книги / Прикладные задачи устойчивости многослойных композитных оболочек

4.1. Тонкостенные композитные оболочки (классическая модель)

101

и экспериментальные результаты не должны существенно различаться. Некоторые результаты, полученные при испытаниях на кручение ци­ линдрических стеклопластиковых оболочек [39], подтвердили хорошее согласование теоретических и экспериментальных критических значе­ ний крутящих моментов.

Расчётные зависимости (4.29), (4.30) получены для оболочек сред­

ней длины, когда выполняются условия
I	А	' 1	B	B I ^ ~ v ^ ) r 2	(4.31)
	В2 (\ ~ V XV2) R 2	R	V	^2

Если оболочка достаточно длинная, то при потере устойчивости об­ разуются две волны (пкр= 2) в окружном направлении, и критическое усилие не зависит от длины и граничных условий. Полагая для такого случая в соотношениях (4.28) п = 2, можно найти

3D2 В\ (1 - щи2) А3

(4.32)

- АД2 +

48

В результате минимизации этого выражения по параметру А полу­ чается соотношение, аналогичное формуле Шверина [66]:

	1,52
	S Kр = Д З /2 \ j B XD \(\ -	щи2) ; пкр = 2;
		(4.33)
	А2р = 4-\/3	D2
		- V\V2) R 2 '
	В\ (1

Если оболочка квазиоднородна по толщине, то формулы (4.33)

переходят в следующие:
^кр _		0,24	/г5/2	А А3 ;
	( Г З ^ Т Т Ж 2
0,24	h \	3/2	\/Д Ё |;	Af	9 [ШЬ .	(4.34)
т к =
(1 - г/1г/2)3/4 W					V E l R	'

Для коротких оболочек аналогично [8] можно записать:

TT2D2	кр	тг2Е ф 2	(4.35)
S Kp = K s - l 2		K s 12 (1 —v\v2) P '

Здесь Ks = 5,34 для шарнирно закреплённых оболочек, Ks = 8,97 для жёстко защемлённых.

Для вычисления критического значения М кр крутящего момента достаточно воспользоваться известным выражением Мкр = 2irR2S Kp.

102 Гл. 4. Устойчивость композитных цилиндрических оболочек

4 .1 .5 .

О специф ических зависимостях м еж ду критическими

параметрами в тонкостенны х ортотропны х оболочках. Соотноше­ ния для расчёта критических усилий, соответствующих осевому сжа­ тию, боковому давлению и кручению оболочек, полученные в п.п. 4.1.1, 4.1.3, 4.1.4, имеют вид:

■ с	п - ! № )		л;	В 2 (1 -	щ и 2 ) R 2
					А	;
n^'i^IpbD K'-v^y,			« р р =	3д4Д 1(1 -У\У2) Д2 .
				1		А
						В { ( \ — и \и 2 ) R 2
				53,1 Л|			;
						А
		Ai = -K R / 1 .				(4.36)
Для	ортотропных оболочек	выполняется также				равенство А А	=

= А А •

Тогда из соотношений (4.36) следует зависимость между крити­ ческими значениями нагрузок при осевом сжатии, боковом давлении

и кручении [66]:
5 кр = / / - 7 Г •	(4.37)

Критические параметры волнообразования А0, Аь прр и nfp, как следует из соотношений (4.36), связаны зависимостями:

гг;	= 1,43;		К	) 2 _	^3 .	« )	2,7
пг\г			A0AI			A0Ai
п]кр					лЛз'
	77 к	77 ^	_	1,88	В 2	_ А
	к р	кр					(4.38)
	AQAI		“	V ^ ;	Р = А	А '

Как видно, полученные соотношения между критическими пара­ метрами волнообразования не зависят от геометрических размеров оболочки и слабо зависят от отношения (3 жесткостей, поскольку параметр (3 обычно не намного отличается от единицы. Таким обра­ зом, соотношения (4.38) можно считать некими критериями подобия при исследовании устойчивости шарнирно закреплённых ортотропных цилиндрических оболочек.

4.2. Методы расчёта на устойчивость трёхслойных композитных оболочек с лёгким заполнителем

В этом разделе исследуются критические нагрузки и особенности сопротивления трёхслойных ортотропных цилиндрических оболочек при общей потере устойчивости, когда пакет изгибается как единое

4.2. Трёхслойные композитные оболочки с лёгким заполнителем

103

целое, в отличие от местной потери устойчивости, когда поверхность приведения трёхслойного пакета не искривляется, а сморщиваются лишь несущие слои (рис. 2.1).

В общем случае анализ общей устойчивости построен на основе гипотез ломаной линии при несжимаемом по нормали заполнителе. Разрешающие соотношения для шарнирно опёртой оболочки с лёгким заполнителем имеют вид (3.2). Уравнения общей устойчивости неполо­ гих цилиндрических оболочек, построенные на основе полубезмоментной теории, имеют вид (3.5).

4 .2 .1 . О севое сж атие. Форма волнообразования в этом случае показана на рис. 4.11.

Разрешающее соотношение для отыскания критических параметров

можно получить из соотношения (3.2), положив Т2 = S = 0:
Т, = [£>f + 1>ГП(А,^)]	А2В Д )	+	В2{\ - v\Vi)	(4.39)
	R 2		АЩ{Ф)

Здесь приняты те же обозначения, что в (1.4), (1.5):

F\ (ф) = 1 + «1ф2 + /3\фА-

			ЩФ) = 1 +	+ /%V>4;
			Щ{Ф) = 1+ а^ф2 + /З^ф4-,
			1		1;
	П(А,ф) fii(A, ф) + А2(сщ + и)2ф2)0.2(\, Ф) ’ О < П <
	ni(A.V’)		1 +А2(а;2к + ^ 1к^2)
		1 + A2(W2K + W1KV’2)F2*(^)/F I (^ )’
	fi2(A, ф)	1 + W1W2K>‘2F £ W / { U \ +ш2ф2)			(4.40)
		1	+ \ 2(и2к + и 1Кф2)Р£ (ф)/руф)'

Сравнивая соотношение (4.39) для трёхслойных оболочек с со­ ответствующим соотношением (4.7) для тонкостенных ортотропных оболочек, можно видеть, что они полностью совпадают, если величину D*c D*Q,(\ ф ) считать эффективной жёсткостью трёхслойной обо­ лочки на продольный изгиб.

Рассмотрим сначала слабые заполнители с высокой податливостью на поперечные сдвиги, когда выполняется условие оцА2F2 1.

4.2. Трёхслойные композитные оболочки с лёгким заполнителем

105

Т, = к{ф)Т, l - ( 2 Kl t ^ ') + К 1 + К 2ф2-

\- ю

X4	-	к	tKi + К 2ф2		\4 _ В2(1	- V \ V 2 ) R 2
					Л 0 —	D nc
' V p	Fi (Ф) F2 (ф)			- ю
	Т \0 =	\JB2D\ (1	- V \ v 2 ) ; Tft =		^ B 2D ^ c { \ -	V \ V 2) ;
			к(ф)	F i W		(4.42)
				F2 (Ф) ‘

В соотношениях (4.42) положено, как это принято в практических расчётах трёхслойных оболочек, D\ ~ D*. Это связано с тем, что в трёхслойных оболочках, как правило, собственная изгибная жёст­ кость D |*с несущих слоёв много меньше полной изгибной жёсткости D\ = _D|*C+ D*. Величины TJQC и TJQ соответствуют критическим на­ грузкам для раздельно работающих слоёв (TjJf) и для трёхслойной оболочки с абсолютно жёстким на сдвиги пакетом (Т^).

Критическая осевая нагрузка определяется из (4.42) минимизацией по параметру ф2. Как показывает анализ, для класса трёхслойных оболочек со слабым на сдвиги заполнителем форма волнообразования близка к осесимметричной (ф2 1). Это объясняется тем, что ве­ личина к (ф) меняется мало и не превосходит единицы, подкоренное выражение слабо зависит от параметра ф2, поскольку К\, К 2 <с Tjjf, и при вычислении минимума по параметру ф2 определяющую роль

играет слагаемое К 2ф2. Учитывая сказанное,	запишем разрешающее
соотношение (4.42) следующим образом:
Тх = к(ф )Т™ + К 1 + К 2ф2;
2К\
тГоС= Т ^сх/Г^&2 ; Ь =	(4.43)
1	10

Проводя минимизацию выражения (4.43) по параметру ф2 и от­ брасывая малые величины порядка ф4, можно получить следующие

расчётные формулы ( ац < а2):
J 7 = ( i - « . ) T " + Jri;			* Ъ = 3аг2+ щ * ^		2;
а2 - а д (1 - К 2)			-ту	2К9	(4.44)
а„ = ------;---- -—= ——;			К 2 =	(а2 — а\) T IQC'
За2	се 1	К 2

106 Гл. 4. Устойчивость композитных цилиндрических оболочек

Здесь а\, а 2 — известные (1.1) параметры анизотропии трёхслойной конструкции, К\, К 2 — жёсткости трёхслойной оболочки на попереч­ ные сдвиги. Для лёгких однородных по толщине заполнителей

К 1	G 13# 2.	К 2	G23H 2	(4.45)
	<5 ’		5

Н — расстояние между нейтральными поверхностями несущих слоёв; S — толщина заполнителя.

Величина а„, характеризующая неосесимметричность волнооб­ разования при потере устойчивости, в большинстве случаев мала (а„ < 0,3), и для оценок можно полагать ан = 0.

Из формулы (4.44) следует принятое выше в виде гипотезы соотно­

шение ф2р <		1. В самом деле,
2		2	1 -_К2	а 2 —а\ Т Ю /, -77			тю		< 1,
ФКР	3(12 + оц		К 2	За2 + (ii К 2	1	- К 2)<	ш	2

поскольку в трёхслойных оболочках обычно выполняется зависимость

тГос« к2.

Если жёсткость К 2 на поперечные сдвиги в кольцевом направлении

достаточно велика (К2 ф 1), т. е. выполняется условие
«2 —(11 трнс	(4-46)
К 2 > — ^— Т Ю>

то оболочка теряет устойчивость по осесимметричной форме (фкр = 0), а критические параметры вычисляются по следующим соотношениям, получаемым из зависимостей (4.42) при фкр = 0:

Т,кр = тГо + Kv, А'Р = Xt (1 - Ь2).

(4.47)

Если анизотропия несущих слоёв такова, что выполняется усло­ вие оц > « 2. то из (4.43) следует осесимметричная форма потери устойчивости (i/vp = 0), и расчёт критических параметров необходимо проводить также по формулам (4.47).

Из соотношений (4.44), (4.47) следует, что полученные расчётные формулы пригодны для слабых на поперечные сдвиги заполнителей,

когда выполняется условие Ь < 1, т. е.
Кх < \ Т$.	(4.48)

Обратим внимание, что при потере устойчивости от осевого сжатия трёхслойных ортотропных цилиндрических оболочек форма их волно­ образования (параметры Лкр, фкр) однозначно определена.

Если в соотношениях (4.44), (4.47) в формулах для расчёта кри­ тических усилий можно пренебречь первыми слагаемыми (Тю < К \)У

4.2. Трёхслойные композитные оболочки с лёгким заполнителем

107

то приходим к модели прямолинейного элемента, в соответствии с ко­ торой пренебрегают собственной изгибной жёсткостью несущих слоёв:

Т«Р = К {.

(4.49)

Эту величину иногда называют критическим усилием сдвиговой формы потери устойчивости. Как видно, значение критического усилия

вэтом случае не зависит от формы оболочки и её кривизны.

Вслучае достаточно жёстких на сдвиги заполнителей, когда усло­

вие (4.48) не выполняется, а имеет место		соотношение LO\X2F2	1,
функцию влияния поперечных сдвигов можно представить в виде:
П(Х,ф)	1	к\2
		к\2 + Л2’
1 + Л2 + и}2ф2)
	1
к \ 2	UJ\ + ш2ф' >	Л2

Отсюда следует, что величина О, ~ 1, а эффективную изгибную жёсткость трёхслойного пакета можно представить в форме

D?с + D*{Q = D {Q + D f (1 - fi) « DiQ,

поскольку D\Q » _D™(1 - Q).

Учитывая полученные зависимости, разрешающее соотношение

(4.39) можно записать в виде
DiX2Fi{^)	к \2	В2{
R 2	k i2 + А2 +	X2F2 (ф)

Это соотношение соответствует модели прямолинейного элемента (типа сдвиговой модели С. П. Тимошенко). Критическая нагрузка и форма волнообразования получаются минимизацией по параметрам А и ф.

Проводя минимизацию по параметру А, получим:

	к ( Ф ) Т ? 0		к(Ф)Т$ 1 + ^ 2 ^ . / К 2 А.
			4tfi		Fi (ф)	) ’
А2 =	_ к		A i		Ai = В2{1 - V\V2) R2
		А4 =
1 -	Al / k 12		Fi(rl>)F2 {1>y			A	;
	к(ф)		Fx (Ф) .	,	1		(4.50)
			Р2 (ф)’	12	и)х+и}2ф2'

Теперь выражение для Т\ необходимо проминимизировать по пара­ метру ф. Численный анализ показал, что в области достаточно жёстких

108 Гл. 4. Устойчивость композитных цилиндрических оболочек

на сдвиги заполнителей

сдвиговые факторы слабо влия­

ют на форму волнообразования. Учтём также, что в области минимума критическая нагрузка малочувствительна к параметрам волнообразова­ ния. На основе сказанного за критическое значение параметра ф при­ мем значение, соответствующее классическим оболочкам с неизменной нормалью. Тогда фкр определяется зависимостями (4.9) для класси­ ческих оболочек, в которые подставлены соответствующие жёсткости трёхслойной оболочки: ф* = Фж = 1//?- В результате получим сле­ дующие расчётные формулы для критических параметров при осевом сжатии трёхслойных цилиндрических оболочек с достаточно жёстким

на поперечные сдвиги		(К\	> - T j ^ заполнителем:
	h Т ж	и	Т ж			,4	1	Hi
т кр		Л'орт-* ю
	К'орт-^ Ю 1 -	АК\		2 + OL\j\J~fi	)	кр	Р	В>’
Л2		А2			а1 =	В 2 (1 —V1^2) R2
Лкр	(2 + « , / ^ ) ( 2 + 012 ! \ fp)						D,
^	=		^	=				И .51)

Сомножителем при скобке в первой формуле является критическая нагрузка для трёхслойной оболочки с абсолютно жёстким на сдвиги заполнителем (модель неизменной нормали), а выражение в скобках определяет поправку от поперечных сдвигов. Как уже упоминалось,

формулы (4.51) применимы, если выполняется условие К\ > - Т ^ .

В рассматриваемом случае форма волнообразования при потере устойчивости (параметры Акр и фкр) однозначно определена зависимо­ стями (4.51).

Если параметры анизотропии оболочки таковы, что выполняется

условие а\ > а 2			(оболочки,		достаточно жёсткие на сдвиги в плос­
кости), то форма потери устойчивости							становится осесимметричной,
и критические параметры определяются соотношениями:
'укр_уж			'Т'УК			в 2 (1	- У\г^2)Д2.
	1 -		1 10		Л4			пкр = 0.	(4.52)
			4К,		''кр		D
Полученные выше				формулы для расчёта критических усилий TjKp
в области К		1 /тлж		Ki		дают несколько заниженный ре-
		2 10

зультат. Для уточнения расчётных формул представим соотношение (4.39) в виде:

4.2. Трёхслойные композитные оболочки с лёгким заполнителем					109
гг			„	1
1	R 2	А	’	1 + А2(сщ +ш2ф2)'

Поскольку в области достаточно жёстких на поперечные сдвиги заполнителей параметр сдвига £2 близок к единице и слабо влияет на форму волнообразования, при минимизации считаем его постоян­ ным. Тогда в результате минимизации по параметрам А и ф можно

получить следующую зависимость для расчёта				критических усилий:
		-ГАЖ
	ТГР =	1	= ,	(4.53)
	у	1 + £Т л/ 1	+ £т
где Т,ж = А:о Т^;	ет = аТ7	\ + у / р К , / К 2
ч>рт-чо>	^т - и ,т-—	; ат - —— -----		г- ■
	■ZRi	2	+ о ц /у (3

Сравнение соотношений (4.44) и (4.53) показывает, что расчётные формулы (4.44) следует применять, если выполняется условие

	К х	<	кп	(4.54)
	ю
		\ j 1 I	^орт О / \J 1 I	/'opr И/
	Если же выполняется условие
	К х		vopT	(4.55)
	Т\10
		1	koprrd’j ' 1 I	A„pTO]
	то следует применять расчётные формулы (4.53).
	В случае осесимметричной		формы потери устойчивости (а\ > а 2,

Фкр = 0) необходимо положить корт = 1, ат = 1.

Если величина £т мала (ет < 0,3), то достаточную точность для расчёта критических усилий дают формулы (4.51).

Некоторые особенности имеет случай, когда несущие слои трёх­ слойной конструкции выполняются из изотропного материала (напри­ мер, металла), а заполнитель представляет собой ортотропное тело (например, соты). В этом случае в области слабых на поперечные

сдвиги заполнителей	< - Т ^ , как следует из (4.42), (4.43), трёх­
слойная оболочка теряет		устойчивость по осесимметричной		форме,
а критические параметры выражаются следующим образом:
Т,кр = Т"о + К\-		ГЦ = т ^ л / Г Т 2 -	ь = -2 ^ -
			1 ю
т$ = | у/В ( 1 -	VXV2)D ; ТГос = | у/В(1		.	(4.56)

Вобласти достаточно жёстких на поперечные сдвиги заполнителей

^К\ ^ с учётом изотропности несущих слоёв из зависимости

(4.50) можно получить

по Гл. 4. Устойчивость композитных цилиндрических оболочек

				Т%	1 + ф 2К 1/ К 2
				4 К { (\+ ф 2 )2
	а !	.	Т 4		.	4	Д ( 1 - ^ 2 ) Д 2
^	__9	’	''Ък	.	, х 4 ’	Л ж	П
	l - A^Aia			( 1 + ^ 2)4			D

Как видно, минимальное значение усилия ТД достигается при максимуме вычитаемого в квадратной скобке. Можно показать, что

этот максимум достигается при ф?.н = 1 —2 К 1

Подставляя эту величину в формулы, получим значения критиче­ ских параметров:

j-iKp _грж

		16Ki (1 - K 2/ K i ) K 2/ K l
А	л:	л ! =		XI	к\ч =	1	(4.57)
ккр	Хж/ к \2	(1	I	Гкр)	(х>1+	0)2'Фк
1 -
				-Ф1

Расчётные зависимости (4.57) пригодны, пока положительна вели­

чина фкр, т. е. в случае
К 2 < 2 Ki.	(4.58)

В противном случае [К2 Ф 2 ^ 1) Ф°Рма потеРи устойчивости ста­ новится осесимметричной, и формулы для расчёта критических пара­ метров получаются при фкр = 0:

т кр	■10	Фк\> —0; Акр —	AL	(4.59)
40	4К\		1 - т - №

Анализ полученных расчётных формул показывает, что критические параметры при осевом сжатии трёхслойных ортотропных оболочек определяются некоторыми обобщёнными жесткостями:

Т\дс — жесткостная характеристика несущих слоев, она соответ­ ствует критическому усилию при раздельной работе несущих слоев,

т.е. при отсутствии заполнителя;

ТIQ — жесткостная характеристика трёхслойного пакета, она соот­ ветствует критическому усилию в трёхслойной оболочке с абсолютно жёстким на поперечные сдвиги заполнителем;

К\, К 2 — жесткостные характеристики заполнителя — жёсткости их на поперечные сдвиги соответственно в осевом и кольцевом направ­ лениях.

Кроме этого, расчётные формулы содержат безразмерные параметры анизотропии: оц, « 2. Р\, /%> корт.

Обобщённые жёсткости не только определяют форму волнообразо­ вания при потере устойчивости и критические усилия, но и помогают