книги / Течения газа около тупых тел. Метод расчета и анализ течений А. Н. Любимов, В. В. Русанов

при любых фиксированных ?5 и т - > 0 все ф5 и ф имеют порядок 0 (т) и для исследо­ вания аппроксимации можно сравнивать разложения $ и по степеням в окрест­ ности точки ф = 0. Условие аппроксимации запишется так:

		II	(Фь фа, Ф3) — (3 (Фь Фа, Фз) || =			О (фР'ч«),			(6.25)
где & =	ехр	(Шх) =	ехр [1(к1Аср1 + к 2Вср2		к 3С(р3)],	а	норма—	обычная	норма
матрицы как оператора в конечномерном пространстве.
Для стационарного решения аналогично получается условие, эквивалентное
(6.13):
	I [Г +[г^ехр {—			~Ь 'в,2^2&2 +	Фз^зЕз)}] У		1з) || =	О (т^),	(6.26)
где Г =	Е(ехр(— *ЛД8)) и Н8=			тс^х.
Так	как	V — произвольная функция			из Ь2, то		разложения матриц Г и
— Ш ехр[—			+	'в'з^з^з)! должны совпадать с точностью до					членов

порядка 0(т9-1) включительно. Получить условие, эквивалентное (6.14) в пространстве преобразований Фурье, таким способом не удается, так как функции й, являю­ щиеся решениями (6.10), не принадлежат, вообще говоря, Ь2.

4.Порядок аппроксимации разностной схемы. Выпишем выражения для мат-

ртттт 8 г (е~гН***) = 81 (е"1ф«),^введя предварительно обозначения:

6 = 02Х2ЗШ2*-^- +

О3Х3 81П2 -у- ,

= К2В 31П ф2 + К3С 81П фз,

(6.27)

Подставляя в

(6.5) Тл = е ,ф», получим

— 8о=

{(1|— б) Е +

ф (Й + Т)}

сов ф ^ ,

— 5 г = тО,е~'*‘1ъсов -у -,

8 2 = (Е — гаТ)

соз - у

23^

и

Со =[(Я -

-

б) Е +

ф (Й +

V)},

< 2 ! = ^ -

*аТГ1 1«Й.

(

‘*у)

Из (6.27)

и

(6.28)

следует,

что

при малых

ф8 б =

0(ф2),

||й || = 0 (ф),

||Чг|| =

0(ф),

11<?о - Е \\=

0(ч),

\ Ш

=

0(Ф).

л

Рассмотрим разложение матрицы 03 по степеням ф8 с точностью до 0 (ф4) и срав­

ним его с разложением матрицы $

до членов третьего порядка включительно:

С§ = егВг = Е + 1 ф Х) _

(ДТ)« _

(Дт)3 + О (ф4),

(6.30)

где Ох =

х ^ ф ! +

х2#ф2 +

ХзСфд.

Так

как

II о 3 -

в ы II

=

II( I I -1(во - Е +

(?) II = о ( ф - о ,

то при /

> / 0 члены порядка ф*70 в разложении

те же, что и в разложении 6^

Поэтому для сравнения до членов третьего порядка достаточно вычислить разложе­ ние матрицы 03:

@3 = (Е + (?1 + <2\) (}о -Ь (?1 = (Е ~Ь @1 +	+	^1) <?0 + @1 (Е — (?о) =
<= (Е 4* (?1 + (?1 + (??) (?0 +		О (ф4)-

Проведя вычисления,

получим:

О* = Е + Ь(Й + Т ) — а (Й + Т )2 — т2(й 2 - |- О Т + Т 2) (й + Т ) —

— (Е +

гай) 6 + 0 (ф4),

& +

Т * =

2 к ±А

+

К 2В 8 Ш ф2 +

х 30

31П фз =

=

Г>т+

.1

( - ^ 1

_

х2ВфЗ — х3Сф|) + О (ф4),

О2+

Я '? + Т = (й

'К)2+

'РЙ = (.От)2— Х1Х2^4Вф1ф2 — х^эЛСф^г

О (ф4),.

&= + (вгх2ф* + о8х3ф*) + О (ф4),

Об =

(х2Вф2 + х3Сф3) (з,х2ф2 + о3х3ф2) + О (ф4),

<?з = Е +

Шт — а (.От)2—

(а,х,ф2-)- а3х3ф2) —

— 1а2(От)3+ |{ |М

Ч ? — хгВ(Р2— к3Сф3| — га2(х ^ Л В ф ^ + х1у.3АС<р1‘р3) (Вт) —

— х

(^г^фз +ХзСфз) (<з,х2ф| + а3х3ф2) + О (ф4).

(6.31)-

Сравнивая (6.30) и (6.31), видим, что при а =

г/2, ст2 = сг3 = 0 и / > 2

разно­

стная схема имеет второй порядок точности на решении, но ни при каких значениях

параметров не может иметь третьего порядка точности. При а =/= 7 2 или а2 +

а3 =+ О

схема имеет первый порядок точности.

Положим в

условии

(6.26)

Найдем порядок схемы на стационарном решении.

•01 = 7а» ^2=

^з =

0 и

сравним разложение

Г =

2 (е"*4*8) с

-

Ш

г а д =

-

гегЬ* ( А 1 Х +

В%2+

СБз),

(6.32)

учитывая, что

ф8=

Ъ$Н8 и Н8 =

к8г т:

Г =

— Ье-1^ 2 соз Щ- |2/г^Т4

фх +

з т ф2 + /г377 з т ф3 +

+

е Л 1 з т +

+

бз^1з т 2-^-}= -

1е - ^ 2|д Ч -^ ^ Х з1!? + а 3хз1^)т} + 0 (т2).

(6.33)-

Сравнивая (6.32) и (6.33), находим, что для стационарного решения схема имеет пер*

вый порядок,

если

сг2 + о3 =+ 0, и второй, если сг2 = о3 = 0. Существенно, что на

порядок аппроксимации стационарного решения не влияет параметр а.

5.

Устойчивость разностной схемы для одного

уравнения.

Обращаясь к иссле­

дованию устойчивости, заметим, что для алгоритма решения стационарной задачи

методом установления условием устойчивости является ограниченность норм степе­

ней матрицы

О] при тг -V оо

и т =

сопзЪ, в отличие от условия п х -»■ Т == сопз1»

которое возникает при решении существенно нестационарной задачи [163]. Из || || ^

^

сопз1; вытекает, что модули

собственных значений

должны строго

не превос­

ходить единицы при фиксированных ти Л 8 и

любых ^5,

или, что то

же

самое, при

любых ф8.

Разберем прежде всего случай, когда матрицы А, В, С суть числа а, 6, с. Тогда

собственное значение

единственно и совпадает с самим множителем перехода 6^.

Очевидно, что в этом случае необходимое условие |

1 будет и достаточным.

Введем аналогично (6.27)

обозначения

6 =

с2х2зш2

+

а3х3зш3-гг,

60=

т ш {<з2х2, а3х3},

со = х26зтф2 + к3сзтф3,

ф = 2куа

^ = ф + со.

(6.34)

Очевидно, что при любых <р5

I (В К СО, = X , | 6 | 4- х 3 1с |,			со < ф < С о		— 00 < с < + ОО.	(6.35)
Формулы (6.29) принимают вид:
			<?г =	*асо		(6.36)
	1 — «аф			1 —	’
Подставляя эти выражения в (6.20), получим после некоторых преобразований
где		С^ =	и + у6,
и __	1-<С(^-В)		у	1 - й х $	•
	1		*асо			(6.37)
Я =	1’асо
	1 — *аг|)	1 — Щ(со — 0		*

	Условие | (7/| <: 1	запишем так:
	|С/ |2— 1 = (у®)6а + (вф + йу)6 + (ив — 1 X 0.
	Из (6.37) находим
		1 + »°— 2*		, -	0 1 —:х — аС1/
	—	1 + а*?2 ’		цд + И1 > « . - 2
	ии ■ , =	_ и 2?/ + (Т- г 2+ 23х)Р
	тде		1 + а*С*
		Т = а	— Р =	2эс — 1,	г = |д |',
		* = у	(в* + я^) вя1ь* я, ^

(6.38)

(6.39)

у = ^{<1*— я*) —

(6.40)

И з (6.37) и (6.40) следует, что

0 < г 2 = * 2+

ра = —

— ,< (« |ю |)« /,

М < г ,

| у | < г

(6.41)

(1 + а*ф*)*

'

1

и

г ^

(а | а» |)7 ^

(аюв/ =

г0.

Подставляя (6.39) в (6.38), получим после сокращения на знаменатель условие

устойчивости:

(у — г2 + 2 р х ) ? +

2р(1 -

аб)? -

(1 -

2х +

г2) б2 +

2(1 -

х)& >

0,

(6.42)

Так как $ може! принимать любое действительное значение, то

неравенство

(6.42)

выполняется, если

выполняются

следующие

неравенства:

у - г2 + (1 — у) я > 0,

( 1 |-

аЬ)2у2 +

Гу -

т* + (1 -

у)х]

{(1 -

2х +

г2) б -

2(1

-

х)} <

0.

(6.43)

Первое

из неравенств (6.43) выполняется, если у > О и

(г2 — (1

— у)я| <

г(г +

1

— у) < у

.или

(г +

1)

(г — у) < 0,

г <

у.

(6.44)

	Учитывая (6.41), получим, что если г0< у, т. е.
			с°0<	(2а — 1 ) ^ ,	;	(6.45)
то (6.44) выполняется. Очевидно, что для этого достаточно выбрать шаг тГтак,						чтобы
		т <	(2а — 1)^			(6.46)
			2а шах (| Ь ]/Л2, | с |/Л3>
и	В дальнейшем мы будем предполагать, что 7* < а < 1 и 0 < у <				1 и что (6.45
	(6.44) выполняются.
	Обращаясь к рассмотрению второго неравенства (6.43), заметим, что оно не вы­
полняется при б =		0 и, следовательно,		в этом случае схема неустойчива. Так как
1	+ г2 — 2х > 1 +	г2 — г = (1 — г)2 >		0, то 6 должно заключаться в промежутке

‘(бц 62), где 6Хи 62 — корни уравнения
{[? - г2 + (1 -		у)х](1 — 2х + г2) + а 2р2}62 -				2{(1 - х)[у -			г2 +	(1 - у)*] +
				+	ар2} 6 + р2 =		0.
^Учитывая, что р2 = г2 — х2, находим
		[Т - г 2 +							' 0,
			( 1 - Т ) * ] [ 1 - л :+ V 1 — 2х + га] + а (г2 — хг) 4
^	___				Г" ----X				^
2 “ [Т-Я> + (1 _ Т) 1] [ 1 - г - У 1 - 2 х + г * ]+ а ( 1а -х » ) ^										'
Величины	бх и б2, рассматриваемые как функции г и х , определены в области
•0 < г < у < 1 , х = 5г, — 1 <; $ <; 1 .
Пусть найдены функции Ах(г) и Д2(г) такие, что при всех — 1 <: 5 <; 1
		б!(г,		5) <	Дх(г) < Д2(г) <		б2(г, 5).
Тогда, очевидно, условие устойчивости выполняется, если при всех г
•Оценивая бх(г, $),		получим		Д1( г ) < б < Д а(г).						(6.47)
М г»5) =				____________Г2 (1 — 5*)			+ У (I -
	ат« (1 - 5”-) +		[Т - г*+		(1 - Т) га] [1 -	к		г*)* +	/* (1 -	«*)]
		<	—	.----------- ___________				•
			2 1 ^ г2+ (1 - Т ) « 1 ^ г !+ агг
					1 +*
Так как г < 1 и (1 — у)г/(у — г2) <					1 при г < у, то

» . ( г , « ) < .	т _ ^ + |1^ т, г ,	1 ? — -А .(Г )< 4 , (6.48)
*	2	2 + аг

Аналогично

___________________Г2— X*_______ ________ _______

6.2 (г, 5) =
а (г* — х2) _ [-г _ г* + (1 _ т) х] [ / ( 1 _ *)!*+ г « - г* - ( ! - * ) ! >^ -= А а(г).
Оценка (6.48) недостаточно удобна для нахождения	и а 8, определяющих б.

Если ограничить г величиной У 1— (2а)"1, то получим более удобное выражение для

•Мг)

6х(г, «) <; 2гау-1 = Дх(г) <: а -1.

Заметим, что ограничение г = У \ — (2а) 1 существенно только при а >*/4(1^5 + 1) ~

^0,809, так как при меньших а у < ]/"1 — (2а)"1. Итак, окончательно для б получаем условие

	А г(г) = 2г2у"х <		б < а " 1 =	Л2(г).		(6.49>
Подставляя в (6.49) выражения г и б		через ф2 и <р3, получим
2_(СМ .ф 5Ш ф2 + ИзС 51П ф з)2*7			фо	I	. о фз
Т	(1 + а2ф2)^		; ^2^2 81Н* "2" +		<33И3 81П- - у -	<
	б2Х2 31П2	+	03Х3 31П2 фз <Г а *.			(6.50).

Величины а2 и сг3 желательно брать возможно меньшими, с тем чтобы разностная схема возможно меньше отличалась от схемы второго порядка. Поэтому основным для

определения

а2, сг3 является первое из неравенств (6.50). Оно будет выполнено, если

т т { а 2х2, б3х3} =

б0> га2^

1 та х /7 (ср2, ср3; х2Ъ, х3с),

где

С?2,Ч>3

е

,

7

\

=

Ы Ф 81П ф 2 + УСзС 81П ф з)2*7

.

,п к л \

1*

(ф2, Фз; щЬ, щс)

^

51П2 ~2~

(6.51 >

81П2 -9- +

Легко видеть, что ^(ф 2, ф3; х2Ь, х3с) — периодическая по ф2 и ф3 с периодом 2я

и при /

;> 2

Пш /,г(ф2, Фз, | х2Ь |,

|х 3с|) =

0. Следовательно,

непрерывна в прямо-

Ф2»ф8”М)

я, | фа | ^

я,

если положить

/Д0,0) =

0.

Далее, очевидно, что>

угольнике | Фх | ^

т а х

^ (ф 2, ф3; х2Ь, х3с.) = т а х ^(<р2, ф3; |х 2Н

|х 3с|),

1<Р8КЯ

0<<?8<л

и если

0 <

%< я/2 ,

0 < •&<

я/2 , то

М я/2 +

у я /2 4-й

I «Ы

I я с И-

{|

18{п М 2 ~ X) + 1ХзСIз1п <я/2 ~

<•

ТгМ Л + ъ я / л + Ъ

\ЪР\,

|х 3с | ) _

з;п2(я/4 +

%/2) +

з1п2(я/2 + ^/2)

<- <1

13{П (я/2 ~ X) + 1ХЗС 18Ш (я/2 - Э)}2'7

,

/2

я /2 — й Ч х Ы

|« сП

^

з!п*(я/4 — х/2) + вш2

(я/4 — й/2)

X. п/ л

| х201, | х2с |).

Отсюда следует, что максимум

достигается в точке ф2 =

ф2*, ф3 = фз*, лежащей'

в прямоугольнике 0 ^

ф8 ^

я/2, 8 =

1,2, причем (ф2*)2 +

(фз*)2 Ф 0. Пусть ф* —

= тах(ф2*, фз*), 0 <

ф* <

я/2 ,

тогда

| Х2Ь | 81П ф* +

|Х3С| 81П ф*

С00 31П ф'

31П2

+

81П2

> 31Н2

,

С02Г	т а х	(2 /-1 )2'- 1 •
0 п < ^ 4 « й з т г Ф*/2
Итак, окончательно
А	^ еуИ+1 — I)*7 1 Я*	а2*7 2<г	(6.52>
	(2/ - 1)2*7-1	о *

Выполнение неравенств (6.45) и (6.52) обеспечивает устойчивость разностной схемы при любом / > 1. Очевидно, что целесообразно выбирать сг2 и (Г3 так, чтобы

(/ —1)^-1	^	2 Т	02/
		а*7
<32Х2 = а3х 3 = 60 = 22,г+1 (2/ — Ц2'	" 1	2а — 1	О*

Тогда второе неравенство (6.50) будет выполнено, если 260 <1 а"1. Учитывая (6.45), получаем

26п< 23- 2г<г_1 (7 ~ ^

(^а ~ .1)г-<

8 (2а — 1 ).

(27 — I)2*7"1

2а — 1

1

7

Отсюда 260 ^

а -1

при а

1Д(УГ2 +

1) ^ 0.603.

превосходит единицу в сколь

Заметим, что при 60 =

0 модуль

при

любом /

угодно малой окрестности точки <р =

0, каково бы ни было т, т. е. схема абсолютно

неустойчива. В то же время если положить Ъ=

с =

0, то со =

0, и из (6.39) получаем,

что

( 2 а - 1)^

|С 7|2 - 1

= шг- 1 =

1 +

а2т|)2

^

и, следовательно, схема абсолютно устойчива.

Если же положить а =

0, то -ф =

0, ^ =

со и

(?0=

1 _ 6

фсо,

(^1^= гасо,

(6.53)

г =

|асо|/ ,

х = (Ве Ь1) (асо/ ,

у = — (1т

ъ*) (асо/,

\ г

|2

\

со {2 (1т I1) (аса)1 — [Т — г2 + 2(3 (Не Г7) (а©/] ©}1

•

I

1 —

1

-1- а2©2

При / =

2к 1т

Р == 0, Ве ^ =

(— 1)* и

(асо)*7 = (асо)2к =

| асо \2к = г,

\С

12

а

(Г - г2+ (-1/ ( 1 - ? ) г>(о2

__ [т + (-1)кг][1-(-1)тсг](02

'

2к 1

1 +

а2©2

1 +

а2©2

•Следовательно,

условиями устойчивости при I = 2к будут, если к нечетное,

если к четное,

то

г < у пли

| со | ^ со0<

а-1 (2а — I)1/*7;

(6.54а)

г < 1 или

|со | ^со0< а " 1.

(6.546)

Если /

=

2 к +

1, то 1т

& = (— 1)*, Ве г7 =

0

(асо)*7 =

асо[| асо \2к=

асо | асо'1*7

\

I п

|2

о _

0)2 (2а (—1 / I «о |2к — Т +

I «со |2(2к+1)>

|Ст2Ш| - ^

=

----------------- 1+ а®©2----------------

Условием устойчивости при /

=

2 &+ 1 будет

| асо|4,[+г + 2 « ( - 1 ) ' с|асоГ + 1 -|2 а <

0,

или, так

как

|асо

|<С 1 ,

г2+

2а (—1)*г+ 1 - 2 а < 0 ,

где ъ =

(асо0)2* =

(асоо)-^"1 и 2

У"а2 + 2а — 1

+ (— 1)к_1а.

Таким образом, для всех / при а = 0 или г|) = О схема относительно устойчива.. Заметим, что при четном I условие устойчивости (6.54а) совпадает с необходимым ус­ ловием (6.45), которое, следовательно, может быть получено и в общем случае как

необходимое, если положить фх = 0 и менять только ср2 и ср3.
Появление неустойчивости в общем случае, при		срх ф 0 и ф2 + ф3 =/=0, объяс­
няется тем, что в разложении	при 60 = О
в ? = 1 + г(*1а Ф1 + х26ф2 +	к 3сф3) — а ^ а ф ! +	х2&ф2 -|г к 3сф3)2 + 6>(ф33) (6.55>

члены второго порядка не являются положительно определенными относительно

ф5. Поэтому при некоторых				сколь угодно малых ф они могут иметь порядок более вы­
сокий, чем второй, и, следовательно, модуль \0 \ в окрестности точки ф = О опреде­
ляется членами более высокого порядка.									2 при 60 =	0 в окрестно­
Рассмотрим, например, случай /						= 2/с и исследуем
сти ф = 0. Тогда
			Ф - х3аср1,			с о ^ к 25р«		Х;{Сфз,
	4		гасо	_т (ко6ф2+ хзсфз)
			1 — *ах1аф1 ^			1 — 1аХ1Яф1	1
						гасо		__ /	— *ао> \2/с 1
			г * > * 4 { М- шчааух )					\ 1 + ^аи!аф1 / ) '
, 1((—1)к (аю)2*(1 + кгк1Дф1)г?с — (—I)71(аю)2К (1 — гашаф!)2*1’}										2Й,
			2 (1 +	а2х2а"ф2)					; 2к (—1 )Л+1ах1а(асэ)3* ф3
Подставляя	в	(6.39), получим
		I	I2 — 1 ~		{4* (—1)* «х^ (аш)2" срх — фС} 5,
откуда следует,	что	I	2 — 1 ]> 0,			если С ~	2&у 2(— I )11 ахха(а<в)25			и так как
С ~ Х^ф! + со, то
			<Р1 *	- ^	{! + 2Ат-1 (-!)*<*(а®)2* }.					(6.56)
Если фх и (о стремятся к нулю так, что (6.56) имеет место, то
	|		I2 «	1 +	А№с±л-К+2				„V
						! ■(к^Фх)2 (>«2^92 +			*зсФ )

и прималых ф'| С2к |2превосходит единицу’на весьма малую величину порядка 0 (ф4й+2)..

Аналогичным	образом из (6.39)		можно получить более грубую оценку |С\7|2
для любых / , справедливую во всей области изменения ф^ при г0< у. В самом деле,
| ^ | 2 =	1 + ( я й - 1 ) < 1 +		т а х { - ? [ 22/ + ( Г - г 2+	2(Зя)Ш<
А I	„	Л I	г2	-2	_	(6.57).
	Г ________		_ Л |_______________ Г0
Т — г2+ 2 (1 — т) * ^		^	т — го — (1 — т) Го	(Т — г0) (1 + го)

Фактически формула (6.57) дает завышенные значения 16 .7 1, как это видно из табл.

6.1 , где приведены точные значения | С^^ | для ряда значений а и со 0 при /		=	2 и зна­
чения корня из правой части (6.57).	| имеют минимум в окрестности а =		0.6. Эта
Как видно из таблицы, модули 1^
согласуется с тем, что если фиксировать со0, то минимум правой части |		|2 достига­
ется при а = (2к + 1)/(4& + 1) = ( /	+ 1)/(2/ + 1) = 0.6, если / =	2.	Следует
ожидать, что и нижняя граница 60 будет минимальной при этом значении				а,,
хотя правая часть (6.52) имеет минимум при а = 1/(21 — 1 ) = 0.666..., если / =				2 .

Численный расчет показывает, однако, что точная нижняя граница 60 имеет минимум

			Значение 1 ^ |
а		формула	точное	формула		точное	формула
					$.57)
	(0 :=	0.30	© =	0 .35		0) =	0 .4 0
0.550	1.000280	1.004946	1.000642	1.010463		1.001299	1.021423
0.575	1.000254	1.003569	1.000586	1.007173		1.001191	1.013594
0.600	1.000247	1.003029	1.000573	1.005957		1.001170	1.010955
0.625	1.000254	1.002775	1.000587	1.005390		1.001195	1.009756
0.650	1.000266	1.002655	1.000614	1	005117	1.001248	1.009167

при а, весьма близком к (/ + 1)/(2/ + 1)1 которое, таким образом, оказывается на­ иболее выгодным для расчета стационарного решения.

Неравенства (6.45) и (6.52) совместно с неравенством 60 а” 1 определяют об­ ласть значений параметров ю0, 60, для которых разностная схема устойчива. Для / = 2, а = 0.6 эти неравенства имеют [вид

^о|ш1п|(^о) — 3.072соо 60 1.667 — ботах (^о)»	(6.58а)*
СОо!<|0.745 = Слотах•	(6.586)*

На фиг. 6.1 изображена соответствующая область в плоскости (со0, б0), ограни­ ченная ломаной линией ОАгВ р гО. Линией ОАВСО показана точная граница обла­ сти устойчивости, вычисленная непосредственно из условия выполнения при всех ф5 неравенства (6.38). Из графика видно, что неравенство (6.586) не является необ­ ходимым для устойчивости, а максимально допустимое значение ©ошах^ 1.27 при 60 ^ 1.15 (точка В). Очевидно, однако, что производить расчет со слишком больши­ ми о 0практически невыгодно, так как это приводит к ухудшению точности схемы из-за увеличения 60. Более существенно, что (6.58) дает сильно завышенную нижнюю границу бот1П(©0) и выбор 60 по формуле (6.58а) приводит к неоправданному умень­ шению шага по времени. Поэтому целесообразно пользоваться вместо (6.58а) при­ ближенной зависимостью

бот1п(®о) — О.25со0,

(6.59)

построенной непосредственно по результатам расчета и достаточно хорошо аппрок­

симирующей точную нижнюю границу области устойчивости вплоть до со

1.18.

Как нам представляется, приведенный пример хорошо иллюстрирует практиче­ скую ценность замены хотя и аналитических, но грубых оценок «эмпирическими» формулами, построенными по результатам точного численного расчета.

6. Устойчивость разностной схемы для системы. В случае системы полное ана­ литическое исследование устойчивости, аналогичное проведенному выше, можно вы­ полнить только, если матрицы А, В, С могут быть приведены к диагональному виду

одним и тем же преобразованием. При этом если			Ьг и с* — диагональные элементы
преобразованных матриц (I = 1 , 2,..., В), то для каждого I можно вычислить со0^ =
= ЩI	1+ и31сг | и выбрать т так, чтобы для всех Iудовлетворялось условие устойчи­
вости (6.45). Тогда из (6.52) получим для каждого I нижнюю границу б0,г и затем опре­
делим	60= т т { а ах2,	с3х3} =	т а х 60 1.
			I
В общем случае, когда А, В, С не приводятся			одновременно к диагональному
виду,	выполнить полное исследование устойчивости аналитически не удается, вслед­
ствие весьма сложной структуры матрицы		Однако при 6 = 0 необходимое усло-

вие типа (6.45) легко получить, если исследовать собственные значения приф = 0. Тогда матрицы (?0 и выражаются через матрицу, й = и2 В з т ф2 + Щ С з т ср3 теми же формулами, что и в рассмотренном выше скалярном случае при ф = 0. Это позво­ ляет принять в качестве необходимого условия устойчивости при / = 2к формулы (6.54), в которых следует положить со = сог(ф2, ф3). Величины сог(ф2, ф3) суть собст­ венные значения матрицы Й, которые, конечно, не обязательно являются линейными функциями 8Ш ф2 И 31П фх.

Для уравнений (3.15) в координатах		ц, й и со ьвыражаются следующим об­
разом:
(2 = К2(Г]г9( + Лг® +	Лф©) 81 П ср2 + Х3Ё 81П ф3 =
= Н2Л25151И Ср2 + ^ 2Лг®	ф2 +	(и2ЛФз т Фг + щ зш Фз) ®,

+ # / У и* (л ! -Г Л?) 31И2ф2 +		(ИаЛф 31И2ф2 + *3 8Ш ф з^Г- 2 ,
где	0,	/ = 1,2,3;
(
♦«=	1 ,	* = *!
1 - 1 ,		1 = 5.

Ограничиваясь случаем /	= 2Лсэ получаем следующее условие:
шах {я2[тьм + Т1г1; | + (х21% | +	ч3) г- 1 1и;| + с У я \ (ц! + т]?) + (х21п, | + Из)2г-4} <
	(6.60)
где со0 удовлетворяет неравенству (6.54а) и л и (6. 546) в зависимости от значения к.

Максимум в левой части берется по всей области изменения независимых переменных 6, ц, 0 при фиксированном Vх. Условие (6.60) дает возможность определять на каждом слое максимально допустимое значение шага тп по формуле

где	т71 = Шо/Ао^г»		(6.61)
	“ “	________________________
л 2 = тах {I ЧгЫ+ г|гг? ( +	( | г), | + к ^ 1) г | м;| + с	+ Л?) + ( | Лф| + М з 1) г-2}.
<= <"	ли условия (6.61) и (6.54) достаточными при 6 =
Вопрос о том, я в л я ю т с я			0, в об­
щем случае остается открытым и ответ на него зависит от структуры матриц			А, В, С.

Можно лишь сказать, что отсутствие положительной определенности у членов второ­ го порядка в разложении 0с3 существенно влияет на поведение модулей собственных

значений Хъматрицы	вблизи точки ср = 0. В самом деле,				из (6.31) легко получить
разложение Хг в окрестности ср = 0 при / ^ 2				до членов	второго порядка вклю­
чительно		= 1 + ф, — ац? + 0 (ф3),
где р./ — собственные значения матрицы тВ =				к1А(^1 + х2#ср2 + ХдСсрз.
Если матрицы А, В, С таковы, что при ср ф 0 (х* не обращаются в нуль и имеют
порядок О(ср), то	\\11\2 >	Аср2 > 0	и I I 2 — 1 = 1 — (2а — 1) |^ |2 +			0 (ф3) <
^ 1 — (2а — 1)Аф2 +	0 (ср3)	и, следовательно,		в окрестности ср = 0 |Хг| ^		1 .
Пример такой системы с матрицами
А =		°\			С = 0
		- а ) ’
исследован в работе [161]. Легко видеть, что в этом случае
	= ±	У (*1Яф1 +	Щ&фг)2+ ИаЬоФз = О(ф)
и рц = 0 лишь при ср = 0, если 60 =^= 0.			В [161] показано, что в этом случае рассмат­

риваемая нами разностная схема относительно устойчива при а }> 1/а- Если [хг имеет в окрестности ср = 0 порядок более высокий, чем первый, или об­

ращается в нуль при ср =^= 0, то возможно, что | %1 1 1 в окрестности ср = 0. Это, однако, не необходимо следует из обращения в нуль р,* при ср =/=0. В самом деле, в рассмотренном выше случае а = 0 (или А = 0) матрица х2Вср2 + Кз^фз может иметь

собственные значения, равные нулю при ср2 + ср| ф 0, и тем не менее, как мы толь­ ко что видели, схема оказывается устойчивой при некотором т ^ тт аХ. Таким обра­ зом, устойчивость в подобных случаях существенно зависит от вида членов более вы­ сокого порядка.