книги / Проблемы нелинейного деформирования. Метод продолжения решения по параметру в нелинейных задачах механики твердого деформируемого тела
.pdfЗаметим, что рассмотренные здесь алгоритмы дискретною продол женин в качестве основного элемента содержат систему линейных урав
нений с расширенной матрицей Якоби ^ |
Это делает их сходными с ал |
горитмами непрерывного продолжения, и |
их алгоритмическая близость |
становится еще более очевидной, если системы (1.2.16), (1.2.22), (1.2.26) решать методом ортогоналиэации. Рассмотрим подробное уравнение (1.2.16), а дополнительное условие возьмем в форме (1.2.19);
А*™,) |
|
0.2.28) |
< « ( * - ,)/<П1, |
Д * <'(; ,)>) = 0. |
(1.2.29) |
Решение уравнения (1.2.18) можно представить в форме |
|
|
Д * ^ 1/ = |
|
(1.2.30) |
Здесь |
произвольный коэффициент, |
является реше- |
нием однородного уравнения |
|
|
|
|
(1.2.31) |
^- частное решение неоднородного уравнения
Вектор ДАГ° ^ +1^ ортогонален подпространству, натянутому на строки
матрицы У ( Х ^ ку), и может быть найден методом ортогоналиэации, как
и вектор 4X 1 |
при непрерывном продолжении |
(см. |
(1.1.28)). При |
этом удобно в качестве вектора О принять вектор ДЛГ0^ |
предыдущего |
||
приближения. Таким образом, |
|
|
|
ДХ»«*),> = ог1(7(*™ ), Д * » ” ). |
|
(1.2.33) |
|
Как отмечалось в |
§ 1.1, процесс ортогоналиэации |
матрицы равносилен |
ее представлению в виде произведения левой треугольной матрицы на
ортогональную (1.1.19). В нашем случае |
матрица У ( Д Г ^ ) |
в процессе |
||
ортогоналиэации представляется в виде |
|
|
||
г /у (0 т = о (0 у (О |
|
(1.2.34) |
||
(к)> |
^ (к) У (кУ |
|
|
|
Учитьшая это, помножим систему (1.2.32) на матрицу (Д |
) '*, обрат- |
|||
ную для Д а) |
В результате получим систему уравнений |
|
||
у (О ду*(»+1) = _ г о (*) I-1 р ( Х ^ 1= |
И** . |
|
||
к (*)а л |
(к) |
Г '-А (*)' |
1 (*> |
|
Так как матрица |
У ^ |
ортогональная, то ее произведение на транспониро |
|||
ванную |
(Н (< 0)т |
является единичной матрицей. Поэтому непосредст |
|||
венной проверкой легко установить, что |
решением уравнения |
(1.2.28) |
|||
является вектор |
|
'(*) - |
(Л)Л |
(1.2.36) |
|
1(*) |
|
||||
у *0'+1)_/?/(') чт |
(|) |
|
|
||
Коэффициент |
в (1.2.30) определится |
из дополнительного условия |
|||
(1.2.29) |
в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
+>Л . |
(1.2.37) |
|
|
|
|
> ) |
|
Заметим, что обращение матрицы т-то порядка общего вида является очень трудоемкой вычислительной задачей, так как оно равносильно реше нию т систем линейных алгебраических уравнений ш-го порядка. Однако
в нашем случае матрица П |
является треугольной, что существенно |
упрощает ее обращение и делает трудоемкость этой операции равной тру доемкости решения только одной системы /и-го порядка. Поэтому исполь
зование матрицы ( П ^ ) -1 в решении (1.2.36) не существенно увеличи
вает трудоемкость решения системы (1.2.32) и позволяет при этом ис пользовать результат решения системы (1.2.31).
Представление в виде (1.2.30) допускают и все остальные из рассмотрен ных выше итерационных процессов. Так, для процесса (1.2.22), (1.2.23) получаем из (1.2.23)
Для процесса (1.2.26), (1.2.27) получаем
д ( ,+ 1) —____г*2 |
_/■►(*) |
у 0 ) |
д у * ( ' + 1 ) VI /( У(О |
д у 0 ( | + 1 ) \ |
|
а (*) |
— V |
^ ( к У |
* ( к ) > |
^ ( к у а л ( к ) > " ^ ( к У |
Д Л (Л) >• |
(1.2.39)
Обратим внимание на тот факт, что в случае сходимости всех приве
денных здесь итерационных процессов, т.е. при |
-*• Х (к) , матрица |
/ (Л Г ^) сходится к матрице / (Лг(к) ) , которая |
играет центральную |
роль в процессе непрерывного продолжения решения. Поэтому, сравни
вая уравнения (1.2.32) и (1.1.8), заключаем, что сходится к
ё Х (к^ й \ . Это позволяет легко комбинировать непрерывное и дискрет ное продолжения решения, используя последнее по необходимости для периодического уточнения решения.
Как уже отмечалось, успех применения метода Ньютона — Рафсона во многом зависит от начального приближения. В процессе продолжения
решения по параметру качество начального приближения определяется шагом I по параметру X. Представление решения в виде (1.2.30) позво
ляет контролировать величину шага I с помощью выражений дли 1
(1.2.37), (1.2.38) или (1.2.39). Для сходящегося итерационного процесса знаменатель этого выражения сходится к скалярному произведению
$(*) ~№Х(к -1)Д/Х, </■*■(*)/<( X). |
(1.2.40) |
Ясно, что чем меньше шаг, тем ближе друг к другу орты |
,)Д/Х |
и (1Х(к)1<1\ касательных к кривой К при X = Х*_, и X = X* и гем ближе $(*) к единице. Конечно, 5 (*) может быть вычислено только после того, как итерационный процесс сошелся. Но приближенно судить о значении
$ (Л) можно по знаменателям выражений для <*((/*),) |
на первом шаге |
(при / = 0): |
|
(</Х{к_ п /4\. |
(1.2.41) |
Поэтому для того, чтобы шаг / был не слишком мелким и в то же время сходимость итерационного процесса была обеспечена, при практической реализации дискретного продолжения решения обычно достаточно следить за выполненном на первом шаге итерационного процесса условия вида
7„ <(«/*(* _ ,)/</Х, Ц » < ‘ > < у и < 1 |
(1.2.42) |
Из опыта можно рекомендовать для констат уи и уи значения '■'0,8 и ~ 0,9 соответственно. При невыполнении условий (1.2.42) необходимо либо уменьшить, либо увеличить шаг /
1.3. Примеры применения различных форм метода продолжения решения
Здесь мы рассмотрим примеры применения разработанных в § 1.1, 1.2 обобщенных форм метода продолжения решения. Наиболее эффективно эти формы работают, когда множество К решений нелинейной задачи является петлеобразной кривой. Как видно из рис. 1.9, при построении кривой К продолжением по параметру Р мы столкнемся с трудностями
при приближении к'предельной точке В. |
Р |
|||
Чтобы их преодолеть, необходимо сменить |
|
|||
параметр продолжения. Если в качестве |
|
|||
такого параметра выбрать X и перейти от |
|
|||
Р к X на участке |
между |
точками А и В, |
|
|
то точку В мы пройдем без осложнений. |
|
|||
Но вновь столкнемся с трудностями при |
|
|||
приближении к точке С, |
которая вместе |
|
||
с точкой А является предельной при выбо |
|
|||
ре X в качестве параметра продолжения. |
|
|||
Таким образом, для построения мно |
0 |
|||
жества |
решений |
в виде |
петлеобразной |
|
кривой |
путем продолжения по заданно |
|
му параметру необходима по крайней мере двукратная смена параметра. Обобщенные же формы продолжения решения, как это было показано выше, не требуют смены параметра и делают процесс продолжения решения одинаковым как в регулярных, так и в предельных точках множества решений.
Мы здесь пока не касаемся трудностей, возникающих в процессе про должения около точки ветвления Г>(рис. 1.9).
Лемниската Бернулли. В качестве первого примера рассмотрим построе ние методом продолжения решения лемнискаты Бернулли, которая пред ставляет собой сложную кривую в виде положенной на бок восьмерки (рис. 1.10). Наличие двух петель на этой кривой делает ее хорошим ме тодическим примером для демонстрации эффективности различных форм метода продолжения решения.
Уравнение лемнискаты в осях Х х, Х 2 имеет рид |
|
Р(Х) = (Х\ + Х \) 2 —2а21‘М - х Ъ - о , |
(1.3.1) |
Эта кривая пересекает ось Х г в точках ± а у /Т и 0. Ниже мы рассмотрим случай а = 1.
Считая Х\ |
и Х7 функциями параметра X, получаем уравнение продол |
|
жения (1.1.8) |
|
|
Здесь / - |
расширенная матрица Якоби функции Б ( X ) =Б{Х{,Х 2)- |
|
В развернутом виде уравнение |
(1.3.2) принимает вид (произведено сокра |
|
щение на множитель 4) |
|
|
Здесь матрица / = [ /ц ./х г ] |
представляет собой попросту вектор-строку |
Ч
- 1,0
в двумерном векторном пространстве К2. Поэтому в данном частном слу чае нетрудно найти единичный вектор 4Я/4Х, удовлетворяющий уравне нию (1.3.3). Это будет один из векторов
|
■Ла |
/12 |
лг |
117I |
ах “ 117I |
</Х |
/ч |
’ й\ |
_ |
1171 _ |
. 117I |
Но мы будем искать решение уравнения (1.3.3) дХ!д\ с помощью общей процедуры ортогоналиэации (1.1.23)
</*/Л = о г1 (7 ,(> ). |
(1.3.5) |
Интегрировать это дифференциальное уравнение будем, начиная с точки А (рис. 1.10),где
Г = [ч /2 ,0 ]т |
(1.3.6) |
Начальное значение вектора (? примем в виде |
|
<2= [0, 1]. |
(1.3.7) |
В дальнейшем в качестве () будем принимать предыдущее значение век тора ах /ах.
На рис. 1.10 представлены результаты интегрирования задачи Коши (1.3.5), (1.3.6) с помощью явных схем различной точности (т.е. методом непрерывного продолжения) с шагом АХ = 2. При этом рассматривались простой метод Эйлера — результаты показаны точками, модифицирован ный метод Эйлера - результаты показаны крестиками и метод Рунге - Кутта 4-го порядка - кружки.
Для того чтобы избежать влияния накопления погрешности в точке ветвления О (в начале координат), эта точка проходилась следующим об разом: если начало участка перед следующим шагом продолжения реше ния попадало в круг радиуса 0,1 с центром в точке О, то начало участка переносилось в точку, симметричную относительно О. Это позволило сохранить накопившуюся-погрешность.
Накопление погрешности при применении метода Рунге - Кутта с ша гом АХ = 2 можно охарактеризовать следующим результатомпосле че тырехкратного обхода восьмерки леминскаты кривая пришла в точку с координатами Х\ =1,4112, Х2 =-0,0026. Если бы погрешность не накап ливалась, то кривая, конечно, пришла бы в точку А с координатами Хх =
= \/Т « 1,4142, Х2 =0.
Применение алгоритмов дискретного продолжения в § 1.2 при про должении решения с тем же шагом АХ = 2 дало практически точное зна чение координат точек лемнискаты. Причем затраты машинного време ни ЭВМ в этом случае были даже несколько меньшими, чем при интегриро
вании задачи Коши методом Рунге - |
Кутта, так как количество необхо |
димых итераций метода Ньютона - |
Рафсона обычно не превышало трех, |
в то время как шаг метода Рунге - |
Кутта по трудоемкости равносилен |
четырем итерациям. |
|
Пологая арка. Одной из немногих нелинейных задач механики твердого деформируемого тела, допускающих точное решение, является задача о пологой арке. Это делает ее удобной моделью для проверки эффектив ности методов решения нелинейных задач. Мы рассмотрим эту задачу в той постановке, в какой она была исследована в работе [107]. Будем также пользоваться, в основном, и обозначениями этой работы, где обоз начено: и», и — перемещения оси арки в направлениях координатных осей г , х (рис. 1.11); Л —стрела подъема арки; - интенсивность нагрузки
г,го/
вдоль оси г\ N — продольное усилие в арке, Е - модуль упругости мате риала; Р , / - площадь и главный центральный момент инерции попереч ного сечения арки относительно оси, нормальной к плоскости арки; / =
=/ (х) —уравнение центральной оси арки до деформации. Введем безразмерные переменные
$ = *//, |
И' = * |
7=//Л . Ч = Яг 1*1Е1И, |
|
1/ = и/Н, |
к = - т 2 /Е1, т = 4ЛРН2 |
К ' ' |
В этих обозначениях уравнения, описывающие деформацию арки, концы которой закреплены от перемещений вдоль оси х(ц(0) =«(/) = 0), записы ваются в форме
И>1У +кМ" |
- к / " , |
|
(1.3.9) |
/ ( / ' и ' + 1 |
(IV |
+ 1 кт = 0, ( . . . ) '= <1 ( . . . Ш |
(1.3-10) |
Общее решение уравнения (1.3.9) имеет вид |
|
||
И/(|) = С1со5лД‘? + С2з т ^ Д | + Сз^ + С4 + ^1(1)- |
(1.3.11) |
Здесь Щ (5) —частное решение уравнения (1.3.9). Если из условий зак репления арки найти постоянные интегрирования С1, . . . , С4 и подставить решение (1.3.11) в уравнение (1.3.10), то в итоге получим трансцендентное уравнение, связывающее параметр нагрузки ? с параметром распора арки к в форме
Р(Я.к) =0. |
(1.3.12) |
Так, для арки синусоидальной формы под равномерной нагрузкой и при шарнирном закреплении концов имеем
7 (|) = —5Ш7Г$, |
(1.3.13) |
После определения постоянных Сг, . . . ,С* из условий (1.3.14) получаем
^ |
^со$-\Д %+ (в |
51П лД |
| - 1^- |
||
1 |
, 1 |
+ Т |
к |
|
(1.3.16) |
- - ( « - * 1) |
-----“ *птг|. |
||||
2 |
3 |
к |
- я |
|
|
Подстановка этого выражения в уравнение (1.3.10) приводит к уравнению, связывающему д и к :
П я. * )“ (Т / ' [ (24 + *)С052 Щ - +
)'Г8",С05 — +
у/к |
(1.3.17) |
+ со$2 — [я2А(2тг2 - к) + тк(п2 - А)2 ] = |
|
Это уравнение отличается от приведенного в работе [107] |
некоторыми |
несложными преобразованиями. Его любезно сообщил нам Н.Н. Андриа нов. Относительно д уравнение (1.3.17) является квадратным, что поз воляет без труда установить зависимость д (Л). Для значений параметра пологости т < 1 эта зависимость образует на плоскости д,к петлеобраз ную кривую, которая для т = 0,2 представлена на рис. 1.12.
Мы использовали для построения этой кривой обобщенные алгоритмы непрерывного и дискретного продолжения. Уравнения непрерывного
продолжения представлены в виде |
|
|
|
|
|||
_ (IX |
_ Г |
ЪР |
ЪР |
1 |
_ |
Г Я1 |
(1.3.18) |
3 —— = |
I = |
— |
, —- |
, |
* = |
. |
|
й \ |
[ |
Ъд |
Ьк |
] |
|
|. к 1 |
|
Выражения для ЪР/Ъд и ЪР/Ък несложно получить из уравнения (13.17). Они достаточно громоздки, поэтому мы их здесь не приводим.
|
А _______ 1__к__1__а_____________ |
|||
|
> |
> " |
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
} |
. Л |
|
|
|
4/ |
|
|
|
|
|
------ 70 |
|
|
|
|
50 |
С |
0 О |
100 |
150 д 200 |
Рис. 1.12
Явная форма уравнения продолжения получалась решением (1.3.18) методом ортогонализации
<**/</Х = о « ( /, 0 ) . |
(1.3.19) |
В качестве начальной точкй была взята точка кривой к(д) вблизи начала координат. Само начало координат для такой точки не годилось, так как в нем производные ЪР/Ъц и ЬР/дк содержат деление на к. Начальное зна чение вектора О. было принято в виде 0 = [1,0]. Такое задание 0 учиты вает, что в начальной точке кривая к (<7) меньше наклонена к оси В даль нейшем в процессе продолжения в качестве вектора 0 принимался орт
4Х/4Х для предыдущего значения X.
На рис. 1.12 точками представлен результат интегрирования задачи Коши для уравнения (1.3.19) методом Эйлера с шагом ДХ =4. Крестикам соот ветствует результат, полученный модифицированным методом Эйлера с тем же шагом. Кружками обозначены точки, полученные методом Рунге - Кутта 4-го порядка с шагом ДХ = 4 и ДХ = 2. Здесь мы уже имеем практи ческое совпадение с точным решением. С целью сохранения накопившейся погрешности переход через точку бифуркации Б осуществлялся также по условию симметрии, как и при построении лемнискаты Бернулли.
Методы дискретного продолжения ( § 1.2) при движении с шагом X = 4 дали результаты, которые совпадали с точным решением с заданной точ ностью. При этом машинное время, так же каки е случае лемнискаты Бер нулли, оказалось несколько меньшим, чем при использовании метода Рунге - Кутта 4-го порядка.
Трехстержневая ферма. Рассмотрим симметричную деформацию трех стержневой фермы, показанной на рис. 1.13, под действием силы Р. Вели чинам, относящимся к центральному стержню, мы будем присваивать индекс ”1 ”, а к боковым —индекс ”2”.
Р и с . 1.13
Пусть N1 - сжимающие усилия в- стержнях; Е - модуль Гука при рас тяжении; Р ,/( —площадь и моменты инерции поперечных сечений стерж ней; I — длина стержней. Оговоримся сразу, что наша основная цель при рассмотрении этой задачи - получить систему нелинейных уравнений, позволяющую продемонстрировать эффективность различных форм ме тода продолжения. Поэтому мы не будем стремиться к слишком точному описанию поведения фермы. В частности, мы не будем учитывать измене ний углов между стержнями при опускании узла фермы. С учетом этого
уравнение равновесия узла и условие совместной деформации стержней принимают вид
^ 1 + ^ 2 = Л |
(13 20) |
Д Л =2Д /2. |
(1.3.21) |
Здесь Д/, - укорочения стержней. Стержни |
будем считать неидеальными |
и при подсчете их укорочений будем учитывать изгиб стержней под дейст
вием сжимающих усилий /У,. Пусть х - координата вдоль стержня; |
и», (х), |
|
и»,о С*) - |
полный и начальный прогибы /-го стержня (/ =1,2). |
Тогда с |
точностью |
до квадратичных слагаемых ((</»у,/</л:)2 = (* >' , ) 2 < 1) |
укоро |
чение стержня можно представить в виде |
|
д/' = |
+ Т { [(и,,:)2 ~ К Л * * |
(ЬЗ-22) |
Для описания иэгибных деформаций при действии |
сжимающих усилий |
/V, неидеального стержня с начальным прогибом н», 0 (х) воспользуемся уравнениями продольно-поперечного изгиба (см., например, [327,329])
/ГУ,ю”+/У,и>, = |
;'0, |
1=1,2. |
(1.3.23) |
Будем считать, что начальный проги |
ш имеет форму полуволны |
||
синусоиды |
|
|
|
н'/о = И;|0 ып тт.х/1. |
|
(1.3.24) |
|
Тогда уравнение (1.3.23) ввиду шарнирного |
закрепления концов стерж |
||
ней (и^'(0) = |
=0) имеет решение вида |
|
|
ттх |
|
|
(1.3.25) |
= IV, 51п —— |
|
|
Подставив выражения (1.3.24), (1.3.25) в уравнение (1.3.23), получаем связь между амплитудными значениями полного №/ и начального прогибов стержней:
щ - Ц о / о - щ / я р ,
(].3.26)
п2 Е1
/У-
Р’
Здесь ТУ,* — критические значения сжимающих усилий. Из выражения (1.3.22) после подстановки в него прогибов (13.24) и (1.3.25) и интегри рования получим
(1.3.27)
д/- б г + 4т (и,? - н/?°)'
Соотношения (1.3.20), (1.3.21), (1.3.26) и (1.3.27) составляют систему шести уравнений относительно шести неизвестных /V,, Д/,, IV,, / - 1 ,2 . содержащую параметр Р. Исключим из этих уравнений укорочения Д/,. / = 1,2, и введем безразмерные переменные
/у,°= /у,//у;, Р° = У У Л /Г Х = и / д |
= IV,о//, |
а=/У2*/ЛГ: =У2//!, $=РР141и |
/= 1 ,2 . |
В итоге получаем следующую систему четырех нелинейных уравнений для Ь'? иЛ^° с параметром Р° (здесь и ниже знак ” у безразмерных величин Опущен):
N 1 +сМ2 - Р =О, |
|
|
|
- 2аЛГ, + /ЩВ' \ - |
2 К?) - |
(В'Л - 2 Й^0)] = 0. |
(1.3.29) |
а д - А Г ^ - й / ю - О , |
^ 2(1 - Ы 2 ) - Щ й =0 . |
|
|
При Р = 0 эта система имеет решение |
|
||
Р =О, ЛГ, =N2 =0, Щ = Й/10, |
И>2 = 1У20. |
(1.3.30) |
Отметим также, что если стержни идеальные, т.е. В'ю = И^о =0,то система (1.3.29) имеет четыре точных решения:
|
2 |
Р, |
N 2 |
1 |
Щ = Щ = 0; |
(1.3.31) |
|
\)Г*х = - |
= — Р, |
||||||
2) |
^ = 1, |
Ыг ={Р-\)1а, |
Щ = { 2 Р - Ъ Ш ^ 2 =0; |
(1.3.32) |
|||
3) |
^ ! = ^ - » , ЛГ2 = 1, |
Й /,=0, V I =(Р-За)/20; |
(1.3.33) |
||||
4)^ |
= 1, |
N 2 = 1 , |
Р= 1+ а, |
И/? —2 Й/| = (2в —1)/р. |
(1.3.34) |
Для а = 1, /3 = 100 эти решения и соответствующие им формы деформиро вания фермы показаны на рис. 1.14 в пространстве Р. Из этого рисунка видно, что множество решений системы (1.3.29) сложно меняет ся в пространстве и имеет три точки ветвления В 1,Д 2| 2?э, причем В 2 и В 3 являются точками вторичного ветвления решений. Такое поведение мно жества решений делает невозможным его численное построение с исполь зованием единого, параметра продолжения и требует для каждой ветви