книги / Прикладные задачи устойчивости многослойных композитных оболочек

5.3. Нагружение внешним давлением и растягивающим усилием

161

сравнительных экспериментально-теоретических исследований устой­ чивости трёхслойных оболочек при совместном действии осевого сжа­ тия и наружного давления (рис. 5.6) подтверждают данные качествен­ ного теоретического анализа, показанные на рис. 5.5.

Из рис. 5.6 следует также, что для рассматриваемого класса трёх­ слойных конструкций наблюдается хорошее согласование теоретиче­ ских и экспериментальных значений критических нагрузок при раз­ дельном действии осевых сжимающих сил (Т2 = 0) и наружного дав­ ления (Т\ = 0).

5.3. Устойчивость многослойных ортотропных оболочек при нагружении внешним давлением и растягивающим осевым усилием

5 .3 .1 .	Многослойные	ортотропные оболочки (классическая
модель).	При совместном действии наружного бокового давления р
и осевого	растяжения, как	показал численный анализ, форма

волнообразования в случае потери устойчивости имеет тот же характер, что и при потере устойчивости только от наружного давления, т. е. образуются одна полуволна в осевом направлении и несколько волн в кольцевом направлении. При этом число кольцевых волн не меньше аналогичного числа при потере устойчивости только от наружного давления.

В связи со сказанным за исходные соотношения для анализа при­ няты соотношения, аналогичные зависимостям (5.32), (5.34). Зависи­

мость (5.34) в рассматриваемом случае принимает вид:
	1 D2n2		В\ (1 -	v\v2)	\2	грО	.0 .
h					Л1	1 10
	Т2°	R 2 +	п6		п2	т2°		10’
h	Ti-			7ГR		pR',
		Но		Ai
				~ Т ’
Т»о = | ^ 2 1 > 1 ( 1 - ^ ) ;			П =	-Х ^ р ф 1	{	\ - щ		р 2) . (5.60)

Здесь Т\ — усилие в оболочке при растяжении вдоль оси; Т2 = p R — кольцевое сжимающее усилие, TJQ — критическое усилие осевого сжа­ тия при осесимметричной форме потери устойчивости, Т2 — критиче­ ское усилие в оболочке при действии только внешнего давления.

Критическое значение параметра t2 внешнего давления получается из зависимостей (5.60) минимизацией по числу п волн в кольцевом направлении. Если осевое растяжение невелико (£j0 < 1), то число волн совпадает с соответствующим числом в оболочке, подвергнутой нагружению только наружным давлением (без осевого растяжения).

6 С. Н. Сухинин

5.3. Нагружение внешним давлением и растягивающим усилием

163

при растяжении, можно показать, что	в большинстве случаев мак­
симальные значения величины t°l0 для	различных типов материалов
и относительных толщин оболочек не превосходят 10 (t°w < 10).

По оси ординат отложены критические значения величины £2, по­ лученные минимизацией по числу п волн соотношения (5.60). Как отмечалось выше, число волн с ростом усилия растяжения возрастает, но до некоторого предела. После этого предела (для рассматриваемой серии оболочек предельное значение ггкр составляет 9 ч- 10) число волн остается неизменным, и повышение величины ££р за счёт увеличения растяжения происходит по прямой линии, прямо пропорционально ве­ личине растяжения t°l0.

Из графиков на рис. 5.7 видно, что для рассматриваемых обо­

лочек зависимость £2 ~ t°w в области реальных значений	величины
^?о (^io ^ Ю) носит универсальный характер: независимо	от свойств

упругости, анизотропии и габаритных характеристик кривые для всех оболочек практически сливаются в одну. При этом в области малых значений (t°w < 1) зависимость ££р ~ £j0 определяется формулой (5.61). Заметим, кстати, что на графике при £j0 < 0 (осевое сжатие с наружным давлением) также имеет место универсальная зависимость (единая прямая линии в области —0,6 < t°w < 0), т. е. подтверждается зависимость (5.38).

Зависимость ££р ~ на графике рис. 5.7 можно аппроксимировать следующими формулами:

' 1 + 0 ,87 £ [0

q p = < 1 + 0 , 8 £ ? 0 - 0 , 0 5 ( £ ? о ) 2

_ 2 ,5 + 0,2 5 £ [0

при

при

при

Г4. — О О Л
1 < £?0 < 6;	(5 .6 2 )

£ю ^ 6.

Как видно из рис. 5.7, за пределы формул (5.62) «вылезает» график для оболочки 3: начиная с tj0 = 2,5, число волн п устанавливается на уровне пкр = 10 и график устремляется по прямой линии

11 + 3£[0

£2

7

Оболочка 3 отличается тем, что она в 1,5 Ч-З раза короче осталь­ ных. В связи с этим её параметр волнообразования А) = 1,96 в 1,5 ч-3 раза больше, чем у остальных оболочек, число окружных волн (пкр = 7) без осевого растяжения близко к предельному (при действии осевого растяжения) значению пкр = 10. Таким образом, в коротких оболочках влияние осевого растяжения на критическое усилие кольце­ вого сжатия при больших значениях величины £®0 проявляется сильнее.

6*

164 Гл. 5. Устойчивость при комбинированном нагружении

5 .3 .2 . Трёхслойны е ортотропны е оболочки. При совместном действии наружного бокового давления и растягивающих осевых уси­ лий трёхслойная оболочка теряет устойчивость аналогично классиче­ ским: образуются одна полуволна в осевом направлении и несколько волн в кольцевом. В связи с этим исследование основано на соотноше­ нии (5.50), которое в рассматриваемом случае принимает вид:

	Т2 = Щ с + -------- ^ ------- 2		В х(1 - щ у 2) \ \	Afт .
		R 2	п6	п2 Ь
	1 + 0^1 А| + О^П2
				(5.63)

7ГR

Ai Акр —~т~

Зависимость кольцевого критического усилия Т2 от осевого растя­ жения Т\ получается отсюда в результате минимизации по параметру волнообразования п.

В области оболочек со слабым на поперечные сдвиги заполнителем (К2 < 0,5Т*) соотношение (5.63) принимает вид, аналогичный (5.53):

Пне п h Т^нс W

1 2

фНС

1 2

	В\ (1 —v\v2) А|		, К 2_.
	п6		п 2 Т пс Ю+ Т„с ’
t	= ъ_.	fHC_	т\ .
2	т^нс ’	b10	г р п с ’
	1 2		-мо
1,757т 4[ ~		(1 - щ щ ) (D?)3 ;

IRX/ 2

Т™ = | ^ B 2 ( \ - i A V 2) D f .

(5.64)

Критическое значение безразмерного наружного давления i2P по­ лучается из (5.64) минимизацией по параметру волнообразования п. Поскольку последнее слагаемое, содержащее сдвиговую жёсткость К 2 трёхслойной оболочки, не зависит от параметра п, то результат ми­ нимизации соотношения (5.64) совпадает с результатом минимизации выражения (5.60) для классических оболочек. Это значит, что можно использовать зависимости (5.62), т. е.

		1 + 0 ,8 7 ^ + ^		при
	ТкР	2
		1 + 0 ,8 ^ - 0 ,0 5 ( ^ ) 2 + ^	г	при
	T2IHC t r
		2,5 + 0 ,2 5 ^ + ^		при
		± 2

/нс ^		1•
Ъ\0	^	А>
/Л	о-г*П Л о>

6 < Щ < 20;

tг

т 2кр/ т 2нс.

(5.65)

5.3. Нагружение внешним давлением и растягивающим усилием

165

Отсюда можно получить соотношения для расчёта критических кольцевых усилий Т*р в зависимости от величины осевого растягива­ ющего усилия Т\\

	'Т'НС		при
Т2° + 0,87		Т\		Д	< Т™;
	-чо		Т^НС П~1
	Т^НС
-Ср = П	+ 0,8 - t	тх -	0,05-4, 7± Т Х при	Т™ < Tj < 6Т™;
	-мо		мо -МО
	п^пс		при	6	< Ti < 20 Т[Н0С.
П	+ 0,25	D
	-мо				(5.66)

Здесь Т2 — критическое кольцевое усилие в трёхслойной оболочке при

	отсутствии осевого растяжения	(4.72):
		К 2	21
	Т2° = Т2НС+ К 2 1 -		Д 2 < 0,5 T f.	(5.67)
		Тж
		1 2

Соотношения (5.66) свидетельствуют о слабой зависимости крити­ ческого наружного давления от растягивающего усилия Т\, поскольку

Т2НС< Т™ и
пнс		« 1.
0,875 Ai =i^2	= 1
в , д 2		п2„

Полученные закономерности справедливы для трёхслойных оболо­ чек со слабым на поперечные сдвиги заполнителем, когда выполняется условие К 2 < 0,5Т*. В этом случае в соответствии с формулой (5.67) критическое усилие при внешнем давлении определяет величина К 2, поскольку обычно Т"с -с К 2. Таким образом, несущие слои вносят малый вклад в критическое усилие. Видимо, поэтому и растягивающее осевое усилие, приложенное к несущим слоям (заполнитель лёгкий), слабо влияет на критическое усилие от внешнего давления.

Рассмотрим трёхслойные оболочки с достаточно жёстким на попе­ речные сдвиги заполнителем, когда выполняется условие К 2 > 0,5Т^ . В этом случае исходное соотношение (5.63) можно записать в виде:

Do1	П9 В\ (1 - v \ v 2) \ \	Af	(5.68)
	Т^ +	+ - kT i.
1 + сщА? + ш2п2 R 2

Критическое значение Т*р кольцевого сжимающего усилия в за­ висимости от растягивающего осевого усилия Т\ получается отсюда минимизацией по параметру волнообразования п.

Для дальнейшего анализа соотношение (5.68) удобно записать в ви­ де, аналогичном (5.60) для тонкостенных классических оболочек:

	166	Гл. 5. Устойчивость при комбинированном нагружении
	h =				Р 2	п 1	B i (1 -J/iJ/2)Af		+ n2 Т ж ГЮ>
		Т2°	1 + сщА? + и>2П2			R 2	Пи
		22			Ti		9	T f	1 /Т 2Ж\ 2
	h	Т20’		Но = Т * ( 1 - Д 2			Т б 7 ^ _		8
	2		A O - ^ ) ;				1 7 ^	/---------------------		(5.69)
	T i ^ - v ^					1 Г = 1 щ 2 у В 11>1(1-и1и2).
	Здесь T2	—	критическое кольцевое усилие					при отсутствии		осевого
	растяжения:
	T2° = T f ( 1		- Д	2)	/ток	9	1		Тб2 > 0,5Т 2Ж.
					-*2	Тб ^2 + 8 ( ^2 J

Критическое значение безразмерного кольцевого усилия t2 в зави­ симости от безразмерного осевого растяжения ?ю получается из соот­ ношений (5.69) минимизацией по числу п волн.

Если заполнитель достаточно жёсткий на поперечные сдвиги (Д2 -С 1), то в отсутствие осевого растяжения при потере устойчивости от внешнего давления число волн близко к числу волн в оболочках с абсолютно жёстким на поперечные сдвиги заполнителем. В этом случае при малых значениях растяжения йо (йо < 1) форма волно­ образования не меняется, и из (5.69) можно получить соотношение, аналогичное (5.61):

*?• =	¥	= l+ 0 .8 7 i10.	(5.70)
	1 2
Учитывая, что Т2 = Тж (1 —Д2), из (5.70) можно найти:
*2Р = ^	=	1 - Д 2 + 0 , 8 7 ^ .	(5.71)
1 2		J 10

При отсутствии поперечных сдвигов (Д2 = 0) зависимость (5.71) совпадает с аналогичной зависимостью (5.61) для классических оболочек.

Результаты численного исследования влияния осевого растяжения на критическое усилие при внешнем давлении для семи различного рода трёхслойных оболочек показаны на рис. 5.8. В таблице к рисун­ ку помещены обобщённые жесткостные и габаритные характеристики оболочек.

Из рисунка видно, что с увеличением жёсткости заполнителя на поперечные сдвиги (с уменьшением величины А 2) влияние осевого растяжения на безразмерную величину t2p критического наружного давления заметно повышается. Максимальное влияние осевого растя­ жения наблюдается в оболочках 5, 6, 7, где поперечные сдвиги играют

168Гл. 5. Устойчивость при комбинированном нагружении

Вобласти совместного действия осевого сжатия и наружного дав­ ления (—0,6 < £ю < 0) взаимное влияние осевого сжатия и наружного давления мало зависит от вида оболочек, и все кривые практически сливаются в одну:

t * p =	1 - 0 ,8 7 iio .
В этом случае наблюдается	полная аналогия с формулой (5.38)

и графиком на рис. 5.7 для классических оболочек с неизменной нор­ малью.

5.4. Устойчивость при совместном действии осевого сжатия и кручения

Численный анализ, проведённый на основе решения дифференци­ альных уравнений (1.1), (1.2) при условии отсутствия бокового давле­ ния, показал следующее.

Для тонкостенных многослойных оболочек взаимное влияние осе­ вого сжатия и кручения достаточно велико, предельные кривые близки к прямой линии

Tl	А	'1.	(5.72)
	' S
Т°	SO

Здесь Ti, S — осевое и сдвигающее усилия в оболочке, Т°, S0 — критические усилия при раздельном действии осевого сжатия и круче­ ния соответственно.

Трёхслойные оболочки с достаточно жёстким на поперечные сдви­ ги заполнителем (К\ >0,5Т[*) сопротивляются по закономерностям, близким к закономерностям для классических оболочек. В связи с этим в качестве предельных кривых при совместном действии осевого сжа­ тия и кручения на такие оболочки можно использовать зависимость (5.72).

В случае слабых на поперечные сдвиги заполнителей (К\ < 0,5Т^) по аналогии с соотношениями (4.43) получается следующая зависи­

мость:	_ нс	„	(5.73)
	Тх+ 2Бф = к{ф)Т*с0 + К 1+ К 2ф2.

Проводя минимизацию этого выражения по параметру волнообра­ зования ф, можно получить как в случае превалирующего влияния сдвигающих усилий (S ~ S0; Т\ -с Т°), так и в случае превалирующего влияния осевых усилий (S <С S'0; Т) ~ Т°) следующую предельную кривую:

Tl •	s°	= '1 .	(5.74)
Т°

Как показал численный анализ, оценка (5.74) в области S /S 0 > 0,5 идет в некоторый запас. Более точные результаты получаются мини­ мизацией выражения (3.2) по параметрам волнообразования Ли ф.

5 .7. Устойчивость при поперечном изгибе

169

5.5. Устойчивость при совместном действии внешнего давления и кручения

Численный анализ показал, что в этом случае как для многослой­ ных тонкостенных, так и для трёхслойных оболочек в некоторый запас для расчёта несущей способности можно использовать соотношение

(5.75)

5.6. Устойчивость при совместном действии осевой сжимающей силы и изгибающего момента

В рассматриваемом случае не представляется возможным получить точное аналитическое решение для расчёта критических значений осе­ вого сжимающего усилия и изгибающего момента. Расчёты показы­ вают, что при действии чистого изгиба критические эквивалентные осевые нагрузки в многослойных ортотропных оболочках повышаются на 15-^20% по сравнению с нагрузками при равномерном осевом сжа­ тии. Эквивалентное критическое усилие Тэ*р при совместном действии равномерного осевого сжатия и изгибающего момента можно оценить следующим соотношением:

		(5.76)
Здесь	2 7 — критическое	усилие при равномерном осевом сжатии;
Т\ —	действующее усилие	осевого сжатия; Тм = М / TTR 2 — эквива­
лентное осевое сжатие от		действующего изгибающего момента М;
Дм = 0,15-э 0,20.

Расчёт критических нагрузок в трёхслойных оболочках с доста­ точно жёстким заполнителем {К\ > 0,5Т^) можно также проводить на основе соотношения (5.76).

Если заполнитель в трёхслойных оболочках имеет малую жёст­ кость на поперечные сдвиги {К\ < 0,5Т^), то в формуле (5.76) следует полагать Дм = 0.

5.7.Устойчивость при поперечном изгибе

Вэтом случае от действия поперечной силы Q в оболочке возника­ ют изгибающий момент М и эквивалентное сдвигающее усилие 5 ^ :

(5 .7 7 )