книги / Современные методы и средства балансировки машин и приборов
..pdfГлава 8
УРАВНОВЕШИВАНИЕ МЕХАНИЗМОВ
8.1. УРАВНОВЕШИВАНИЕ ОДНОКОНТУРНЫХ ШАРНИРНЫХ КИНЕМАТИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ С НЕСИММЕТРИЧНЫМИ ЗВЕНЬЯМИ МЕТОДОМ ПОДОБИЯ
(В. А. Щепетильников)
Рассмотрим замкнутую одноконтурную шарнирную кинематиче скую цепь с произвольным числом степеней свободы, состоящую из групп второго класса, например, кинематическую цепь из подвиж ных несимметричных звеньев, входящих во вращательные пары и об разующих многоугольник с числом сторон п + 1 (рис. 8.1).
Пусть центры масс mlt гщ, .... тп звеньев находятся в точках Slt S-,, .... S„, а их проекции на оси звеньев — в точках Si, Si, ..., S'n.
Общий центр масс подвижных звеньев кинематической цепи опре
делим вектором (1 ] |
|
II |
il |
OS = S h, |
S fa, |
i=i |
i=i |
где ht и h’i представляют векторы главных точек t'-ro звена и его от
резка |
(рис. |
8.1). |
уравновешивания одноконтурной |
кинемати |
||
Д ля |
статического |
|||||
ческой цепи OAiA-, |
Ап методом подобия |
[2] необходимо и доста |
||||
точно потребовать, чтобы многоугольники |
Оа[а<> ...ai, и Oa'idi ... а"п, |
|||||
построенные |
соответственно из векторов hi (i = 1, 2, |
..., п) |
и Н\ |
|||
(/ = 1, 2, |
п), были подобны кинематической цепи ОЛДо |
Л„ |
||||
(рис. |
8.2): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(8. 1) |
Заметим, |
что если многоугольник Oa’iai |
а"„ повернуть на угол |
зт/2 по движению стрелки часов, то он совпадает с многоугольником Оа”а“’ а™, подобным кинематической цепи ОЛД2 ... Ап (рис. 8.2).
Стороны многоугольника Оа'"а'Ц a"t't можно рассматривать как век
торы, которые равны по модулю векторам h',, а по направлению от личаются от них на угол л/2. Поэтому многоугольник Оа"а2 а"
можно называть для кратности повернутым многоугольником векто ров h',. __
На рис. 8.2 можно видеть, что вектор Оа" повернутого много угольника векторов h', является постоянным по модулю и направле
Рис. 8.1. Схема одноконтурной шарнирной кинематической цепи с произвольным числом степеней свободы
нию. Тем же свойством будет обладать и вектор 0а"п. Отсюда следует,
что при условии (8.1) векторы сумм
П
Оа'„ = 2 А<; i=i
(8.2)
Оап = 2 К
1=1
оказываются постоянными как по модулю, так и по направлению. Поэтому вектор
ÔS = Oân + ô^S, |
(8.3) |
где
a'„S = Oah
также будет постоянен по модулю и направлению.
Рис. 8.2. Схема замкнутой шарнирной кинематической цепи с иёсимметрнчными звеньями, уравновешенной статически методом подобия
Таким образом условие (8.1) в силу указанных выше свойств век
торов (8.2) |
и (8.3) действительно является необходимым и достаточ |
ным для того, чтобы кинематическая цепь ОАхА2 Ап с п несимме |
|
тричными |
звеньями была статически уравновешена. |
Условимся называть в дальнейшем уравновешивание простой кинематической цепи с несимметричными звеньями путем реализации условия (8.1) уравновешиванием методом подобия.
Очевидно, для выполнения условия (8.1) необходимо, чтобы сход
ственные |
стороны |
многоугольников |
Оа\а.2 |
ah, Оа[аг ... ah |
и |
||
ОАхА2 |
А п были |
пропорциональны |
|
|
|
||
|
|
|
hjli = h2!L = ... = |
hjln, 1 |
.g .. |
||
|
|
|
h ilh = h ïlh = ...= K lln- I |
( |
} |
||
Из |
равенств (8.4) получим 2 (n — 1) пропорций: |
|
|||||
|
|
|
h\! |
—/ь//оj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(8.5) |
|
|
|
|
h'ifli = Л 2/ / 2; |
|
|
|
|
|
|
|
hi/li — ht+iflî+ii |
(8.6) |
|||
|
|
|
hn—i/ln—î—hn'ln, |
|
|
||
в которые входят массы звеньев ml, m2, |
..., tn„, |
координаты их цен |
|||||
тров ах>аг, |
..., ап и bx, Л2, .... |
bn, а также длины звеньев 1Х, /2, |
|
т. е. всего 4л параметров. Поэтому при решении задачи статического уравновешивания кинематической цепи можно выбрать произвольно
только 2 (п + |
1) параметров, а остальные 2 (п — 1) параметра опре |
|
делить из системы уравнений (8.5), (8.6). |
массы т г |
|
Например, |
если заданы длины /£ (t = 1, 2, ..., п) и |
|
(i = 1, 2, ..., |
п) всех звеньев, а также координаты а^, |
bk центра |
массы Л-го звена, то из системы уравнений (8.5), (8.6) можно опреде лить координаты центров масс остальных (л — 1) звеньев.
Не уменьшая общности исследования, покажем решение этой задачи при k = 2 для кинематической цепи, показанной на рис. 8.1.
Координаты центра массы тх первого звена определяются урав нениями:
А1//1 — /г2//о :
h\/l\ — hith.
Подставляя в них известные выражения для Ль Л2 и Ль Л2 [1 ] и делая элементарные преобразования, найдем
пифх = — mxai;
тфхИх = tiub.^L,
откуда получим формулы для определения координат центра массы nii.
<*1 = — nhik/tth; |
j |
(g ^ |
Ь} —№2Ьо1iltTliln, |
J |
|
где |
|
(8.8) |
«ï2i —т3 (1-2 Ло)/1>■ |
||
Знак минус в формуле для ai показывает, что точки Sî и Ai |
рас |
положены диаметрально противоположно относительно оси враще ния первого звена (см. рис. 8.2).
Перейдем теперь к определению центра массы третьего звена. Имеем
Л2/4 ==h3!l3\
Л2 //2 = Лз//з-
Подстановка в эти равенства соответствующих выражений для векторов главных точек звеньев и их отрезков приводит к уравне ниям:
(/« 2 2 + ш3) /3= т3а3; |
тф,/12= m3b3/l3, J
где
/л22 = лг2 (а2//2).
Из этих уравнений получим искомые координаты Oj = (m22-(- т3) 13/т3;
Ь3= niobol3/m3L.
Координаты центров масс остальных (п — 3) звеньев кинемати ческой цепи определяются уравнениями, аналогичными уравне ниям (8.9).
Например, для /-го звена имеем
(/«о-и, 2+ |
пп) h = tricar, |
(8. 10) |
|
tni-A -i/h-i = mibiHi, |
|||
|
|||
где |
|
|
|
m(i-i), 2 = /Н22 + |
m3 -f- /И4 + . . . -f m,_i. |
(8 .1 1 ) |
Из уравнений (8.10) найдем координаты центра массы /-го звена
кинематической цепи для / |
2: |
|
(/«(i-i), 2-Ь т г) h . |
|
|
|
«i |
(8. 12) |
|
=. mj-ibuilj |
|
PHh.j
Если например, в равенствах (8.11) и (8.12) положить i = п, то получим формулы для определения координат центра массы п-го звена:
„ _ (/и(п_1),2 + т„) In. |
||
ип------------- “ |
» |
|
Ьп |
iïln-\bn-lln |
|
|
|
|
где |
|
|
m (n- i >, 2 = т 22 + та + т 4 + |
. + т „ - \ . |
В заключение заметим, что число консольных звеньев после ста тического уравновешивания простой кинематической цепи равно {п — 1), где п — число ее подвижных звеньев.
Изложенная выше теория уравновешивания одноконтурных шар нирных кинематических цепей методом подобия имеет в сочетании с другими методами основополагающее значение не только при ста тическом, но и при динамическом уравновешивании простых и слож ных кинематических цепей произвольной структуры, содержащих несимметричные звенья.
Для иллюстрации этой теории рассмотрим примеры уравновеши вания шарнирных механизмов, применяемых в ткацких станках.
Батанный механизм ткацкого станка. Рассмотрим теорию урав новешивания шестизвенного батанного механизма ткацкого станка (рис. 8.3).
Представим звено 2 в виде невесомого стержня АВ с двумя ста тически размещенными в точках А и В точечными массами:
ш2А = т 2 (а2Ц.,);
т »в = ^ 2 (^з — a z)lh>
где т 2 — масса звена 2, а2 — абсцисса ее центра, а 12 — длина звена. Если массы т 2А, т гв присоединить соответственно к звеньям 3 и /, а невесомый стержень АВ отсоединить от кинематической цепи,
то исходный механизм, который для краткости назовем механизмом а, рас членится на два механизма <xY и а2, каждый из которых имеет одну степень свободы.
Механизм а х состоит всего из одного
звена, кривошипа |
ОА, а механизм а 2 |
представляет собой |
шарнирный четы- |
рехзвенник CDEF |
с несимметричным |
шатуном. |
|
Рис. 8.3. Структурная схема |
шестнзвенного ба |
|
танного механизма |
ткацкого |
станка: |
/ — кривошип; 2, |
3 — шатуны; 4 — батан; 5 — |
|
коромысло |
|
|
Заметим, что принцип расчленения кинематической цепи исходного механизма на несколько кинематических цепей позволяет в об щем случае свести задачу уравновешивания сложного механизма к задаче уравновешивания нескольких более простых механизмов.
В данном случае механизм |
при ведущем звене |
1 относится |
к механизмам третьего класса и имеет третий порядок, |
а механизм |
а 2 — только второй порядок (по классификации акад. И. И. Артобо левского).
Совокупность механизмов <хъ а 2 будем называть функциональной цепью механизма а. Очевидно, для статического уравновешивания механизма а достаточно уравновесить статически его функциональ ную цепь.
Для статического уравновешивания кривошипа 1 необходимо придать ему такую форму (см. рис. 8.3), чтобы значение его дисба
ланса было |
(8.13) |
D1 = m2Al1, |
где li — длина кривошипа.
Перейдем теперь к уравновешиванию механизма а 2. Так как ки нематическая цепь механизма относится к одноконтурным кинема тическим цепям, то для определения координат центров масс mit тъ коромысел 4 и 5 можно воспользоваться уравнениями (8.5) и (8.6).
В соответствии с этими уравнениями координаты центра массы т 4 определяются формулами, аналогичными формулам (8.7):
<з4= — mili/m*, bt = m3b3ljm j3,
где согласно формуле (8.8)
т31= тц(/3 — а3)/13.
Координаты центра массы т6 определим по формулам (8.12). Учитывая нумерацию звеньев на рис. 8.3, получим
Q6— (m33 -j- m6) l2/tn6‘ bs = tn3bal5/m6l3,
где т32 согласно (8.11) имеет значение т 32 = /ПзйзИз.
Из сказанного следует, что у статически уравновешенного меха низма «г дисбалансы звеньев 4 и 5 будут иметь значения
(8.14)
и углы
(8.15)
Рис. |
8.4. Структурная схема |
кривошипно-коромысло- |
_____________ |
||||||
вого |
боевого |
механизма |
ткацкого станка: |
|
|
||||
1 — кривошип; |
2 — шатун |
(погонялка); |
3 — коромысло; |
|
|||||
т зк |
корректирующая масса коромысла; |
— масса кри |
|
||||||
вошипа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, для полного статического |
|
||||||||
уравновешивания механизма а, показанного |
|
||||||||
на рис. 8.3, дисбалансы |
его звеньев 1, 4 а 5 |
|
|||||||
должны |
определяться |
формулами |
(8.13), |
|
|||||
(8.14) и |
(8.15). |
|
|
|
|
|
|
||
После реализации дисбалансов (8.13) и |
|
||||||||
(8.14) станина |
механизма будет |
полностью |
|
||||||
разгружена |
от |
действия |
главного |
вектора |
|
||||
неуравновешенных сил, но будет испыты |
|
||||||||
вать действие |
главного момента М этих сил. |
|
|||||||
Полная |
компенсация момента М предста |
|
вляет значительные конструктивные трудно сти, между тем как уравновешивание только
первой его гармоники Mi может быть выполнено при помощи простей шего конструктивного устройства, на основании принципа незави симости статической уравновешенности механизма от координат оси вращения какой-либо массы mt /-го звена, вращающегося вокруг неподвижной оси. Решение этой задачи на основании такого прин ципа обычно не встречает трудностей и поэтому здесь не рассматри вается.
Боевой механизм ткацкого станка. Рассмотрим схему статически уравновешенного кривошипно-коромыслового боевого механизма ткацкого станка (рис. 8.4). Особенность этого механизма заклю чается в том, что он содержит несимметричный консольный шатун АВ. Поэтому полное статическое уравновешивание этого механизма можно выполнить методом подобия в сочетании с методом нуль-век
торов. |
|
|
|
|
h\ (/ = 1, 2, 3) главных |
|
Эти методы требуют, чтобы векторы /ц, |
||||||
точек звеньев и их отрезков удовлетворяли уравнениям: |
|
|||||
|
hi |
= 0, |
(/ = |
1, 2, 3); |
|
(8.16) |
|
|
h'\l3— /12/2 — 0; |
|
(8.17) |
||
|
|
h3l3— /13/2 — 0. |
|
|||
|
|
|
|
|||
Если |
в уравнения |
(8.16) |
и (8.17) подставить вместо hi, |
h] (/ = |
||
= 1, 2, |
3) известные выражения |
[23], то получим систему уравне |
||||
ний |
|
/щах + |
(пи + т3) /х = |
0; |
(8.18) |
|
|
|
|||||
|
|
пиаг + |
m3U= 0; |
|
(8.19) |
|
|
|
пг3а3 = |
0; |
|
(8.20) |
|
|
rn-Jbxh — nululx — 0; |
|
(8.21) |
|||
|
tu3b'2^3 |
“ ni3b3L — 0. |
|
(8.22) |
185
В этих уравнениях т3 обозначает массу коромысла: |
|
/77з = Шз-|-/Нзк> |
(8.23) |
где /?2з — масса коромысла до прикрепления к нему корректирующей массы mah.
Уравнения (8.18)—(8.23) полностью решают задачу синтеза ста тически уравновешенного механизма, показанного на рис. 8.4. В эти уравнения входят 14 параметров, поэтому при проектировании механизма конструктор может произвольно выбрать только восемь параметров.
Пусть, например, заданы длины звеньев /; (i = 1, 2, 3), масса /л2 шатуна и координаты <з2 < 0; Ь2> 0 ее центра, а также масса тз ко ромысла и абсцисса аг центра массы ту кривошипа.
Из уравнений |
(8.18)—(8.23) найдем оставшиеся шесть параметров |
|
статически уравновешенного механизма. |
|
|
Из уравнения |
(8.19) определим массу коромысла |
|
|
т3 = —т 2а2//2, |
(8.24) |
а из уравнений (8.20) и (8.22) абсциссу и ординату центра этой массы
а3 = 0;
(8.25)
а3 --- m2b2l3/m3L.
Заметим, что знак минус в формуле (8.24) показывает, что абс цисса а2 центра массы т2должна быть отрицательной.
Найдем далее из уравнения (8.18) массу кривошипа
ту = .—(т 2 -fm3) 1у!аъ |
(8.26) |
а из уравнения (8.21) ординату этой массы |
|
by — ïïivbvly!(triyl-j) . |
(8.27) |
Из уравнения (8.23) получим значение корректирующей массы коромысла
Шзк = /лз — тз. |
(8.28) |
Перейдем теперь к определению координат центра корректирую щей массы т3к коромысла. Из рис. 8.4 непосредственно следует, что абсцисса ВБ'зк центра массы т3к должна быть
BSr3K= т'зВ5з1тгл, |
(8.29) |
||
а ее ордината |
bz ( B S 3 + BS'3K) |
|
|
5'зк5зк = |
(8.30) |
||
B S 3 |
|||
|
|
Формулы (8.24)—(8.30) полностью определяют все параметры статически уравновешенного механизма, показанного на рис. 8.4. После реализации этих параметров станина механизма будет раз гружена от действия главного вектора неуравновешенных сил, но будет еще испытывать действие главного момента М этих сил. Урав новешивание первой гармоники момента М не вызывает затруднений, как было отмечено выше, и может быть выполнено при помощи про стейшего конструктивного устройства [23].
8.2. ВАРИАНТ МОМЕНТНОГО УРАВНОВЕШИВАНИЯ КРИВОШИПНО-КОРОМЫСЛОВОГО МЕХАНИЗМА
{А. А. Савелова)
Способы моментного уравновешивания четырехзвенных меха низмов — кривошипно-коромысловых и кривошипно-ползунных — всесторонне изложены в работах В. А. Щепетильникова [23], где главный момент Мф сил инерции механизма приближенно уравнове шивается корректирующим моментом Мк, вводимым в кинематиче скую цепь механизма. При этом используется круговое вращатель ное движение кривошипа. Но в указанных (и других) работах не принято выявлять цикловой характер изменения момента Мф = = Мф (фх), подлежащего уравновешиванию (фх — угол поворота кривошипа). Неизвестная зависимость Мф = Мф (фх) там рассма тривается как сумма членов тригонометрического ряда и практически используется только его первое слагаемое. Например, это слагаемое берется в виде синусоиды, пропорционально которой и должен изме няться Мк (но с обратным знаком).
Корректирующий момент Мк создается вращающейся синхронно с кривошипом 1 (при «X = const) парой векторов (Ф„ФК), направ ленных противоположно друг другу (постоянного модуля) с плечом hK, изменяющимся по закону синуса, т. е. М„ = Ф„Л„ (рис. 8.5). Причем каждая из двух сил
(8.31)
и из рис. 8.5 следует, что я?,„ тк — посаженные с эксцентрисите тами^^, ек корректирующие массы, a DK= т^ву = const — соот-
Рис. 8.5. Расчетная схема расположения двух корректирующих масс тк, тк, синхронно вращающихся с кривошипом, и дисбалансов DK, DK, которые имеют плечо Ни, изменяющееся по закону синуса
Рис. 8.6. Расчетная схема динамического нагружения статически уравновешенного кривошипно-коромыслового механизма
ветствующие корректирующие дисбалансы. Тогда с учетом зависи мости (8.31)
|
Мн= ft>iDK/ii< = WÎ/WÛKJ |
(8.32) |
где |
MDK — DKhK— момент корректирующего дисбаланса |
и плечо |
К = |
IAE sin (Р + фа), что следует из рис. 8.5. |
|
В описанной последовательности расчета существует некоторая |
||
неясность и в подборе значения нужного дисбаланса DK (DK = |
||
= const) и в пригодности переменных знаков моментов М к = |
М я (фх), |
вычисленных по формуле (8.32), т. е. не видны уравновешивающие качества найденной кривой. Если же начать расчет с выявления цик лового значения главного момента Мф = Мф (фх) по модулю и знаку, то тогда устраняются указанные трудности. Поэтому продолжим не которое отступление от основного вопроса данного параграфа. Тем более, что здесь также требуется определение цикловой характери
стики М ф = М Ф ((р1).
Берем кривошипно-коромысловый механизм, в котором было про изведено статическое уравновешивание (рассчитанное по общепри нятому варианту способом векторов главных точек). Изобразим рас четную схему динамического нагружения механизма (рис. 8.6), при нимая фх = const (т. е. пренебрегая неравномерностью вращения звена /).
Формула для определения главного момента Мф в общем случае была дана в работе [2]. Здесь же она имеет свой частный простой вид
(алгебраическая сумма пяти слагаемых — моментов силовых |
пар) |
Мфs — Мф =■<Т>х<7i "b JS2Ë2-(- Фг^2 -f- JS3e3 ~Ь Фз7з> |
1.8.33) |
считая известными все массово-кинематические параметры механизма. В связи с применением формулы (8.33) отметим, что после стати ческого уравновешивания были вычислены новые значения моментов