симметричном изгибе круглой	пластинки	упругие кривизны
и моменты связаны зависимостями *)
^ r = 3 ^ 5 y ( V + vXl),		(•'-,+ -г)-	(1-5)
Разрешая эти уравнения относительно кривизны и поль­
зуясь равенствами (1.2), получим
fiQ i- 'Q * ) ,	^ = r o ( - v Q , + Q2).		(1.6)
Следовательно, в этом случае
В данном примере матрица коэффициентов BtJ			симмет­
рична. Кроме того, поскольку	O ^ v ^ y ,	ее квадратичная

форма определенно положительна. Можно показать, что эти два свойства имеют место всегда; это обстоятельство будет использовано в гл. 4.

Основное допущение теории пластичности состоит в том, что полную скорость деформаций всегда можно разложить на упругую и пластическую части. Таким образом, если

обозначить		через	pt скорость пластической деформации, то
из	(1.4) следует,		что
			4i =	BijQj-\-Pi>	(1 -8 )
где	точки	обозначают		дифференцирование	по времени.

В теории лластичности нас будет интересовать только влия­ ние пластических деформаций р, В этом случае результаты будут иметь непосредственное значение только для жестко­

пластического материала (фиг.	1,<? и	1,е). Однако с по­
мощью равенства (1.8) эти результаты		можно обобщить и
на случай упруго-пластических	материалов.

§ 2. Условие текучести и закон течения

Во введении мы показали, что для определения упругой области при одномерной системе напряжений необходимо в любой момент задать два значения мгновенных пределов текучести. Это объяснялось тем, что мы имели выбор между двумя направлениями нагружения: растяжением и сжатием. Когда точка, изображающая напряженное состояние, харак­

*) См., например, Т и м о ш е н к о С. П ., П ластинки и оболочки, ГТТИ, М ., 1948.

теризуется двумя или более независимыми обобщенными со­ ставляющими напряжений, существует бесконечное число возможных направлений нагружений, соответствующих лю­ бой линейной комбинации этих составляющих напряжений. Следовательно, должно существовать бесконечное число мгновенных пределов текучести.

Так как мы не можем определить упругую область ни­ каким конечным числом значений, необходимо воспользо­ ваться функциональным представлением. Поэтому мы бу­ дем предполагать, что существует некоторая функция /, за­ висящая от составляющих напряжений и предшествующей истории нагружения и такая, что если f меньше некоторого наперед заданного числа, то материал будет упругим. Для частного случая идеально-пластического материала эта функ­ ция текучести по определению будет зависеть только от на­ пряжений, а не от истории нагружения. Таким образом, оп­ ределяя f путем должной нормализации, мы можем записать условие для упругого поведения в виде

/«?». Q „

Q „ x 1-

Далее, из определения идеальной пластичности следует также, что в этом случае f не может быть больше единицы.

Чтобы рассмотреть остающийся случай /=1, нам нужно обобщить представление о роли, которую играет скорость из­ менения напряжений при простом растяжении. Так как за всю историю нагружения f не меняется, то очевидно, что пластическое течение может иметь место только в том слу­ чае, если значение f остается равным единице. Иными сло­ вами, для того чтобы имело место пластическое течение, нужно, чтобы функция / не убывала. Полные условия для напряжений при пластическом и упругом поведении можно записать так:

пластическое поведение:	/ =	1	и	/ =	0,	(2.1а)
упругое поведение:	/ <	1	и	/ <	0.	(2.16)

Эти условия удобно изобразить в пространстве напряже­ ний, координатами которого служат переменные Qt . Тогда уравнение f = 1 будет изображаться поверхностью, а нера­ венство f < 1 определит область с той стороны поверхности, которая обращена к началу координат. Как видно из фиг. 2, соотношения (2.1) устанавливают, что если точка, изобра­ жающая напряжения, переместится от А к В или от С к D, то поведение будет упругим; если же точка, изображающая

напряжения, перемещается от Е к F или остается в G, то по­ ведение будет пластическим.

В то время как при простом растяжении условие для ско­ ростей деформаций может быть заменено условием для ско­ ростей изменения напряжений, для многомерных задач оно играет гораздо более важную роль. Пусть тело находится в состоянии равновесия под действием произвольной системы массовых сил f и поверхностных усилий Т. Далее, пусть бла­ годаря некоторому внешнему воздействию к телу приклады­ вается, а затем с него снимается дополнительная нагрузка.

Ф и г . 2. У п ругое и п л асти ч еск ое п ов еден и е и деальн о -п ласти ч еск ого м атериала.

Тогда работа, производимая внешним воздействием при на­ гружении, будет положительной, а работа, производимая внешним воздействием за полный цикл нагружения и раз­ грузки, будет неотрицательной. Это требование было впер­ вые сформулировано Друккером [2.1, 2.2] и по существу пред­ ставляет собой утверждение о необратимости процесса пла­ стической деформации. Иными словами, энергия, затрачен­ ная на пластическое деформирование, не может быть восста­ новлена.

Рассмотрим следствия этого постулата, пользуясь геоме­

трической	терминологией (фиг. 2). Допустим, что в момент
t = 0 точка	Q*, изображающая напряжения (и расположен­

ная внутри поверхности текучести), представляет состояние равновесия, отвечающее нагрузкам f и Т (фиг. 3). Предполо­ жим, что благодаря внешнему воздействию точка Q* сперва попадает в момент t в точку Q, расположенную на повепх-

ности текучести, а затем, двигаясь вдоль поверхности теку­ чести, попадает в момент Н-5^ в точку Q+SQ. При устране­ нии внешнего воздействия точка в момент t* возвращается

в положение Q *. Обозначив составляющие Q * через Q*, а соответствующие деформации через <?* и т. д., мы можем за­

писать полную					работу,		про­
изведенную за цикл, в виде
		t
Ш г =		/	Qlql dx-\-
	t+bt	О			t*
+	/	Qi4i f a 4-			J Q ib d r.
	t			t+ht			(2.2)
Далее,			в	общем		случае
мы можем представить пол­
ные		скорости			деформаций
в	виде		суммы		упругой и
пластической				частей1):				Фиг.	3. Выпуклый характер поверх­
			ch =	^rJrPi-			(2.3)
								ности	текучести и ортогональность
ку	В таком случае,					посколь­		к ней вектора скорости деформаций.
	пластическое деформи­

рование может возникнуть только от t до t + 81, выражение

(2.2)	примет вид
		/	t+zt		t*
	bWr =	J	J*	Ql (el-\-pi)dx-\-	j	Qiel d'z =
		0	t		t +ot
			t +ot
	=	$	Qfii dt-\- J	Qtpt d-z.		(2.4)
			t
Здесь	символ		(j) означает	интегрирование	по	всему замкну­

тому пути с возвращением в точку Q*. Однако так как по определению этот контурный интеграл определяет упругую работу, произведенную за рассматриваемый замкнутый цикл,

*)	Х од	доказательства не связан с линейной теорией упругости, по­
этом у	мы	пользуем ся равенством (2 .3 ), а не более ограничивающ им ра­
венством		(1 .8).

6 Зак. 1254.

то он должен равняться нулю, и (2.4) приводится к виду

t+ it
bWT =f Q ttfP iW d r .	(2.5)

t

Часть работы ЪЧРт производится исходной равновесной системой сил Q*. Выражение для этой работы 8№0 полу­

чается из (2.4) путем замены переменной Qi на постоянную Q* Путем рассуждений, аналогичных тем, которые приводят

к (2.5), можно показать, что

t+ot

о й е о * .

(2.6)

t

Вычитая (2.6) из (2.5), мы получим ту часть работы, ко­ торая производится за счет приложения внешнего воздей­ ствия. Разделим эту величину bWe на Ы и найдем предел от­ ношения при 8/, стремящемся к нулю. В результате получим

l i m ^ = [Qt.(0 - Q ;]A -

(2-7)

Таким образом, постулат о том, что работа, производи­ мая за цикл внешним воздействием, неотрицательна, экви­ валентен утверждению, что

(<2, - О З Л > 0.

(2.8)

Условие (2.8) налагает сильное ограничение на допусти­ мую форму поверхности текучести /= 1. С геометрической точки зрения условие (2.8) означает, что вектор с началом

в Q* и концом в Q должен составлять с вектором pt угол, не превышающий 90°, и это должно быть справедливо для любой точки Q*, расположенной внутри или на поверхности текучести. Следовательно, если через Q провести плоскость,

ортогональную pti то все допустимые точки Q* должны ле­ жать или на этой плоскости, или по одну сторону от нее. Но точно таким образом дается определение выпуклой поверх­ ности, так что мы доказали следующий результат: поверх­ ность /=1 должна быть выпуклой.

Далее, положим, что выпуклая поверхность текучести задана, и рассмотрим ограничения, накладываемые на век­

тор Pi скорости пластических деформаций. Обращая приве­ денное выше доказательство, мы убедимся, что угол между

вектором pi и любым вектором Q* — Q* не должен быть ту-