книги / Моделирование и автоматизация проектирования силовых полупроводниковых приборов

венства
• U -^ ,)- « U - W " ,)= < 7 f 'M x.	(3.81)

выражающего непрерывность электронного тока в интересующей нас области [ - W /, — W{\.

Таким образом, задача сводится к вычислению плотностей то­ ков в соответствующих областях структуры. При вычислениях бу­ дем считать совпадающими пороговые значения концентрации легирующих примесей NCk=N c, определяющих снижение подвиж­ ностей носителей заряда (3.78) и времен их жизни (3.80). Это существенно упростит математические вычисления, не исказив фи­ зического смысла получающегося результата. Кроме того, будем рассматривать случай, когда граничная точка — Wc, в которой на­ чинается изменение параметров, расположена правее точки — U7, (см. рис. 3.12). Этот случай наиболее интересен, так как соответ­ ствует / > 10 А/см2.

В области низкого уровня инжекции (— Wp^ x ^ — W\) урав­ нение непрерывности для электронов в соответствии с результа­ тами предыдущего параграфа имеет вид

d2(n — n0)		М л	,	1	dfln	q	d (A E ')'\d(n
		dx	'		dx	kT	dx		j1	,
	1	dfi„		1	dNA	d	(	1	dNA
L,? (х)										+
	Mix		d x	N A	dx	dx	\ *A		dx
q < P (A £ j)		]		d«n	q	d^Ecg)
+ hT	dx2 “ +	y.,i		dx	kT	^ ] ( n		- « . ) =		0,	(3.82)

где L2n(x )= D n (x)r„ (x) .

С учетом (3.75), (3.78) и (3.79) уравнение (3.82) приобретает

вид
d2( n - n 0)			2qVi \d(n-n9)
dx2			dx
			(3.83)
- ( ■ w + v - t ' - ' - ® - ) ) 1—
Решение (3.83) с граничными условиями
л| _ _=	n(	^ i)
p
может быть записано следующим образом:
п(х) = и(— Г , ') е х р [ т	(	*	(Х+ Г >’>] (тГ,(’£ г ) - (3-84)

6— 6393

81

где Kv{z) -

функция Макдональда; z =

(2/XnynLnB){NA (x)lNc)v *‘>z’~

значение

z

в

точке

x = — W\;

Тк =

а«+Р л;

v = ( l +

art-

— 2(qVJkT))/yn;

LnB~

значение

диффузионной

длины электронов

в базовом

слое.

Плотность

электронного

тока

в

точке

х = — W\

зависит от

соотношения

параметров

структуры.

При

z '> l ,

т.

е.

кпупЬп(—Wi') < 2 ,

что

соответствует

высоким

плотностям

тока

( / > 10s А/см2),

]

( - Г,-) =, --У ''* '

С”(~

*У >) 1’

а")Я

(3.85)

Lttb

V

Ne

}

При z '< 1, т. е. при xnynLn{—Wl')> 2,

<lDribNc

к^п

ttnv

/

Г ( — v)

\

/ n ( - U

Y ) \ 1 + V'r»

Lnb

\

T(v)

) {

Nc

)

(3.86)

где T(v) — гамма-функция Эйлера.

при принятых значе­

При выводе

(3.86) учитывалось, что v < l

ниях параметров

ал^0,25,

pn^l,67,

У=0,009

В, 7 = 3 0 0 К.

А /см 2,

Из (3.86)

следует,

что

в

области

плотностей

токов,

1 0 < /< 2 -1 0 3,

которая

при

типичных

значениях

Ncc* 1016

см-3,

Ял_1^5-*-10

мкм,

^лв^Ю 2 мкм

соответствует

неравенствам

(Я„уд7лБ)/2 >

(Na (— Wx)INc)yn/2>\,

плотность

тока

электронов,

текущих из

/г-базы

в р-эмиттер, оказывается пропорциональной п'1,

где fe=l+V Y n—an= 2 —2qV{/kT. Таким образом, условиеk=£2 опре­ деляется сужением ширины запрещенной зоны, но не снижением подвижности или времени жизни носителей заряда в сильнолеги­ рованных слоях.

Условие %nynLn{—W V)> 2				позволяет	оценить рекомбинацион­
ный ток в области [— W/, —Wt], Используя						(3.75) и (3.77), лег­
ко показать, что при			(Р„+1)/2
И <	NA( - Wx')							(3.87)
	У д(-^1)
рекомбинационный ток можно оценить сверху как
	h	= q J	Rdx <	■	(Ц7/ — Wx).			(3.88)
Неравенство		(3.88)	с учетом (3.86)		может	быть	преобразова­
но к виду
JR< J n( - Г / )					/ _	r ( - v ) \		(3.89)
			^ Y n M -W V ))20-0 I			r(v)	/

82

Из (3.89)	следует, что JR< J n(—Wi') яри
				<3-90>
Подставляя (3.90)		в (3.87)	и учитывая, что XnynLn{Wl')> 2 ,
получаем, что при
	и < х 0 = ехр
значение JR оказывается малым по сравнению				с / п(— Wy')t и
им можно пренебречь в условии			(3.81).
Физически это означает^ что подавляющее большинство нерав­
новесных	носителей	заряда	рекомбинирует в	области [—Wp,

— W\], где происходит сильное уменьшение времени жизни. Выражение, определяющее плотность электронного тока в об­

ласти высокого уровня инжекции, т. е. при x > —Wu может быть легко получено из (3.15). Исключая из этих выражений поле Е и пользуясь условием нейтральности, получаем

Jn=	J— — \ -qD {x)-^ --q D (л) п		S - ,	(3.91)
'	Ь + \ ^ 4 к } dx	4 к '	dx kT '
	Dn(x) Dp(x)
где p lJ) = 2	r.(,)+ p,w -
Подставив	(3.86) и (3.91) в (3.81) и воспользовавшись тем об­

стоятельством, что при выполнении неравенства (3.90) концентра-

	ции_/г(— W\)	и л(— Wi)	связаны соотношением			[3.37] n(—Wy)=
	= Укл(— W\), получим граничное условие в точке x = —Wy
	dn	Ь	J		fsn	( ni-WJ	+
	dx	b + 1	q D { - W ,)	^	qD( — \V/1)	^ ni0
		qnj-W j			|		(3.92)
			kT	dx	1х= -пч’
	где
				( _	Г ( - у ) \
	k =	1	Ф'*Ыс	^	r(v) >

Для сопоставления полученного граничного условия с имею­ щимися в литературе данными необходимо перевести его в точку * = 0 . Для этого необходимо, решив уравнение непрерывности в областях [— W\, — И7С], [—WCt 0], найти связь* между n(—Wy) и

п (0 ),-^ -1	и — I .При решении было учтено следующее.
dx JJC= —1^ж	dx lx=0

Во-первых, при /г^ 2 ‘ 103 А/см2 концентрация n(—Wi) <:5-1017 см-3, что с учетом (3.77) соответствует NA (— W i)^ 1017 см~3. При таких концентрациях легирующих примесей AEgc=0, поэтому при реше-

6*

83

нии уравнения непрерывности в указанных областях пренебрегаем третьим слагаемым в правой части (3.91).

В этом случае решение уравнения непрерывности в области вы­ сокого уровня инжекции имеет вид

n { x ) = e x p ^ { x + W c)[A]v,,{z)-\-BKv„{z)]	при —№ \ < л < - Г с, 1
п{х) = С exp ( —х/ЬБ)	при —	J
		(3.93)
где v " = a /(a + P ), у = а + р , z=2/%yL(x).	собственные	свойства
Отметим, что поскольку нас интересуют
р — п перехода при нахождении решения	(3.93) мы ограничились

рассмотрением структуры с толстой базовой областью Wn/Ln > 2 . Константы А, В и С определяются очевидными в данном случае граничными условиями

4т— г, =	n { ~ W c - 0 ) = n { - w e + С),
	Jn(~Wc~0) = ] a( - W c + 0).

Простые преобразования выражений (3.93) с учетом граничных условий и использованием того, что zc<.z\<.\, позволяют найти следующие соотношения

(3.94)

n i -W J ^ n i- W ') = я(0)exp (WJLs).

Подставляя (3.94) в (3.92), получаем граничное условие

Отметим, что если граничная концентрация N0) определяющая начало сужения запрещенной зоны [см. (3.80)], велика, то схема расчета может несколько усложниться. Область низкого уровня инжекции — Wp<£Lx^— W/ необходимо разбивать теперь на две части. В первой из них при — WP^ X^LW " сужение запрещенной зоны имеет место и уравнение непрерывности имеет вид (3.82).Во второй части области при — W\"<Lx<L— W\ концентрация леги­ рующих примесей меньше No и AEgc= 0 . Распределение носите­ лей заряда в области низкого уровня инжекции определяется те-

84

перь. решениями в каждой из двух указанных частей, сшитыми в точке x = —W ", причем условием сшивки является непрерывность концентрации и тока электронов в этой точке. В общем виде рас­ чет приводит к громоздким выражениям. Однако в случае, когда область —Wi'\ широка, а именно W " — Wi>2/Xnya, формулы для плотности электронного тока вблизи точки х= —WY существенно упрощаются, и это позволяет получить граничное ус­ ловие в виде

dn	-г	ь		' qO {-w t) +		Jsn	(n -W J f
dx		: ~ 6 +	l			q D ( - T J	л»о	J
где k =	2; v	1 + «Я .		I	<*DnbNi	'( Г( — у)/Г(у))		( nt0\k
		f t d V		J		(W ^ B)2'" '		\ Nc J ’
Как видим,		(3.92')	можно получить из (3.92), положив AEgc==
==0. Это	означает, что				при достаточной удаленности			точки х =

= —Wi от области, где существенно сужение запрещенной зоны, влияние этого эффекта на граничное условие оказывается прене­ брежимо малым.

Полученный результат легко сравнивать с экспериментальны­ ми данными. Согласно результатам [3.26] вплоть до плотностей тока /= 5 0 0 А/см2 показатель k=2. Это может означать только то, что сужение ширины запрещенной зоны становится сущест­ венным в областях с большими концентрациями легирующих при­ месей, расположенных столь далеко от точки х= —Wi при / = = 500 А/см2, что практически эффект сужения ширины запре­ щенной зоны не влияет на распределение носителей заряда в ба­ зовом слое и прилегающей к нему области эмиттера.

Экспериментальные данные, представленные в [3.39], позво­ ляют предположить, что область плотностей тока, в которой k =

= 2, продолжается вплоть до значения /^ 8 0 0	А/см2. Однако дан­
ные эти недостаточно подробны, и поэтому	область плотностей
тока /> 5 0 0 А/см2 нуждается в дополнительном исследовании.
Таким образом, граничное условие, определяющее распределе­

ние носителей заряда в базовом слое структур с диффузионными р-п переходами имеет вид, отличающийся от граничного условия в резком р-п переходе. В граничной точке х = — WCt в которой на­ чинается изменение физических параметров полупроводника, со­

	гласно (3.92),	(3.94)	оно может быть записано в виде
	dn I		_ _	____ /	| Ап	/ я( — W ) \k		(3.96)
	dx	\*=-wc ~~		ь + 1	<lDB	[ n.Q	)

и отличается от известного условия Флетчера [3,23, 3.24], во-пер­ вых, зависимостью тока насыщения от параметров эмиттерного слоя, во-вторых, показателем степени k. При не очень больших плотностях тока влияние области, в которой существенно суже­ ние ширины запрещенной зоны, мало и k=2. Интересно то, что условие 1гф2 определяется именно эффектом сужения ширины запрещенной зоны, а не снижением подвижности и времени жиз-

ни носителей заряда в силытолегированных слоях структуры. При вычислениях мы не конкретизировали численные значения коэф­ фициентов ап и >рп в (3.78) и (3.79). Значение k от ап и рп не за­ висит. В то же время учет изменения подвижности и времени жиз­ ни носителей заряда по толщине диффузионного слоя в сущест­ венной мере определяет сам вид граничного условия. В этом легко убедиться, сравнив (3.9,6) с результатом, полученным в рам­ ках простейшей модели [3.37], в которой считалось хп= const и Pn— const по ширине эмиттерного слоя. Граничное условие, опре­ деленное в [3.37], имеет вид

dn I	/(1 — Y(fr +	D )	/ 3 9 7 v
dx 1х= -1Г ,	2bqDp	'	K ' 1

где -y=const — коэффициент инжекции перехода, связанный про­ стой, но громоздкой формулой с физическими параметрами слоев.

Качественно полученный результат легко понять. Снижение коэффициента инжекции эмиттерного р+-п перехода означает воз­ растание тока электронов из я-базы в р+-эмиттер. Непосредствен­ ными причинами, вызывающими это, являются либо снижение времени жизни носителей заряда в эмиттере, приводящее к воз­ никновению градиента неравновесных электронов, а следовательно, и диффузионного электронного тока, либо возникновение эф­ фективного электрического поля за счет сужения ширины запре­ щенной зоны, вызывающего дрейфовый ток электронов в эмит­ тер. На эти токи, естественно, влияет координатная зависимость коэффициентов Dn(x) и Ца(х). Именно эти причины приводят к нелинейному граничному условию (3.96). Если же считать, что Tn==const, p,n==const, сужение ширины запрещенной зоны не учитывать, как это было сделано в [3.37], то граничное условие (3.97) оказывается линейным, а коэффициент инжекции перехо­ да — постоянным.

ВОЛЬТ-АМПЕРНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА

Найденное граничное условие позволяет просто вычислить ВАХ ПС структуры с диффузионными р-п переходами. Учитывая результаты, изложенные в предыдущем параграфе, будем решать уравнение непрерывности в области высокого уровня инжекции [— Wcu HP»+We2] (см. рис. 3.11) в диффузионном приближении. Граничные условия для этого уравнения имеют вид

dn I		_	J	, Isa	^я( — В
				qDb	\	M ) ;
dx	| * = ^ С1 ”		2qDpB			Щоi	/
dn	|		J				(3.98)
				J S P	( n ( W n +		W cz) \ k
dx	1	* = ^ + ^ -	2qDnB ~	qDB	\	n{о	)
При k = 2	стандартные вычисления,					аналогичные описанным
в § 3.3, приводят к результату, сходному						с (3.36), (3.39) и отли­
чающемуся от	последних токами			насыщения			Jsn и / sp, а также

86

размером эффективной базовой области. Для структур с WrJL> > 2 результат вычисления ВАХ ПС имеет вид

UT= U Tpn-{.UTLD-\- U Teh,

(3.99)

v T„

= <i*L b - L

(3.100)

Я

J{

U T L D =

-

nLB

(3.101)

rimin'

* * *

i

7

Pi

i

n,

\a |— i/2

U Teh =

ш

+

И Г

7 Г ^

i 1 -

(\nmin.s ) ' J

" 2

*

"P"

A*

(3.102)

Здесь

' =

+JT: ^

) ( , + /

,4^ r x ) ] ‘,2;

<p0 =

----------Р‘ /Пм’‘

,

yjs = ^

5

; r ^

= r cl+ r „ + r H

2

6

K l- (A / < W *

H = I i ± ^ A

z ^ ± ;

nnta =

2

(

-

r a )л (Г „Н -Г „)exp( - ^ t ) ;

j

ЧР№Нек

,

f _ r

( - ’ t)\

I „ u y

»\

r(vt)

)

*

LtB

< w ™ > 2,‘ _1

U

J

'

v* “ S

w

T‘ = a‘ +

P‘:

=

« ( - ^ a ) = -

JLB/qDpB

+

"a .*

! + 6+ i

+ J /

^

n(Wn+ W n)' :

7У?°ЯБ

1 i

i

/\

.

4

77$p

V

+ ‘+ T ~qT

Для

структур

c WnH<\ в

области

малых

плотностей

тока

(/^ 5 0 0 А/см2) остаются в силе результаты, полученные в § 3.3 для структур с резкими р-п переходами.

87

Отметим, что если в (3.98)		k= 2	и при токах, столь больших,
что в базовом слое с высоким		т;Б	концентрация носителей заря­
да превысит значение	рс = (СхБ) _,/2. т. е. станет			существенной
оже-рекомбинация, то	все результаты, полученные в § 3.3				для
структур с резкими р-п переходами, могут быть				перенесены	на
рассматриваемые диффузионные структуры.

СРАВНЕНИЕ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ С ЭКСПЕРИМЕНТОМ

Сформулированное выше граничное условие (3.96) определяет инжектирующую способность диффузионных р-п переходов. В отличие от резких р-п переходов со ступенчатым распределени­ ем легирующих примесей, в которых нелинейность граничного ус­ ловия при высоком уровне инжекции в базовом слое определяется квазиравновесностью носителей заряда в области пространствен­ ного заряда перехода, в диффузионных структурах нелинейность граничного условия определяется изменением электрофизи­ ческих параметров полупроводника, таких, как т, D, р, Её, в силь­ нолегированных слоях структуры. Фактически изменение перечис­ ленных параметров в эмиттерных слоях структуры служит при­ чиной возникновения диффузионных и дрейфовых потоков неос­ новных носителей из базового слоя вэмиттерные, и это в конечном итоге приводит к снижению инжекционных способностей диф­ фузионных р-п переходов. Интересно, на наш взгляд, то, что влия­ ние изменения электрофизических параметров на граничное усло­ вие оказывается различным. Только учет сужения ширины запре­ щенной зоны приводит к в граничном условии. Если же пре­ небречь этим фактором, то при любой концентрационной зависи­ мости кинетических коэффициентов и времени жизни k = 2 . Это является, на наш взгляд, принципиальным и дает возможность по измерениям зависимой граничной концентрации носителей от тока судить о вкладе эффекта сужения ширины запрещенной зоны в формирование электрических характеристик структуры. Соглас­ но экспериментальным данным [3.26] k—2 вплоть до плотности тока 1=500 А/см2. Это означает, что при таких значениях / силь­ нолегированная область, в которой существенно сужение шири­ ны запрещенной зоны, расположена столь далеко от точки х = = — Wi, что эффект уменьшения Ее не влияет на распределение носителей в области, определяющей вид ВАХ ПС.

Полученный результат объясняет, почему формулы для ВАХ ПС, полученные ранее для структур с резким р-п переходами, хорошо качественно, а при подборе значений плотности токов насыщения Jsn и Jsp и количественно, описывают эксперименталь­

ные ВАХ ПС диффузионных структур. Примеры				такого сравне­
ния экспериментальных		данных	с расчетными	содержатся в'
[3.30,	3.39].
Вместе с тем следует отметить, что, несмотря на внешнюю схо­
жесть граничных условий в резком переходе (3.18)				и в диффузи­
онном	переходе (3.96)	при k = 2 ,	зависимость их	от параметров

88

структуры существенно отличается из-за различия в выражени­ ях для токов насыщения. Непрерывность изменения электрофизи­ ческих параметров полупроводника от своих значений в базе к меньшим значениям [см. (3.78), (3.79)] приводит к зависимости токов насыщения в (3.96). от параметров базового слоя.

3.5. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОЛЬТ-АМПЕРНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИЛОВЫХ ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ ПРИБОРОВ

Аналитические модели ВАХ ПС, описанные в предыдущих па­ раграфах этой главы, содержат обычно упрощающие предполо­ жения, которые, вообще говоря, ограничивают область примени­ мости каждой конкретной формулы. Почти все конечные формулы для ВАХ ПС получены в результате разложения общих реше­ ний уравнений непрерывности в ряд по малому параметру. Это оказывается не очень удобным для практических расчетов харак­ теристик многослойных структур, потому что, во-первых, нужно всегда помнить о границах применимости используемых формул, а во-вторых, в области токов, где параметр разложения не мал, приходится вычислять ВАХ, интерполируя на эту область выра­ жения из других областей параметров. Например, так приходит­

ся делать,	вычисляя ВАХ ПС структур	с W JL< 1 в области то­
ков, когда	pmijp(0) ~Pminlp{Wn) ~ 1 .	В таких случаях лучшим

выходом из положения является численное моделирование ВАХ ПС. Исследования в этом направлении развиваются интенсивно, и к настоящему времени в литературе имеется значительное чис­ ло работ, посвященных численным методам ВАХ ПС СПП. Су­ щественным моментом, определяющим ценность каждой конкрет* ной модели ВАХ ПС прибора, является физическая обоснован­ ность математических соотношений, положенных в ее основу. Результаты анализа физических явлений в полупроводниковых структурах, уточнение экспериментальных значений физических констант, описанные в § 3.2, показывают, что известные к настоя­ щему времени численные модели ВАХ ПС СПП неадекватно опи­ сывают явления, происходящие в структуре. В то же время акку­ ратный учет всех факторов, определяющих ВАХ ПС, так видо­ изменяет исходные уравнения математической модели, что для решения их требуется новый алгоритм. Разработка и описание такого алгоритма составят предмет настоящей главы. При изло­ жении материала будем следовать [3.40].

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ВОЛЬТ-АМПЕРНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Отличительной особенностью СПП являются высокие плотно­ сти токов, текущие через них в проводящем состоянии. Физиче­ ские явления, сопровождающие протекание больших токов через структуру, подробно рассмотрены в § 3.2. Поэтому ниже остано­ вимся лишь на основных математических положениях модели. При описании статической ВАХ ПС мощной структуры можно

ограничиться одномерным приближением. В этом приближении система уравнений, описывающая изотермические физические процессы в полупроводниковой структуре, имеет вид

d2y

p - n + N ) ;
Л 2
	(3.103)
где N=Nd—NA'— эффективная концентрация	ионизированных
примесей; R = R BRH-\-RA определяется формулами	(3.1).
Корректный учет влияния ЭДР и эффектов сильного легирова­
ния приводит к выражениям для Зп и Ур, имеющих вид (3.15).

Учет зависимости входящих в (3.15) кинетических коэффициентов от концентрации подвижных носителей заряда, концентрации при­ месей и электрического поля проводится в соответствии с резуль­ татами работ [3.15, 3.18].

Граничные условия определяются из предположений о термо­ динамической равновесности и электронейтральности на контак­

тах и в явном виде могут быть записаны в виде
Р (0) = -	^ + / ( т	) Ч	«	Л	0	) :
=			+				(3.104)
	<р(0) = £/;	cp(U7) =		0,
где U— внешнее напряжение,		приложенное			к структуре;		п,(0) и
ni(W) — собственная	концентрация		носителей			заряда на	грани­

цах структуры с учетом изменения запрещенной зоны в сильиолегированных эмиттерах; N(0) и N{W) — значения эффективной концентрации на границах структуры.

Система уравнений (3.103) существенно отличается от анало­ гичных уравнений, использованных в других работах, посвящен­ ных численному исследованию ВАХ ПС (см., например, [3.31— 3.43]), за счет появления в выражениях для токов (3.15)' допол­ нительных слагаемых, которые описывают эффект взаимного ув­ лечения носителей заряда вследствие ЭДР. В свою очередь это приводит к особенностям при выводе конечно-разностной аппрок­ симации уравнений. Поэтому остановимся на этом подробнее.

90