книги / Прикладные задачи устойчивости многослойных композитных оболочек

8.5. Устойчивость трёхслойных ортотропных оболочек

201

заполнителя (К\ = К 2 = К), что характерно для трёхслойных сфери­ ческих оболочек. Тогда выражения (8.21) примут вид:

т = к(Ф)т^у/1 -ь2 + к-,	а р	а\2	1	+ ф2
				кр	- Ъ 2.
	2 =	нс: ;	I---------------------\/1
			л / В Д	кр ) В Д кр)	(8 .2 2)
После минимизации первого выражения по ф найдём значения
критических параметров:
ТкР = Т жу/\ - Ъ2 +К;

X2 —____ AL 0 + У^)

. Г Г ~ й .

>

г)2 =

X j L -

’

,/,2 _J_.

’

Лкр —

I----------------------------------

V 1

и

11ко

/77

Гкр

/ 7 7

У ( а 1+ 2у Д ) ф 2 + 2Ц ? )

^

ж

X2

=

I B 2R 2

h Т ? с -

^орт^О

> Ь =

А

2

£7

2

£ Г

T ^ = - y / B 2DT;

= — \ / B 2D\ ;

op + 2у7/? ^

2В [2 (1 + \Jv\V4 )

(8.23)

kорт —

^

«2 + 2^

Если жёсткости К\ и К 2 заполнителя — одного порядка, то можно

в некоторый запас считатв заполнитель изотропным с жёсткостью К =

= min(A'i, К 2) и расчёт проводить по формулам (8.23).

_

К 1 + К 2 Ф2

Если предположить, что величина--------- ^— слабо влияет на фор-

1 + Ф

му волнообразования, то ф2р « —=■, и расчёт критических параметров

можно

v Р

полагая в

них к(ф) = корт,

проводить по формулам (8.21),

ф = фкр= - ^ .

В области достаточно жёстких на поперечные сдвиги заполнителей (К ^ 0,5 Т*) трёхслойная оболочка сопротивляется в соответствии с моделью прямой линии [62]. В этом случае критические параметры определяются из соотношения (8.2). Запишем это соотношение в виде, удобном для дальнейшего анализа:

гр -р В\фф) А2

В 2 1 + ф 2'

1 R 2 ' 1 + ф2 В Д ) ' А2 ’

^ 1 = А 0 ; Q = 1+А 2 (и\+и;2ф2У А> 1+ “^ 2) « 1. (8.24)

202 Гл. 8. Устойчивость многослойных сферических оболочек

Поскольку функция О, влияния поперечных сдвигов — порядка единицы, считаем, что она слабо влияет на форму волнообразования

при потере устойчивости. Проводя при этом условии минимизацию
Д2
выражения для Т по параметру------ », найдём:
1+ ф	1
Т = k(i>)TfVn ; А2 = А2		+ ф2
		(8.25)

Чтобы найти критические параметры Ткр, Акр, фкр, необходимо выражение (8.25) проминимизировать по ф. В результате минимиза­ ции при условии, что функция О, поперечных сдвигов практически не влияет на форму волнообразования, получим следующие зависимо­

сти («1 < а2):		Т^Ж		/утя	и	ГТ1УК.
	гркр _ ______ _________.
					^орт^О >
	y j 1 + £ р л / 1 + £ р
	&орт —	^ 1 ( ^ к р )	g?i + 2д//? ^			^
		В Д кр)	а2 + 2д//?
		(, + y g ) ( , + ^				| )
£ р _ а р 2Кф				a i + 2\[ф
ф.2	X2	= \ 2	(1 +	у/Р) \/1 + £Р			(8.26)
КР	'жр	''я
у /? '			оц + 2y/~Xj		(^а 2 + 2у/7?^

Сравнение показывает, что расчётными формулами (8.23) целесооб­ разно пользоваться в области

kорт

<

1 + кор,гар\/1 +

В противном случае необходимо применять формулы (8.26).

Если пренебречь квадратом величины ер(е| -С 1), то выражение (8.26) для критического усилия принимает вид

Т кр = Т ж (1 - i £p) = Т ж ( l - ар^ ) .

(8.27)

В том случае, когда сдвиговые В \2 и крутильные -D12 жёсткости достаточно велики и выполняется условие op > а2, форма волнообра­ зования становится осесимметричной (фкр = пкр = 0). Тогда расчётные формулы для критических усилий примут вид:

8.5. Устойчивость трёхслойных ортотропных оболочек		203
К < 0,5	:
Ткр = Т0™	/ Г ^ + ^ ; ^ p = n2p = 0. x l p = X l V T ^ .	(8.28)

^0,5 T f :

'Т'Ж.

£ о =	2 К ~ 1 ’	= п к р = 0;	= Х 2ж Х / \ +	е 0 ;	(8.29)
В случае	выполнения условий а\		= ач = 2	(квазиизотропная

оболочка) расчёт критических усилий проводится по формулам (8.28), (8.29), но форма потери устойчивости при этом может стать неопреде­ лённой.

Величины Т™ (критическое усилие, соответствующее раздельно ра­ ботающим слоям), Т * (критическое усилие для оболочки с абсолютно жёстким на поперечные сдвиги заполнителем) и К (жёсткость трёх­ слойной оболочки на поперечные сдвиги) можно назвать обобщёнными жесткостями трёхслойных сферических ортотропных оболочек. Этими тремя обобщёнными жесткостями и параметрами анизотропии (ап, « 2. /3) определяются критические усилия и границы применимости различ­ ных математических моделей. Так, погрешность применения модели неизменной нормали в соответствии с (8.27) составляет

Если Ас -С 1, то можно не учитывать влияния поперечных сдви­ гов и применять модель оболочек с неизменной нормалью. Модель прямолинейного элемента (типа сдвиговой модели С. П. Тимошенко) применима тогда, когда достаточно велика сдвиговая жёсткость К и сравнительно мала величина Т™, определяющая жёсткость несущих слоёв. Погрешность применения модели прямолинейного элемента со­

ставляет

П^ПС

Лпр = —рГ-

(8.31)

Если Дпр -с 1, то можно использовать модель прямолинейного элемента. Заметим, что критерий применимости модели прямолиней­ ного элемента определяется не малостью изгибной жёсткости несущих слоёв по сравнению с изгибной жёсткостью трёхслойного пакета (как иногда считают), а малостью обобщённой жёсткости Т“с несущих сло­ ёв по сравнению с жёсткостью К трёхслойного пакета на поперечные сдвиги.

В том случае, когда величины Дс и Дпр не малы, необходимо пользоваться моделью ломаной линии.

204 Гл. 8. Устойчивость многослойных сферических оболочек

Формулы (8.26), (8.27), (8.29) можно использовать и для расчё­ та критических усилий в многослойных сферических оболочках, со­ ставленных из ортотропных слоёв. Достаточно в указанные формулы подставить соответствующие жёсткости на растяжение, минимальные жёсткости на изгиб и кручение, а также жёсткость многослойного пакета на поперечные сдвиги [32, 41].

С целью обоснования полученных инженерных зависимостей и ил­ люстрации закономерностей поведения трёхслойных сферических обо­ лочек при потере устойчивости от действия внешнего давления, была рассмотрена оболочка в виде полусферы радиусом R = 118 см.

Характеристики упругости и параметры анизотропии несущих сло­ ёв определялись следующими величинами:

Е Х= Е2 = Е = 29400 МПа; G l2 = 5750 МПа;

i/i = i/2 = v = 0,1; «1=0,975;	«2 = 4,913; (3 = 1;
корт = 0,656; а р =	1,34.

Толщины слоёв оболочки: hHC= 0,133 см; <5= 2,367 см; Н = 2,43 см. Обобщенные жёсткости сферической оболочки:

Т0НС= 12,8 КПа-м; Т0Ж = 809,3 КПа • м.

Слой заполнителя считался изотропным по модулям поперечного сдвига {К\ = К 2 = К), а сам модуль (?з сдвига заполнителя изменялся в пределах 0 < (?з < 210 МПа.

В табл. 8.1 и на графике (рис. 8.1) демонстрируется зависимость безразмерного параметра критического усилия (Ткр/Т ж) и критиче­ ских параметров Лкр, фкр волнообразования от безразмерной жёсткости Д /Т ж трёхслойной оболочки на поперечные сдвиги. Кроме того, вы­ числяется безразмерная функция Q влияния поперечных сдвигов. Без­ размерные параметры Т кр/ Т ж критических усилий вычислялись путём минимизации выражения (8.1) по параметрам Л и гг (точное решение), по приближённым формулам (8.23) для случая слабых на поперечные сдвиги заполнителей и по приближённым формулам (8.26) для оболо­ чек с достаточно жёстким на поперечные сдвиги заполнителем.

Обращает на себя внимание следующее. Как и предсказывалось зависимостями (8.23), (8.26), форма волнообразования при потере устойчивости неосесимметричная, при этом фкр « 1, т. е. Лкр ~ пкр. В окрестности значения безразмерной сдвиговой жёсткости 7Г/ТЖ = = 0,5 происходит качественное изменение критических параметров АКр и ?гкр волнообразования. Например, из табл. 8.1 следует, что

величина Акр	снижается от нескольких десятков при	К / Т ^ < 0,5
до нескольких	единиц в области 7б/Тж ^ 0,5. Граница	7б/Тж = 0,5

разделяет области сильного влияния сдвиговой жёсткости заполнителя на критические усилия (7Г/ТЖ < 0,5) и слабого влияния (7б/Тж ^ 0,5), когда критическую нагрузку определяет обобщённая жёсткость Тж

8.5. Устойчивость трёхслойных ортотроипых оболочек

205

Т аб л и ц а 8.1

а

a

а

к

а

£к

а

к

а

a

С\|

а

a

сБ4

CN

об

к

а

a Бч

Т^ /Т* (8.23)

	Ю	оеоо‘о	о-	00	0,0134	с\|	со	о	ю
	о		о	о		о	о	о	о
	О		о	о		о	о	с\|
	О		о	о
		00	с\|	с\|	00	с\|	-	-	-
	-	У	о	о	У	о
		о			о
	CN	с\|	о	00	со	с\|	со	с\|	о
	Ю	ю	ю
						о	ю	со	CN
	1	1	1	1	1	ю	ю	со	о-
						о	о	о	о
	со		со	ю	со	СУ	00		1
	о	о	о	с\|		со	о	о-
	о			о	о	о		о

о-	00	о	со	ю
		У	о	о
о	о	о	о	о
-	00	о-	о-	о-
	00
	о
00	00	со	со	со
00	СУ	со	ю	о-
	00	У	о	у
о	о	о	о	о
1	1	1	1	1

об

£

со

со

ю

со

СУ

00

ю

о-

о-

с\|

со

00

о

о

о

о

CN

со

о

со

00

У

У

У

о

а

о

о

о

о

о

о

о

о

о

о

о

a

Бч

со

со

СУ

ю

с\|

ю

со

со

с\|

со

ю

00

CN

о-

о

о

о

с\|

с\|

со

CN

00

о

со

£Г о

о

о

о

о

о

о

о

о

со"

со*-

S

ю

с\|

00

о-

о

00

с

о-

со

со

СУ

СУ

(У

СУ

00

у

у

оо

ь-'

со"

У

<м~

оо"

«

’*£

у

о-

с\|

о-

о

с\|

о-

У

У

У

со

С<1

-*?

-*? о-

CN

со

-*? У

С<1

со

ю

CS

с

ю

S

с\|

ю

о

о

о

о

о

о

о

-

со

о-

00

с\|

со

о

ю

с\|

СО

о

8.5. Устойчивость трёхслойных ортотропных оболочек

207

(критическое усилие для оболочки с абсолютно жёстким на попереч­ ные сдвиги заполнителем). В последнем случае сдвиги играют относи­ тельно малую поправочную роль. В окрестности значения К / Т ^ = 0,5, как следует из таблицы, происходит резкое (почти на порядок) уве­ личение функции ПКрВлияния поперечных сдвигов. Заметим, что чем больше величина Пкр, тем меньше влияние сдвигов (0 ^ Пкр < 1). Сказанное выше иллюстрируется и на графике (рис. 8.1). В частности, в окрестности значения К / Т ^ = 0,5 происходит резкое изменение характера зависимости критических усилий от сдвиговой жёсткости заполнителя: при К/Т™ < 0,5 критическое усилие прямо пропорцио­ нально зависит от сдвиговой жёсткости К трёхслойной оболочки, а при К/Т™ > 0,5 влияние поперечных сдвигов заметно ослабевает и при К/Т™ > 2,5 не превосходит 5% .

Из таблицы и графиков следует, что в области К / Т ^ > 0,5 формула (8.26) хорошо приближает точное значение, полученное минимизаци­ ей выражения (8.1): максимальная погрешность не превосходит 3%, причём расчёт по формуле (8.26) проводится в небольшой запас устой­ чивости.

Для расчёта несущей способности сферических оболочек при дей­ ствии наружного давления необходимо результаты, полученные по при­ ведённым выше теоретическим формулам, умножить на эмпирический поправочный коэффициент. Нам неизвестны систематизированные экс­ периментальные результаты, полученные при испытаниях на устойчи­ вость трёхслойных анизотропных сферических оболочек.

Глава 9

УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИ ОСЕВОМ СЖАТИИ

ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК

СОТВЕРСТИЯМИ

9.1.Выбор математической модели

ипостановка задачи

Рассматривается задача исследования влияния различного рода отверстий на устойчивости изотропных и композитных цилиндриче­ ских оболочек при действии осевого сжатия. Такие отверстия могут появлятвся, например, в резулвтате воздействия метеорных частиц, космического мусора, при пробое пулями и другими снарядами, при повреждении конструкций в процессе эксплуатации и т. п.

Оболочечные конструкции по причине наличия отверстий являются существенно неоднородными, что чрезвычайно затрудняет их теорети­ ческий анализ [22, 51, 58, 87]. Вместе с тем имеется довольно много экспериментальных исследований по влиянию размеров и формы от­ верстий на величину критической силы. В связи с этим целесообразно проанализировать результаты этих исследований и на основе этого анализа разработать рекомендации по выбору поправочных эмпири­ ческих коэффициентов, учитывающих уменьшение критических сил в зависимости от размера отверстия.

Обозначим через R, h, £ соответственно радиус оболочки, её тол­ щину и длину. Радиус кругового отверстия обозначим через р, сто­ рону отверстия квадратной формы через а. Для анализа критических напряжений выберем классическую модель оболочек с неизменной нормалью. Рассмотренные ниже изотропные оболочки были доста­

точно тонкими ^ ^ 8(/j, что позволяет уверенно применять модель

неизменной нормали. Погрешность применения классической модели к анализу композитных ортотропных оболочек, как показано выше, определяется величиной

А = 0,17 у/Е\Е 2	R	(9.1)
G \з	h

Здесь Е 1, Е2, С?1з — модули упругости в двух направлениях и мо­ дуль поперечного сдвига соответственно. Как показал анализ, для рассматриваемых композитных (стеклопластиковых) оболочек погреш­ ность применения классической модели составляет не более 1,3%.

210 Гл. 9. Устойчивость при осевом сжатии цилиндрических оболочек

силу при осевом сжатии цилиндрических оболочек с помощью пара­ метра

ъ =

(9.3)

В случае изотопных оболочек без отверстий критическая сила опре­ деляется соотношением

Р кр = 1,21 тгЯЬ2;

(9.4)

Е — модуль упругости материала оболочки. При этом зависимость между критическими параметрами волнообразования при потере устой­ чивости определяется соотношением:

А2	+г?2	/-------------	АкР = ^ .	(9.5)
кр	кр = А0 =	у 12(1 - и2) !
Акр

Здесь токр и пкр — числа полуволн в осевом и волн в кольцевом направлениях соответственно.

Полагая, что волнообразование имеет квадратную форму (Акр = = пкi-кр), из соотношений (9.5) получим

ЛА	Кр =	1 4	(9.6)
		2 V 12(1 —1/2

Обозначая через А размер полуволны в осевом направлении, а через В — в кольцевом направлении, найдём:

£	i r R	2 T T R	7гR	А - В	TT2R 2
А	Т )	& = Ту	= Т > Ьп		(9.7)
,,0кр	кр	^'*'кр	''кр		Ж '
	/'кгг»

Площади кругового и квадратного отверстий соответственно равны:

й'окр = кр2; SOKB = а2.

(9.8)

В соответствии с зависимостями (9.3), (9.6), (9.7) и (9.8) найдём безразмерные параметры s0 в случае изотропных оболочек:

— для кругового отверстия

У 12(1 - и 2) - ? = ~ 0,513		(9.9)
2 л/ тт V	^ R h	y/Rh
для отверстия квадратной формы
	0,289	(9.10)
	у / Ш '

Как видно, физический параметр s0 для кругового отверстия в изо­

тропных оболочках с точностью до множителя — совпадает с пара-

у/к

метром (9.2).