книги / Теория упрочняющегося пластического тела
..pdfВ пластической области напряженное состояние соот ветствует точкам поверхности нагружения
|
/ (г)(*«, efi, |
X», *0 = 0. |
(2.150) |
Величины |
определяются из соотношений |
|
|
|
X. = |
4|е£,. |
(2.151) |
В жесткой зоне напряжения остаются неопределенными, но должно существовать, хотя и неоднозначное, продол жение распределения нагружений в жесткую зону, кото рое удовлетворяет уравнениям равновесия (2.149) и не равенствам
/ « f e - i x i,ft* )< 0 . |
(2.152) |
Соотношения (2.147) — (2.152) описывают |
поведение |
жестко-пластических сред. |
скорости |
Покажем, что в жестко-пластических телах |
перемещений непрерывны. Предположим обратное, то-есть пусть на некоторой поверхности, движущейся в упрочня ющейся жестко-пластической среде, претерпевают раз рыв скорости перемещений. Так же, как и в упруго-пла стическом теле, под поверхностью разрыва скоростей перемещений будем понимать предел тонкого слоя, в кото ром скорости перемещений претерпевают быстрое, но не прерывное изменение.
Рассмотрим свойства решения краевой задачи, сформу лированной для слоя толщиной h в § 2 , для жестко-пла
стической среды. |
следует |
|
|
|
Из |
(2.147), (2.148) |
|
|
|
|
- г К * |
+ рЛ*)= |
СО |
(2.153) |
|
|
|
|
|
Дифференцируя соотношения (2.150) и исключая зна |
||||
чения |
и е?;- при помощи уравнений (2.151) и (2.148), по |
|||
лучим |
|
|
|
|
|
/Ь*6 i; + 2 |
“ 0 , |
(2.154) |
где
djV
В специальной системе координат, выбранной в § 2, равенства (2.149), (2.153) и (2.154) можно записать в виде:
ап V,- + £e(3<5ij,aZy,p + Fi = о , |
(2.155) |
Рассмотрим теперь свойства решений уравнений (2.155) — (2.157) в слое толщиной h при h, стремящемся к нулю.
Величины нормальных производных dGij/dn, dvt/dn при этом неограниченно возрастают. Скорости пласти ческих деформаций также неограниченно растут, а, сле
довательно, |ы2 , неограниченно растут, в то время как ве личины cr^a, Ft, vii0L, SGij/dt при стремлении h к нулю оста ются ограниченными, и слагаемыми, содержащими эти величины в уравнениях (2.155) — (2.157), можно пренеб
речь, и тогда эти уравнения можно записать |
в виде: |
|
(2.158) |
|
(2.159) |
+ 5 X ^ - 0 . |
(2.160) |
О) |
|
Сворачивая соотношения (2.159) с тензоров 6 *;, для пла стически несжимаемых тел получим
Умножая (2.159) на vj и суммируя по повторяющимся индексам, вычислим величины нормальных производных скоростей перемещений
- L |
^ i = 2 |
^ X 4 -. |
(2.161) |
2 |
dn |
а |
|
Исключая величины dvi/dn из уравнений (2.159), (2.161), получим, что внутри слоя должны иметь место соотношения
|
2 |
ftV - |
= 2 (/S 4 v , + |
/jf’vfcV,)и». |
(2.162) |
|||
|
Умножая |
равенство (2.160) |
на |
р° |
и суммируя по г, |
|||
будем иметь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
“п |
г |
+ |
2 |
= |
0. |
(2.163) |
|
|
г,со |
|
|
|
|||
ки |
Используя соотношения (2.158), из (2.162) после сверт |
|||||||
с dOijldn |
определим |
|
|
|
|
|
||
|
|
^ L 2 fi i V r + b o> M = 0. |
(2.164) |
|||||
|
|
ап |
г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
То есть первое слагаемое в |
равенстве |
(2.163) |
обращается |
|||||
в |
нуль, откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ^ Л |
“ = |
0. |
|
(2.165) |
|
|
|
|
О),Г |
|
|
|
|
|
|
Согласно результатам § 8 |
главы I квадратичная форма |
(2.165) в устойчивых упрочняющихся жестко-пластиче ских телах будет отрицательно определенной и левая часть равенства (2.165) может обращаться в нуль только при
условии, что все р2> |
0. Точнее, все величины р° |
будут |
|||
внутри слоя толщиной порядка величин |
vUaLl |
ограни |
|||
которые в пределе |
при h, стремящемся |
к нулю, |
|||
чены. |
|
|
|
|
|
Из соотношения (2.161) после умножения на dn и |
|||||
интегрирования от |
— Н/ |
2 до + h/2 получим |
|
||
4 |
+<У2 |
d |
+£/2 |
|
(2.166) |
-2 -(v+i - v T ) = j - |
J |
JfLdn = 2 |
5 vUlfvjdn. |
||
|
-h/2 |
« |
-h/2 |
|
|
Переходя к пределу при h, стремящемся к нулю, по лучим
Vi = V i .
Из соотношения (2.148) в подвижной системе коорди нат получим
- ‘■5- +^ -- зле*. <2-1в7>
О)
откуда |
|
|
|
Л/ 2 |
/ |
ер |
\ |
_ с(^ _ ер,) = е |
( _ |
__I L + 2 |
(2-168) |
-Л/ 2 |
|
|
“ |
Перейдем к пределу при А, стремящемся к нулю. Учи тывая, что подынтегральное выражение в правой части равенства (2.168) остается ограниченным при любом, сколь угодно малом h получим при с =f= 0 , что
4j — ^П •
Аналогично при с =f= 0 из (2.151) будет следовать, что
Если поверхность разрыва стационарна (с == 0), то будем предполагать, что на этой поверхности скорости перемещений непрерывны. В противном случае, на этой поверхности будут претерпевать разрыв и перемещения, что приведет к трещинообразованию или изменению структуры материала и выходит за рамки рассматривае мых здесь вопросов.
Геометрические условия совместности для непрерыв ных функций скоростей перемещений vt запишем в виде:
lvu ] = liVj,
откуда для скачков скоростей деформаций получим вы ражения
Ограничимся рассмотрением тел, в которых до нагру
жения пластические деформации ^ и параметры Xi непрерывны. Если в процессе нагружения в таких телах
возникают скачки величин и Xi на некоторой стацио нарной поверхности, то на этой поверхности в некоторый момент времени должны возникнуть скачки скоростей пла стических деформаций. Таким образом, вопрос о сущест вовании стационарных поверхностей разрыва деформаций сводится к вопросу о существовании стационарных по верхностей разрыва скоростей деформаций.
Пусть на некоторой стационарной поверхности в жест ко-пластическом теле претерпевают разрыв скорости де формаций, но в начальный момент (t = 0 ) пластические деформации и параметры Xi непрерывны.
Если на этой поверхности претерпевают разрыв напря жения, то скачки напряжений должны удовлетворять соот ношениям (2.8). Из соотношений (2.8) и (2.169) следует, что
|
I M |
lefjl = |
low1 |
[<3ji]V+ il/= 0. |
(2.170) |
|
Левую |
часть |
выражения |
(2.170) можно |
представить |
||
в виде: |
|
|
|
|
|
|
|
[««1 1е?,1 = ( 4 - |
ей) ef; + (ей - |
ай) |
(2.171) |
||
Из условия |
выпуклости |
поверхности |
нагружения |
|||
следует, |
что оба |
слагаемых |
в правой |
части равенства |
(2.171) неотрицательные и обращаются в нуль только при
условиях, что или [сг*Д = 0 , или е£/ = eff = 0 .
Таким образом, на стационарных поверхностях раз рыва скоростей деформаций в жестко-пластических телах с выпуклой поверхностью нагружения в начальный мо мент времени напряжения непрерывны.
Детальный анализ тел с кусочно линейными поверх
ностями нагружения проведен в § 8 |
этой главы, где уста |
|
новлена непрерывность скоростей |
деформаций |
на по |
верхностях разрыва напряжений. |
Отсюда следует |
вывод |
о непрерывности напряжений на поверхностях разрыва скоростей деформаций и для тел с кусочно линейными по верхностями нагружения. Тогда из соотношений ассоци ированного закона течения (2.148) для скачков скоростей
пластических деформаций получим
|
|
Ш = |
2 и £ ] # )* |
(2.172) |
|
|
|
СО |
|
Дифференцируя соотношения (2.150) по времени и |
||||
исключая |
[%t] |
определим |
|
|
0 /<г) |
1 |
д/(г) |
dfW < ) ][ef;] = 0. |
(2.173) |
дв.i; |
[а ;] + |
+ |
|
|
|
Ч |
|
|
Исключая величины |
скачков скоростей |
пластических |
|
деформаций из (2.173) |
и (2.172), соотношения (2.173) пред |
||
ставим в виде: |
|
|
|
/i? [o d |
+ |
2*WUi®] = 0 . |
(2.174) |
|
|
СО |
|
Приравнивая в соотношениях (2.169) индексы i и /, после суммирования по повторяющимся индексам для пластически несжимаемых сред определим, что ^7iv^ = 0 .
Умножая (2.169) на у/, после свертки получим
= |
[е?Л V,- |
Подставляя значения |
в (2.169), пайдем, что на по |
верхности разрыва скачки пластических деформаций свя заны соотношениями
|
[efj] = |
[е?*] vkVj + [effc] vkVi- |
(2.175) |
Исключая скачки пластических деформаций из (2.175) |
|||
и (2.172), |
получим |
|
|
2 |
[(О № = |
2 [^ Т (fikVkVj + fftWvi). |
(2.176) |
со |
со |
|
|
Из соотношений (2.174) и (2.176) следует |
|
||
2 н^г](/ik4v,' [<з1У] + |
[<ч,1) + 2 ъ«т u*?] по |
= о. |
|
г |
|
Г,СО |
(2.177) |
|
|
|
Дифференцируя (2.8) по времени, получим, что на ста ционарной поверхности разрыва [<3l7-]v^ = 0 , и уравнение
(2.177) принимает вид:
S |
ь<*г [(* ? ] |
[|*И] |
= |
о |
. |
2.178) |
Г,С О |
|
|
|
|
|
|
Как следует из |
результатов |
§ 8 |
главы |
I, |
левая часть |
равенства (2.178) является отрицательно определенной квадратичной формой в устойчивых упрочняющихся жест ко-пластических телах и обращается в нуль только при
условии, что все ] = 0 и скорости пластических дефор маций непрерывны на стационарной поверхности разрыва.
Таким образом, и стационарных поверхностей разрыва скоростей в устойчивых упрочняющихся жестко-пласти
ческих телах не |
существует. |
жестко-пластической |
|||
В ы в о д . |
В |
упрочняющейся |
|||
среде в случае |
гладких и кусочно |
гладких поверхностей |
|||
нагружения |
не могут |
существовать нестационарные по |
|||
верхности |
разрыва |
скоростей перемещений и пласти |
ческих деформаций. Компоненты напряжения могут тер петь разрыв.
§ 8. Разрывы напряжений в жестко-пластических телах
Пусть на некоторой поверхности G претерпевают раз рыв компоненты тензора напряжений. Согласно соотно шению (2 .8 ) скачки напряжений будут связаны соотноше ниями
lou ] vj = 0 . |
(2.179) |
Если поверхность разрыва стационарная, а поверх ность нагружения устойчивого жестко-пластического ма териала выпуклая, то, как следует из результатов пре дыдущего параграфа, на поверхности G скорости переме щений, параметры Хг и пластические деформации непре рывны, а скорости пластических деформаций обращаются в нуль с обеих сторон от поверхности разрыва. То есть поверхность нагружения по обе стороны от поверхности разрыва имеет один и тот же вид и остается фиксированной в процессе нагружения тела.
Если поверхность разрыва нестационарная, то на этой поверхности перемещений пластические деформации и параметры Хг непрерывны. Однако из непрерывности
4 Д. Д. Ивлев, Г. И. Быковцев
скоростей перемещений следует, что на поверхности G име ют место равенства (2.169) — (2.171), и если поверхность нагружения выпуклая, то и па нестационарных поверх ностях разрыва скорости деформаций обращаются в нуль.
По мере перемещения поверхности G пластические деформации и параметры на ней изменяются, но эти изменения происходят только за счет неоднородности
распределения и по точкам, в которые попадает со временем поверхность G, и поэтому эти изменения одина ковы с обеих сторон от поверхности разрыва. Поэтому поверхность нагружения по обе стороны от G во время всего движения одна и та же.
Скорости пластических деформаций из ассоциирован
ного закона течения (2.148) можно представить |
в виде: |
е?у = 4 - K i + vjti) = 2 1C /if- |
(2.180) |
СО |
|
На поверхности разрыва напряжений е?,- = 0, а, следо
вательно, Ца = |
0 , и |
из геометрических условий |
совмест |
||
ности (2.169) |
будет |
следовать |
|
|
|
|
|
+ |
E/Vj = |
0 * |
(2.181) |
Уравнение (2.181) |
имеет |
только |
тривиальное |
решение |
It = 0 , и, следовательно, на поверхности разрыва напря жений все производные скорости перемещений непрерывны.
Дифференцируя соотношения (2.180) по нормали к по верхности G, получаем
(2.182)
Так как на G величина ц» = 0 с обеих сторон от по верхности разрыва, то из соотношений (2.182) найдем
(2.183)
Геометрические условия совместности для скачков вторых производных скоростей перемещений можно пред-
ставить в виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[T |
] = ^ |
V |
|
|
|
|
(2.184) |
Подставляя значения duij/dn из (2.184) в уравнения |
||||||||
(2.183), получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
“2“ (*^i1)v; + |
= 2 |
ф ” |
Ji j |
• |
(2.185) |
||
dn |
||||||||
|
|
|
|
О) |
|
|
|
|
Величины |
dEij/dn, |
вообще |
говоря, |
не |
обращаются |
|||
в нуль на поверхности G. Если |
же |
de^j/dn = |
0 |
с обеих |
сторон от поверхности разрыва, то с обеих сторон обра
щаются в нуль и величина d^/dn, |
а |
из соотношений |
|
(2.185) следует, что величины |
= |
0, |
и, следовательно, |
на поверхности G непрерывны и вторые производные ско ростей перемещений. Тогда соотношения (2.180) продиф ференцируем два раза по направлению нормали
J 4 |
1 |
(- |
d*viff |
|
|
|
|
|
|
I |
= _ |
|
+ |
|
) - |
|
|
|
|
dn*а |
2 |
V |
dn* |
dn* |
|
|
|
||
= |
2 |
|
fh |
+ |
№dn* |
+ 2 |
dftf |
Ф® |
(2.186) |
dn* |
dn |
dn |
Из геометрических условий совместности для скачков третьих производных величин у£, если сами vt и их первые и вторые производные непрерывны, найдем:
|
= |
|
(2-187) |
Так как величины |
и d\ii/dn обращаются в нуль на |
||
поверхности G, то из соотношений (2.186), (2.187) будет |
|||
следовать, что |
|
|
|
4 - ( 4 N + |
L(S ) = S [ |
/ЙГ>. |
(2.188) |
Если же и d1\iu/dn2= 0 с обеих сторон от поверхности, то соотношения (2.180) будем дифференцировать три раза й после применения геометрических условий совместности
получим, что в соотношениях (2.188) вместо |
и d2\iL/dn2 |
||
будут соответственно стоять L(f и d3 ^°/cfri3. |
|
||
Если же |
и третьи |
производные сРр^/йтг3 |
обращаются |
в нуль с обеих сторон от поверхности G, то дифференциро |
|||
вание следует произвести четыре раза, и т. д. |
|
||
Так как хотя бы с одной стороны от поверхности Смате- |
|||
риал пластически деформируется, то все |
производные |
||
по нормали |
величин |
не могут обращаться в нуль на |
|
поверхности |
разрыва, |
и после некоторого числа диффе |
ренцирований получим, что на поверхности имеют место соотношения (2.188).
Так что без ограничения общности можно положить, что на поверхности разрыва напряжений имеют место уравнения
4 - (L,v, + L&) = 2 Ш /if- |
(2-189) |
CO |
|
Конкретизация величин Lt и фо, для дальнейшего не имеет
значения. Приравнивая в соотношениях |
(2.189) индексы |
|||
1и / и производя |
суммирование, определим, |
что L hvh = 0 |
||
на |
поверхности |
G. Умножая (2.189) на |
Vj |
и суммируя |
по |
/, получим |
|
|
|
|
4 |
Li = 2 |
[1М/ЙЧ. |
|
(2.190) |
|||
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
Подставив значения Lt из |
(2.190) в |
(2.189), соотноше |
||||||
ния (2.189) преобразуем к виду: |
|
|
|
|
|
|||
|
2 I'M (/i“4 |
vi + /ifvfcVj) = |
2 |
I'M /if- |
(2-191) |
|||
|
CO |
|
|
CO |
|
|
|
|
Среди уравнений (2.191) независимых только три, так |
||||||||
как после свертки с б1;- и с |
(2.191) сводится к одному и |
|||||||
тому же уравнению. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Если в анализируемой точке на поверхности разрыва |
||||||||
выбрать |
систему координат |
так, |
чтобы |
vx = |
v2 |
о, |
||
v3 = 1, то три независимых |
уравнения из (2.191) |
моншо |
||||||
записать в виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 < / i f |
= 2 |
2 |
= 2 ^ /if> |
2 |
= |
|
||
U) |
CO |
CU |
CO |
|
|
CO |
|
|
= 2 i> «fS )- |
(2.192) |