книги / Проблемы теории пластичности и ползучести
..pdfвозможна при любых значениях нагрузок, если только раньше не произойдет разрушение; понятия приспособляемости и бе зопасной работы конструкции становятся неадекватными. Именно в связи с этим в статье [164] предложено несколько способов получения верхних оценок для деформаций и пере мещений. Практическую ценность и относительные достоин
ства этих |
способов, |
как отмечает автор, еще предстоит |
||
определить |
путем |
их |
реализации |
на конкретных при |
мерах. |
оценки |
перемещений, |
предложенные Майером, |
|
Способы |
Витиелло и Капурсо, распространены на динамические задачи приспособляемости в работах [91, 100, 112, 165, 168].
Отметим, что при использовании для оценки перемещений неравенств типа (8.1), включающих лишь характеристики ко нечной стадии процесса приспособляемости [90, 155, 164, 221 и др.], остаются неизвестными программа нагружения, приво дящая к максимальным остаточным перемещениям, и отличие получаемых верхних оценок от действительных значений иско мых величин.
Принципиально иной подход к определению деформаций, напряжений и смещений в условиях приспособляемости упру гоидеальнопластической конструкции (лишенный указанных недостатков, но более трудоемкий) развит В. А. Икриным [30, 31, 33]. Исходя из соотношений инкрементальной теории пла стичности, при заданных интервалах изменения нагрузок опре деляется область допустимых состояний конструкции, в кото рой отыскивается траектория деформирования, доставляющая максимум перемещению рассматриваемой точки (при некото рых программах нагружения оказывается возможным найти точное значение перемещения). Весьма существенно, что дан ный метод (в отличие от рассмотренных выше) дает конечные значения для перемещений при нагрузках, сколь угодно близ ких к предельным по приспособляемости. Его использование позволило на примере простейших конструкций установить не которые особенности процесса приспособляемости (например, возможное несовпадение программ нагружения, определяю щих минимальные параметры предельного цикла и макси мальные накопленные деформации [30, 33]).
В перечисленных методах оценки перемещений упрочнение материала либо не учитывается [30, 90,. 221 и др.], либо учи тывается приближенно [100, 168, 199]. При оценке результатов соответствующих расчетов в связи с этим необходимо иметь в виду, что способ схематизации реальной диаграммы деформи рования может влиять на результаты расчета накопленных деформаций и перемещений значительно сильнее, чем на пре дельные нагрузки или температуры.2
2 Зак. 1220
Экспериментальному исследованию деформаций, накапли ваемых к моменту приспособляемости в балках, посвящены работы [120, 121, 129].
9. СТАБИЛИЗИРОВАННЫЕ ЦИКЛЫ НАПРЯЖЕНИЙ (НЕУПРУГАЯ ПРИСПОСОБЛЯЕМОСТЬ)
Отдельные типы напряженных элементов конструкций при ограниченном сроке службы могут работать за пределами при способляемости. В этом случае при стационарном цикличе ском нагружении конструкций из циклически стабильных (стабилизирующихся) материалов происходит постепенная стабилизация цикла изменения напряжений и скоростей де формации. Существование процесса стабилизации, который асимптотически заканчивается переходом к стационарному циклу изменения напряжений и скоростей деформации, в об щей форме было доказано Фредериком и Армстронгом [127] на основе постулата Друккера. В цитируемой работе получила обоснование также единственность (независимость от началь ного состояния) напряжений в стабильном цикле в областях тела, где скорости неупругой деформации в указанном цикле отличны от нуля. Таким образом, соответствующая теорема для условий упругой приспособляемости, приведенная в [10], может рассматриваться как частный случай.
В работе [127] утверждается, что стабилизация напряже ний (в общем случае достигаемая асимптотически) происхо дит достаточно быстро на первых этапах нагружения в соот ветствии с экспоненциальным законом. Анализ, проведенный на простых примерах В. А. Икриным [32], показал, что стаби лизация может иметь кусочно-экспоненциальный характер. При этом отличие в распределении напряжений в двух после довательных циклах может оставаться существенным доволь но долго.
Теорема о единственности стационарных циклов позднее была доказана также Мрузом [179]. В последней работе сде лана попытка найти соотношения, позволяющие непосред ственно оценить параметры стабилизированного цикла, одна ко какие-либо примеры использования предложенных соотно шений пока, к сожалению, отсутствуют.
При расчете стабилизированных циклов возможны две основные формулировки задачи: в первой из них целью яв ляется определение напряжений и приращений (размахов) де формаций при заданных внешних воздействиях, во второй — определение параметров внешних воздействий, отвечающих на чалу возникновения (или заданной интенсивности) различных типов циклической неупругой деформации (знакопеременное
течение, прогрессирующее разрушение, их сочетание). Первая постановка рассматривалась применительно к условиям цик лической ползучести (при отсутствии кратковременных пла стических деформаций) в работах Б. Ф. Шорра [75—77]. Опи сание поведения конструкций включало уравнения равновесия и совместности деформаций, уравнение состояния, связываю щее напряжения со скоростями деформаций, и условие замк нутости цикла по напряжениям
т |
|
§ f>tldx = 0, |
(9.1) |
О |
|
где р ц — скорость изменения остаточных |
напряжений. Усло |
вие (9.1) может быть записано в кинематической форме в виде уравнения (1.3).
Заметим, что в рассматривавшихся выше работах Понтера, Мартина и др. [170, 171, 195—199] по существу также речь идет об определении стабилизированных состояний при неуп ругом деформировании и предлагается ряд приближенных ме тодов для оценки напряжений, деформаций и диссипации энергии в стабильных циклах.
Применительно к упругоидеальнопластическим конструк циям задача прямого расчета напряжений и скоростей дефор маций в стабильном цикле может быть решена на основе экстремального принципа, предложенного в работе [68]. В со ответствии с этим принципом из всех полей кинематически возможных скоростей остаточных деформаций (включающих пластические ё'у и упругие Aijhkp/i* составляющие)
®"/ + |
|
|
= V2(й. , + й, г) |
(9.2) |
||
и самоуравновешенных остаточных напряжений |
|
|||||
|
х |
|
|
|
|
|
рИ = Р°и+ |
\ 9и |
9°ч = Ы |
т-0> |
м |
||
|
О |
|
|
|
|
|
P°iu = °> |
Рип1 = 0 |
на |
s p> |
(9.4) |
||
Pi/,/ = |
0, |
pijiij — 0 |
на |
Sp, |
(9.5) |
|
образующих в сумме с «упругими» напряжениями |
допу- |
стимое напряженное состояние в любой точке тела и в любой момент времени
W / + Pi/)<°> |
(9-6) |
в действительном стабилизированном цикле реализуются та кие поля указанных величин, которые доставляют абсолютный
минимум (равный нулю) неотрицательному функционалу
т
J = = \ d x \ ( а и ~ |
k"l d v |
(9-7) |
О |
|
|
и удовлетворяют условиям замкнутости цикла (9.1) или (1.3). Здесь сhj — напряжения на поверхности текучести, связанные со скоростями ё'у ассоциированным законом течения.
Задавая те или иные признаки стабилизированного цикла, нетрудно получить из приведенного выше экстремального принципа соответствующие условия их реализации. Если, в частности, в стабилизированном цикле ё'у = 0 во всех точках
тела и во все моменты времени (упругая приспособляемость), то условия (9.2) и (9.5) обращаются в тождества, функционал (9.7) достигает минимального (нулевого) значения, и условия существования указанного стабильного цикла сводятся к на личию не зависящих от времени напряжений р°/? удовлетво
ряющих условиям (9.4) и (9.6). Очевидно, полученный ре зультат совпадает с теоремой Мелана. Аналогичным образом, задавая скорости деформаций e"f отличными от нуля, можно
прийти к теореме Койтера.
Более сложные условия, определяющие существование стабилизированных циклов, в которых приращения деформа ций за цикл равны нулю (или отличны от нуля) при разви том знакопеременном течении, а также условия, при которых приращения перемещений за цикл достигают заданных нену левых значений, были получены в работе [26]. В качестве при меров здесь найдены условия возникновения прогрессирую щего разрушения при развитом знакопеременном течении для ряда объектов: цилиндрической оболочки, толстостенной тру бы, круглой пластинки.
Отметим, что в наиболее простых случаях разграничение области неупругой приспособляемости в соответствии с раз личными типами циклической пластической деформации уда ется провести с помощью приемов, близких к применяемым при анализе упругой приспособляемости [10, 57, 58], не при бегая к общим соотношениям, полученным в работе [26]. В качестве примера на рис. 6 приведена полная диаграмма приспособляемости для цилиндрической оболочки [10, 84], на груженной постоянным внутренним давлением (относительное
напряжение др= |
огр/с>г, где от— предел текучести) |
и цикли |
||
чески изменяющимся |
однопараметрическим |
температурным |
||
полем (dt= a t/a Tl |
где сн = 0,5сс£Д//(1— р,), |
Дt — перепад по |
||
толщине). Здесь |
А — область приспособляемости |
(А '— об |
||
ласть чисто упругого |
поведения с начала нагружения),Б — |
область знакопеременного течения, В — область односторон него нарастания деформации с каждым циклом, Г — область «смешанной» деформации (сочетания знакопеременной и односторонней). Анализ показывает, что при значениях пара метров нагружения, соответствующих областям Б, В и Г, уста навливаются стабильные циклы напряжений, характеризую
щиеся постоянным разма |
|
|
|
Г |
||||||||
хом |
(или приростом) не |
|
|
|
||||||||
упругой |
|
деформации. |
|
|
|
|
||||||
Экспериментальная |
\ . |
|
|
|||||||||
проверка |
|
приведенной |
|
|
||||||||
диаграммы |
отражена |
в |
|
|
||||||||
работе |
[42], в которой, |
в |
|
|
Г |
|
|
|||||
частности, |
исследовалась |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||
граница |
|
между |
областя |
А |
|
|
|
|
||||
ми Б и Г, |
определяющая |
|
|
|
|
|||||||
условия, |
при которых |
на |
Б |
|
|
|
|
|||||
фоне |
развитого |
знакопе |
|
|
|
|
|
|||||
ременного |
течения |
возни |
|
|
|
в |
|
|||||
кает |
|
|
прогрессирующее |
|
|
|
|
|||||
разрушение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
10. |
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ |
|
А |
|
|
|
||||||
ЗАДАЧ ПРИСПОСОБЛЯЁ- |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
МОСТИ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение |
условий |
А' |
|
|
|
|
||||||
прогрессирующего |
разру |
|
|
|
|
|||||||
шения |
|
сплошного |
тела |
|
|
0,5 |
|
|
||||
(как и родственная |
проб |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||
лема |
предельного |
равно |
Рис. 6 . Полная диаграмма |
приспосо |
||||||||
весия) |
требует |
решения |
бляемости для |
цилиндрической |
обо |
|||||||
неклассической |
|
вариа |
|
|
лочки. |
|
|
|||||
ционной |
|
задачи, |
вклю |
уравнения |
равновесия или |
сов |
||||||
чающей дифференциальные |
||||||||||||
местности, |
ограничения |
на |
величины |
переменных |
(напря |
|||||||
жений или приращений деформации), входящих в |
соответ |
|||||||||||
ствующие |
уравнения, |
и |
подлежащий |
максимизации |
или |
минимизации критерий оптимальности (целевая функция),ко торым обычно является один из параметров, определяющих внешние воздействия. Аппарат для строгого решения задач такого типа на основе любой из теорем теории приспособляе мости дает математическая теория оптимальных процессов [43]. Решение одномерных задач предельного равновесия и приспособляемости пластин и оболочек с помощью принципа максимума Л. С. Понтрягина рассматривалось в работах [10,
65]. Однако общие вычислительные методы, реализующие дан ный принцип для двух- и трехмерных задач с распределен ными параметрами и ограниченными фазовыми координатами, насколько известно, еще не нашли применения в теории при способляемости.
Значительно подробнее разработаны численные методы ре шения задач приспособляемости с помощью аппарата матема тического программирования (главным образом, линейного). Для их использования необходимо получение соответствую щих дискретных математических моделей, что достигается за меной дифференциальных уравнений системой алгебраических уравнений и наложением ограничений на переменные в конеч ном числе узловых точек. Такой подход реализуется проще всего при расчете стержневых систем (фермы, рамы), при ус ловии что ограничения на величины внутренних усилий имеют вид линейных неравенств, а выражения для определения пла стической диссипации соответственно линейны относительно неизвестных скоростей (приращений) деформации. При вы полнении расчетов используются различные варианты пря мого и двойственного симплекс-методов [70, 71, 74, 95, 152 и др.], методы определения чебышевской точки системы ли нейных неравенств [37] и другие вычислительные схемы и алгоритмы.
При расчете двумерных и трехмерных конструкций, а так же стержней при комбинированном действии силовых факто ров применение методов линейного программирования возмож но лишь при кусочно-линейной аппроксимации поверхностей
текучести. |
Соответствующие методы |
расчета |
применительно |
|
к задачам |
приспособляемости |
были |
развиты |
сравнительно |
недавно. |
Общие вопросы, |
связанные с их |
применением, |
рассматривались в работах [10, 22, 24, 104, 164, 181]. Как и при расчетах одномерных стержневых систем, задачи, полу ченные на основе статической и кинематической теорем, об разуют двойственную пару задач математического программи рования [72, 109]. Конкретные примеры расчета осесимметрич ных пластин и оболочек методами линейного программирова ния даны в работах [10,22,66]. Здесь для получения дискрет ной модели конструкции использовались конечные суммы, рассматривались также вопросы точности вычислений. Рас чету тонкостенных сосудов посвящены работы [126, 131], в первой из них (в отличие от [22, 66]) распределение остаточ ных напряжений было принято пропорциональным двум пара метрам.
Нелинейные условия текучести приводят, как правило, к задачам квадратичного выпуклого программирования [41, 73, 83, 185].
Для анализа приспособляемости сложных (неосесимме тричных) конструкций перспективным является применение методов математического программирования с использова нием конечно-элементной дискретизации [83, 164, 185].
К задачам линейного и выпуклого программирования при водит также проблема оценки перемещений, накопленных к моменту приспособляемости [87, 90, 156, 164, 221].
Следует отметить, что применение методов математиче ского программирования в течение некоторого времени разви валось независимо в задачах приспособляемости и в задачах предельного равновесия. Преобразование фундаментальных теорем, рассмотренное в разд. 2, а также введение обобщен ных переменных (разд. 3) позволяет свести задачу о приспо собляемости к проблеме предельного равновесия соответст вующих фиктивно неоднородных конструкций и на этой основе широко использовать вычислительные приемы и алго ритмы, разработанные в теории предельного равновесия [44, 54 и др.].
Применение методов математического программирования связано с довольно трудоемкими вычислениями, выполнение которых возможно обычно лишь с помощью ЭВМ. Оно оправ дано в прикладных задачах лишь тогда, когда приемлемое по точности решение не может быть получено более элементар ными средствами. В некоторых случаях с помощью математи ческого программирования удобно отыскать характерные ме ханизмы разрушения для типовых задач, с тем чтобы в даль нейшем использовать эти механизмы для получения прибли женных решений.
Как и в задачах предельного равновесия, в теории приспо собляемости широкое распространение получили приближен ные методы, позволяющие при совместном использовании двух теорем получать двухсторонние оценки для параметров, опре деляющих предельный цикл. Пожалуй, наибольшее распро странение получили приближенные статические методы опре деления нижних оценок [55, 57, 58, 157—160, 202, 203, 205, 220 и др.], базирующиеся на применении каких-либо предположе ний относительно полей самоуравновешенных напряжений (ра боты разных авторов отличаются конкретными способами за дания этих напряжений) и последующем подборе таких зна чений параметров нагрузок, при которых удовлетворяются все условия теоремы Мелана.
Первоначальная форма теоремы Мелана не отражает раз личий между двумя видами разрушения (соответствующий анализ во многих исследованиях, в частности зарубежных [157—160, 181, 220 и др.], обычно не делается). В ряде случаев (например, при наличии в конструкции сильных концентрато
ров напряжений, в частности в сосудах типа пересекающихся оболочек) предельный цикл явно ограничивается условием знакопеременного течения и решение можно было бы полу чить более элементарно (см. разд. 2).
Если не исключена возможность того, что предельный цикл ограничен условиями накопления односторонних деформаций* применение приближенных статических методов вполне оправ дано. Заметим, что для определения условия знакопеременного течения способ задания самоуравновешенных напряжений по чти безразличен, поскольку их роль сводится лишь к изменению характеристики цикла в «опасных» точках (при этом рас пределение напряжений в остальных точках конструкции не является единственным), соответственно решение на основе статического метода получается обычно точным. При опреде лении условий прогрессирующего разрушения, в силу единст венности напряжений в предельном цикле [10], различные ва рианты задания самоуравновешенных напряжений позволяют получать лучшую или худшую оценку «снизу».
Преобразование кинематической теоремы (разд. 2) сде лало ее таким же удобным инструментом в решении задач, ка ким является соответствующая теорема предельного равнове сия. Как известно, определить подходящий (и иногда доста точно близкий к действительному) кинематически возможный механизм разрушения часто бывает проще, чем задать наибо лее благоприятное распределение напряжений, уравновешен ных заданной постоянной нагрузкой. Более простым является и получение результата при использовании кинематического метода. Примеры применения различных вариантов этого ме тода даны в работах [10, 21—24, 96, 133, 210, 211, 212]. Опре деляемые в общем случае оценки «сверху» для параметров предельного цикла в задачах.с очевидным механизмом разру шения совпадают с точным решением.
Методы решения задач приспособляемости при динамиче ских воздействиях не отличаются принципиально от рассмо тренных выше; их сравнительная оценка была дана в ра боте [103].
Решение задач неупругой приспособляемости (расчет ста билизированных циклов) при наличии пластических деформа ций сводится с помощью экстремального принципа, рассмо тренного в разд. 9, к неклассическим вариационным задачам, аналогичным задачам приспособляемости. В частности, при определении напряжений и приращений (размахов) деформа
ций система |
ограничений |
задачи включает условия (9.2), |
(9.4) — (9.6), |
(9.1) или (1.3) |
и соотношения ассоциированного |
закона течения. Критерием оптимальности является функцио нал (9.7). В дискретной форме при исследовании кусочно-ли
нейных поверхностей текучести получаем задачу линейного программирования.
При расчетах параметров предельных стабилизированных циклов, отвечающих заданным (обычно кинематическим) при знакам, критериями оптимальности являются параметры внешних воздействий. В зависимости от постановки задачи они максимизируются или минимизируются. Система ограни чений включает, кроме перечисленных выше условий, доба вочное уравнение, согласно которому функционал (9.7) дол жен быть равен нулю.
11.РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ ЧАСТНОГО ВИДА
ИИНЖЕНЕРНЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
По-видимому, наибольшее число работ в теории приспособ ляемости связано со стержневыми конструкциями (балки, ра мы, фермы) строительного типа [38, 40, 53, 70, 88, 107, 108, 116, 119, 123, 132, 138, 141, 148, 153, 183, 208 и др.]. Исследования в этой области были наиболее ранними (на простых стержне вых системах уяснялись основные эффекты [10, 140, 201, 217]). Их поток не прекращается и сейчас [38, 86, 89, 144, 215] как в связи с дальнейшим углубленным изучением эффектов и совершенствованием частных методик расчета, так и в связи с расширением круга приложений теории (применительно, на пример, к теплообменным аппаратам [144], аркам [93] и дру гим объектам). Следует заметить, что в задачах данного типа минимальные нагрузки, приводящие к прогрессирующему раз рушению, иногда мало отличаются от предельных (мгновен ное пластическое разрушение). Это, естественно, вызвало ра зочарование у некоторых авторов [142], однако позднее были обнаружены примеры стержневых систем, испытывающих ме ханическое нагружение, в которых различие между предель ными нагрузками, отвечающими мгновенному и прогрессирую щему разрушениям, оказывается более существенным [117, 135]. Исходя из результатов, полученных в разд. 2, 4, можно сделать вывод, что такое различие характерно, в частности, для подвижных нагрузок, причем оно увеличивается по мере приближения поля «упругих» напряжений к квазистационарному полю по отношению к соответствующей (подвижной) си стеме координат [63, 64, 117]. В качестве конкретных приложе ний рассматривались конструкции мостов [93, 106, 122].
Как в прикладном, так и в теоретическом отношении инте ресным примером являются контактные квазистационарные воздействия, возникающие при многократном обкатывании на груженным роликом некоторой поверхности (полупростран ства или полуплоскости), По-видимому, первая работа, в ко
торой рассматривалась соответствующая задача о приспособ ляемости, принадлежит Джонсону [145], дальнейшее развитие это направление получило в работах [2, 59, 178]. Имеются так же экспериментальные результаты определения деформаций, накапливающихся с каждым циклом (проходом), полученные в Советском Союзе [46] и за рубежом [178, 194].
Отметим, что исключительное использование статической теоремы, характерное для работ [59, 145, 178], затрудняло оп ределение предельных состояний, реализуемых при нарушении условий приспособляемости. В свою очередь это препятство вало объективному сопоставлению результатов расчетов с имеющимися экспериментальными данными. В работе [2] сде лана попытка устранить отмеченный недостаток путем исполь зования кинематической теоремы.
Значительный практический интерес представляет приме нение теории приспособляемости к анализу несущей способно сти конструкций типа пластинок и оболочек. Здесь можно вы делить прежде всего обширный цикл работ (преимущественно зарубежных), посвященных расчетному [105, 118, 125, 157— 160, 176, 177, 189, 206, 207, 220] и экспериментальному [124, 190] исследованиям приспособляемости сосудов давления. Как уже отмечалось выше, в условиях однопараметрического нагружения прогрессирующее разрушение является не харак терным видом разрушения; как правило, в предельном состоя нии реализуется знакопеременное пластическое течение (в осо бенности при наличии концентрации напряжений) либо «мгно венное» пластическое разрушение (предельное равновесие).
Наиболее перспективной областью приложений теории при способляемости оказались, по-видимому, конструкции,' рабо тающие в нестационарных температурных полях (как при на личии механических нагрузок, так и при их несущественном влиянии). Отличие от результатов расчета по предельному равновесию (при определении условий накопления с каждым циклом односторонних деформаций) здесь может быть весьма значительным, поскольку, как известно, тепловые напряжения на условия предельного равновесия не влияют. Проблема фор моизменения конструкций при теплосменах весьма актуальна для ряда отраслей современной техники, в частности для атом ной энергетики, двигателестроения, металлургии; различным ее аспектам посвящено значительное число теоретических и экспериментальных исследований.
В атомных реакторах специфические условия работы, ха рактеризующиеся периодическими теплосменами, сочетаются с чрезвычайно жесткими требованиями к стабильности геоме трии. Изучение формоизменения в связи с этой проблемой бы ло начато экспериментальными исследованиями [28]. Теория