книги / Современные методы и средства балансировки машин и приборов
..pdfРешение последнего дифференциального уравнения без правой части при малых углах отклонения цапфы, когда можно принять sin ф æ ф, a cos ф « 1, имеет вид
Ф= Фетах*,
т. е. не является периодическим. Поэтому в этом случае отсутствует маятниковый резонанс цапфы. При промежуточных значениях 0 < < q < 1 маятниковые колебания цапфы определяются выражением (1.26) и их амплитуды тем больше, чем тяжелее статор, т. е. чем меньше q.
Возможность вертикальных перемещений характеризуется условиями
трх < А,а » куу,
которые означают, что в горизонтальном направлении вдоль оси х устанавливается дорезонансный режим, а в вертикальном направле нии возможен как зарезонансный, так и дорезонансный режимы.
Решив совместно уравнения (1.14) и (1.15) при заданных усло виях, получим
|
ф + |
sin ф = |
— to2 sin (со* — ф) + -f-sin ф. |
(1-27) |
|
Решив совместно уравнения (1.14) и (1.16), найдем |
|
||||
|
у + |
®уу = eqtsYcos со/ Ц- Ддф sin ф -|- Дуф2 cos ф. |
(1.28) |
||
При зарезонансном режиме по оси у (мягкая вдоль оси у под |
|||||
веска) имеет место соотношение |
|
|
|||
|
|
|
®уУ < 0 ; |
|
|
отбросив член |
со1у и решив после этого совместно уравнения (1.27) |
||||
и (1.28), |
получим уравнение относительного движения цапфы в под |
||||
шипнике |
|
|
|
|
|
|
+ <7ф2 cos ф |
си2 |
|
|
|
1_qsin2 ф Sltl^ = |
1 - ?зш2ф [Stn СО/СОБф— (1—g) COS О)/Sinф]. |
||||
|
|
|
|
|
(1.29) |
При |
q -+ 0 |
(та > тр, |
тяжелый |
статор) выражение |
(1.29) при |
водится |
к виду |
|
|
|
|
|
|
ф -|— sin ф = |
со2 sin (со/ — ф), |
|
т. е. колебания цапфы в тяжелом статоре и в рассматриваемой под веске имеют такое же значение, как в неподвижном статоре. Неподвижность подшипника в этом случае обеспечивается в гори зонтальном направлении большой жесткостью опоры, а в вертикаль ном — большой массой статора.
При q -у 1 (mc <С nip, легкий статор) получим параметрическое дифференциальное уравнение движения с периодически меняющимся коэффициентом, характеризующим жесткость:
+ с“ * + ( т а й г + * 8) = - f 0,2sin£ù/-
БАЛАНСИРОВКА ЖЕСТКИХ РОТОРОВ И СНИЖЕНИЕ ВИБРАЦИЙ МАШИН
2.1. СТАНКИ ДЛЯ КОНТРОЛЯ ДИСБАЛАНСОВ И ПРОЧНОСТИ ШЛИФОВАЛЬНЫХ к ру г о в
{В. А. Суетин, Б. В. Лесной)
Освоение в народном хозяйстве прогрессивных методов скоро стного шлифования требует разработки быстроходного динамиче ского оборудования для контроля качества шлифовальных кругов по уравновешенности и прочности на разрыв.
Создание оборудования с совмещением контрольных операций на одной упругоподатливой шпиндельной группе открывает пер спективы технического и экономического характера, так как позво ляет исключить дополнительные материальные и временные затраты, необходимые на разработку, производство и освоение двух типов оборудования, требует малых производственных площадей и мень шего числа обслуживающего персонала.
Динамическая система (рис. 2.1) представляет собой вертикаль ный жесткий вал с упругоподатливым участком /г., на опорном конце, связанном с ротором высокоскоростного двигателя. Консольная часть вала имеет подшипниковую опору, которая через изотропные упругодемпферные связи ku сх связана с инерционной массой щ. Последняя связана со станиной через изотропные связи &2, с2. Вибро датчик с сейсмической массой щ связями k3, с3 соединен с инерцион ной массой /я2.
Система содержит специальный механизм для жесткого силового замыкания инерционной массы т2 и станины; этот механизм сраба тывает после измерения дисбаланса круга и подачи команды на разгон шпинделя до высоких испытательных частот вращения.
Невращающиеся инерционные массы т2 и /п3, связанные с шпин дельной группой через связи kx, сх, используются для измерения дисбалансов контролируемых шлифовальных кругов на низких частотах вращения (180—200 рад/с) по генерируемым в них колеба ниям. Динамические процессы в трехмассовой системе тъ /щ, т3
(где тх — приведенная к плоскости колебаний масса шпиндельной |
|
группы |
с контролируемым шлифовальным кругом) рассмотрены |
в работе |
[20]. |
Динамические процессы в шпиндельной группе для маятниковой формы колебаний его упругой оси на упругоподатливом опорном
участке удобнее всего описывать через угловые |
координаты р, у, |
|
Ф + cat, отсчитываемые от неподвижных осей |
XYZ, у |
которых |
начало (точка О) совмещено с заделкой опорного |
участка, |
а ось Z |
проходит по геометрической оси шпинделя. |
|
|
Рис. 2.1. Схема установки для совмещенного динамического контроля неуравно вешенных масс и прочности шлифовальных кругов
Обобщенное дифференциальное уравнение, описывающее маятни ковые колебания оси вала под действием центробежной силы от неуравновешенности круга, приводится к виду
|
ф = |
-----Y î® ( 1 + |
/) ‘Ф + 2/гф 4- (п2— q) ф — 2кш ф = |
|
||||
|
|
= ^-^-Ьсо2 |
-j- |
е£ (ф+®01 |
|
|
(2 . 1) |
|
где / = - / - ; |
2h = ^ |
; |
il- = |
(&r + k\) a2 . |
2ш= -4Це*.; |
|||
|
Jr\ |
|
|
|
|
|
|
<ÙJ4 |
<1= |
rncgac |
___megger |
|
ÿ|Z| |
Ф — P + |
iy — угло |
||
U |
г — |
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
вое отклонение оси вала (угол нутации), представленное в комплекс ной форме; У|, Jn, — приведенные к осям хъ уи гх соответ ственно полярный, экваториальный и центробежный моменты инер ции; clt kx — коэффициент демпфирования и жесткость в упругой опоре; k-i — приведенная к упругой опоре жесткость упругоподатли вого опорного участка шпиндельной группы; тс — масса шпиндель-
ной группы с контролируемым ротором (шлифкругом); ест, ас — координаты центра масс в осях хъ уи zx (ест— смещение центра масс от оси Zi, ас — аппликата центра масс); а — аппликата упругой опоры; УИтрг — момент трения круга о внешнюю среду (воздух).
Принимая решение (2.1) в виде ф = фе* (<И-И0>
получим выражение для угла нутации упругой оси в комплексной форме
-ь ____________ Ьш-/2+ ц___________
v(я2 — q) —со- {1 —/)/2 + 2/ш (h — w)
идействительные параметры искомой переменной
|
____________________ Ьй>2/2 + ц ____________________ . |
(2.2) |
|||||
т |
V [(я- — я)—to3 (1—/ ) ] 2/ 2 + 4(0®(ft — |
ш)3 ’ |
|||||
|
|||||||
|
0 = arctg |
2(0 (ft — |
ш) |
|
(2.3) |
||
|
~ |
/)/2 — (я2 —<?) 1 |
|
||||
|
|
|
|
||||
При неограниченном возрастании |
угловой |
скорости со оо |
|||||
выражения (2.2) и (2.3) принимают предельные значения |
|
||||||
|
ф0 = Пт ф ^ |
b |
_ |
ÿlZ1 |
|
(2.4) |
|
|
(I)-*-» |
i f |
" |
|
|
0О— Пт 0 = 0
и характеризуют режим самоцентрирования шпинделя, при котором его главная центральная ось инерции автоматически совмещается с осью приводного двигателя.
При малых отклонениях упругой оси, допускающих линеариза цию формы упругих деформаций, колебания оси в плоскости центра масс системы представляются в виде
ц = фас = |
(btf/2 + ц) ас_______________ . |
] / [(я2- ? ) |
1 |
12 |
+ 4а>2(Л-ш)2 |
’ |
|
_ _ шз (1 —/)J |
|
||||
т|о = limri |
baс |
|
|
(2.5) |
|
~ 7 |
Jn ~ Jt |
||||
(ù-*oo |
|
||||
Здесь = У x2 -j- г/2, где |
x, y — проекции на оси X и Y колеба |
ний оси шпинделя в плоскости центра масс.
Уравнение для резонансных частот вынужденных колебаний
о4 (1 - /)а/2 - |
2со21(1 - f) (л2 - |
q) - |
4 (h - |
wf] + 2 (л2 - ?)2 = 0 |
дает корни |
|
|
у Т |
|
|
«1,2, з,4 = |
|
|
|
|
± у з у X |
|
||
X ]Л (1 - /)(«2 - |
?) - |
4(А - |
têf] ± ” '~ |
|
± |
У'ТЩГ- ву)4 - |
8 (h - |
ш)2 (Г - /) (л2 - (/). |
При использовании обозначений
M = (l — f)(n? — q)\ N = 2 ( h - w f
корни уравнения резонансных частот приводятся к виду
Wj,2,3,4 = ± T ~ Y V M - 2 N ± \ , ' 4 N * - т ы '. |
(2.6) |
При высоких угловых скоростях со сопротивление трению круга 0 внешнюю среду w возрастает, и если выражение под вторым корнем превысит первые два слагаемых под основным корнем
V4 N2 - 4MN ^ M - 2 N ,
то возникает зона потери устойчивости шпинделя.
Используя выражение M/N = Ф, характеризующее соотношение между действующими на шпиндель упругими и вязкими связями (последние включают сопротивление внешней среды), условие потери
устойчивости можно записать так: |
|
|
||
1/1 - |
Ф2 |
4 " Ф2 - |
1 • |
(2-7) |
Рассмотрев правую и левую части условия (2.7) как функции |
||||
и S2 от аргумента Ф: |
|
|
|
|
Si = 1/Т - |
Ф2; |
S2= |
Ф2/2 - |
1, |
получим в безразмерной форме выражения для характера изменения соответствующих членов частотного уравнения
^ г - = ± т 1 - У ( 4 - ф * - 1 ) ± г т = ф г
Условие |
(2.7) справедливо в |
интервале —1 < Ф < 1 , т. |
е, при |
1Si | = I |
1 и при возрастании |
момента внешнего трения |
MTpz. |
При моменте внешнего трения УИтрг, превышающем моменты от упру гих сил, возникает зона потери устойчивости, из которого шпиндель не может выйти при возрастании угловой скорости со. Для обеспе чения устойчивой работы шпиндельной группы на высоких угловых скоростях необходима проверка условия (2.7), особенно для шпин делей на «мягких» подвесках.
На основе динамического исследования поведения системы вы водятся аналитические зависимости для ее рационального констру
ирования. |
(рис. 2.2) для главных |
Введем в рассмотрение оси координат |
центральных осей инерции оправки с ротором и моменты инерции Jç, Jn, действующие относительно этих осей. В соответствии с последовательностью переходов осей координат при вибродеформа циях упругой оси гх центр масс системы (точка Ос) находится в пло скости Oy-fii на расстоянии ест от оси 0zlt а оси ££т| повернуты на угол Ô вокруг оси ц.
г
Рис. 2.2. Схема осей координат для вычисления моментов инерций JXi, Jyi, J2>
Параметрами есг и Ô характеризуется динамическая неуравно вешенность системы в предположении, что шпиндель без контроли руемого ротора «идеально» уравновешен, а ротор имеет только ста
тическую неуравновешенность ер. |
|
JZi |
системы во вра |
|
Выражения для моментов инерции JXl, Jÿl, |
||||
щающихся осях координат |
x ^ Z j получим |
при |
рассмотрении осей |
|
координат £|т|, Çigiïii, которые приводятся |
к x ^ fa после плоско |
|||
параллельного переноса |
на расстояния |
/g и \ |
и поворота осей |
|
ÇiiiTii на угол Ô вокруг оси rit. |
|
|
|
Для выбора параметров шпиндельной группы рассмотрим от дельно шпиндель и контролируемый ротор по аппликатам центров масс и по положению их главных центральных осей инерции Ç, £, rj (рис. 2.3).
Введем координатные оси xpypzp, совпадающие с главными цен тральными осями инерции контролируемого ротора (шлифоваль ного круга), аналогичные оси хшушгш для шпинделя, аппликаты центров масс ротора ар, шпинделя аш, всей системы ас и их от носительные координаты Аар, Даш.
Выражения для полярного Л, и экваториального JXl моментов инерций всей системы могут быть выражены через соответствующие
j Zi ---- |
“ Ъ ^ С ^ с т ---- J JI. ш~\~ *^п. P "f* |
JXt = Jх\ = Jl)t ~\~ fïlcP-c ~ b ^C^CT — JЭ. Р " | “ ^ Э . Ш “Ь |
|
|
+ /иша2ш+ т рер + т рар, |
где Уп.р> */и. ш» |
Л . Р> Л. ш — соответственно полярные и |
ториальные моменты инерции ротора и шпинделя; т р, /иш, соответственно массы ротора, шпинделя и всей системы (шс =
+тш).
Врезультате преобразований получим
Jп. ш “Ь^п .р~Ь ^р^р — Щ & Т\
J ц J э, Ш /э . р “Ь ^ р (Д^р А а ш) (^р ~Ь ^с) /ЯШД # Ш(^ш ас) “f” Я2р£?р /Яс^ст
(2.8)
эква т с —
тр +
(2.9)
Из векторного уравнения для центров масс, составляющих си стему шпинделя и ротора в проекциях на ось zxn на плоскость уггъ найдем
|
Мщат“h ^ряр |
__ tïlщДщ ~t~ Мр(дщ ~Ь Aflp) |
||
|
|
тс |
~~ |
тс |
|
|
(nip -f- тш) ат -j- mPAflp |
^ . ^ р д ^ |
|
|
|
|
|
(2. 10) |
|
|
|
т р |
|
|
|
|
т п |
|
откуда |
|
|
|
|
m j m p = |
ер/ест = |
Дар/Даш. |
|
|
Угол Ô, характеризую |
|
|
||
щий положение |
главных |
|
|
|
центральных осей инерции |
|
|
||
системы, |
определится из |
|
|
|
выражения |
|
|
|
JyczQ= (Jt — Jç) sin 2S/2.
(2.11)
Используя уpавнения связи координат:
Усш ~ Уш еСТ;
2Сд1 = гш - Даш;
Рис: 2.3. Схема осей коорди нат для определения приве денных моментов инерции шпин дельной группы, контролируе мого ротора и всей системы
Уср = УР + (ер — ест); |
zCp = гр+ (Дар — Ааш), |
|
|
найдем |
|
|
|
Jусгсш—J J m,uiymiZrniJ |
il /Иш il УшdZm = П1швС1АйшJ |
(2.12) |
|
AV CP = j j j rtip.yp.Zp. d nip Atjpdzv = nip (epAap — 2eCTAap + |
еС1Даш). |
||
При допущении sin 6 æ |
ô получим |
|
|
ô = |
mPgP |
^ ~ Аац,) . |
(2.13) |
Самоцентрирование в системе (совмещение главной центральной оси инерции £ с осью Z) имеет место при условии ф0 = —Ô, из кото рого с учетом выражений (2.4), (2.13) и геометрических соотношений для взаимного расположения аппликат центров масс имеем
tllçû ç |
tn^CLpQ£ —J—(/-^ J ^) — 0 |
|
|||
ИЛИ |
|
|
|
|
|
Яр= |
Яс + |
(Ai - |
Jе)/(Я1СЯс); |
(2.14) |
|
яс = |
(Ai |
А)/(я*шДяр). |
|||
|
|||||
При выполнении условий |
(2.14) |
момент инерции А, = /g> из |
|||
уравнения (2.5) имеем |
|
|
|
|
|
Т|о Пш Т| == |
^ст* |
|
|||
|
С0-»-оо |
|
|
Таким образом, в шпиндельной группе на высоких угловых скоростях автоматически происходит статическая и моментная ба лансировка.
Для рационального конструирования системы необходимо через геометрические и инерционно-массовые параметры шпинделя и кон тролируемого ротора привести зависимости (2.14) к форме, удобной для практического использования.
Подставив в (2.14) выражения для А и Ai из (2-9) и выполнив преобразования, найдем
Дяр |
1э. TTI 3:э. Р ' •*^П. Ш |
J п. р |
(2.15) |
|
|
Величины тш, аш и А . ш. / п.ш могут быть выражены через однородные участки ступеней шпинделя с одинаковыми осевыми и радиальными размерами. Например, для шпинделя с четырьмя характерными перепадами диаметров вдоль оси Z (рис. 2.4) уравне ние для центров масс участков будет
|
|
тшаш - т^! + m2l2-f- m3l3 f |
4 |
|
|
|
m j4 = 2 т,1ь |
(2.16) |
|
|
|
|
/=1 |
|
где |
Ш] — массы однородных участков |
шпинделя; lj — аппликаты |
||
центров |
масс соответствующих участков шпинделя вдоль |
оси Z |
||
(/ - |
I, 2, |
3, 4). |
|
|
Рис. 2.4. Схема к выбору Геометрически массовых и инерционных параметров шпиндельной группы:
J — контролируемый ротор; 2 — шпиндель
Полярные Ju. и экваториаль ные УЭ/. моменты инерций одно-,
родных участков шпинделя отно сительно их центров масс имеют вид
У„, = -g - tnxd2\ ;
|
= 4 “ mi (“Г |
|
+ |
T" Z0 |
= |
|
|
|
|
= 4 «/nj -}- 4 |
|
|
• |
|
|
|
|
|
«Л/a== "g” ^2^2 > |
|
|
|
|
|||
JЭ1==4 /Л2[ т |
£^ " ^ т |
|
|
"■ 2/0 |
] |
= |
|
|
= |
"2" «^ii2 |
m2“g- (^2 — 2/i) |
; |
|
|
|||
^n3 — — m3^3 ; |
|
|
/эз—"4” |
[“4 |
(^3 — 2/2-f-2/1) J = |
|||
|
|
= 4 |
2 |
Пз n |
3 |
m 3 O 3 “ 2 / 2 - Г 2 ^ l ) 2 ; |
||
|
|
|
^ n a + 4 |
|
||||
Jn4 = |
“g” fn^d^, |
«j э4э, =— T4"Щ |
— ^ 4 H--3- (^4 — 2/г ~Ь2/2 — 2/1)2 |
|||||
|
|
— ~2~Jnl -\—з- ^ |
(-4 — 2 /з+ 2/з — 211)2. |
Обобщенные выражения для полярного и экваториального момен тов инерции шпинделя без контрольного ротора относительно его центра масс:
•^п. ш rr= J п, “I- J п, “Ь *^пз - Ь J п4; |
|
|
||||||
|
(яш |
|
h)2 |
Ja, |
|
М2 (Ощ |
|
(2.17) |
7э . ш = 7 3l -|- /И] |
|
— |
-j- |
|
“Ь |
|
— /г)2 4 ~ |
|
4 “ J эа “Ь т 3 (/з — Яш)2 4 “ |
“Ь m4 (U— °ш)2- |
|
Подставив выражения (2.16), (2.17) в уравнение (2.15) и выполнив преобразования, с учетом связи осевых размеров Zj однородных участков шпинделя с аппликатами их центров масс 1} по формулам
ZI = 21Ù z2 — 2 (l2— 2/j);
г3 = 2 (/, - 2L + 2/0; z4 = 2 (/4 - 2/3 + 2/* - 2/0
придем к окончательной зависимости
а____________Л>. р — Ль р__________ |_
|
|
р |
|
тх1х + |
nul* + m3l3+ т 414 |
‘t ’ |
|
|
|
Zj |
|
- f тЛ\ + щ II + |
mtl\ + |
|
|
• |
/ |
, |
Z., |
Zjj |
Z4 \ |
1 |
|
+ |
y n1 ~ï2 |
+ |
m 2 |
+ Шз "JJ- + |
m4 Т 2 ~ / --- T Jl1, ш |
||
+ |
|
|
|
filial ~|~ Ш0/2 + ^3^3+ W4/4 |
(2.18) |
Если из конструктивных соображений возникает необходимость создания шпиндельного узла с большим числом участков, то в ре зультате обобщения зависимости (2.18) можно записать общее урав нение для выбора геометрических и инерционно-массовых параме тров шпиндельных узлов:
|
|
■'э. р |
«*п. р I |
23r n f i + 23 'ПУ2/ / 12 - |
J n. Ш/2 |
|
|
а р |
;=1________ /=1_____________________ |
(2.19) |
|||
|
п |
|
п |
|
||
|
|
2 J mi l i |
I J mi li |
|
|
|
|
|
/=i |
|
/=1 |
|
|
где |
— аппликаты |
центров |
масс однородных |
участков шпинделя |
||
относительно |
заделки упругоподатливого опорного участка; ар — |
аппликата центра масс контролируемого ротора (шлифовального круга), установленного на шпиндель; Zj — осевые размеры одно родных участков шпинделя; nij — массы однородных участков шпин деля; / п. ш — полярный момент инерции шпинделя.
Из уравнения (2.19) следует, что рациональные конструктивные параметры шпинделя зависят от разности экваториального и поляр ного моментов инерций контролируемого ротора. При этом в целях сокращения числа единиц оборудования целесообразно так подо брать конструктивные параметры шпинделя, чтобы охватить на одном шпинделе наибольший диапазон типоразмеров контролиру емых роторов.
Поверхности изменения оптимальных аппликат ар центров масс шлифовальных кругов (рис. 2.5) зависят от размеров установочного патрона (z3, ds) для шлифовальных кругов, ограничивающих ряд типоразмеров 0 от 150 до 350 мм по ГОСТ 2424—75*.
При этом параметры z2, d2 и z4, d4 шпинделя выбирают из кон структивных соображений, a Zi, dt — по результатам расчета упруго
податливого опорного участка |
на передачу |
вращающего |
момента |
|||||||
и жесткость. |
приняты |
параметры шпинделя |
zx = |
70 |
мм, |
dx — |
||||
При |
расчетах |
|||||||||
= 10 мм, z2 = 100 мм, d2 = 45 |
мм, z4 = |
165 мм, d4 = |
32 мм, |
а раз |
||||||
ности |
моментов |
инерции |
ДУР = J3. v — J„. р |
для |
наибольшего |
|||||
и наименьшего |
типоразмеров |
кругов |
0 |
от |
150 |
до |
350 мм |
по ГОСТ 2424—75* с учетом крепежных фланцев по ГОСТ 2270—78 имеют значения Д /Г,тах = 0,19359 кг*м2 и Д7Рт1п = —0,00114 кг X
X м2.