книги / Течения газа около тупых тел. Метод расчета и анализ течений А. Н. Любимов, В. В. Русанов
.pdfзначениях 2. Отметим, что в этом случае поле давления не отличается качественно от представленного на фиг. 18.8.
Из фиг. 18.26 видно, что область минимального давления образуется над по верхностью конуса в плоскости симметрии течения (ртшп < 1.8). С увеличением зна чения 2 область минимального давления перемещается к поверхности конуса и рас полагается не в плоскости симметрии течения.
На фиг. 18.27 приведены изолинии числа М в плоскости 2 = 4, М« = 6, рк = = 15°, а = 15°. С подветренной стороны образовалась область с большими местными числами М (М >4.59). Сподветренной стороны, судя по характеру линий М = сопз!, энтропийный слой еще не образовался.
На фиг. 18.28 приведены изолинии М для этого же случая обтекания, но в плос кости 2 = 1 5 . Здесь, в отличие от 2 = 4, с наветренной стороны характер изолиний
2.5 |
5.0 |
7.5 |
Мпоказывает, что образовался энтропийный слой с большими градиентами числа
Моколо поверхности конуса. С подветренной стороны область больших чисел М воз росла, а значения чисел М увеличились до М ^ 5.4. Обратим внимание на то, что
числа М около поверхности тупого конуса в полуплоскостях 0 = 0 и 0 = |
тспочти оди |
||
наковы. |
|
|
|
На фиг. 18.29 приведены иэоэнтропы в |
плоскости |
2 = 6, М» = |
6, рк = 10°, |
ос = 15°. Характер изоэнтроп около тупого |
конуса в |
этом случае совершенно не |
похож на характер изоэнтроп около острого конуса.
На фиг. 18.30 приведены изохоры в плоскости 2 = 5 , М» = 6, рк = 10°, а = 15°. С наветренной стороны плотность максимальна в некоторой точке полуплоскости 0 = 0. Минимальная плотность в сечении 2 = 5 наблюдается в этом случае тече ния в некоторой точке на поверхности тупого конуса, расположенной не'в полуплос кости 0 = я. Обратим внимание на область малой плотности. В течениях около ту пых конусов при а <: рк области с такой малой величиной плотности не возникают.
Фиг. 18.24
Фиг. 18.26 |
Фиг. 18.27 |
На фиг. 18.31 показаны изолинии М для того же случая обтекания, что и на фиг. 18.30, и в той же плоскости т,= 5. С подветренной стороны течения недалеко от удар ной волны образуется область с максимальными значениями чисел М. На поверхнос ти конуса в некоторой точке, расположенной не в плоскости симметрии течения, име ется местный максимум числа М, соответствующий точке с минимальной плотностью.
Таким образом, как видно из приведенных примеров, течение около тупых ко нусов при углах атаки, близких к углу полураствора конуса, имеет сложную струк туру, особенно с подветренной стороны. Вполне возможно, что при еще больших уг лах атаки (или при значениях я, больших тех, до которых нами проведены расчеты) с подветренной стороны течения образуются внутренние ударные волны. На возмож ность существования таких внутренних ударных волн около острых конусов при боль ших углах атаки обращено внимание в работе [196].
В заключение приведем изолинии в плоскостях ъ = 4 и ъ = 6 около цилиндра, имеющего сферическое затупление, Моо = 6, а = 10°.
На фиг. 18.32 приведены изобары в плоскости ъ = 4. В поле течения изобары образуют седловую точку. С наветренной стороны течения вид изобар подобен виду
|
|
|
5.0 |
Е |
|
|
|
|
|
4.0 — |
|
|
|
|
|
|
3.0 |
|
|
|
|
|
|
2.0 |
|
|
|
|
|
|
1.0 |
|
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
1.0 |
|
|
|
|
|
|
2.0 |
|
|
|
0.5 |
1.5 |
2.5 |
3.5 |
1.0 |
2.0 |
3.0 |
Фиг. 18.30 |
Фиг. 18.31 |
Фиг. 18.32 |
изобар около параболоидов. С подветренной стороны давление имеет малую величи ну. На фиг. 18.33 приведены изобары в плоскости 2 = 6. Из сравнения фиг. 18.33 и 18.32 следует, что седловая точка переместилась в направлении от цилиндра к удар ной волне. Абсолютный минимум давления в плоскости 2 = 6 расположен на поверх ности цилиндра (в предыдущем примере минимальная величина давления р =>0.9
находилась и в поле течения |
и над поверхностью цилиндра). Изобары с наветренной |
-стороны при переходе от 2 = |
4 к 2 = 6'имеют один и тот же вид. |
На фиг. 18.34 приведены изохоры в плоскости 2 = 6. Минимальная плотность в потоке около поверхности цилиндра наблюдается в той же точке, где минимально давление.
На фиг. 18.35 приведены изолинии числа М.
Сравнивая изолинии в поле течения около тупых цилиндров и тупых конусов (при а ^ рк), можно видеть, что с подветренной стороны течения они:подобны. При веденные в этом параграфе результаты расчетов показывают, что в некоторых слу чаях течение около тупого конуса даже на больших расстояниях от носка может очень сильно отличаться от течения около острого конуса. Более того, асимптотиче ский переход к последнему при 2 -> оо может не быть непрерывным. Это означает, что решение задачи об обтекании острого конуса путем расчета течения около тупого конуса до больших значений 2 очень трудоемко, а в некоторых случаях и вообще не возможно. Более эффективным и быстрым способом расчета течения около острого ко нуса является метод установления по 2 с использованием в качестве начальных дан ных рассчитанного ранее течения около острого конуса при близких значениях па раметров Моо и а.
§ 19. Расчет поля характеристик
Как уже было отмечено в § 16, практически невозможно хранить длительное время всю информацию, полученную при расчете трехмерного сверхзвукового течения около длинного тела. Это остается справедливым и для течений с двумя измерениями — плоских и осесимметричных. В то же время для изучения ряда эффектов нужен де тальный анализ всего поля течения. Это приводит к необходимости проводить в про цессе расчета, так сказать, динамическую обработку информации на каждом слое. Сюда относится вычисление различных контрольных величин — значений интеграла Бернулли, энтропии и других функций в заданных точках, а также нахождение то чек экстремума и координат линий уровня различных газодинамических функций. Обработка проводится на каждом слое непосредственно после его вычисления с по мощью специальной подпрограммы, не связанной с основным алгоритмом расчета течения. Аналогичным образом рассчитываются характеристики и другие линии в поле течения, определяемые дифференциальными уравнениями. При этом иногда оказывается необходимым несколько изменить управление основным процессом рас
чета с тем, чтобы исключить возможность потери точности. Ниже |
описывается ал |
горитм расчета координат характеристик одновременно с основным расчетом те |
|
чения. |
системой уравне |
1. Дифференциальные уравнения характеристик. Исходной |
|
ний в координатах Л является система |
|
В - ^ - + ^ |
- | г + Г |
= 0’ |
(19Л) |
А = ЬЛ + ?г25, |
В = |
+ |
т|г35. |
Матрицы 91 и 25 — функции Х\ %2У ц2, г\г — функции &, со, Р, Ои их производных.
.Можно считать, что все эти величины после выполнения расчета течения являются функциями ^ИТ).
По общему [правилу уравнение характеристики |
в плоскости (^, л) |
имеет вид; |
||||||||||||||||||
<2|Д2Л = |
Х-, где |
Я — корень уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
или |
|
|
|
|
|
|
Ве1 (4 |
- Я Я ) = 0, |
|
|
|
|
|
(19.2) |
||||||
|
|
|
|
|
|
ИеЬ {(Ьг - |
Яц2) % + Яг - |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
ЯЛг) $} = |
0. |
|
|
(19.3) |
|||||||||
Из (19.3) следует, что если |
— Яцг ф 0» то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Бе1 { ^ |
— 33} = 0, |
|
|
|
|
|
(19.4) |
|||||
где V = |
—( 1 г — ^Лг)/(&г — Ят|г). |
Условие |
ъг — Ят]г ф |
0 |
означает, |
что |
мы пред |
|||||||||||||
полагаем |
отсутствие |
характеристик с Я = |
^г/лг» т* е* |
совпадающих |
с ъ = |
сопзЪ. |
||||||||||||||
Если (19.4) выполнено, |
то |
V есть тангенс угла наклона характеристики в плоскости |
||||||||||||||||||
г). |
|
|
(19.4), получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Раскрывая |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Отсюда находим |
|
[уи —у)2{(чи —V)2—с2(V2 +1)} = 0. |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
V - |
( у 1 / М 2 — |
1 + |
в м ) / ( и У М 2 — |
1 — 5у ), |
|
|
(19.5) |
|||||||||
где М2 = |
(и2 + |
гЯ)/с2; 5 = |
0; —1; + |
1, причем 5 = 0 |
соответствует линии тока, 5 = |
|||||||||||||||
= + 1 |
— характеристике |
I семейства, |
5 = |
—1 — характеристике II |
семейства. |
|||||||||||||||
Окончательно дифференциальные уравнения трех типов характеристик в плос |
||||||||||||||||||||
кости |
(I, Л) имеют вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5 |
|
|
|
|
|
йЦйц =%(1, Т1) |
= |
(&л> + |
|
+ |
Т]г), |
|
|
(19.6) |
||||||
определены формулой (19.5). В дальнейшем вместо индекса 5 над буквами мы |
||||||||||||||||||||
где V |
||||||||||||||||||||
|
|
0 |
- |
+ |
0 |
- |
+ |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
будем писать: V , V , |
V , |
5» I» I и т. д. В частности, %(л) обозначает правую часть урав- |
||||||||||||||||||
нения характеристики с индексом 5 |
| = |
8 |
|
|
|
|
дифференциальное урав |
|||||||||||||
| (т|), а (19.6) есть |
||||||||||||||||||||
нение для этой функции. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2. |
|
Формулы разностного интегрирования. Рассмотрим уравнение (19.6), в кото |
||||||||||||||||||
ром для простоты опустим индекс 5. Пусть уже известны значения функции | (г\) |
||||||||||||||||||||
при т] = |
т]—1э Ло и нужно вычислить I (лх). Пусть т]0— |
|
= Л1 — Л0 = |
А. Обозна |
||||||||||||||||
чим I |
(%) = 6* и |
|
| ^ |
^ = Я(|*, т]|) = Я*. Выпишем общую разностную формулу |
||||||||||||||||
|
|
|
Бх = |
«-хБ-х + |
<*о?о + |
А |
+ |
Р А |
+ |
РА ) |
|
|
(19.7) |
|||||||
и подберем коэффициенты ал, |
так, |
чтобы при подстановке в правую часть |
^'(л) |
|||||||||||||||||
вместо Я разложения |
^ по степеням |
к |
совпадало с точностью до А4 с разложением |
|||||||||||||||||
I (ц) в ряд Тейлора в точке л = |
Л-1* Вычислив ал и (3* и подставив их в (19.7), полу |
|||||||||||||||||||
чим известную |
формулу |
Симпсона: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
II = |
и |
+ (А/3) (А_х + |
4Я0 + |
Ях). |
|
|
(19.8) |
Схему (19.8) четвертого порядка точности целесообразно применять только, если функ ции очень гладкие. В других случаях более целесообразны двуслойные схемы второго и первого порядка
Б х = Б 0 + |
(А/2)(Я0 + Я1), |
(19.9) |
Б х = Б 0 + |
АЯ0. |
(19.10) |
При расчетах по формуле (19.8) или (19.9) для нахождения ^ приходится пользовать ся итерационным методом, так как искомое значение входит и в Я1т стоящее в правой части.
Окончательно получаем следующий алгоритм вычисления Пусть уже рассчи таны шаги п — 1, /г, п + 1, так что при т] = ц71""1, г]Ли т)п+1 можно считать известной любую функцию ср (5, г]). Если аргумент 5 не совпадает со счетной точкой на слое, то по 5 выполняется интерполяция по двум или четырем точкам; степень интерполяции указывается дополнительно.
Пусть для некоторой характеристики известны ее координаты 5П-1, 5П и соот ветствующие Я71"1, Хп. Вычисления проводятся в следующем порядке:
|
|
|(1) = |
е» + пхп, |
= |
х (|(1), ч**), |
|
||
|
|
1(2) = 1П+ ^Щ ) ^ П + Щ 9 |
|
|
||||
|
|
5(3) = |
+ |
к {Хп~' + |
4А,П+ |
Х&}, |
(19.11) |
|
|
|
^(4) = |
^п-1 + |
{*п -1 |
+ |
4 А» + |
Х(3>}, |
|
5П+1 = |
5(1)или 5(2) или 5(4) — в зависимости от дополнительного указания. В формулах |
|||||||
(19.11) |
обозначено №*> = |
А, (5(к), цп+1), т.е. эти значения X вычисляются на |
(;п + 1)-м |
|||||
слое всегда, но при разных 5- |
|
|
|
|
|
|
||
При интегрировании уравнения для характеристики может оказаться, что ка |
||||||||
кое-нибудь из значений |
выходит за пределы изменения координаты 5» 0 |
5 ^ 1 - |
В этом случае необходимо найти точку, в которой характеристика пересекает линию
5 = 0 или | = |
1. Порядок вычислений следующий. Если оказалось, что для какого- |
|
нибудь к |
1 или |
0, то проводится дополнительный расчет (п + 1/2)“га |
слоя с шагом к)2. Затем решается уравнение для обратной функции ц (|), начиная
с 571 и кончая | = 0 или 5 = |
1, в зависимости от того, какой случай имеет место. |
||
Уравнение для ц (5) |
= |
[X (5, ц)]”1 решается по схеме (19.9), т. е. вычис |
|
ляется только ц(2) для значений 5", | те> 6т+1, .... 1м или 5П, | т , 1т^ |
... , 50, где | т — |
||
ближайшая целая точка по 5 к 5П (с соответствующей стороны). |
|
||
Значения функций при |
лп < |
Л ;< Лп+1 вычисляются интерполяцией по трем зна |
|
чениям лп, Лп+,/а7 Лп+1* Таким образом, находим искомую точку л = |
Л (^м). |
||
Другим особым случаем является такой, когда начальная точка характеристики |
задана |
при 5=0 или при5 = 1 ,ноне обязательно при целом гс, т. е. между слоями п и |
п + 1. |
В этом случае также необходимо рассчитать слой п + х/2 и проинтегрировать, |
уравнение по л от начального до лп+1- Предполагается, что начальное значение л заключено между г\п и т]п+1.
Оба особых случая возникают, когда нужно рассчитать «отражение)) характе ристики от поверхности тела или ударной волны. В этом случае нужно из точки пере сечения падающей характеристики выпустить характеристику другого семейства. Дело в том, что на поверхность тела (5 = 0) могут приходить только характеристики II семейства, а отходить — только I семейства. На ударной волне положение обрат ное.
§ 20. Структура осесимметричного течения в сверхзвуковой области
1. Методы изучения структуры течений. Общая качественная картина обтекания ту пого тела, включающая в себя головную волну и ограниченную ею область возмущен ного течения, хорошо известна из эксперимента и физических соображений. Исполь зуя законы сохранения, можно сделать и некоторые дальнейшие выводы относитель но характера течения внутри возмущенной области. Так, из переменности угла наклона ударной волны вытекает переменность энтропии в потоке и образование энтро пийного слоя вблизи поверхности тела. Подобные общие соображения не дают, одна ко, возможности получить полное представление о сложной и многообразной струк туре течения во всех ее деталях. Повышение уровня техники эксперимента в ряде слу чаев позволяет обнаружить новые качественные детали течения, а иногда получить, и надежные количественные данные [197, 199—204].