книги / Теория упрочняющегося пластического тела
..pdfсоотношением (4.7), условие устойчивости (4.17) примет
вид: |
|
|
JL JL |
0. |
(4.18) |
ЭК дЕ'Р |
|
|
В этом неравенстве множитель |
может изменить знак |
независимо от значений первых двух множителей: при
фиксированном деформированном |
состоянии efj тензор |
o ij в зависимости от нагружения |
может принимать лю |
бые значения, ограниченные н еравен ством /(а efj, Ач)^0>
И, следовательно, условие устойчивости не может быть Выполнено для всех путей нагружения.
Пусть в результате пластического деформирования Поверхность нагружения приобретает положение, изоб раженное сплошной линией на рис. 14, а. Предположим, Что имеет место линейное упрочнение (4.8), тогда условие
(4.18) запишется в виде аие% > 0 , и в этом случае по верхность нагружения 2 в пространстве П разделится на
Две части плоскостью Оце% = 0 (линия СС на рис. 14, а,
ортогональная к вектору е§), разделяющей |
поверхность |
|
5 |
на зоны устойчивых и неустойчивых состояний поверх |
|
ности нагружения. |
|
|
в |
Предположим, что нагружение соответствует точке В |
|
зоне неустойчивости на рис. 14, а. В |
этом случае |
<?0, и, следовательно, должно иметь место нера венство GijEij < 0. Скорость пластической деформации,
6 Д. Д. Ивлев, Г. И. Быковцев
по определению, направлена по внешней нормали к по верхности нагружения, следовательно, приращение на пряжений ДOij в зоне неустойчивости направлено внутрь поверхности нагружения, а сама поверхность нагруже ния стремится занять положение, указанное на рис. 14, а пунктиром. Соответствующая диаграмма одноосного рас тяжения-сжатия а = еР изображена на рис. 14, б.
Таким образом, модель изотропного упрочнения при водит к неустойчивым процессам пластического дефор мирования (изменение пластических деформаций при уменьшающихся нагрузках) и подобные модели пласти ческого материала не принадлежат к классу устойчивых материалов по Драккеру.
Рассмотрим анизотропный упрочняющийся материал в случае линейного кинематического упрочнения (4.13).
Условие устойчивости (4.17) в данном случае |
примет |
вид: |
|
a (Oij — ае%) (о'ц— ае%) > 0. |
(4.19) |
Из последнего соотношения и (4.13) следует, что кинема тический закон упрочнения с параметром а > 0 приводит к выполнению условия устойчивости для всех путей де формирования.
Рассмотрим в пространстве П поверхность нагруже ния /(o>i7-, e?j,ki) = 0, положение которой полностью оп ределяется величинами пластических деформаций и не зависит от параметров
Условие устойчивости Драккера do^de^ ;> 0 предпо лагает, что в данной точке нагружения А происходит уп рочнение, в то время как на других участках поверхности нагружения возможно и разупрочнение. После некоторой догрузки в точке А напряженное состояние будет соот ветствовать точке А ', лежащей вне первоначальной по
верхности |
нагружения |
f{oih efy, кь) = |
0 (рис. 15). |
Пусть |
ДefxA) — приращения пластических деформаций |
||
в результате догрузки, |
тогда f(oih e?j + |
Ae?KA),k i)= 0 — |
уравнение поверхности нагружения после догрузки. Произведем разгрузку, а затем произведем повторное
нагружение из точки |
нагружения |
В', в которой прира |
щение пластических |
деформаций |
имеет направле- |
ние, обратное Ае?цА); для простоты можно положить, что
Aefj(B') = — A^J(A). |
Тогда при |
подобном деформирова |
нии поверхность |
нагружения |
будет стремиться занять |
первоначальное положение, имевшее место для догрузки из точки нагружения А, и точка В' будет стремиться за нять положение В .
Если при догрузке в точке А точка В' вышла за пре делы первоначальной зоны упругости, то есть в этой точ ке произошло упрочнение материала (рис. 15, а), то для нагружения из точки В' постулат устойчивости места
иметь не будет: do^de^- < 0.
Если при догрузке в точке А поверхность нагружения в окрестности точки В' смещается внутрь упругой обла
сти (рис. 15, б), постулат устойчивости doijdefj > 0 будет выполнен.
Значит, если при одноосном растяжении образца про исходит наклеп, то для устойчивого материала предел упругости увеличиться не может. Таким образом, на личие эффекта Баушингера связано с процессами устой чивого деформирования материала.
Для описания свойств анизотропии материала можно воспользоваться функцией анизотропии, впервые введен ной в теории пластичности И. А. Бережным. Рассмотрим
поверхность нагружения /(сг0-, eljXi, кг) = 0. В прост ранстве напряжений П каждой фиксированной поверх ности нагружения может быть поставлена в соответствие функция анизотропии А, являющаяся годографом вектора напряжений, относительно нормали в соответствующей
точке поверхности нагружения. Поясним сказанное на рис. 16.
Поверхности нагружения 2 (рис. 16, а) ставится в соответствие поверхность анизотропии А (рис. 16, б), при построении поверхности анизотропии вектор а от кладывается от фиксированной оси ООг в направлении,
Рис. 16.
которое он образует с нормалью в данной точке поверх ности нагружения. Очевидно, что для сферической изот ропной поверхности 2 поверхность А стягивается в точ ку. Эффект Баупшнгера характеризуется отрезком АВ на рис. 16, б.
Для устойчивых материалов при нагружении, указан ном на рис. 15, б, отрезок АВ (рис. 16, б) будет увеличи ваться, причем точки А и В будут двигаться в противо положных направлениях, для неустойчивых материалов (рис. 15, а) отрезок АВ будет изменяться, при этом точки А и В будут двигаться в одном направлении.
Отметим, что поверхность, вполне аналогичную по верхности А, можно ввести для равных уровней дисси пативной функции.
§ 3. О некоторых качественных особенностях поведения функций нагружения
Рассмотрим некоторые качественные особенности по ведения функций нагружения (4.1). Для простоты огра ничимся случаем чистого сдвига. Предположим, что от
личны от нуля лишь компоненты тХ2, тух, е£z, e%z. Будем
рассматривать жестко-пластический материал, индексы z и р опустим.
Следует сразу оговориться, что при отличных от ну ля компонентах тж, ху вследствие ассоциированного закона, помимо ех, еу, могут оказаться отличными от нуля и другие компоненты пластической деформации.
Напряженное и деформированное состояние в рассмат риваемом случае можно представить для наглядности при помощи векторов
х = Ххг + X y j , е = ех г + eyJ, (4.20)
где г, j — единичные |
орты. Инварианты тензоров напря |
|||
жений и деформаций, |
отличные |
от нуля, |
суть |
|
Т = Y rl + 4 ,е = |
/ 4 + 4 |
- |
(4.21) |
Единственный независимый смешанный инвариант ха рактеризует взаимную ориентацию векторов т и е. В ка честве подобного инварианта можно использовать величи ну угла между ними
(4.22)
\сех*~ уеу
либо инварианты
”Ь |
Vi \^хеу |
ъуех |. |
(4.23) |
Рассмотрим функцию нагружения
/ ( 4 + 4 . +4 4 . 1Ххеу ~ *„ех |) = о . |
(4.24) |
Согласно (4.24) любая начальная кривая текучести в плос кости хх, ху будет окружностью. В самом деле, в началь ный момент деформирования ех = еу = 0 и условие (4.24) имеет вид:
/ (*! + ty, 0,0) == 0.
Для простоты воспользуемся предположением, что компоненты скорости пластической деформации ех, гу мо гут быть получены путем непосредственного дифференци рования соотношения (4.24) (строго говоря, они должны быть получены из общих соотношений).
Пусть имеет место одноосное нагружение тх =h О» Ту = 0. Если функция нагружения (4.24) остается симмет
ричной относительно оси |
тх, то, |
ввиду того, |
что вектор |
||||
е = |
ехг + |
eyj нормален к кривой |
нагружения |
(4.24), бу |
|||
дет |
иметь |
место |
ех ф 0, еу = |
0. |
Зависимость |
тх-е$ оп |
|
ределится |
в этом случае из условия /(тх, еХ1 0) = 0. Сама |
||||||
функция |
нагружения, |
соответствующая |
состоянию |
||||
тх ф 0, ех ф 0, |
Ту = еу = |
0, |
определится из условия |
||||
|
|
|
f(rl + tl,el,\xyex\) = 0. |
(4.25) |
|||
Приобретенная |
анизотропия |
обусловливается |
присутст |
вием члена |т^х |.
Предположим, что функция нагружения (4.24) не за
висит от инварианта ех + еу, то есть имеет вид: |
|
||||||
|
|
/ |
(т| + |
х%, I ххе„ — хуех \) =0. |
(4.26) |
||
Тогда в |
случае |
одноосного |
нагружения, |
при |
котором |
||
тх Ф 0, |
ех ф |
0, |
ту = |
еу = 0, |
выражение |
(4.26) |
примет |
вид /(тх, 0) = |
0, |
и, следовательно, материал не упрочня |
ется в направлении нагружения, то есть он ведет себя как идеально-пластический. В то же время сама функция нагружения изменяется с изменением составляющей де формации ех. В самом деле, функция нагружения (4.26) в
этом |
случае будет иметь вид: |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
f « |
+ |
< \ v , | ) = 0. |
|
|
(4.27) |
||
В качестве примера рассмотрим функцию |
нагру |
|||||||||
жения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тх + |
тI |
= к2 ± а2(тхеу — туех)2, |
к, |
а = const > |
0. |
(4.28) |
||||
При |
рассматриваемом |
одноосном |
нагружении |
тх ф 0, |
||||||
ех Ф 0, |
Ту = еу = |
0. |
Из |
(4.28) |
следует, |
что при этом |
||||
тх = |
к |
материал |
не |
упрочняется |
вдоль |
направления |
||||
нагружения, а сама функция нагружения имеет вид: |
||||||||||
|
|
|
|
(1 + а?*1) = |
А2. |
|
|
(4.29) |
||
Уравнение (4.29) в плоскости тх, т?/ является уравне |
||||||||||
нием эллипса с полуосями /си k/Y 1 + |
iaex)2- Парис. |
17 По |
казаны кривые нагружения (4.29) при некотором значении ех Ф 0. Пунктиром показана начальная кривая нагру жения. Эллипс с увеличивающейся полуосью соответству ет верхнему знаку в уравне
нии (4.29), с уменьшающейся |
|
|
||||||||
полуосью — нижнему знаку. |
|
|
||||||||
Предположим, что в плос |
|
|
||||||||
кости хХ1ту определено одно |
|
|
||||||||
параметрическое |
|
семейство |
|
|
||||||
кривых |
/ ( т*, Tv, ех) = |
0, где |
|
|
||||||
ех — |
параметр. |
Пусть |
|
при |
|
|
||||
ех = 0 данная кривая явля |
|
|
||||||||
ется |
окружностью. |
|
такие |
|
|
|||||
Можно |
достроить |
|
|
|||||||
функции |
|
нагружения, |
|
что |
|
|
||||
при |
одноосном |
нагружении |
|
|
||||||
Ф |
0» |
ех ф ® > |
Tiy |
== ev = 0 |
|
|
||||
они будут |
совпадать с |
напе |
|
|
||||||
ред заданной однопараметри |
Рис. 17. |
|
||||||||
ческой |
совокупностью |
кри |
|
|
||||||
вых. Причем |
такие функции |
|
образом. |
|||||||
нагружения |
можно |
выбрать неединственным |
||||||||
В самом деле, рассмотрим функции нагружения |
|
|||||||||
f /Xxex + Xyey |
|
т е |
—т е |
V el +<?;) = о, |
(4.30) |
|||||
|
1 зс |
У |
У х 1 , |
|||||||
4 V 4 + -5 ’ |
|
V el + el |
|
|
||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ у V Хх + xyi |
1х*ег / - т1/е*| , |
Vel + ev^j — 0 |
(4.31) |
||||||
|
|
|
|
|
|
V 4 |
+ 4 |
|
|
Функциям нагружения (4.30) и (4.31) при нагружении хх Ф 0, ех ф 0, ху = ev = 0 соответствует данное одно параметрическое семейство кривых /(тж, ху, ех) = 0. Од нако при повторном нагружении в других направлениях поведение функций нагружения (4.30), (4.31) будет раз личным.
Итак, поведение функций нагружения при деформиро вании может быть чрезвычайно разнообразным: поверх ности нагружения могут стягиваться или наоборот расши ряться вблизи направления нагружения, перемещаться
различным образом, на них могут образовываться угловые точки и т. п. Причем совпадение их поведения при данном пути нагружения вовсе не означает совпадение поведе ния при последующих нагружениях.
Интересные |
особенности поведения |
поверхностей |
нагружения |
наглядно иллюстрируются |
на модели |
Ю. Н. Работнова [18]. |
|
§ 4 . М о д е л и с л о ж н ы х с р ед
Многие среды обнаруживают при деформации совмест ное проявление упругих, вязких и пластических свойств. Для описания поведения подобных сложных сред тре
|
буются соответствующие |
моде |
|||||
|
ли. Ниже рассмотрим построе |
||||||
|
ние основных соотношений свя |
||||||
|
зи между напряженным |
и де |
|||||
|
формированным состояниями |
||||||
|
для достаточно широкого клас |
||||||
|
са |
сложных |
сплошных |
сред. |
|||
|
В |
основу построений положим |
|||||
|
три основных механизма дефор |
||||||
|
мирования: |
упругий, |
пласти |
||||
|
ческий |
и вязкий. |
Первый ме |
||||
|
ханизм |
определяет |
обратимый |
||||
|
процесс |
деформирования, |
два |
||||
|
последних — необратимый. Для |
||||||
|
иллюстрации свойств |
сложных |
|||||
Рис. 18. |
сред воспользуемся |
динамиче |
|||||
|
скими |
моделями |
(рис. |
18). |
В подобных моделях сила соответствует напряжениям, перемещение — деформациям моделируемой среды. Инерционные свойства самих моделей не рассматрива ются.
Упругий механизм деформирования Е моделируется пружиной, конец которой прикреплен к жесткой стенке (рис. 18, а). Жесткая стенка может быть интерпретирова на как механизм сухого трения при сколь угодно боль шом коэффициенте сцепления. Пластический механизм
Р— механизм сухого трения изображен на рис. 18, б. Вязкий механизм можно изобразить двояко (рис. 18,
в, г). В первом случае (рис. 18, в) механизм вязкости бу
дем обозначать индексом V°, во втором случае — индек сом F * . Как будет показано, различие между этими мо делями позволяет осуществить различные включения ме ханизма вязкости в сложные модели.
Рассмотрим простейшие комбинации механизмов: ЕР- модель упруго-пластического тела (рис. 19, а), модель
и з -
а) г)
Q w w - |
М В |
IHZb |
|
|
|
б) |
|
|
0 W W |
|
|
б) |
|
|
упруго-вязкого тела EV0 или EV* (рис. 19, б, в). Для этих моделей полная деформация слагается из упругой и пла стической или упругой и вязкой
de = dee + |
de = dee -f- dev. |
(4.32) |
Для упруго-вязкого и упруго-пластического тел упругие деформации связаны с действительными напряжениями ац законом Гука. Никакого различия между моделями
EV0 и EV* нет.
Вслучае последовательного действия механизмов Р и
Е(рис. 19, г) соответствующее деформирование является только пластическим (модель соответствует упрочняю щемуся жестко-пластическому телу), поэтому этот меха низм будем обозначать Ре х).
Рассмотрим последовательное соединение механизмов F°, Е и У*, Е (рис. 19, д, е). Очевидно, что последователь ное включение механизмов F°, Е приводит к силовой свя зи элементов: усилия в вязком и упругом элементах
равны (тело Максвелла), а последовательное включение
*) Здесь и в дальнейшем предполагается, что деформированные внутренние упругие элементы не в состоянии преодолеть сами по се бе сил сопротивления пластических элементов.
элементов V* и Е — к кинематической связи: перемещения вязкого и упругого элементов одинаковы (тело Фойхта). Очевидно, что модель V*E соответствует параллельному включению элементов упругости Е и вязкости V0.
Отметим, что при силовой связи упругого и вязкого элементов последовательность их включения несуществен на: модель EV0 эквивалентна модели V°E, однако в случае кинематической связи элементов F*, Е упругий элемент является внутренним (рис. 19, е), деформирование носит вязкий характер, и соответствующую модель будем обо значать V*e.
Таким образом, при принятой индексировке большие буквы указывают на механизм, определяющий характер деформирования; внутренние механизмы, не меняющие характер деформирования, обозначаются соответственно малыми буквами.
Отметим, что в рассматриваемом случае деформирова ние может иметь характер упругий, вязкий, пластический, упруго-вязкий, упруго-пластический. Модель, состоящую из механизмов Р и V*, следует обозначать Ри*, так, де формирование носит характер пластического и вязкий элемент V* является в данном случае внутренним. Для того чтобы убедиться в этом, достаточно произвести раз грузку: полная деформация оказывается остаточной.
Очевидно, что модель Ри° вполне эквивалентна модели Ри*, различие элементов F°, V* сказывается лишь при наличии последующих элементов упругости или пластич ности.
Из изложенного ясен принцип индексировки моделей, например моделей, изображенных на рис. 20. Их следует соответственно обозначить EV°p, F°ep, Pev° (или Pev*),
Pve*, EPev*epe, V*epev*ep.
Для построения связи между тензорами напряжений Oij и деформаций рассмотрим двумерные динамические модели. На рис. 21, а — е показаны двумерные динамиче ские модели, соответствующие одномерным моделям, при веденным на рис. 20.
Рассмотрим модель Pev*, изображенную на рис. 21, в. Обозначим внешние усилия, действующие на элемент пластичности, через Тг, Т2, усилия в упругих пружинах sly s2, перемещения пластического элемента через q±1 q2, вязкого элемента — г1? г2.