книги / Проблемы теории пластичности и ползучести
..pdfпроникания пластических зон зависит от тепловых граничных условий. Эти вопросы рассматривались Ранецким [242] и бу дут обсуждаться ниже.
Рассмотрев рост пластических зон и последующую раз грузку при понижении температуры, перейдем к другим харак терным аспектам переходных термопластических напряжений: зависящему от времени распределению напряжений и остаточ ным напряжениям. С этой целью используем результаты, по лученные в работе [100], относящиеся к сфере, изготовленной
Рис. 14. Упругие и пластические зоны во внезапно охлажденной сфере [207] / — фронт текучести; 2 — фронт разгрузки; р = У/(6Оа0о).
из упрочняющегося материала, обладающего механическими и термическими свойствами, не зависящими от температуры.
Закон упрочнения для материала сферы можно записать в виде
(4.38)
*$= - ( * г- * ф)/2Я,
где Н — модуль упрочнения, постоянный в рассматриваемом случае. Закон течения (4.5) принимает теперь вид
®г — |
(дг 2гаф) + |
-jj (<5rr — дф) + (Х0, |
e«p = |
-g -[-v d r + (l - |
V)<g —- ^ ( ^ - с т ^ + аё, |
где |
Г |
1, |
если | сгг — (Тф |> У, (ог — 0Ф) (стг — аф) > О, |
|
|
а = |
(4.4U) |
||||
\ |
О |
в противном случае. |
|||
^ |
( |
|
Таким образом, при активном нагружении материал изотроп но упрочняется с постоянной скоростью, тогда как при раз грузке он подчиняется закону линейной упругости.
Комбинируя уравнения (4.39) и (4.26), записанные в ско ростях, можно получить соотношения совместности в форме дифференциального уравнения для скоростей изменения на пряжений. Равенство
(4.41)
совместно с уравнением равновесия (4.24) образуют систему соотношений для решения данной задачи, если температурное поле известно, например оно задано выражением (4.33). В ра боте [100] численно проинтегрированы уравнения этой задачи, причем для температуры приняты значения, получающиеся из (4.1) с учетом поверхностного теплообмена. На рис. 15 пока зано распределение напряжений, полученное для определен ного соотношения Е/Н и числа Био т = 5.
Из этого рисунка видно, что в сфере, которая первоначаль но имела температуру 0О, после помещения ее в среду с тем пературой 0 = 0 с течением времени происходит существен ное перераспределение напряжений. На ранней стадии охла ждения развиваются высокие растягивающие тангенциальные напряжения. В определенный период в центральной части воз никают высокие сжимающие напряжения. Остаточные напря жения соответствуют моменту времени t = оо и приводят к вы сокому сжатию у поверхности. Дальнейшие данные, относящие ся к влиянию упрочнения, глубине пластических зон, течению обратного знака и использованной технике вычислений, при ведены в цитированной работе. Представленные здесь частич ные результаты дали возможность привести основные соотно шения и процедуру их решения применительно к квазистатическим задачам термопластичности.
На сравнительно простом примере мы покажем иной ас пект анализа термопластических напряжений, а именно влия ние поверхностного теплообмена на поле остаточных напря жений в упругопластических телах. Этот вопрос изучали В. Ф. Грибанов [89] и Ранецкий [241] и на примере показали большое значение указанного фактора.
Решение уравнения теплопроводности (4.1) при граничном условии теплообмена kdQ/dR = Qh на поверхности R = В за
висит от числа Био (4.3), |
которое для |
сферы имеет вид пг = |
= hB/k. В данном случае |
это решение |
вместо (4.33) имеет вид |
Пш.\ "L П J
Рис. 15. Поля переходных и остаточных напряжений в упрочняющейся
сфере при |
внезапном охлаждении [100]; --------- |
а0/К0; -------------- |
a r/ Y 0; |
(1 - |
V) Y 0/( E a Q 0) = 0,125; У0/(2Яа60) = |
2,5; m = h R j k = |
5. |
В (4.42) через Ьп обозначены последовательные корни урав нения b ctg b + m — 1 = 0 . Коль скоро распределение темпе ратуры известно, напряжения определяются согласно (4.35) и (4.36).
На рис. 16 показаны некоторые результаты, полученные Ранецким [242] для упрочняющейся сферы при Н/Е = 0,022. Видно, что поверхностный теплообмен значительно изменяет поле остаточных напряжений. Приняв пг = с», т. е. пренебре гая контактным сопротивлением, мы завышаем значения
остаточных напряжений. Этот факт следует учитывать при изучении закалки.
Термопластическим сферам было посвящено много работ. В дополнение к уже упомянутым для полноты картины ука жем еще несколько. Уравнения для переходных напряжений в упругоидеальнопластической сфере при закалке для тем пературного поля (4.33) даны Б. Я. Любовым и Б. Н. Финкельштейном [156]. Величина падения температуры, необходи мая для создания первой текучести, была найдена Б. Н. Фин-
Рис. 16. Влияние поверхностного теплообмена на остаточные напряжения в упругопластической сфере [242]; т = hB/k', (1 — v ) Y 0/( E a 6 0) = 0,4; Н / Е —
= 0,0222.
кельштейном [63]. Соотношения деформационной теории пла стичности были применены В. А. Ломакиным [153] для ана лиза термических напряжений. Однако корректные решения для остаточных напряжений были даны позже Паркусом [207]
иХуанем [100].
В.М. Соболевский [270] применил деформационную тео рию пластичности при изучении текучести в полой сфере, подвергающейся совместному воздействию давления и на грева. Рогоэинский [248] вывел уравнения для случая линей ного понижения предела текучести при повышении темпера туры. Аггарвала [1] рассмотрел аналогичный вопрос для упру говязкопластического материала и произвольной зависимости предела текучести от температуры. В. А. Ломакин [153] уста новил, что величина коэффициента поверхностной теплопро
водности имеет большое значение для остаточных напряже ний. Общее решение для упрочняющейся сферы с не завися щими от температуры свойствами материала было дано Ранецким [239, 241]. Названные работы содержат тщательное рассмотрение вопросов, касающихся поля переходных напря жений, зон нагружения и разгрузки и движущихся упругопла стических границ.
4.5. Проблема связанной термопластичнооти
Теории связанного термомеханического поведения учиты вают взаимосвязь напряжений и температуры. Неоднородное температурное поле создает напряжения, в свою очередь де формационные процессы приводят к изменениям температуры и образованию в телах тепловых потоков. Поэтому энергети ческое уравнение теплопроводности содержит дополнительный член, обусловленный тепловыми источниками, связанными с деформациями. Характерной особенностью такой связанной теории является совместное определение температуры и де формаций. В теории линейной термоупругости проблема хоро шо изучена и тщательно разработана в монографиях В. Новацкого [187, 188].
Эффекты взаимосвязи более явно выражены в пластично сти, так как пластические, деформации могут вызвать в неко торых материалах заметное повышение температуры.
В случае простейших взаимодействий уравнение теплопро водности дополняется соответствующим членом, учитываю щим выделение тепла за счет пластической дисторсии. Так как термопластические взаимодействия уже обсуждались в разд. 2, сошлемся здесь только на работы [181, 282, 303, 40]. В последней из них получено простое выражение для повыше ния температуры в процессе пластической работы. Нид и Баттерман [183] применили эту теорию для решения краевой за
дачи связанной термопластичности и |
обсуждения |
эффекта |
|||
взаимосвязи. Ниже |
для |
выявления |
природы и |
следствий |
|
взаимосвязей дается |
обзор |
результатов |
перечисленных ра |
||
бот. |
|
|
|
|
|
Рассматривается толстостенный сферический сосуд, изго |
|||||
товленный из упрочняющегося материала |
Губера — Мизеса. |
Все константы материала считаются не зависящими от темпе ратуры. Сосуд подвергается равномерному возрастающему внутреннему давлению (см. рис. 17). В уравнении теплопро водности учитывается только источник, связанный с диссипа цией пластической работы; взаимодействия в упругой области считаются пренебрежимо малыми.
Когда давление возрастает, сфера сначала ведет себя как упругое тело. Затем возникает течение на внутренней поверх ности радиуса R = А. При дальнейшем возрастании давле ния пластическая область расширяется, и упругопластическая граница %А смещается. В пластической зоне работа диссипируется в виде тепла, которое вызывает повышение темпера туры и распространяется в упругую область. В конечном счете
Рис. 17. Распределение напряжений в полой сфере по несвязанной (6 = |
0) |
и связанной термопластичности [183]; h = H / E = 0,4; v = 0,25; В /А = |
2; |
1 = 1 ,5 . |
|
распределение напряжений в сфере изменяется. Если предпо ложить, что теплопроводность пренебрежимо мала, то непо средственно изменятся напряжения только в пластической зоне.
Этот частный случай изучен в работе [183]. Рост темпера туры происходит только в пластической области, и уравнения для связанных термопластических напряжений сводятся к обыкновенному дифференциальному уравнению. В случае ког да теплопроводность незначительна, рассматриваемая задача
о сфере сводится к системе уравнений в частных производ ных, в которые в явном виде входят зависящие от времени переменные.
Врассматриваемом случае связанной термопластичности
вконечном счете получается следующее уравнение, справед
ливое в пластической зоне 1 ^ |
г ^ |
|||||
d2o |
, 4 |
do . |
6 |
d |
|
|
dr2 |
' |
r dr |
' |
r dr H |
||
a = or/Y0 |
|
|
|
|||
a |
- |
6(1“ |
A) |
|
, |
|
“ |
|
1 + |
h (1 —2v) |
|
g:
(4.43)
t r h h
r = RJA,
(4.44)
h = HIE,
Н — модуль упрочнения, Е и v, как и прежде, — упругие по стоянные.
Входящий в (4.43) параметр связанной термопластично сти дается выражением
1 |
1—h |
aYо |
(4.45) |
|
2 |
1+ h (1 - 2v) |
рс 9 |
||
|
где а, р и с — соответственно коэффициент теплового расши рения, плотность и удельная теплоемкость.
На рис. 17 показано распределение напряжений, получен ное в результате решения уравнения (4.43) при б = 0 и б = 1 Рисунок соответствует случаю, когда пластическая зона рас пространяется на половину толщины стенки. Следует заме тить, что в рамках рассматриваемой теории термопластично сти взаимодействия приводят к уменьшению напряжений.
Кроме того, очевидно, что аналогичное положение суще ствует и для деформаций. Температура повышается с увеличе нием проникания границы раздела упругой и пластической зон г = g. Учет теплопроводности уменьшит эти эффекты.
Хотя для большинства технических материалов параметр связанной термопластичности имеет величину порядка 10_3, теории связанного термопластического поведения заслужи вают дальнейшего изучения в связи с примением их в ди намике.
4.6.Термопластические волны
Вбыстро нагреваемых конструкциях термопластические деформации носят динамический характер. В квазистатическом анализе пренебрегают инерцией тела, а время служит
параметром, учитываемым лишь в истории изменения темпе ратуры. Внутри тела распространяется упругопластическая граница, но волновой фронт не возникает.
Если не пренебрегать инерцией тела, то тепловой удар на поверхности приведет к распространению волн напряжений. Возникнут поверхности, при переходе через которые смеще ния будут непрерывны, но будут иметь разрывные первые производные, т. е. появятся волны сильного разрыва, несущие скачки деформации. Могут существовать как фронт нагруже ния, так и фронт разгрузки. Более того, будет распростра няться упругопластическая граница.
Картина распространения термопластических волн весьма сложна. Чтобы воспроизвести некоторые характерные особен ности волновых решений и сравнить их с квазистатическими решениями, приведем некоторые результаты Ранецкого [238, 240]. Они относятся к материалам, подчиняющимся деформа ционным теориям пластичности согласно уравнениям (4.8), (4.9). Как в упругой, так и в пластической областях термоме ханические взаимодействия не учитываются.
Сравним сперва квазистатическое и динамическое решения для случая неограниченной среды, имеющей сферическую по лость радиуса А. Поверхность полости внезапно нагревается от 0 = 0 до 0 = 0О= const, затем эта температура сохраняет ся постоянной. Уравнение теплопроводности решается при на чальном условии 0(0,/?) = 0 и в предположении, что на бес конечности температура стремится к нулю. Поэтому решение имеет вид функции ошибок.
Если не равно нулю только радиальное смещение U(Ry/), то уравнение движения имеет вид
д а г , 2 / |
ч |
д21) |
/л |
- d t + T ^ r ~ |
a^ = p~dF- |
(4,46> |
Для определяющих законов (4.8), (4.11) система основных уравнений является гиперболической. Поэтому входящий в ра венство (4.8) член, связанный с тепловым расширением, при своем внезапном появлении будет генерировать волны силь ного разрыва. Эта ситуация аналогична известной ситуации в динамической термоупругости, за исключением того, что в данном случае распространяется упругопластическая граница и, кроме того, возникает пластическая волна, скорость распро странения которой зависит от действительного закона упроч нения. В дальнейшем картина распространения волн будет пояснена путем использования соответствующей характери стической плоскости.
На рис. 18 в соответствующих безразмерных переменных представлено сравнение деформаций для двух случаев — ди намического, согласно (4.46), и квазистатического, согласно (4.24). С течением времени эквивалентная деформация, вы званная тепловым ударом на поверхности, локализуется в
двух точках, расположенных на определенном расстоянии от полости. Примером таких точек служит точка S рис. 18. Вид но, что на ранней стадии силы инерции заметно изменяют кар тину деформации. После прохождения фронта сильного раз рыва интенсивность деформации быстро приближается к квазистатическому решению.
Рис. 18. Сравнение квазистатических и динамических решений для упруго пластического тела, деформированного путем теплового удара [239];
---------динамика;--------------- |
квазистатика; % = a 2t / k = * |
E 0t/pk) |
е = [1Е0 (ег — еф)]/(ЗЫЭ0); у = 0,8; es == 1,25; рЛ = |
cA/k. |
Полную картину распространения тепловых ударов в упру гопластических телах можно получить на примере рассмотре ния внезапно нагретого полупространства с нулевым началь ным состоянием. С этой целью мы воспользуемся работами
Ранецкого [238, 244], а позднее обсудим и другие исследова ния.
Систему уравнений, определяющих теплопроводность и ме ханическое поведение линейно-упрочняющегося материала, подчиняющегося законам деформационной теории пластично-
сти, не учитывающей термомеханические взаимосвязи, можно в конечном счете выразить в следующем виде:
дУ |
|
1 |
dF |
|
|
|
дх |
|
Yi |
дх |
|
|
|
дУ |
|
dF |
0 |
дТ |
(4.47) |
|
дх |
' |
дх |
1 |
дх ' |
||
|
||||||
д 2Т |
|
дТ |
|
|
|
|
д х 2 |
: |
дх |
9 |
|
|
|
где искомые функции суть |
|
|
|
|
|
|
f = 2 (. з36а0оО Г “ |
г ) ’ |
Т - Х |
(4.48) |
|||
|
|
|
1 |
dU |
||
|
|
|
|
|||
V = 2ра 3/га0о |
дх |
|
||||
а независимые переменные суть |
|
|
||||
х = аХ/% |
х = а2//х. |
(4.49) |
Кроме того, yi = 1 в упругой области и yi = у в пластиче ской области, причем
|
Yi = |
k/E0 |
Y = |
Н/Ео, |
|
|
|
в _ |
Е{ 1 - |
V) |
|
___ уУ0 |
(4.60) |
||
0 |
(1 + |
v) (1 |
— 2v) ’ |
7 |
3а0о ’ |
|
k — модуль объемной деформации, Н — модуль упрочнения,
а — скорость упругой продольной волны, |
х — коэффициент |
тепловой диффузии. Остальные константы |
имеют обычный |
смысл. Через eY обозначена безразмерная деформация, соот ветствующая пределу текучести У0-
Задачу о распространении тепловой волны удобно интер претировать при помощи характеристической плоскости, пока
занной на рис. 19. Первые два |
уравнения системы |
(4.47) |
имеют характеристики х = у, т = const, поэтому |
|
|
х — х, |
х — ух |
(4.61) |
соответствуют упругому и пластическому волновым фронтам. Они являются единственными фронтами волн сильного раз рыва, которые допускаются уравнениями (4.47).
Если температура 0Она поверхности полупространства до статочно высока, то от некоторой точки А начнет распростра няться упругопластическая граница. Так как скорость рас пространения тепла бесконечна, упругопластическая граница, обозначенная на рис. 19 линией т = ср(л:), предшествует вол не расширения. Область ОАВ является упругой и по линии t = ф(х) отсутствует разрыв деформации. Упругопластиче