книги / Проблемы нелинейного деформирования. Метод продолжения решения по параметру в нелинейных задачах механики твердого деформируемого тела
.pdfЭ.И. ГРИГОЛЮК В. И. ШАЛАШ ИДИН
ПРОБЛЕМЫ
НЕЛИНЕЙНОГО
ДЕФОРМИРОВАНИЯ
МЕТОД ПРОДОЛЖЕНИЯ РЕШЕНИЯ ПО ПАРАМЕТРУ
В НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧАХ МЕХАНИКИ ТВЕРДОГО ДЕФОРМИРУЕМОГО ТЕЛА
МОСКВА "НАУКА”
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1 9 8 8
ББК 22.251 Г83
ХОД 539*34-
Г р и г о л ю к Э.И., Ш а л а ш и л и н В.И. Проблемы нелинейного деформирования: Метод продолжения решения по параметру в нелинейных задачах механики твердого деформируемого тела. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат,лит., 1988. - 232 с. 18ВИ 5-02-013800-2
С точки зрения метода продолжения решения по параметру пропсдсна систематиза ция существующих решений с использованием шаговых процессов по параметру. Пост роены модификации метода, реализующие единообразный процесс продолжении о ре гулярных и предельных точках множества решений, и их обобщения на нелинейные краевые задачи. На основе этих методов даны алгоритмы решения задач больших про гибов, упругих арок и больших осесимметричных прогйбов оболочек вращения, кото рые использованы для исследования больших прогибов круговых арок и панелей то рообразных оболочек. Использование продолжения решения по геометрическому па раметру проиллюстрировано на примере задач о собственных колебаниях и устойчи вости параллелограммных и трапециевидных в плане мембран и панелей.
Для научных работников, инженеров, аспирантов и студентов старших курсов, работающих в области механикй твердого деформируемого тела.
Табл. 3. Ил. 86. Библиогр. 547 назв.
член-корреспондент АН СССР И.И. Ворович, доктор физико-математических наук А С . Кравчук
1703040000-045 82.88 |
© Издательство "Наука”. |
|
Главная редакция |
||
053 (02)-88 |
||
физико-математической литературы, |
||
18ВИ 5-02-013800-2 |
1988 |
|
|
ВВЕДЕНИЕ.
В.1. Две формы метода продолжения решения по параметру В.2. Проблема выбора параметра продолжения я се связь с поведением реше
ния в окрестности особых точек. :
Гл а в а I. ОБОБЩЕННЫЕ ФОРМЫ МЕТОДА ПРОДОЛЖЕНИЯ РЕШЕНИЯ
1.1.Обобщенные формы непрерывного продолжения решения
1.2.Обобщенные формы дискретного продолжения решения
1.3.Примеры применения различных форм метода продолжения решения
1.4. Оптимальный и близкие к нему параметры продолжения решения. . . . .
1.5.Формы метода продолжения решения с частичной оптимизацией парамет ра продолжения .
Г л а в а 2. ПРОДОЛЖЕНИЕ РЕШЕНИЯ В ОКРЕСТНОСТЯХ ОСОБЫХ
ТОЧЕК.......................................................................................................................................
2.1.Классификация особых точек
2.2.Простейшая форма уравнений разветвления
2.3. |
Простейший случай ветвления |
(7 °) = т - 1)............. |
2.4. |
Случай ветвления, когда гапе (7°) = т - 2 .................. |
Г л а в а 3. МЕТОД ПРОДОЛЖЕНИЯ РЕШЕНИЯ ПО^АЙАМЁТРУ В НЕЛИ НЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННШГДИФФЕРЕНЦИАЛЬ НЫХ УРАВНЕНИЙ...............................................................................................................
3.1. Непрерывное продолжение решения в нелинейных одномерных краевых
задачах. . . . ....................................................
3.2.Дискретног продолжение решения в нелинейных одномерных краевых задачах............................................................
3.3.Дискретная ортогональная прогонка..............................
3.4.Алгоритмы непрерывного и дискретного продолжения по параметру ре шения нелинейных одномерных краевых задач. .
Г л а в а 4. БОЛЬШИЕ ПРОГИБЫ АРОК И БОЛЬШИЕ ОСЕСНММЕТРИЧ |
|
НЫЕ ПРОГИБЫ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ.......................................................... |
\06 |
4.1. Большие упругие прогибы плоских арок в своей плоскости. |
106 |
4.2.Устойчивость нерастяжимой круговой арки под равномерным давле нием ...........................
4.3.Алгоритмы метода продолжения решения по параметру для больших про гибов круговой арки..................
4.4.Большие прогибы круговой орки при взаимодействии с жесткой полу
плоскостью. . |
. |
. . . |
4.5. Уравнения больших |
осесимметричных прогибов оболочек врашени |
4.6.Тороидальная оболочка кругового сечения под равномерным внешни давлением.
Г л а в а 5. МЕТОД ПРОДОЛЖЕНИЯ ПО ПАРАМЕТРУ В ЗАДАЧАХ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ДЛЯ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК, ФОРМА КО ТОРЫХ ОТОБРАЖАЕТСЯ НА КАНОНИЧЕСКУЮ....................................................
5.1.Общая формулировка метода продолжения по параметру в задачах на собственные значения'
5.2.Собственные колебания параллслограммной в плане мембраны
5.3.Собственные колебания трапециевидной в плане мембраны. .
5.4. Задачи на собственные значения для однородных и трехслойных пластин и сферических панелей параллслограммной и трапециевидной формы в плане. Мембранная аналогия . . .
5.5. Решение методом возмущений для параллслограммной в плане мембраны
ПРИЛОЖЕНИЯ
I. ОБЗОР РАБОТ ПО ИСПОЛЬЗОВАНИЮ МЕТОДА ПРОДОЛЖЕНИЯ РЕ ШЕНИЯ ПО ПАРАМЕТРУ В НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧАХ МЕХАНИКИ ТВЕР ДОГО ДЕФОРМИРУЕМОГО ТЕЛА....................................................
1.1.Общая формулировка метода продолжения решения по параметру
1.2.Продолжение решения в окрестности особых точек и проблема выбора
параметра продолжения . |
. . . |
1.3.Различные формы метода продолжения решения.
1.4.Применение к геометрически нелинейным системам
1.5.Использование метода продолжения совместно с методом конечных
элементов. . |
..................................... |
1.6.Метод продолжения в физически нелинейных задачах.
1.7.Сравнение различных форм метода продолжения
П. НЕКОТОРЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ |
И КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ АЛГЕБРЕ |
ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВ................................................. |
, , * .............................. |
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ, |
|
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ |
|
Интерес к нелинейным задачам н механике подкреплен и усилен сейчас теми возможностями, которые предоставили вычислительные машины. В этих условиях актуально создание таких методов решения, которые могли бы быть применены к возможно более широкому классу задач. Один из таких классов образуют нелинейные задачи с параметром. Для них, как правило, существен вопрос об изменении решения по мере изме нения параметра. Поэтому метод продолжения решения по параметру для них представляется естественным и в определенной степени универсаль ным инструментом исследования. В настоящей книге изложен опыт и ре зультаты применения этого метода к близкому авторам классу нелиней ных задач механики твердого деформируемого тела.
Во Введении представлены две формы метода: непрерывное продолже ние, основанное на интегрировании задачи Коши по параметру с помощью явных схем, и дискретное продолжение, реализующее шаговые процессы по параметру с итерационным уточнением решения на каждом шаге. Здесь же обсуждаются трудности, возникающие при продолжении решения в ок рестности особых точек, и ставится проблема выбора параметра про должения.
В главе 1 построены обобщенные формы метода, обеспечивающие едино образие процесса продолжения решения в регулярных и предельных точках множества решений. Показано, что проблема выбора параметра связана с решением линеаризованных систем уравнений традиционным методом исключения и что она не возникает при использовании для этого метода ортогоналиэации. Показано также, как строить процесс продолжения ре шения, чтобы линеаризованные системы были максимально обусловлен ными, и как выбирать оптимальный в этом смысле параметр продолжения. Здесь.рассмотрены примеры применения метода к таким модельным зада чам, как пологая арка и трехстержневая ферма.
Глава 2 посвящена анализу поведения решения в окрестности особых точек на основе разложения решения в ряд Тейлора по обобщенному па раметру в окрестности особых точек. Построена простейшая форма урав нений разветвления и рассмотрен простейший случай ветвления, когда оно происходит в двумерном подпространстве пространства переменных и па-
раметра, а также проведен анализ ветвления в трехмерном подпростран стве.
В главе 3 рассмотрены нелинейные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. Использование метода прогонки для реше ния линеаризованных краевых задач позволило отобразить функциональ ное множество решений нелинейной задачи на кривую в векторном прост ранстве малой размерности, а это, в свою очередь, дало возможность обоб щить методы гл. 1 на нелинейные краевые задачи.
В главе 4 методы гл. 3 использованы для построения решений в задачах о больших прогибах арок и больших осесимметричных прогибах оболочек вращения. В частности, приведены результаты численных расчетов для круговых арок и круговых торообразных панелей.
Вглаве 5 рассмотрен пример применения метода продолжения решения по параметру в задачах устойчивости и колебаний пластин и оболочек, имеющих неканоническую форму в плане, отклонение которой от канони ческой (прямоугольник, круг и т.п.) определяется некоторым парамет ром. Задача рассмотрена на примере колебаний мембран параллслограммной или трапециевидной форм. С помощью мембранной аналогии резуль таты обобщены на задачи колебаний и устойчивости плоских и пологих сферических панелей. В такого рода задачах часто применяется метод возмущений. Поэтому проведено сравнение методов возмущения и продол жения решения по параметру.
ВПриложении I дан обзор исследований, в которых метод продолжения решения по параметру непосредственно использован для решения нелиней
ных задач механики твердого деформируемого тела, а также тех работ, где использовались шаговые процессы построения решения, которые мо гут быть отнесены к той или иной форме этого метода.
При выборе степени общности изложения материала авторы останови лись на той, которая требует от читателя знания математики в объеме, традиционном для технического ВУЗа. Некоторые необходимые для чте ния книги дополнительные сведения об алгебре векторных пространств даны в Приложении II.
Книга подводит итог публикаций авторов начиная с 1976 г. Работа по ее написанию распределилась следующим образом: В.И. Шалашилин на писал гл. 13 и 5 ,остальные разделы написаны авторами совместно.
Авторы благодарят члена-корреспондента АН СССР профессора И.И. Воровича и профессора А.С. Кравчука за труд по рецензированию рукописи; высказанные ими замечания учтены в окончательной редакции книги и, несомненно, способствовали ее улучшению. Авторы также признательны А.Я. Бородину за помощь в проведении численных расчетов.
ВВЕДЕНИЕ
Многие задачи механики твердого деформируемого тела сводятся или могут быть сведены к решению систем нелинейных алгебраических, транс цендентных, дифференциальных или интегральных уравнений, содержащих в явном виде параметр. Это задачи статического нелинейного деформиро вания, устойчивости, оптимизации и др. Параметр, входящий в такие нели нейные уравнения, может быть параметром нагрузки,температурного поля, геометрическим или конструктивным параметром и тл.
Исторически первой задачей такого рода была возникшая и исследован ная в трудах Я. Бернулли, Л. Эйлера, Ж.Л. Лагранжа задача деформирова ния гибких стержней (задача эластики), являющая пример геометрически нелинейной задачи, сводящейся к краевой задаче для нелинейного диффе ренциального уравнения
Трудности, возникающие в геометрически нелинейных системах, видны уже при анализе процесса деформирования простейшей двухстержневой
Рис.В .1 |
Р и с. в.2 |
системы - фермы Мизеса, показанной на рис. В.1. Уравнение равновесия узла А фермы имеет вид
Р |
(•> |
|
2 сова |
||
|
где ТУ - сжимающие усилия в стержнях, а - угол между стержнем и вертикаль!Ь. Если а в недеформированном состоянии равен Оо. го укорочение
стержней равно
аа
Д/ = -------- |
(б) |
$тао |
$ т а |
При деформации стержней в пределах закона Гука связь между усилиями N и укорочением стержней линейна:
N10
(в)
ЕР
где Р, /0 - площадь сечения и недеформированная длина стержня, Е —мо дуль упругости материала при растяжении. Для фермы Мизеса наиболее наглядную информацию о ее свойствах дает диаграмма, связывающая уси лие Р с вертикальным перемещением V узла А, показанная на рис. В. 2. К ней можно перейти, добавив к соотношениям (а) - (в) связь между углом а и перемещением в :
1%а |
о-о |
(г) |
ь = а ------ ------------- |
||
1ва-18а0 |
|
|
Решая все эти соотношения, нетрудно получить зависимость Р(у) в ; |
||
ческом виде: |
|
|
Р |
|
—со$ а 0 |
|
|
] |
Однако аналитическая форма решения может быть получена лишь в исклю чительных случаях. Даже если в этой же задаче рассмотреть неидеальные стержни и учесть их продольный изгиб, то аналитическое решение стано вится невозможным. В этом случае соотношение (в) заменяется на следую щие зависимости:
N10
Д/ =
ЕР |
|
№ тг2Е///§. |
(д) |
1 -N /N ^ |
|
Здесь предполагается, что начальная' форма неидеальных стержней имеет вид полуволны синусоиды
у о(х) = И'о 5Ш - |
|
где х,у —координаты вдоль стержня и по нормали к нему, |
—амплитуда |
начальной неидеальности. Деформированная форма стержня |
также рас |
сматривается в виде полуволны синусоиды |
|
у(х)=м> з т —— , |
|
‘о |
|
N - критическая сила для стержня. (Подробно соотношения (д) построены и рассмотрены в § 1.3.)
Диаграмма Р(р) существенно усложняется н принимает вид, показан ный на рис. В.З. Кривая 0 - 2 - 3 - 4 - б соответствует деформации фермы с идеально прямыми стержнями без учета^ютери ими устойчивости, кривая 0 - 1 - 3 - 5 - 6 показывает деформацию такой же фермы, но с учетом потери устойчивости стержней (участок 1 - 3 - 5 ) . Кривая 0 - 7 - 3 - 8 -6 демонстрирует деформацию фермы с неидеальными стержнями.
Уравнения (а), (б), (г), (д) представляют собой систему пяти алгебраи ческих и трансцендентных уравнений относительно шести неизвестных величин /’.УУ, Д/, а, V. н\ Как правило, системы таких уравнений нельзя решить аналитически н их решают численно. При этом задаются рядом значений одной из неизвестных величин, принимая ее за параметр, а осталь ные неизвестные находят. Уже в этом простом примере видно, что в качест ве параметра предпочтительнее выбрать смещение о, так как для некоторых значений Р система имеет три решения. Последнее обстоятельство сущест венно осложняет процесс численного построения решения.
Еще большие трудности возникают при решении задач деформирова ния таких систем, как пологие арки и пологие оболочки. В частности, как это показано в работе [107], для пологой арки (рис. В.4) связь между нагрузкой ^ и усилием распора N имеет вид петлеобразной кривой (рис. В.5) . Уравнение, связывающее ?иЛ г,приведено в § 1.3.
Аналогичные особенности имеют решения для пологих оболочек (рис. В.б). Поведение таких оболочек, как известно (см., например, [65]), описывается известной системой нелинейных уравнений Маргерра - Власо-
ва относительно функции прогиба IVи функции усилий Ф:
В 7 2? 2 IV- Д*Ф - Ц К Ф) - Р 2 =О,
— |
у 2у 2Ф + ДЛй /- - Ц К IV) = О, |
ЕИ |
2 |
, э2 |
э2 |
V2 « — - |
+ — г- |
Эх2 |
Ъу2 |
|
Ъ2М |
* > -!? -
> II |
Э2 |
Л* |
} |
"Эх
Э2Ф Э2^ Э2Ф
Эу 2 |
ду 2 |
Э2 |
|
ъ уг |
|
Э2 IV |
Э2Ф |
- 2 ---------- |
дхду |
дхду |
Здесь к \,к г - начальные кривизны оболочек по осям х и у; И - толщина оболочки; Р - параметр нагрузки; Б - цилиндрическая жесткость.
Наличие оператора Ь в этих уравнениях делает их нелинейными, и реше ние краевых задач для таких уравнений становится возможным получить только с помощью численных методов. Для этого уравнения в частных производных сначала с помощью вариационных, разностных, проекцион ных методов, метода конечных элементов или других сводятся к системе алгебраических и трансцендентных уравнений относительно многих неиз вестных и параметра нагрузки Р. Наличие большого числа неизвестных и громоздкость таких систем усугубляет те трудности, характер которых был показан нами выше на простых примерах —ферме Миэеса и пологой арке.
Сходными по структуре и характеру решения уравнениями описывается деформирование показанных на рис. В.7 гибких элементов таких, как
Рис. В.7
гофрированная мембрана (7), хлопающая мембрана (2), сильфон (5)
ИТ.П..
Кнелинейным уравнениям с параметром сводятся и физически нели нейные задачи, в которых исследуется процесс деформирования различ ных систем при работе материала за пределами закона Гука. Часто появ ляется необходимость одновременного учета физической и геометричес
кой нелинейности. Обычно такая необходимость возникает при решении
10