362, 363, 391, 397, 398, 445, 447].
Нелинейная теория оболочек, основанная на кинематической модели Тимошенко, впервые была изложена в тензорном виде в работе Л. Я. Айнолы [9]. Наиболее глубоко и полно этот вариант уточненной нелинейной теории оболочек разработан К. 3. Галимо вым. В монографиях [113, 114] дано его подробное изложение в тензорной форме. Вариант нелинейной теории анизотропных обо лочек с учетом поперечных сдвигов получен В. Е. Спиро [232, 233]. В связи с разработкой уточненных вариантов нелинейной теории •оболочек отметим также статью Л. И. Шкутина [266] и исследо вания Н. П. Семенюка [92].
Сравнительно небольшое число работ посвящено нелинейной -теории слоистых оболочек. Среди первых — проведенное в [25] обобщение линейной теории [19] на случай учета квадратичных по прогибу членов, а также упоминавшиеся выше исследования [140—142]. Вариант нелинейной теории пологих слоистых оболо чек был разработан А. П. Прусаковым [219]. Статья Ю. Н. Нович кова [207] посвящена тензорному изложению нелинейной теории оболочек со слоями чередующейся жесткости (для жестких слоев принята кинематическая модель Тимошенко, мягкие слои рабо тают только на поперечное обжатие и сдвиг). В тензорной форме нелинейные уравнения для многослойных оболочек регулярного строения выведены М. С. Герштейном [117, 118] на основе сме шанного вариационного принципа. Нелинейная теория многослой ных пологих оболочек разрабатывалась в [175] (развивались идеи предшествовавших работ Э. И. Григолюка, П. П. Чулкова по трех слойным оболочкам) и в [88, 89], где на основе модели «ломаной линии» с использованием вариационного принципа Ренсснера были
получены системы уравнений движения многослойных анизотроп ных оболочек, порядок которых зависит от числа слоев.
Резюмируя представленный краткий библиографический обзор, можно сказать, что к настоящему времени наиболее глубоко про работана нелинейная теория однородных изотропных оболочек,ос нованная на модели Кирхгофа—Лява. Полные системы уравнений, приведенные в [,134, 137, 148, 160, 232, 260, 360] и ряде других ра
бот, после несложных дополнительных выкладок позволяют исполь зовать их для решения практических задач. Тем не менее практи
ческое применение в решениях нелинейных задач получили в основ ном уравнения теории пологих оболочек Маргерра—Муштари— Власова. Для анизотропных оболочек решения нелинейных задач рассматривались главным образом на основе простейшего вари анта —уравнений «весьма пологих оболочек».
Нелинейная теория оболочек типа Тимошенко достаточно хо рошо разработана в общем плане. Однако для ортотропных оболо чек в литературе не удается найти корректно выведенных уравне ний движения, записанных относительно физических величин в системе координат, отнесенной к линиям кривизны на срединной
поверхности.
В нелинейной теории многослойных оболочек известно не сколько частных подходов, существенно различающихся как по исходным гипотезам, так и по степени их проработки. Решения же конкретных нелинейных задач либо относятся к трехслойным обо лочкам, либо основаны на сведении многослойной оболочки к од нородной анизотропной путем применения кинематических гипо
тез для пакета слоев в целом.
1.1. ДЕФОРМАЦИИ
Центральное место в геометрически нелинейной теории тонко стенных оболочек занимают соотношения между деформациями и перемещениями. Рассмотрим их вывод, исходя из общих соот
ношений нелинейной теории упругости в ортогональных криволи
нейных координатах [210].
Пусть ai, a2, аз —координаты точки в произвольной криволи нейной ортогональной системе координат. Совместим координат ную поверхность а3=0 со срединной поверхностью оболочки. Ко ординатные линии ai, a2 направим вдоль линий главных кривизн этой поверхности. Соответствующие этим координатным линиям орты обозначим в|, е2. Примем, что направление орта е3 совпадает с направлением внешней нормали к срединной поверхности обо
лочки.
Обозначим через Mi°(ai,a2), W2°(ai,a2), n3°(ai,a2) проекции вектора перемещения произвольной точки (ai, a2) срединной по верхности на направления еь е2, е3 соответственно. Примем, что
проекции Mi (ai, аг, а3), Мг(аь а2,а3), M3(ai,a2, а3) вектора переме щения произвольной точки оболочки на направления еь е2, е3 являются линейными функциями координаты а3:
Mi=Mi°4-a3nic; м3=м3°+а3ц3°, |
(1.1) |
где У1°(аь а2), У2°(аьа2), п3°(аьа2) — неизвестные функции; ин дексы I, / везде в дальнейшем пробегают значения 1, 2. Линейная
аппроксимация перемещений по толщине, использованная В. В. Но вожиловым [208], применяется в подавляющем большинстве ра бот по нелинейной теории оболочек.
Компоненты деформации определяются формулами (2.15) из [210]*:
=^11+-2"[ ец2+ (-2~£i2+û)3j + {<~2е\г~^2 ^ ] ; |
|
|
Ъ\2=е\2+е\\ (—ei2—со3| |
+^221-2“^i2+œ3 j + |
|
+ ( "2*^13—«г К |
-g-^23Ч-coi ) ; |
(1.2) |
si3=ei3-f-eit ( “2*613+0)2 ^ +е3з^ — 613—со2 ^ + |
|
|
+ |
^ —е23—«1^. |
|
Величины е22, е33, е23, езь е2ь е32 получаются из ец, ei2, ei3 |
цикли |
ческой перестановкой индексов (1, 2, 3). Согласно формулам (2.6), (2.7) из [210],
„ _ |
1 |
dll* , |
1 |
dHi ^ п, |
1 |
|
дНг |
-«з°; |
||
" |
Hi |
даi + HiHj |
да5U} + HiHz даъ |
|
||||||
|
1 ди3° |
1 |
дН3 |
М1°+ |
1 |
|
дН3 |
м2и; |
||
|
Нъ |
да$ |
НхНг |
dai |
Н2НЪ да2 |
|
||||
|
|
Н2 |
д |
|
Hi |
д |
/ |
Ulo |
|
\ |
^12=^21 =H1 да\ |
|
Н2 |
да2 |
\ |
Hi |
|
/ ’ |
|||
=e |
Н, да, \ |
\ |
, Яз |
д |
/ |
и3° |
|
\ |
||
13 |
31 |
Н, / |
Hi |
дгМ |
\ |
Н, |
|
Г |
||
2со*=■(-1) |
а |
|
d |
|
|
|
|
|
||
daj |
(Я3М30) - — •(W ) ] ; |
|||||||||
|
|
HjH:ri |
|
da3 |
|
|
|
|
||
|
r â r l - i |
|
|
|
|
|
|
|
||
* Здесь и в дальнейшем, |
если |
не оговорено |
особо, даются |
|||||||
формулы из главы IV указанной книги. |
|
|
|
|
|
|
(1.3)
ссылки на
где
Hi=Ai (1 +С4з&г) ; H3=1, |
(1.4) |
Hi — параметры Ламе; Ai2 —коэффициенты первой квадратич ной формы; ki — нормальные кривизны недеформированной сре динной поверхности. Отметим, что из определений (1.2), (1.3) следует симметричность тензора деформаций гм-
Подставляя (1.1), (1.4) в (1.3), учитывая, что a3fci<l, и огра ничиваясь членами порядка a%ku приходим к следующим выра жениям:
e«=(ei+a3K.f) (l-cc3£i);
£12= (yi+ot3Ti) ( 1—а3&1) + (Y2+азтг) (1—а3£г);
(1.5)
2(о3= (yi+(Х3Т1) (1—ciski)—(Y2+СС3Т2) (1—аз^г)■
Здесь
(1.6)
(1.7)
В формулах (1.3), (1.5)—(1.7) и последующих индекс /=2 при i=l и /= 1при i=2.
В результате подстановки (1.5) в (1.2) приходим к следую щим выражениям для деформации:
8г-г= (ег+а3Кг) ( 1—<x3Aîi) +—[(е,+а3х02+