книги / Теория упрочняющегося пластического тела
..pdf777777777777 |
’-ЛЛг>~ |
|
5 |
77777777777. |
|
а ) |
г) |
|
7777/777. |
|
|
W |
Ivv^jvvQvvjT]^',лл*- |
|
777777777 |
????' |
0) |
б) |
|
QHIlMZHZh
т77> 77777777777?.
В) |
е) |
Рис. |
20. |
W |
v V\A-^ ;W^f- ^ |
|
ш: |
|
■хЛл''. |
р W1/* |
|
|
1 |
ir*W |
/> |
Рис. 21.
Очевидно, что перемещение пластического элемента будет происходить, когда результирующие усилия дос тигнут некоторого предельного значения:
(Тг - sO2 + (Т2 - |
s2)2 = |
к2, к = const, |
(4.33) |
|
где к — предел |
сухого |
трения. |
элемента пластичности |
|
Приращение |
перемещения |
происходит по направлению равнодействующей, то есть
Agi |
_ |
Ада |
Т \ — |
si |
Т 2 — $2 * |
Натяжения в упругих пружинах связаны с перемещения ми соотношениями:
Si = а(дх — 7i), s2 = a(q2 — r2), |
(4.35) |
где a — коэффициент жесткости пружин. |
Наконец, пе |
ремещения вязкого элемента связаны с усилиями сле
дующим образом: |
|
|
Si = Tiri, |
s2 = r\r2. |
(4.36) |
Соотношения (4.33) — (4.36) |
полностью определяют меха |
ническое поведение рассматриваемой модели.
При использовании динамических аналогий внешним усилиям Tt поставим тензор действительных напряжений Oij; усилиям в пружинах st — тензор внутренних напря
жений Sij\ |
перемещениям qt — тензор действительных |
деформаций |
перемещениям внутреннего элемента вяз |
кости rt — тензор внутренних перемещений х*. Приписывая, как обычно, девиаторам соответствую
щих тензоров штрих наверху, будем считать для простоты материал несжимаемым (связь между первыми инвари антами может быть сформулирована независимо); более того, будем считать все тензоры внутренних деформаций
девиаторами. Тогда, согласно |
(4.33), |
будем иметь |
|
|
/ (<*у — Si;) = |
0, |
к = const. |
(4-37) |
|
Соотношение (4.34) соответствует |
ассоциированному |
|||
закону течения |
|
|
|
|
deu = |
d% |
. |
|
(4.38) |
Далее, |
|
|
|
|
наконец,
Si] = W u - |
(4.40) |
Соотношения (4.37) — (4.40) полностью определяют свой ства рассматриваемой модели Pev.
На рис. 22, а изображена динамическая модель ЦРерере или, как ее удобнее обозначить, ЕРе1р1е2р2е3. Рас смотрим для нее определяющие соотношения. Для внеш него упругого элемента будем иметь
deli = 25Й0У- |
(4‘41) |
|
Обозначим тензор внутренних напряжений, соответ |
||
ствующий элементу еп, через |
тензор |
внутренних де |
формаций, соответствующий перемещениям элемента рп,
через ХгТ- Тогда запишем соответственно для элементов Р, Рг предельные условия (функции нагружения) в виде:
/ (° Ц — s<i j ) = 9i(Sjy — sif)= *1, Фа (Sif — si?) = *a- (4-42)
Соотношения связи между тензорами напряжений и деформаций определим из соотношений ассоциированного
закона |
течения |
|
|
|
|
|
|
|
» |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т р щ р W Р VV- |
|
|
d l f |
= |
А |
d s ( i ) |
|
(4.43) |
|
|
||
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
где d^, dA,lf |
dX2 — неопределенные |
|
|
|||||||
множители. Для того, чтобы тензоры |
V77777777777777777J |
|||||||||
деформаций были |
девиаторами, |
не |
а) |
^ |
||||||
обходимо положить, что все условия |
'VW'v\ |
V\r*~ |
||||||||
пластичности |
не |
зависят |
от первых |
К |
|
|||||
инвариантов |
соответствующих |
|
тен |
|
||||||
|
|
|
||||||||
зоров. В соотношениях (4.43) исполь |
|
|
||||||||
зуется |
ассоциированный |
закон |
те |
|
|
|||||
чения. Представления |
ассоциирован |
977777777777.\ |
|
|||||||
ного |
закона |
течения |
следуют |
из |
Л) |
|
||||
соображений |
экстремальности |
при |
Рис. 22, |
|
||||||
ращения работы |
напряжений на со |
|
сообра |
|||||||
ответствующих |
приращениях |
деформации. Эти |
||||||||
жения |
использованы выше как для действительных, так |
и для внутренних напряжений и деформаций.
Дифференцирование в (4.43) ведется по первому из напряжений, хотя дифференцирование можно вести по
(п)
суммарным напряжениям, так как если s\j не зависит от то
|
» < = « - |
’!!’> |
, |
8 <4?’ - |
*!?"’ > |
, |
|
|
toy |
- |
1' |
|
to(J> |
|
|
поэтому |
|
df |
|
дфп |
_ |
|
|
df |
|
|
d(fn |
|
|||
даи |
~ д { < ! „ - * % > ) |
’ |
d s\ f |
~ |
d ( s \ f - |
4 " +1>) |
Наконец, к соотношениям (4.41) — (4Т43) следует присоединить условия, следующие из представлений об упру гом характере внутренних связей, а именно,
ds'ij1'*= Й! (defj — d%W), ds'\f = аг(dy$ — dyjff), dsy(8) =
= a3( d y }? - d $ ) , (4.44)
где an — коэффициенты жесткости элементов en, в про стейшем случае — константы материала.
Соотношения (4.32), (4.41) — (4.44) полностью опреде ляют свойства рассматриваемой модели ЕРе^р^р^. От метим, что только компоненты полной деформации etj связаны с перемещениями ut формулами Коши, остальным
тензорам деформаций efj, Xij\ вообще говоря, переме щения в соответствие поставлены быть не могут. Уравне ниям равновесия удовлетворяет тензор az;-, остальные
тензоры напряжений sty уравнениям равновесия не удов
летворяют. Тензоры Sij\ yff играют роль внутренних тен зорных параметров модели.
Аналогично рассмотрим модель EV*e1Vie2v2e3, изобра женную на рис. 22, б. Обозначим тензор внутренних ско ростей деформаций, соответствующий скоростям пере
мещений элемента |
ип через |
Получим |
|
4 — 4 “ = |
4 ° |
— 4 (2) = |
-4'2) — Si/3) = Ла»4?, |
(4.45)
где г|, г[п — коэффициенты вязкости элементов F, va со ответственно. К сооотношениям (4.45) следует присоеди
нить условия, определяющие напряжения, соответствую щие натяжениям в элементах:
S;jl) = « 1 (ei> — ). s'il2) = a2(xjf — x|f), Si/3) = a3x\f. (4.46)
Соотношения (4.32), (4.41), (4.45), (4.46) полностью опре деляют свойства рассматриваемой модели.
Наконец, рассмотрим модель ЕУе0{о\е^\е3. В этой мо дели напряжения во всех элементах одинаковы и равны а,;. Элементы Е, V перестановочны, и в данном случае имеет место обычная модель вязко-упругого тела Макс велла с суммарными коэффициентами упругости и вяз кости.
Построение связи Оц-ец для сред, включающих в себя как составные элементы пластичности, вязкости, упругости, не составляет трудностей, например, рассмот рим сложную модель EPe1v*e2p. Очевидно, будут иметь место соотношения
/ («у — ®у) = |
/с, ф(sif) = |
къ |
de{j = de% + |
defh |
|||
deb = |
25- |
di'ih defj = |
d l -ff- |
, dxa = d lt |
, |
||
Sij • |
Sjj |
= |
TJXjy, Sy |
= |
flj (бу‘ Xy)TSy |
=fl2(Xy Xij)• |
(4.47)
Соотношения (4.47) определяют свойства рассматриваемой модели.
Изложенный подход конструирования связи а является непосредственным обобщением подхода, разви того в теории трансляционного упрочнения. В данном случае не только основные, но и внутренние механизмы пластичности определяют свои поверхности нагружения в соответствующих пространствах напряжений, которые испытывают перенос в этих пространствах.
Случай, когда связь между отдельными элементами жесткая, интерпретируется как предельный, рассмотрен ный при стремлении соответствующих коэффициентов ап к нулю.
Нелинейные эффекты могут быть учтены, если поло жить, что величины^, г);1, ап зависят от инвариантов со ответствующих тензоров.
Зависимость между первыми инвариантами соответ ствующих тензоров может быть установлена независимо.
Не представляет труда воспользоваться для внутрен них элементов кусочно линейными потенциалами.
§ 5. Влияние вязкости на механическое поведение пластических сред
Рассмотрим обобщение модели анизотропного упроч няющегося пластического тела путем введения внутрен него элемента вязкости, который определяет релаксацию остаточных внутренних микронапряжений. Модель ани зотропного упрочнения имеет индекс Ре, обобщенная мо дель-индекс Pev*. Соответствующая двумерная модель изображена на рис. 21, в.
Наличие вязкости делает механическое поведение мо дели зависящим от времени, поэтому поведение материала будет зависеть от скорости нагружения. Следует разли чать два предельных случая: скорость нагружения бес конечно мала; скорость нагружения бесконечно велика (мгновенное нагружение). При бесконечно медленном нагружепии релаксационные процессы происходят в пол
ной мере и элемент вязкости не сопротивляется |
усилиям. |
В этом случае рассматриваемая модель ведет |
себя как |
идеально-пластическое тело. |
|
В случае, когда нагружение мгновенно, элемент вяз кости ведет себя как жесткая связь. При этом рассмат риваемая модель ведет себя как анизотропно-упрочняю- щаяся пластическая среда. Аналогично материал ведет себя при сколь угодно малом или сколь угодно большом коэффициенте вязкости.
Отметим также, что с неограниченным ростом жестко сти упругого элемента е связь между элементами вязко сти и пластичности становится жесткой и имеет место
модель вязко-пластического тела (тело |
Бингама). |
Запишем исходные соотношения. Функцию нагруже |
|
ния запишем в виде: |
|
fipti - sl}) = 0. |
(4.48) |
Функция нагружения смещается в пространстве напря жений как жесткое целое на величину, определяемую компонентами si;-. Отметим, что в пространстве актцрных
напряжений о?;- = Оц — поверхность нагружения фиксирована
Предположим, что функция / достаточно гладкая, тогда
(4.49)
Именно результирующие активные напряжения обуслов ливают пластическое деформирование, поэтому условие нагружения можно записать в виде:
dk > 0, если / = О, -Ц- (к*; = 0. d(Sij
Условие разгрузки имеет вид:
d\ = 0, если / = 0, -Ц - cfoij < 0.
Согласно (4.49) вектор приращений деформаций орто гонален поверхности нагружения в пространствах дейст вительных и активных напряжений.
Предположим, для простоты, что функция нагруже
ния не зависит от первых инвариантов тензоров |
stj. |
||
Тогда, согласно (4.49), |
величина eti |
= 0 . Далее положим |
|
— ки), slj = |
1\ки, у,ц = |
0, а, т) = const. |
(4.50) |
Рассмотрим некоторые свойства модели. Материал жестко-пластический. Если вывести материал за пре дел пластичности и зафиксировать нагрузки, то будет иметь место процесс ползучести. В самом деле, в одно мерном случае
|
а = к + |
s, |
s = а(е |
+ |
н), |
s = |
трс. |
(4.51) |
При а = |
const, 5 |
= |
0. Значит, |
е + |
х = |
0, |
откуда |
|
е |
s = |
const, е |
-----------st + |
const. |
||||
|
|
|
’ |
|
“П |
|
|
Если материал вывести за предел пластичности, а за тем разгрузить, то поверхность нагружения за счет ре лаксации внутренних напряжений stj с течением време ни будет стремиться занять исходное положение. Вообще
говоря, вследствие наличия элемента вязкости, напря жения во внутреннем упругом элементе е и, следователь но, поверхность нагружения имеют тенденцию к сме щению в сторону начального состояния. Поэтому сле дует говорить о мгновенном (фиксированном в данный момент) положении поверхности нагружения.
Рассмотрим случай нейтрального нагружения. Из (4.48) следует, что при этом
55^ |
— sa) = 0- |
(4.52) |
При нейтральном нагружении приращение пластичес ких деформаций равно нулю: deи = 0, d% = 0.
Из первого соотношения (4.50) для случаев нейтраль ного нагружения и разгрузки получим
|
s'ij = |
— a%ih Eij = |
0. |
|
(4.53) |
|||
Из второго соотношения (4.50) и (4.53) найдем |
|
|||||||
|
|
Sij -(- — |
Sjj = |
0, |
|
|
(4.54) |
|
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
s'ij = si®'exp ( — |
<) , |
sij = |
— |
охр |
( — |
<) , (4.55) |
||
где |
Si°j — внутренние |
напряжения |
в |
момент |
времени |
|||
t = |
0, отсчитываемый от начала разгрузки или |
нейтраль |
||||||
ного |
нагружения. |
при |
разгрузке |
или |
нейтральном на |
|||
Согласно (4.55) |
гружении скорости релаксации внутренних напряжений s\j пропорциональны внутренним напряжениям и имеют противоположный знак (тенденция к уменьшению). Согласно (4.52) в пространстве напряжений при нейтраль ном нагружении вектор сг — £ с компонентами Ь'ц — s[j ортогонален нормали п к мгновенной поверхности на гружения / = 0.
На рис. 23 изображена регулярная поверхность наг ружения / = 0. В дайной точке А к мгновенной поверх ности нагружения проведена нормаль п и построен век тор —s , который лежит вне поверхности нагружения.
низма вязкости, обеспечивают возможность пластическо го деформирования, когда приращение вектора напряже ний Дог лежит либо внутри, либо вне области, ограничен ной поверхностью нагружения предыдущего состояния.
§6. Ассоциированный закон течения
идиссипативная функция в теории сложных сред
Рассмотрим случай, когда функция нагружения оп ределена в виде:
|
/ (бу) = 0, aij = Oij — sih |
|
|
(4.56) |
|
где cry — тензор |
активных |
напряжений, |
aij |
— тензор |
|
действительных |
напряжений, |
— тензор |
внутренних |
||
напряжений. Предположим |
справедливость |
принципа |
|||
максимума Мизеса |
буеу, |
|
|
(4.57) |
|
|
0цйц > |
|
|
||
где o*j — любые |
возможные |
компоненты |
напряжения, |
||
удовлетворяющие при фиксированных |
условию |
||||
|
/(< < * -* * )< * ■ |
|
|
(4.58) |
|
Неравенство (4.57) можно переписать в виде: |
|
||||
Gij&ij |
(<5ij = 0\j |
Oij = |
Gij |
$ij)i (4.59) |
откуда следует, что принцип максимума Мизеса справед лив и в пространстве активных напряжений.
Иэ (4.57) и (4.59) следует справедливость ассоцииро ванного закона течения как в пространстве действитель ных, так и активных напряжений.
Покажем, что в данном случае могут быть определены соответствующие диссипативные функции, причем пост роение их удобно вести не в пространстве действительных, а в пространстве активных напряжений. Введем определе ния диссипативной функции в пространстве действитель
ных |
напряжений: |
|
(4.60) |
|
D = |
GijEiji |
|
и в |
пространстве активных |
напряжений: |
|
D ° = о?,в„.