- •пластичность
- •§ 5. Задачи со смешанными краевыми условиями. Третья основная задача в двух измерениях
- •§ 8. Температурные напряжения. Упругие волны, вызванные тепловым ударом
- •§ 9. Трехмерные контактные задачи
- •§ 11. Диффракция. Распространение возмущений
- •§ 12. Сейсмические задачи и задачи о колебаниях
- •§ 13. Заключительные замечания
- •§ 2. Условие текучести и закон течения
- •§ 3. Постановка задачи
- •§ 10. Введение
- •(dfldQ) Q; di* = f* di* = 0,
- •§12. Конечные принципы
- •§ 14. Жесткий идеально-пластический материал
- •§ 15. Упругий идеально-пластический материал
- •§ 17. Динамическое нагружение
- •§ 18. Приложение принципа минимума потенциальной энергии
- •§ 20. Плоская деформация и плоское напряженное состояние
- •§21. Балки, стержни и брусья
- ••§ 23. Общие замечания
дислокации в анизотропной однородной среде, обобщив ста тические теоремы Вейнгартена — Вольтерра.
§ 11. Диффракция. Распространение возмущений
Вторая группа работ по двумерному волновому движению посвящена диффракции пакета плоских волн или диффракции импульсов относительно полубесконечной щели со свобод ными или фиксированными границами. Эта задача пред ставляет собой в теории упругости аналог хорошо известной задачи Зоммерфельда о диффракции плоских электромагнит ных волн относительно полубесконечного экрана. Успешно применить метод Зоммерфельда к задаче теории упругости (где приходится иметь дело не с одним, а с двумя краевыми условиями), по-видимому, нельзя. Для решения задач о диф фракции электромагнитных волн относительно экрана при меняются и другие методы; ссылки на них и замечания по поводу возможности их применения к задачам теории упру гости можно найти в статье Мауэ [1]. Метод, использованный ранее для электромагнитных задач (суперпозиция плоских волн во всех направлениях), был использован также Заутером [1] для нахождения решения об упругом полупростран стве с поверхностной нагрузкой, распределение которой за дано во времени и в пространстве (задача Лэмба в двух измерениях). Иные методы были предложены Мауэ в более поздней публикации [2], а также группой русских исследова телей. Мы рассмотрим теперь эти работы более подробно и
выявим их взаимосвязь. |
(х, у) находится |
В задаче Мауэ бесконечная пластинка |
|
под действием однородных статических |
напряжений Оу1*- |
В момент t = 0 в отрицательном направлении оси х мгно венно производится полубесконечный прямолинейный надрез, так что при t > 0 границы надреза свободны. Отправным пунктом служат соображения подобия, которые можно не строго сформулировать следующим образом: «Так как за дача не содержит характерной длины, распределение напря жений в пространстве будет тем же самым во все последую щие моменты времени, если считать единицу длины пропор циональной Ь.
понимается |
лю бое |
состояние |
внутренних |
напряж ений, удовлетворяю щ ее |
|||
уравнениям |
равновесия, но не |
удовлетворяю щ ее условиям совм естности . |
|||||
Сила, |
действую щ ая |
на |
особенность, |
задается в виде интеграла, который б е |
|||
рется |
по поверхности, |
содерж ащ ей |
в себе |
особенность. — Прим. ред. |
Существует класс диффракционных задач, определяемый волновым уравнением в двух измерениях и не имеющий характерной длины. К нему относятся задачи о полубесконечных разрезе, экране или преграде, на которых напряжения, смещения, скорости или другие величины становятся рав ными нулю скачком, подобно падающей волне, имеющей форму ступенчатой функции и0Н(%), где
#(£) = ! при £ > 0 и //(£) = 0 при £ < 0.
Направление падения Ох' образует угол а с направле нием надреза, так что £ = * '— at, где а — скорость распро странения. Последующие состояния определяются функцией и(х, Уу t), где a2V2u = d2uldt2, причем и должна иметь ту же природу, что и и0 (если и0 есть скорость, то и будет состав ляющей скорости). Решение для и должно представлять со бой зависимость между семью величинами:
и, и0у г, 0, ty ау а,
где г и б — полярные координаты с полюсом в конце надреза. Если и и и0 можно определить как скорости, то эти семь ве личин требуют для своего определения двух основных еди ниц измерения — единиц длины и времени. Следовательно, должно существовать пять независимых безразмерных групп величин, так что решение должно иметь вид
Так как задача линейна, то и должно быть пропорционально и0 и аргумент и0/а следует исключить. Тогда
Такую форму должны иметь |
решения уравнения |
а2Д2и= |
= d2u/dt2. Если положить atjr = z, то функция u(z, |
0) будет |
|
решением уравнения |
|
|
которое заменой переменной z=cosx приводится к виду |
||
д*и _ |
д*и |
|
ду} ~ |
’ |
|
т. е. к одномерному волновому уравнению. Таким |
образом, |
|
и = / ( в + Х ) + * ( в - Х ) . |
(52) |
Переменная % будет действительной при r>at и мнимой при r<at. Именно эту форму решения дал Мауэ. В случае упругой задачи имеются две функции <р и ф, удовлетворяю щие уравнениям a2V2cp — d2cpjdt2 и 62У2ф — d2tyfdt2. Ка ждая из них, следовательно, может иметь вид (52). Связь между функциями 9 и ф устанавливается из граничных усло вий на надрезе, что приводит задачу к функциональным уравнениям. Удовлетворяя этим условиям, Мауэ пришел к интегральным уравнениям в одной комплексной области для определения части решения, зависящей от 9, и в другой ком плексной области — для части решения, зависящей от ф.
Существо задачи, разумеется, состоит во внезапном унич тожении начальных растягивающих напряжений вдоль над реза. Если это происходит при наличии падающей волны на пряжений, то получается решение для диффракции такой волны относительно надреза. Очевидно, что волна должна перемещаться в направлении оси у, ортогональном надрезу, поэтому напряжения должны уничтожаться вдоль всего над реза одновременно. Случай, когда угол падения произволен, рассматривался Фридманом [3].
Несколько русских исследователей привели диффракционные и некоторые другие волновые задачи к легко разреши мой задаче Гильберта (см. выше, § 5) в двух вспомогатель ных комплексных плоскостях. Отправным пунктом здесь слу жит решение двумерного волнового уравнения a2V29 — d2yldt2
в |
форме 9 = Re Ф(0), где в представляет собой |
функцию от |
х, |
у, t вида |
|
|
t - P t x — V a - 2 — *2-У = 0. |
(53) |
Это решение, описанное Смирновым и Соболевым [1], по существу совпадает с решением (52), найденным Мауэ. Если
в (52) взять функции /(0+х). ёГ(б — х) в виде F[cos (0±х)], то аргумент cos (0±х) можно отождествить с в в формуле (53). Мы имеем
cos (0 ± х) = cos 0 cos х + sin 0 sin x =
< 5 4 >
Если возвести в квадрат радикал, входящий в равенство (53), и разрешить получающееся квадратное уравнение от носительно 0, получится точно правая часть формулы (54).
Один из исследователей этой группы, Фридман [2, 3], рас сматривал падающую волну ступенчатой формы, движу щуюся со скоростью а (в случае продольной волны) или Ь
{в случае поперечной волны) в произвольном направлении в плоскости ху. В случае продольной волны составляющие смещений будут равны
и= — cH{t — сх -+- У а~2— с2 • у),
v~ У а - 2— с2 • H{t — с х - \-У а ~2— с2 - у),
тде с — действительная величина, характеризующая направ |
|||||
ление волны, и 0 < с < аг1. |
Эта волна в момент t = 0 встре |
||||
чается |
с |
концом (х = у= 0 ) |
полубесконечного надреза |
у = О, |
|
JC> 0, |
а |
затем возникает |
ее |
диффракция относительно |
над |
реза. Смещения берутся |
в форме и = их+ и2, v = vi + v2, зави |
сящей от двух функций 01, 02 того же вида, что и входя
щая в (53) функция 0; при этом |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
«1 (х, у, |
t) = Re |
|
|
Vi (x, у, |
t) = |
Re V ^ ) , |
|
|||||||
ih (x, y, |
t) = |
Re £/2(02), |
v2 (x, y, |
t) = |
Re V2(02), |
|
||||||||
|
|
t — 0jX — У ci~2— Pi2. y —-0, |
|
|
(55) |
|||||||||
|
|
t — P>2x — W |
a — 02 -y = 0. |
|
|
|
|
|||||||
Уравнения |
дщ/ду — dv\/dx = 0 |
(безвихревой |
части) |
и |
||||||||||
du2/dx + dv2/dy = 0 (эквиволюминальной части) |
требуют вы |
|||||||||||||
полнения равенств |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
У а -г |
|
в2. ^ (0 .) -+- 0 ^ ( 0 0 |
= |
iCu |
| |
|
(56) |
||||||
|
e 2t/2(02) + |
Уь~* — вI ■К (02) = |
iC2, |
) |
|
|||||||||
|
|
|
||||||||||||
где Ci |
и С2 — действительные постоянные. Функции Ui(0i), |
|||||||||||||
Vi(0i) |
голоморфны |
в |
плоскости |
©1 = ^i+ |
^i» |
разрезан |
||||||||
ной вдоль |
> |
—от1. |
Для |
U2 (02)» |
У2(02) |
в |
плоскости |
0 2 |
||||||
разрез сделан вдоль £2 > |
— Ь~1. Эти четыре функции, связан |
|||||||||||||
ные равенствами |
(56), |
можно выразить |
посредством двух |
других функций. Использование условий на надрезе, яв ляющихся разрывными при переходе от одной границы к дру гой, приводит к двум задачам Гильберта, по одной для каж дой из функций. В обоих случаях линией разрыва служит часток — 6-1< £ < —агх действительной оси в плоскости 0
Усогласно уравнению (55) на оси х физической плоскости имеем 01 = 02 = —J , в соответствии с чем результаты выра
жаются посредством интегралов Коши, взятых по этому уча стку. Решаются две задачи: (а) в работе Фридмана [2] обе границы надреза полностью фиксированы, (б) в работе
Фридмана [3] обе границы свободны. Для второй задачи,, когда фронт волны ортогонален, а направление ее распро
странения параллельно надрезу, |
Кристи |
[1] |
получил |
мето |
дом фотоупругости фотографии, |
однако |
это |
было сделано- |
|
без связи с теорией Фридмана. |
|
|
|
|
Тот же метод применялся Свекло [1] к смешанной за |
||||
даче для полуплоскости. В точке |
{х = у = 0) |
границы |
у = 0 |
прикладывается, мгновенная импульсивная касательная на грузка. Во всех других точках границы касательные напря жения хху все время равны нулю. Положительная половина границы свободна также от нормальной нагрузки оу, но вдоль отрицательной половины границы не допускаются нор
мальные |
смещения (а = 0). |
Решение получается с |
помощью |
|
одной из |
задач Гильберта |
на интервале — Ь~х < |
£ < |
— аг* |
плоскости 0 ; |
|
|
(или |
|
Двумерная задача о внезапном повышении давления |
внезапно сообщаемой радиальной скорости) в круговой по лости в бесконечной среде *) была исследована посредством двойного преобразования Лапласа. Кромм [1] привел ее к интегральному уравнению и путем численного решения по лучил ряд графиков. В дальнейшем оказалось*2), что соответ ствующая задача о кручении, когда к поверхности полости прикладываются не нормальные, а касательные усилия (или' сообщается касательная, а не нормальная скорость), совер шенно аналогична описанной задаче (как и в статическом случае) и решается аналогичным образом. Случай нормаль ных усилий был исследован независимо и более простым пу тем Селбергом [1]. Его статья содержит также решение за дачи о внезапном увеличении давления в сферической по лости 3) .
В задачах о давлении мы имеем дело лишь с одной ско ростью распространения волн, так как ясно, что движение является безвихревым и можно использовать простейшую сетку характеристик. Метод конечных разностей дает воз можность с помощью этой сетки получить подробное реше
ние |
задачи |
о |
толстостенном |
цилиндре, |
подвергнутом |
дей |
|||||||||
*) |
Б олее простой |
является акустическая |
задач а для |
ж идкости. Ее ре |
|||||||||||
ш ение |
приведено |
в |
§ |
302 |
книги |
Л эм ба (в |
оригинале Л ам б) «Г и дродин а |
||||||||
мика», О Н ТИ , |
1945. |
|
|
|
G о о d i е г |
|
|
|
|
|
|||||
2) |
(Д обавл ен о |
в |
корректуре) |
J. |
and |
J a s h m a n |
W ., |
||||||||
/ . Appl. Mech., 23, |
1950, 284— 286. |
|
|
в /. |
Acoust. |
Soc. Amer., 24, |
|||||||||
3) |
См. такж е |
статью |
Блейка |
( B l a k e ) |
|||||||||||
1952, |
211— 215. |
|
Реш ения |
для |
импульсивного |
давления |
м ож но |
найти |
|||||||
в статье |
Д эви са |
( D a v i e s ) , опубликованной в |
Appl. Mechanics Revs., 8, |
||||||||||||
1955, |
60, |
обзор |
N° 356. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|