книги / Проблемы нелинейного деформирования. Метод продолжения решения по параметру в нелинейных задачах механики твердого деформируемого тела
.pdfконус пересекается с плоскостью р3 = 1/\/| Хз(,) I- Очевидно, что вюрое уравнение будет удовлетворяться тогда и только тогда, когда вектор р(?) будет совпадать с линиями пересечения конусов. Таким образом, задача нахождения действительных корней уравнений (2.7.6) сводится к опреде лению корней тригонометрического уравнения
/&>) = Р Т 0?)^Р (</>) = 0, 0 < ^ < 2 тг. |
(2.4.12) |
При этом известно, что число корней в интервале 0 |
< 2п не более четы |
рех. Корни, соответствующие пересечению и касанию конусов, легко разде лить. При пересечении конусов прохождение корня при изменении у сопро вождается изменением знака функции /(</>), а при касании знак не ме няется.
2. Случай Xе,0 > 0, 4 ° > |
О, Х(3° |
< 0,Х(,2) >0,Х (22) >0,Х (32) < 0. Пре |
|
образованием (2.4.4) |
задача |
(2.4.3) |
здесь сводится к следующей системе |
уравнений: |
|
|
|
I х^1>I р! - |
I А»,1>I р! = |
|
|
р'Рр =0. |
|
|
(2.4.13) |
Эти уравнения снова являются уравнениями конусов, только в отличие от случая 1 ось первого из конусов направлена вдоль осир! ,а не р3. Поэтому этот случай может быть сведен к случаю 1соответствующей перенумераци ей переменных.
3. Случай Xе!0 > |
0, Х(2 ° < 0, Х(3 П < 0,Х(,2) > б,Х$2) < 0,Х(32) < 0. Так |
же, как и случай |
2, сводится к случаю 1 перенумерацией переменных. |
|
Кроме рассмотренных |
возможны также такие |
ситуации, когда матри |
цы |
и К<2> имеют |
нулевые собственные значения. Тогда множест |
|
ва |
в <А3, на которых лежат решения уравнений |
(2.4.3), вырождаются |
либо в прямые, либо в плоскости. Это облегчает поиск действительных
решений системы уравнений (2.4.3). При этом возможно большое число |
|
различных комбинаций. Рассмотрим |
в качестве примера одну из них. |
4. Случай Х11} > 0, Х^2) = 0, Х(3° < |
0, Х(,2) > 0, Х$2) > 0, Х(32> < 0. Пре |
образование (2.4.4) сводит здесь систему (2.4.3) к следующей: |
|
х!1)р ? - 1 х11 )1р ! = 0, |
|
ртРр = 0. |
(2.4.14) |
Множество решений второго уравнения в пространстве {р 1# р2, Р з) обра зует по-прежнему конус. А решения первого уравнения образуют две плоскости
Т О 01 |
/ 1х ! д > I |
(2.4.15) |
Р1 * |
Рз и Р1 = ' у/ |
|
х^) |
Рз' |
Подстановка каждого из этих соотношений во второе уравнение (2-4.14) сводит задачу к однородному квадратичному уравнению относительно р2 ир3 вида
С,р! + 2С2р2р3 + с 3р | =0. |
(2.4.16) |
Таким образом, в каждой из плоскостей (2.4.15) в >А3 задача установ ления ветвей решения сводится к задаче, рассмотренной в предыдущем параграфе.
В заключение отметим, что, как следует из изложенного, когда размер ность пространства активных переменных (1 > 2, для установления ветвей решения в особой точке необходимо рассматривать большое количество различных ситуаций. Это делает задачу анализа решений в такой особой точке громоздкой и весьма трудоемкой при практической реализации. Общая теория этого вопроса, как нам кажется, далека от своего заверше ния. Для более детального ознакомления, кроме отмечавшихся ранее книг [53, 212], можно рекомендовать монографию В,И. Арнольда, А.Н. Вар ченко и С.М. Гусейн-Заде О , а также Ж. Йосса и Д..Джозефа 2) . На практи ке часто и эффективно используют возмущенные решения. Примером тако го подхода является численное решение о поведении трехстержневой систе мы, приведенное нами в § 1.3.)*
*) |
А р н о л ь д |
В.И., В а р ч е н к о А.Н., Г у с е й н-3 а д е С.М. Особенности |
дифференцируемых многообразий. - М.: Наука. 1982. - 304 с. |
||
’ ) |
Й о с с Ж., |
Д ж о з е ф Д. Элементарная теория устойчивости и бифуркаций. - |
М.: Мир. 1983. - 301 с.
Г ЛАВА 3
МЕТОД ПРОДОЛЖЕНИЯ РЕШЕНИЯ ПО ПАРАМЕТРУ В НЕЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ
ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Многие задачи механики твердого деформируемого тела сводятся к нелинейным краевым задачам с параметром для обыкновенных дифферен циальных уравнений. Некоторые примеры таких задач будут рассмотрены в следующей главе. Здесь же мы сформулируем алгоритмы метода продол жения решения по параметру, учитывающие специфику такого рода крае вых задач.'
Возможны различные подходы к решению нелинейных краевых задач. Широкое распространение здесь полу<гили проекционные и вариационные методы типа методов Бубнова и Ригца, а также разностные и вариацион но-разностные методы, такие как метод конечных разностей и метод ко нечных элементов. С помощью всех этих методов нелинейные краевые задачи сводятся к системам нелинейных алгебраических или трансцен дентных уравнений с параметром, для решения которых непосредственно применимы алгоритмы продолжения решения по параметру, разработан ные в гл. 1. Такие подходы предлагались А.А. Курдюмовым [232]. И.И. Воровичем и В.Ф. Зипаловой [69] и др.
Другой подход связан со сведением нелинейных краевых задач к реше нию последовательности линейных краевых задач. В рамках метода про должения решения по параметру он реализуется непосредственным приме нением процедуры метода к исходным уравнениям. Первый шаг в направ лении такого использования процедуры продолжения решения был сделан В.З. Власовым и В.В. Петровым при формулировке алгоритма метода последовательных нагружений [276].
При таком применении метода продолжения решения к одномерным нелинейным краевым задачам они сводятся к последовательности одно мерных линейных краевых задач, которые являются удобным объектом для решения методами типа прогонки. Сейчас отработано несколько ва риантов метода прогонки, обеспечивающих высокую точность решения при приемлемой трудоемкости [35]. Мы будем использовать дискретную ортогональную прогонку С.К. Годунова [88] -
В этой главе будут рассмотрены особенности алгоритмов продолжения решения по параметру при применении их к одномерным нелинейным крае вым задачам с учетом решения линеаризованных краевых задач методом
ортогональной прогонки. Для того чтобы эффективно использовать пре имущества обобщенных форм метода продолжения решения гл .1, необхо димы некоторые изменения традиционного алгоритма ортогональной про гонки, который дан С.К. Годуновым в основополагающей статье [88] и подробно освещен во многих руководствах по численным методам [35, 123,37] и др. Необходимость и существо этих изменений будут выяснены при анализе решения методом начальных параметров, который существенно используется в методе ортогональной прогонки. Видоизмененный алгоритм последнего метода будет использован при построении алгоритмов непре рывного и дискретного продолжения решения нелинейных одномерных краевых задач.
3.1.Непрерывное продолжение решения
внелинейных одномерных краевых задачах
Рассмотрим краевую задачу для системы нелинейных обыкновенных
дифференциальных уравнений с параметром |
|
|
|
|
||
2 ' = Р(2,Р), |
|
|
|
|
|
(3.1.1) |
А 2(0 1 )=а, |
В2(рг) =Ь. |
|
|
|
|
(3.1.2) |
Здесь введены следующие обозначения: 2 = 2(0) |
= [2 1 (0 ), |
>2т (0)]т- |
||||
га-мерная вектор-функция |
аргумента |
0; |
Р (2 ,Р ) |
= [Рг ( 2 ,Р ) ,. . . |
||
. . . ,Р т (2 ,Р )] Т - |
нелинейная ш-мерная |
вектор-функция; |
А - прямо |
|||
угольная невырожденная матрица размера п Х т ( п < т ) ; |
В - |
прямоуголь |
||||
ная невырожденная матрица |
размера 1 Х т ( 1 =т — п); |
а,Ь |
— векторы |
|||
размерности п и т — п = 1 соответственно, 2 |
' = 42/(10. |
|
|
Будем считать, что краевая задача (3.1.1), (3.1.2) имеет решения для некоторой области значений параметра Р и для некоторого значения? =Р0
из этой области такое решение 2 |
(0у известно, т.е. |
Р=Р0 = 2(оу |
(3.1.3) |
В соответствии с основной идеей метода продолжения по параметру
будем считать неизвестную вектор-функцию 2 |
и параметр ? непрерывны |
|
ми и дифференцируемыми функциями некоторого параметра X |
||
2 = 2 (0 ,\), |
Р=Р(Х). |
(3.1.4) |
Смысл параметра X определим позже. Но так как он не входит явно в |
||
краевую задачу |
(3.1.1), (3.1.2), то мы вправе выбирать начало отсчета X |
так, как это нам |
удобно. Поэтому выберем его так, чтобы известному ре |
||
шению (3.13) соответствовало X = 0, т.е. |
|
||
2(0,О) = 2 (о)> |
|
Р(0)=Р0. |
(3.1.5) |
Производные 2 и Р |
по параметру X обозначим соответствующими строч |
||
ными буквами |
|
|
|
й 2 /д .\- г , |
4Р /4\ =р. |
(3.1.6) |
|
Эти обозначения вместе с начальными условиями |
(3.1.5) можно рассмат |
||
ривать как задачу Коши по параметру X. Необходимы только соотноше |
|||
ния, определяющие |
правые части в (3.1.6) - |
вектор-функцию г (0) = |
= [г1 ф ), . . . , гт ф )]т и параметр р. Такие соотношения получим, про дифференцировав по X краевую задачу (3.1.1), (3.1.2). В результате Ъля правых частей уравнений (3.1.6) имеем линейную краевую задачу
х' = Ц 2,Р )х + рМ (2,Р), |
(3.1 7) |
|
<4200 = 0, |
Вхф г) =0. |
(3.1.8) |
Здесь I (7 ,Р) = [Ь „• ] и М {2,Р) = [Л/, (7, Р ) .........Л/т (7, Р )]т - |
матри |
ца-функция и вектор-функция, компоненты которых определяются соот ношениями
Ьи = ЭР,/Э7/( |
М, = ЭР./ЭР, |
/,/= 1 , . . . , |
(3.1.9) |
Одним из методов |
решения линейной краевой задачи |
(3.1.7), (3.1.8) я в |
|
ляется метод дискретной ортогональной |
прогонки С.К., Годунова [88]. |
Опыт применения этого метода для решения линейных и нелинейных задач теории оболочек и пластин (см., например, [174,123]) п оказал его устой чивость и высокую эффективность при достаточной экономичности к а к по числу операций, так и по памяти ЭВМ. О днако для и спользования метода ортогональной прогонки в рамках обобщенных алгоритм ов продолж ения решения гл. 1 в его процедуру необходимо внести некоторы е изм енения. Для того чтобы существо этих изменений не затенялось деталям и, связан ными с дискретной ортогонализацией решений, рассм отрим сначала реше ние метода начальных параметров, форма представления которого сущ ест венно используется в методе ортогональной прогонки.
Метод начальных параметров предполагает представление решения
линейной краевой задачи (3.1.7) в форме |
|
||||
2 = Сд2 (1) + с22<2) + . . . + С,2(,) + р г(,+,) |
(3.1.10) |
||||
Здесь С1, с2, . . . , с/ — произвольные постоянные (/ = т - и), |
а вектор- |
||||
функции 2 (‘) , 2 |
, . . . , 2 |
- линейно независимые решения следую |
|||
щей однородной задачи: |
|
|
|
||
г'=Х 2, |
<4200 = 0 |
(2 0 0 * 0 ) . |
(3.1.11) |
||
Вектор-функция 2 (,+1> является решением неоднородной задачи |
|
||||
х'= 1х+ М , |
|
2 0 0 |
= 0. |
|
(3.1.12) |
Обратим внимание на то, что в уравнениях (3.1.7) величина р также под
лежит определению. |
|
|
||
Представление |
(3.1.10) устанавливает соответствие |
между функцио |
||
нальным |
пространством решений |
уравнений (3.1.7), |
удовлетворяющих |
|
граничному условию < 42 .00= 0, |
и (/ + 1)-мерным векторным прост |
|||
ранством |
К/+1: {с!,с2, . . . , С;,р}. |
Другими словами, для любого набора |
||
чисел |
. . . ,с/,р выражение |
(3.1.10) всегда будет |
решением задачи |
|
г ' =Ьх |
+ рМ, |
<4200 = 0. |
|
(3.1.13) |
В пространстве К,+, введем вектор с = [с*,. .. , с;,р]т Задача метода начальных параметров состоит в определении такого вектора с, при кото ром функция 2 (3.1.10) была бы решением краевой задачи (3.1.7), (3.1.8). тл. удовлетворяла бы также и условию Вх 00 = 0. Из векторов х О) (&).
/ = 1 , . . . , / + 1, являющихся значениями вектор-функций х при 0 = &
составим матрицу!)размера т X (/ + 1) |
|
|
/>=[*(1)(&), |
* <а>№)........ *(,+1>№)]. |
(3.1.14) |
Тогда условие В г (02) = О приводит к уравнению |
|
|
ВОс=Тс = 0, |
Т=Вй. |
(3.1.15) |
Это уравнение для нелинейной краевой задачи (3.1.1), |
(3.1.5) имеет |
тот же смысл, что и уравнение продолжения ( 1.1.8) для системы нелиней ных уравнений (1.1.3). Действительно, определяемому из уравнений (3.1.15) вектору с Е К /+1 в силу соответствия, установленного представле
нием (3.1.10), отвечают такие |
вектор-функция г и параметр р, которые |
||
являются правыми частями уравнений продолжения |
(3.1.6), т.е. имеет |
||
место соответствие |
|
|
|
{Э2/ЭХ = 2, |
с1РМ\ = р } |
-+с. |
(3.1.16) |
Здесь стрелкой обозначено это соответствие, установленное представле нием (3.1.10). _
Поэтому мы и обозначили матрицу В й через / , т.е. так же, как и матри цу уравнений продолжения (1.1.8).
Так как матрица В имеет размеры / Xт , а матрица О - (/ + 1) Хш, то
размеры матрицы/ будут / X (/ + 1). Таким образом, уравнения (3.1.14) представляют собой систему из / однородных линейных алгебраических уравнений относительно / + 1 неизвестных компонент вектора с = [с), . . .
. . . , С/,р]т Е К*+1. В регулярных и предельных точках множества решений нелинейной краевой задачи (3.1.1), (3.1.2) гап §(/) =/, поэтому подпрост ранство в Я ,+1, которому принадлежат решения уравнения (3.1.15), одно мерно. В дальнейшем под с будем понимать орт этого подпространства. Как было показано в § 1.1, определение с из уравнений (3.1.15) методом ортогонализации устраняет различия между регулярными и предельными точками и равносильно использованию на каждом шаге продолжения ре шения такого параметра, который обеспечивает максимальную обуслов ленность систем уравнений (3.1.15). Для операции нахождения единичного вектора с, ортогонального векторам-строкам матрицы / , воспользуемся обозначением (1.1.24)
с = ог1 ( 7 ,0 . |
|
(3.1.17) |
Здесь 0 Е К /+1 |
— (/ + 1)-мерный вектор-строка, дополняющий снизу мат |
|
рицу / до квадратной и |
линейно независимый со строками матрицы / |
Как отмечалось в § 1.1, вычислительная погрешность решения системы (3.1.15) будет тем меньше, чем ближе 0 к искомому вектору с.
Для решения системы уравнений (3.1.15) можно применить и подходы, разработанные в § 1.4 и обеспечивающие продолжение решения спараметром, близкими оптимальному.
Рассмотрим подробнее установленное соотношением (3.1.10) соответ ствие (3.1.16) между функционально-векторным пространством ( г ,р ) и векторным пространством К./+1. По смыслу процесса продолжения реше ния по параметру вектор с является функцией параметра X, т.е.
с = с(Х).
Образуем вектор С(Х) € Н/+1 такой, что |
|
|
а д х = с . |
|
(3119) |
Его нетрудно построить, например, как интеграл вида |
|
|
С = / с(Х)<*Х. |
|
(3.1.20) |
о |
|
|
Тогда соответствие (3.1.16) можно представить в форме |
|
|
{Э2/ЭХ = 2, |
сГРДА = р ) -*■{ йС!(1К = с }. |
(3.1.21) |
Отсюда видно, что кроме соответствия{г,р}->с представление |
(3.1.10) |
|
устанавливает и другое соответствие |
|
|
{2,Р ) +С. |
|
(3.1.22) |
Таким образом, определенное параметром Р функциональное пространство решений нелинейной краевой задачи (3.1.1), (3.1.2) отображается на мно жество С(Х), которое в силу непрерывности с(Х) и выражения (3.1.20) представляет собой кривую К. в векторном пространстве К/+1. Параметр X в силу (3.1.20) приобретает смысл длины этой кривой К, а вектор с являет ся ортом касательной к К. Эти геометрические образы позволяют нам для нелинейных краевых задач использовать результаты гл. 1. Примеры алго ритмов непрерывного продолжения решения краевой задачи (3.1.1) ,(3.1.2) будут даны ниже в § 3.4 после того, как будет сформулирован алгоритм дискретной ортогональной прогонки, учитывающий особенности представ ления решения в виде (3.1.10).
3.2.Дискретное продолжение решения
внелинейных одномерных краевых задачах
Обратим внимание на то, что обобщенные алгоритмы дискретного про должения решения уравнения Р (Х ) =0 содержат в качестве основного элемента решение системы уравнений (1.2.16), (1.2.22), (1.2.26), кото рую мы здесь для X = X* запишем в виде
|
|
(3.2.1) |
Если от обобщенного вектора X - [Хх, Хг, . . . , Хт , Р ] т вернуться к век |
||
тору Х= [Хх,Х2, . . . ,Х т ] т и параметру Р, то выражение (3.2.1) |
запишет |
|
ся в виде |
|
|
|
) * ° . |
<3-2-2> |
М=ЪР!ЪР, |
/ = 1 ,2 ,... |
|
Отметим, что такое представление алгоритма метода Ньютона - |
Рафсона |
подчеркивает тот факт, что если итерационный процесс (3.2.2) сходится,
т.е. ХУ* -*Х(к ), р Ы -*Рк при / |
-*•«», то он сходится к решению урав |
|
нения Р (*(*), Рк) = 0. |
|
|
Итерационный |
процесс (3.2.2) |
без труда обобщается на нелинейную |
краевую задачу |
(3.1.1), (3.1.2). Это обобщение часто называют квазилн- |
неаризацией [384].
Пусть -2 ~ значения искомой вектор-функции 2 ( Л) и пара
метра Рк на / -й итерации при Х = Х*. Тогда на (/ + 1)-й итерации кваэили-
неаризации искомые значения 2 |
|
и Р л(, +1) удовлетворяют следующей |
|||||
краевой задаче [384] |
|
|
|
|
|
||
|
)'=1(2<« |
,Р 0 >) ( 2 % » |
- 2<Я ) + |
|
|||
+3/(2«>, 7>М)(7>«*, > -/></ , )+ Я 2< Л |
(3.2.3) |
||||||
|
|
|
|
Л 2 0 + » (Л ) - » . |
(3.2.4) |
||
Здесь, |
как и в |
задаче |
(3.1.7), |
(3.1.8) непрерывного |
продолжения, 1 = |
||
= [1^-] |
и М= [Мх, |
, |
Мт] т |
- |
матрица и вектор, |
определяемые для |
|
нелинейной вектор-функции Р (2, Р) следующими соотношениями: |
|||||||
Ьу = ЪР^ЪХ], |
М1 = ЬР11ЪР, |
|
/,/ = 1 , ... , т . |
(3.2.5) |
|||
Запись |
уравнения квазилинеаризации (3.2.3) подчеркивает тот факт, что |
если итерационный процесс сходится, то он сходится к решению исхопной нелинейной краевой задачи (3.1.1), (3.1.2). Действительно, если 2 ^ )
|
и Г«> -*Рк при / -»-°°, то первые два слагаемые в правой части |
|||
уравнения (3.2.3) |
стремятся к нулю и в пределе уравнение (3.2.3) обра |
|||
щается в исходное (3.1.1). |
|
|||
Перепишем задачу (3.2.3), (3.2.4) в другой форме |
|
|||
|
|
|
+ |
<3-2-6> |
•4 г (Й ') № ) = “' |
и 1)05«)=Ь. |
(3.2.7) |
||
Здесь обозначено |
|
|
|
|
*■% |
|
>■ |
.Г"» ), |
|
|
|
|
п0) |
<ЗХ8) |
.Эта форма записи показьшает, что в отличие от линейной краевой задачи |
||||
(3.1.7), |
(3.1.8), |
возникающей при непрерывном продолжении, |
задача |
|
(3.2.6) |
, (3.2.7) имей |
более сложную неоднородность в уравнениях и неод |
||
нородные граничные условия. |
|
|||
Так же, как и при непрерывном продолжении решения, рассмотрим |
||||
сначала решение |
задачи |
(3.2.6), (3.2.7) методом начальных параметров. |
Оно позволит выявить особенности, которые необходимо учесть при пост роении решения методом дискретной ортогональной прогонки.
Решение методом начальных параметров линейной краевой задачи (3.2.6) , (3.2.7) представим в форме, учитывающей наличие в правой части уравнения (3.2.6) слагаемого с множителем Рк ,+ 1К который подлежит
определению на данной итерации |
|
|
|
||||||
|
|
|
(1Х/+1) + |
- |
(/+1) |
+ 7</)(/+П |
|
||
|
|
|
<*) |
|
к*) |
т Л(*) |
|
||
+ Ы /+1) |
(/+1)0+1) |
|
(/+2)(/+1) |
|
( 3 2 . 9 ) |
||||
+ г ( к ) |
(*) |
|
|
(*) |
|
|
|
||
Здесь 7 ^ |
у+1), |
Г = 1........./, |
- |
вектор-функции, являющиеся линейно |
|||||
независимыми решениями однородной задачи |
|
||||||||
/ ' =/$ > |
7, |
/17(00 = 0 |
(7 (0 ,)* 0 ) . |
|
(3.2.10) |
||||
Вектор-функция 7***1) (;+1^ |
строится как решение неоднородной задачи |
||||||||
7 , = 1 ; « 7 |
+Л/«) |
7 (0 0 = 0- |
|
|
(3.2.11) |
||||
И, наконец, 7<]^2) (/+,) |
представляет собой решение следующей неодно |
||||||||
родной задачи: |
|
|
|
|
|
|
|
||
7 ' = 1(</>7 + Ф</>) , |
|
А 2 (р 1) = а. |
|
(3.2.12) |
|||||
Введем, как и при непрерывном продолжении, матрицу |
состав |
||||||||
ленную из векторов-столбцов значений вектор-функций |
|
||||||||
2 {'>(/+1\ |
|
|
|
|
,/+ 1 , |
при 0 = 02, |
|
||
={7((^ |
+1)(02), |
('(У))(/Ч,)(02)] |
(3.2.13) |
||||||
Введем также вектор |
|
1* = |
|
) ,. |
, с Д ^ 1) |
] т, составлен |
|||
ный из I констант интегрирования и параметра. Для этого вектора из крае |
|||||||||
вого условия В 2 |
|
(02) =Ь при 0 = 02 получаем линейное алгебраичес |
|||||||
кое уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ВО(кУ) С (к)1) |
+ В2«+2 >«+1 Н(}г) = Ь. |
|
(3.2.14) |
||||||
Это уравнение перепишем в виде |
|
|
|
||||||
7 <(Й,)СЖ,) = ‘' <(Й1) |
|
|
|
|
<3-2Л5> |
||||
Здесь обозначено |
|
|
|
|
|
|
|
||
7% )1) = В й и +» |
|
|
= * - Д 7 < 'у > (' +‘>(02). |
(3.2.16) |
Уравнение (3.2.15) в нелинейной краевой задаче является в определен ной степени аналогом уравнений (1.2.16), (1.2.22) н тл. дискретного про должения решения. Более полной аналогии удается добиться при форму
лировке задачи квазилинеаризации для приращений Д7 ^ 1 * =7 ^ 1* - 7
Но такая формулировка оказывается неудобной для практической реали зации из-за наличия в правой части слагаемого (? [())'
Уравнение (3.2.15) представляет собой систему из / линейных алгебраи ческих неоднородных уравнений относительно / + 1 неизвестных компо
нент вектора |
Учитывая результаты § 1.2, вектор |
будем |
искать в виде |
|
|
||
|
|
|
(3.2.17) |
|
з * а С « у ) |
- частное решение неоднородного уравнения |
|
||
|
|
|
(3.2.18) |
|
а с (к)^ |
~ 0бЩее решение однородного уравнения |
|
||
/(/+ 1)с (;+1) = о |
(3.2.19) |
|||
'(к ) |
с (к) |
0 |
||
|
||||
н а(к) ^ |
~ |
неопределенный пока коэффициент, который определяется |
||
из дополнительных условий. |
|
|||
Уравнение |
(3.2.19), как и в уравнение (3.1.15), имеет однопараметри |
ческое подпространство решений в векторном пространстве И/+1. И мы далее под будем понимать орт этого подпространства.
Как и при непрерывном продолжении решения, воспользуемся теми возмояяостями, которые дает толкование представления решения (3.2.9) как отображения функциональновекторного пространства { 2 ,Р } на (/ + 1 )-мерное векторное пространство К/+1 постоянных интегрирования
С\ |
и |
параметра р. В силу этого отображения уравнению (3.2.19) |
||
и |
его |
решению |
= 1с (*) ^ +1^ , , , ' с ( [ ) ^ +1^, Р^/+1М |
соответст |
вует линейная краевая задача |
|
|||
|
^ г (*)1)№ ) = °. |
0. |
(3.2.20) |
|
Если итерационный процесс сходится, т.е. |
|
|||
|
|
|
* $ - * ( * > ■ |
|
при/ -»“>,то задача (3.2.20) сходится к следующей: |
|
|||
|
*(к) =1'(2(.к)>Рк)г +Р(к)М(2(к),Р(к)), |
(3.2.21) |
||
|
А*{к) (РО = 0, |
Вг(к)0к) = 0. |
||
|
|
А эта краевая задача с точностью до обозначений совпадает с краевой за дачей (3:1.7), (3.1.8) непрерывного продолжения. Таким-образом, вектор с</)+1> в итерационном процессе сходится к вектору <?(*) =с(Х (*)),
являющемуся, как это показано в § 3.1, ортом касательной к кривой К, на которую отображается в К/+1 решение нелинейной краевой задачи
(3.1.1), (3.1.2). |
|
Наличие в решении (3.2.17) произвольного коэффициента |
поз |
воляет выбрать его значение на каждой итерации так, чтобы отображение итерационного процесса (3.2.6), (3.2.7) в пространстве К /+1 обладало теми же свойствами, что и итерационные процессы дискретного продолже ния, построенные в § 1.2. Так, условие, эквивалентное условию (1.2.19),