книги / Проблемы нелинейного деформирования. Метод продолжения решения по параметру в нелинейных задачах механики твердого деформируемого тела
.pdfПусть Щ нормирована, т.е. |
|
|
||||
/ Щ Щ 4Во -1 . |
|
|
|
|||
л0 |
|
|
|
|
|
|
Тогда, учитывая |
представление (5.1.18) |
и выражения (5.1.17), получаем |
||||
для коэффициентов (31р соотношение |
|
|||||
*(0 |
„2 |
|
|
|
|
(5.1.19) |
2 |
Ар |
|
|
|
|
|
р=1 |
|
|
|
|
|
|
Решение |
задачи |
(5.1.8) для |
функции |
= ЭИУЭХ будем искать в виде |
||
|
к0) |
|
|
|
|
(5.1.20) |
IV*- 2 . 2 аурЙ^р. |
|
|
||||
Подставим |
это |
разложение |
в уравнение |
(5.1.8) и проортогоналиэируем |
||
результат к |
функциям |
(/ = 1,2,...; 5 |
= 1,2,...,*(/)). В итоге, учитывая |
|||
соотношения (5.1.5) |
и (5.1.17), получим систему уравнений для определе |
|||||
ния ац; |
|
|
|
|
|
|
(П7 - |
а,) аф = |
2° |
0<'> / |
/..„(И', ; X) И'„ „ + 6,р>,$п |
||
|
|
|
Р=» |
"о |
|
(5.121) |
|
|
х= 1,2 |
*(0- |
|
|
Если ( = /, то эта система разрешима только при условии, что ее правые части равны нулю,т.е.
*2 |
в <0 / Ь' М р : X) “'.г |
+ « Л (0 = 0. 5 = 1,2,..., *(/). |
(5.122) |
р -1 |
Рр |
|
|
Для неизвестных 0 ^ эта однородная задача представляет собой алгебраи ческую задачу на собственные значения, имеющую к(м) собственных зна
чений ыф (д = 1,..., к(Г) ), которым соответствуют Л(/) |
собственных Лг(х)- |
||||
мерных векторов &ф = |
|
0$ (1)] т |
Каждый из этих векторов в соот |
||
ветствии с представлением (5.1.20) определяет собственную функцию |
|||||
в подпространстве |
|
|
|
|
|
|
2 ° 0чр Й/.р.................,*(/). |
|
(5.123) |
||
|
р=1 |
|
|
|
|
Векторы |
ортогональны |
как собственные векторы. Если они. кроме |
|||
того, нормированы (5.1.19), |
то и базис, составленный из функций Н ^\ |
||||
4 = 1 ,..., к(г) , также ортонормирован. |
|
|
|||
Назовем базис У/у, ц - |
1,..., Л(/), подпространства |
главным бази |
|||
сом продолжения. Тогда |
решение |
задачи (5.1.8), соответствующее |
|||
собственному значению ыФ и собственному вектору |
представляется |
||||
в виде |
|
|
|
|
|
ыФ - 2 *2 а<'.> |
|
,...,Л0). |
|
(5.1.24) |
|
4 |
/ *=1 |
|
|
|
|
Для коэффициентов ОЕ^'Д из соотношения (5.1.21) при / формулу
1 |
*(«) |
№ I |
Ь,1Х Щ р \\Щ я <П>й, |
|
|
2 |
|
||
Я/ —Я/ р=1 |
|
|
|
|
/./=1,2,...; |
<7=1,..., |
Щ \ |
,...,*(/). |
(5.1.25) |
Точно так же, как и ранее, из условий нормировки, аналогичных условиям (5.1.15), (5.1.16) .легко установить, что при / = / имеет место
« $ = 0. |
(5.1.26) |
Обратим внимание, что если в качестве исходных базисов №,р в подпрост ранствах IV'*' выбраны главные базисы продолжения то компонен
ты (ЗД собственных векторов систем уравнений (5.1.22) принимают про стейший вид
0 |
$ = |
р.с7 = 1,2,.., *(/). |
(5.1.27) |
Соотношения (5.1.22) и (5.1.25) в этом случае также упрощаются и при нимают вид
<4° = - ; |
|
(5.1.28) |
= |
^лСК!0!*) И '» .® ,. |
(5.1.29) |
Таким образом, если перенумеровать собственные значения, расположив их в порядке неубывания с учетом кратности, Я! < Я 2 < Я 3 <... и сопо ставить им в качестве собственных функций соответствующие элементы главных базисов продолжения подпространств V / , которые пронуме рованы последовательно = Й^1*, Щ = Й^1*,—. то формулы (5.1.24), (5.1.28), (5.1.29) представляются в виде
щ = 2а,/И//, |
|
(5.1.30) |
||
, = - |
/ |
1,х(И/,; X) IV,<Ю0, |
(5.1.31) |
|
|
0 |
при Я/ = Я,, |
|
|
V= |
•— 1 |
/ 2 >Х(И/,;X) ЩООо |
(5Л’32) |
|
|
Я/ —Я, |
о 0 |
|
Эти выражения совпадают с соответствующими формулами (5.1.11) — (5.1.14), (5.1.16) для случая некратных собственных значений. Такое совпадение позволяет при переходе к главному базису продолжения решать задачу (5.1.8) по единому алгоритму как для некратных, так и для крат ных собственных значений.
5.2.Собственные колебания параллелогряммнай
вплане мембраны
Вкачестве первого примера исследуем задачу о собственных колеба ниях мембраны, имеющей в плане форму параллелограмма. Простота уравнений и наличие известных решений [344, 450. 395, 3%, 510] делает эту задачу удобной для демонстрации изложенного в § 5.1 метода.
Рассмотрим мембрану,форма и размеры которой показаны на рис. 5.1,а. Степень ее отклонения от прямоугольной мембраны характеризуется
О |
I |
ь |
|
а х О |
а |
{ |
|
|
а) |
б) |
|
углом а. Как известно (см. например, [330]), после разделения времен ной и пространственных координат задача о собственных колебаниях мембран сводится к следующей задаче на собственные значения для ампли тудной функции прогиба
V2 IV + ШУ= 0, 1^(Г) = 0. |
(5.2.1) |
Здесь V2 = д2/Ъх2 + д2/Ъу2 - оператор Лапласа, Г - граничный контур мембраны. Частота собственных колебаний мембраны и связана с величи ной собственного значения Л задачи (5.2.1) следующим соотношением:
0, = и2 рк/Т0. |
(5.2.2) |
Здесь р, к и Т0 —массовая плотность, толщина и натяжение мембраны. Определяемое углом а множество параллелограммных в плане об ластей 2) с границей Г на плоскости х, у отображается на прямоугольную область 2>о с границей Г0 на плоскости 1 , г? (рис. 5.1,6) с помощью сле
дующего преобразования:
Ч=х,т]=у - к к , \ = 1&а. |
(5.2.3) |
В дальнейшем параметр X примем в качестве параметра, характеризующего отклонение параллелограммной. мембраны от канонической прямоуголь ной. С помощью преобразования (5.2.3) задача (5.2.1) на плоскости $, т? сводится к виду
1(В^;Х) + ГСВ^О, ИГо) = 0.
(5.2.4)
/ а 2 |
э 2 |
Э2 \ |
2,(...,Х) = (— г |
- 2 Х — — +(1 +х* ) т Т Д - ) - |
\ а * 2 |
э*эт? |
а п 2 / |
Пусть для некоторого значения X известны все собственные значения Птп и ортонормированные собственные функции Ытп> составляющие глав ный базис продолжения. Двойная индексация здесь введена для удобства, поскольку в дальнейшем решение будет построено в двойных тригоно метрических рядах. Таким образом, Птп и Ытп удовлетворяют задаче
1(Й'1И„ Д )+ П т п ^ т п = 0 , |
|
|
|||
И'п.л(Го) ’=0; |
т , л |
= 1,2,... |
|
(5.2.5) |
|
Дифференциальные |
уравнения продолжения |
(5.1.7) представляются в |
|||
форме |
|
|
|
|
|
дУтп |
<Жтг |
, т ,п = 1, 2,... |
(5.2.6) |
||
ЭХ |
' (ГК |
||||
|
|
В качестве начальных условий для этих уравнений используем известную
илегко получаемую систему собственных функций и собственных значе ний для прямоугольной мембраны, что соответствует значению параметра X = 0. Подробно они будут получены ниже. Задачу для определения стоя щих в правых частях уравнений продолжения функций н'шп(|, т?; X) и
шмл(\) построим, продифференцировав по X уравнения и граничные условия задачи (5.2.5). В результате получим
1(*тп;Х) + Птпм>тп = - 1 , х(НГтп;Х)-о>тпЮтп,
н’Л1Л(Г0) = 0, т, и = 1,2,... |
|
|
2 |
|
|||
Х)= — |
и ..., X) = ( - 2 — |
♦ 2 X |
^ г ) (■•■) • |
(5-2-7> |
|||
^ |
} |
ЭХ |
' \ |
Э$Эт? |
|
Эт? 1 |
|
Учитывая, |
что |
функции |
составляют |
главный базис |
продолжения, |
решения неоднородной краевой задачи (5.2.7) ищем в соответствии с
соотношениями (5.1.30) —(5.1.32), |
которые при использованной здесь |
|||||
двойной индексации принимают вид |
|
|
|
|||
™тп = 2 а т ш /% |
|
|
|
|
(5.2.8) |
|
■А П '; - П тп |
|
'.\(Мтп;X) Щ(Ю0 |
при п {/ Ф п т |
|||
I , 1 * |
|
|
’ (5.2.9) |
|||
( о |
при щ |
= а тп, |
|
|
||
|
|
|
||||
ь>тп =- 1 |
Ь.хОУтп. *) Ыт п(Юо, т, п, 1 , 1 = 1,2... |
(5.2.10) |
||||
Собственные |
функции |
У/тп |
главного базиса |
продолжения |
представим |
|
в виде двойного тригонометрического ряда |
|
|
||||
Ытп = |
ГтпЦ 8Ш ^ |
51П |
, |
|
(5.2.11) |
Такое представление обеспечивает выполнение граничных условий задачи (5.2.5) и, в силу разложения (5.2 8), граничных условий задачи (5.2.7).
С учетом разложений (5.2.11), (5.2.8) и выражения (5.2.10) уравнения продолжения (5.2.6) представляются в виде
^/т п р ч Ъат пц?цря,
|
|
|
(5.2.12) |
аК |
^ т п т п • |
|
|
|
|
|
|
(0 |
при П т п= Щ , |
(5.2.13) |
|
Я ц - П тп |
^ |
|
|
Здесь введено обозначение |
|
||
ЬтпЦ= I |
1 .х(Рп,п’Л)Щ<Юо- |
(5.2.14) |
|
Подставим в |
это выражение разложение |
(5.2.11). В результате получим |
|
ЬтпЦ / / |
2 /тара' |
2 |
|
г-г ( - 2 Р^ СОХ Р%СО$ ()Т) - |
|||
0 0 |
рч |
\йО |
|
2
- 2Л(Я 5Ш />^51П 07}) • Б /цк, -7 = 51П К% $Ш |
1}, |
(5.2.15) |
|||
|
|
к/ |
\/аЬ |
|
|
рл |
кп |
ап |
1п |
|
|
р = - , к = — , а = —ч ,ь = - г |
|
|
|||
а |
а |
Ь |
о |
|
|
Интегралы, входящие в выражения для ЬтП1/, могут быть легко вычислены в квадратурах и имеют вид
о |
рп% |
|
кп% |
а |
|
|
(5.2.16) |
/ 81П |
--------51п |
-------- сН- = |
— |
8 р к , |
|
||
о |
а |
|
а |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 а |
к |
|
|
|
|
|
|
------ :----- т- , если (р + к) нечетно, |
|||
|
|
|
|
п |
Л |
- р* |
|
|
|
|
|
0, если (р + к) четно. |
(5.2.17) |
||
Учитывая эти и аналогичные{интегралы по т? на интервале |
[О, Ь], после |
||||||
несложных выкладок получаем |
|
|
|||||
^Я1яГ/ = — |
|
^ |
/ т п р ч Л / р ч + р ^ к1 ? т п р ч ? У к1 |
Л |
|||
|
|
|
рак1 |
|
|
|
(5.2.18) |
|
|
{ |
|
|
|
|
|
|
16 |
„-----::— :------г- . если (р + к) и {д + 0 нечетны. |
|||||
|
^ (к7 —р2 )(12 |
- Я2) |
|
||||
Ч>РЧк1 - |
1о, если (р +Л)или (д + I) четно. |
(5 2.19) |
|||||
|
аЬ |
В качестве начальных условий для задачи Коши (5.2.12) используем извест ное решение для прямоугольной мембраны (X =0). Для получения лого
решения достаточно подставить разложение (5.2.11) в уравнение (5.2.5). Проделав это, легко получаем
1, если т = р н п = ц,
Гтпрд ~Ь(тп)(рч) |
К: |
|
|
если т Ф р |
пФ д, |
|
|
(5.2.20) |
Для реализации вычислений по формулам (5.2.12), (5.2.13), (5.2.17), (5.2.18) необходимо, чтобы функции У/тп составляли главный базис продолжения. Если среди собственных значений &тп нет кратных, то сами собственные функции \Утп образуют такой базис. В случае кратных собственных значений для перехода к главному базису продолжения не обходимо проделать некоторые дополнительные вычисления, общий вид
которых дан в |
§ 5.1. Мы рассмотрим этот случай на примере совпаде |
|
ния двух собственных значений. |
|
|
Итак, пусть |
:{к1 Ф м) и этим собственным значениям соот |
|
ветствуют две собственные ортонормированные функции IVк 1 и |
обра |
|
зующие подпространство V{*, каждый элемент которого также является |
||
собственной функцией. Построение главного базиса продолжения |
в под |
пространстве IV* в соответствии с выражениями (5.1.22) сводится к сле дующей задаче на собственные значения для алгебраических уравнений:
0, I |
Ь.ЛЩь X) Мк,<Юо +0г/ Ь М п V МыД>о + ш*01 = 0, |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
( 5.2 .21) |
|
01 I |
^ . \ 0 Ы |
*) |
о +02 |
X) ^ гсШ0 +^*02 = |
|
||
С учетом обозначения (5.2.14) эта система принимает вид |
|
|
|||||
01-^кШ + 02^гл/ + ы*01 = 0» |
|
|
|
(5.2.22) |
|||
01 ЬкШ + 02 |
+ 4О*02 = 0- |
|
|
|
|
||
Из выражения |
(5.2.17) следует, что Ь5{к, = ЬкШ. Поэтому матрица урав |
||||||
нений |
(5.2.21) |
симметрична и, следовательно, система уравнений |
(5.2.21) |
||||
имеет два действительных собственных значения |
и |
которым соот |
|||||
ветствуют два |
собственных ортонормированных |
вектора |
[01(1), |
02(1)] т |
|||
и ОЗ/2), /32<2)] т . Решив эту простую задачу, получаем |
|
|
|
||||
02| |
2 ---- ~ (Ь к 1к1 |
|
|
|
|
|
|
„<1.2) |
|
г ь кщ _ _ |
х |
|
|
(5.2.23) |
|
|
{ 4 |
+ [(1*Ш - Ькш ) |
2,2 |
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|||
$ , 2 ) = |
(Ьк1к1 |
~ ^к!$г)±^_ |
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
{4 Ь \ш + [(ЬкШ ~ |
2 >2 |
|
|
|
Л = [(!* /« - ^ « « ) 2
Анализ влияния метода и шага по параметру на ошибку шпегряроваияя уравнений продолжения по параметру (5.2.12) ,а =Ь =1, /тах X / тах = 7 х 7
|
|
0'5 |
0.7 |
| |
1.5 |
| |
2.0 |
Метод |
|
1 |
|
|
' |
|
|
0.1 |
20,98 |
неустойчивость |
|
счета |
|
||
|
|
|
|||||
Эйлера |
0,025 |
21,24 |
22,8 |
|
неустойчивость |
||
Модифициро |
0,01 |
21,31 |
22,9 |
|
36.73 |
|
51.98 |
0,025 |
21,30 |
22,9 |
|
36.79 |
|
неустой |
|
ванный метод |
|
|
|
|
|
|
чивость |
Эйлера |
|
|
|
|
|
|
|
Метод |
|
|
|
|
36,82 |
|
|
Руиге-Кутга |
|
|
|
|
36,89 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда переход в подпространстве IV* от базиса Н>к1, |
к главному базису |
||||||
продолжения Щи \У*Хпроводится в соответствии с соотношениями |
|||||||
Й'*| = Р(|, ) И'*|+Й1Ч |
Г. « « = «*, |
|
|
|
|
||
К = М2)и/„ + |
|
„ = « ;. |
|
|
|
(5'224) |
После осуществления такого перехода во всех подпространствах, соот ветствующих совпадающим собственным значениям, дальнейшие вычи сления проводятся по формулам (5.2.12), (5.2.13), (5.2.17), (5.2.18), (5.2.19).
Описанный выше алгоритм был реализован на ЭВМ БЭСМ-6. В рядах (5.2.11) удерживалось конечное число слагаемых, соответствующих из менению г от 1 до /тах и / от 1 до /тах . Для интегрирования начальной задачи для системы дифференциальных уравнений (5.2.12) с начальными условиями (5.2.19) были опробованы различные схемы явного типа. В табл. 5.1 даны безразмерные частоты низшего тона для мембраны со сторонами а = 1, Ъ = 1, вычисленные тремя методами с различным шагом ДХ по параметру X. При этом в ряде (5.2.11) удерживалось 49 членов, что соответствовало 1тах х /тах = 7 x 7 . Как видно из таблицы, удовлет ворительную точность вплоть до значения X = 2 (о “ 63,5°) обеспечивает метод Рунге-Кутта с шагом ДХ = 0,05. При интегрировании по методам типа Эйлера возникает неустойчивость из-за накопления ошибок. Анализ результатов счета показал, что наиболее существенной причиной неустой чивости является нарушение из-за накопления ошибок условий ортонормированности собственных векторов.
В табл. |
5.2 даны результаты расчета безразмерных частот первых девяти |
тонов при различном числе членов ряда (4.2.11) для X = 1 (а = 45°) н |
|
X = 2 (а “ |
63,5°). Расчеты проводились для мембраны с а = 6 = 1 методом |
Рунге—Кутта с шагом ДХ = 0,025. Из табл. 5.2 видно, что удержание 1тах х /тах = 7 х 7 =49 членов ряда (5.2.11) обеспечивает удовлетвори тельную точность по крайней мере для первых четырех тонов.
Т а б л и ц а 5.2 Анализ влияния числа членов ряда (5.2.11) на точность вычисления частот низших тонов мембраны
(а =Ь = 1, метод Рунге-Кутта, ДА.= 0,025)
|
«шах А /шах |
|
|
|
|
|
|
«X / |
|
|
|
|
|
|
|
1 X 1 |
1 X 2 |
| |
1X 3 |
2X 1 |
1 |
2 X 2 |
| 2 X 3 |
| |
3X 1 |
| |
3X 2 |
| 3X 3 |
|
|
|
|||||||||||||
|
з х з |
26,82 |
90,16 |
|
193,2 |
46,54 |
|
83,16 |
248,6 |
|
128,1 |
|
147,4 |
280,6 |
|
4 X 4 |
26,78 |
88,19 |
|
172,7 |
45,46 |
|
74,37 |
176,3 |
|
120,2 |
|
108,6 |
199,2 |
1,0 |
5X 5 |
26,67 |
87,11 |
|
148,5 |
45,23 |
|
74,81 |
163,5 |
|
116,5 |
|
101,1 |
190,1 |
(45е ) |
6 X 6 |
26,64 |
86.99 |
|
144,3 |
45,09 |
|
74,22 |
161,0 |
|
114,9 |
|
100,9 |
186,8 |
|
7X 7 |
26,62 |
86,81 |
|
144,2 |
45,03 |
|
74,15 |
159,5 |
|
114,7 |
|
100,5 |
186,0 |
|
3X 3 |
53,02 |
204,1 |
|
463,1 |
68,08 |
|
114,8 |
572,0 |
|
228,5 |
|
264,9 |
562,0 |
|
4 X 4 |
52,89 |
148,5 |
|
293,0 |
63,Ов |
|
89,92 |
255,4 |
|
215,2 |
|
197,9 |
456,9 |
|
5X 5 |
52,72 |
112,8 |
|
213,4 |
62,28 |
|
83,08 |
263,9 |
|
184,9 |
|
196,8 |
301,9 |
|
6 X 6 |
52,63 |
105,8 |
|
211,3 |
62,04 |
|
82,26 |
222,6 |
|
143,0 |
|
196,0 |
270,0 |
|
7 X 7 |
52,61 |
104,2 |
|
210,8 |
62,02 |
|
82,06 |
211,7 |
|
125,4 |
|
195,8 |
258,3 |
п |
п/Ь =0,0 |
300
1,0 |
2 , 0 |
Рис. 5.3
а
100
О