книги / Методы и приёмы качественного исследования динамических систем на плоскости
..pdf§ 11] |
СТРУКТУРА СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ |
61 |
Если при этом нет другой узловой области (сектора), содержа щей рассматриваемую, у которой по крайней мере одна из полутраекторий L\ и L2 является внутренней, то область между полутраекториями Ь\ и L2 назовем целым открытым узловым сектором или параболической областью (сектором) и будем обозначать через N (рис. 34). Далее, говоря о целых открытых узловых областях (секторах), мы будем опускать слово «целые».
Рис. 34 Рис. 35
Мы будем говорить, что сепаратрисы Ь\ и L2 являются про должением одна другой, если они ограничивают один и тот же гиперболический сектор.
Если у данного состояния равновесия существует замкнутая узловая эллиптическая область, то непременно существуют так же две содержащиеся внутри С параболические области, «со провождающие» эту замкнутую область. Эти области непосред ственно примыкают к замкнутой узловой области, образованы частями «перерезанных» окружностью траекторий замкнутой уз ловой области 1Э) (рис. 35).
Следующие предложения имеют простой геометрический
смысл.
I. Траектории двух различных (т. е. лежащих одна вне дру гой) эллиптических областей принадлежат различным элемен
тарным ячейкам. |
|
эллиптическая |
область, примыкающая |
|||
II. Если |
существует |
|||||
к состоянию |
равновесия |
О, то к нему |
примыкает |
по |
крайней |
|
мере еще одна эллиптическая или гиперболическая область. |
||||||
III. Между двумя |
различными эллиптическими |
областями |
||||
состояния равновесия |
всегда существует стремящаяся |
к этому1 |
19) Границей максимальной замкнутой узловой области, содержащей замкнутую узловую область, лежащую внутри С, являртся элементарная ячейка, и граница ее, очевидно, состоит из особых траекторий.
62 ВОЗМОЖНЫЙ ХАРАКТЕР ОТДЕЛЬНОЙ ТРАЕКТОРИИ [ГЛ. 2
состоянию равновесия особая траектория (которая может и не быть сепаратрисой данного состояния равновесия)20).
Т е о р е м а 18. Всякая достаточно малая окрестность состоя ния равновесия О системы (А), не являющаяся центром или то пологическим узлом, состоит из конечного числа эллиптических (замкнутых узловых), параболических (узловых) и гиперболи ческих (седловых) областей (в частных случаях области некото рых типов могут отсутствовать), примыкающих последовательно
одна к другой, а также из то
чек |
траекторий, |
отделяющих |
|
эти |
области одну |
от другой и |
|
из точки О (рис. 36). |
доста |
||
|
С л е д с т в и е |
1. Все |
|
точно малые окрестности |
дан |
ного состояния равновесия раз деляются на одно и то же чис ло эллиптических, параболиче
ских |
и |
гиперболических обла |
||
стей. |
|
|
2. В |
случае, |
С л е д с т в и е |
||||
когда |
у |
системы |
(А), |
опреде |
ленной в ограниченной области плоскости, имеется конечное число особых траекторий, вся кое состояние равновесия этой системы имеет определенную топологическую структуру.
Вернемся к определению качественной структуры динамиче ской системы в целом. Как уже было указано, для этого необхо димо иметь следующие сведения:
1)характер (топологическую структуру) состояний равнове сия динамической системы — это даст, в частности, сведения о числе сепаратрис и их расположении вокруг каждого отдельного состояния равновесия;
2)число и взаимное расположение предельных континуумов,
вчастности предельных циклов;
3)расположение сепаратрис, не входящих в предельные кон тинуумы.
Перечисленные здесь сведения называются схемой разбиения на траектории динамической системы, а все указанные сведе ния — элементами схемы. Схема может быть записана специаль но введенными символами, описывающими все указанные в пере численных пунктах сведения, однако на плоскости схему проще и естественнее описать схематическим рисунком, на котором на мечены: поведение траекторий в окрестности состояний равно
20) Напоминаем, что мы всюду в настоящей главе предполагаем число особых траекторий конечным.
§ 12] УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ЛЯПУНОВУ 63
весия, предельные континуумы с их расположением и ход сепа ратрис. Во всех рассмотренных далее примерах схема задается схематическим рисунком (иногда только с точностью до четного числа предельных циклов). Можно показать, что введенная схе ма полностью определяет топологическую структуру разбиения на траектории и, следовательно, определяет также расположение ячеек и поведение траекторий в каждой ячейке21).
Установленные в настоящей главе типы траекторий и, в част ности, особых траекторий возможны лишь у динамических си стем (потоков) в плоской области и на сфере. При рассмотрении динамических систем (потоков) на замкнутых двумерных поверх ностях (конечного рода) возможны еще другие типы траекторий (незамкнутые самопредельные) (см. дополнение).
§ 12. Устойчивость по Ляпунову. В приведенной теории осо бых и неособых траекторий (§ 6) и определении схемы было ис пользовано понятие орбитной устойчивости, и именно это поня тие имело при этом значение.
Однако классическое понятие устойчивости решения — это введенное Ляпуновым и широко фигурирующее в математической литературе понятие «устойчивости по Ляпунову». Мы приведем здесь это понятие для случая решения двумерных задач динами ческих систем. (Полностью аналогичное понятие дано Ляпуно вым для многомерных динамических систем и для неавтономных дифференциальных уравнений.)
Решение я = фо(0, у = фо(0 |
называется устойчивым по Ля |
||||
пунову, если для любого е > |
0 найдется такое б > |
0 (б = 6(e)), |
|||
что для всех решений # = ф(0> У = |
Для которых выполня |
||||
ются неравенства |
|
|
|
|
|
1фо(^о) |
ф'(^о) I < |
б, |
1гро(^о) —ф(<о) I < |
б, |
|
при всех t > to будут выполняться неравенства |
|
||||
1фа(^) —ф(<) I < |
е, |
1фо(0— Ф(<) I < |
е- |
||
Если решение д: = |
ф(£), р = |
ф(£) |
устойчиво по Ляпунову и если |
||
при достаточно малом б > 0 будут выполняться условия |
|||||
Нш | ф0 (t) — Ф (0 | = |
0, |
Кш | ф0 (t) — xp(t) | = 0, |
|||
1-> ОО |
|
|
<-> оо |
|
|
то решение фо(£)) ifo(f) называется асимптотически устойчивым.
21)Сведения о числе и характере состояний равновесия, взаимном рас
положении предельных континуумов и ходе сепаратрис, с одной стороны, и сведения о взаимном расположении ячеек и поведении траектории внут ри них — с другой (и то и другое может быть названо схемой разбиения на траектории), являются двумя различными полными системами топологиче ских инвариантов, которые могут быть выражены одна через другую. В свя
зи с этим можно говорить о |
с х е м е |
п е р в о г о |
р од а, |
понимая под этим |
указанную в тексте схему, и |
с х е м е |
в т о р о г о |
рода, |
понимая под этим |
описание ячеек и их расположение. |
|
|
|
64 ВОЗМОЖНЫЙ ХАРАКТЕР ОТДЕЛЬНОЙ ТРАЕКТОРИИ [ГЛ. 2
Как уже указано, устойчивость по Ляпунову отличается от орбитной устойчивости. Поясним это различие на простом приме ре. Рассмотрим замкнутую траекторию Lo:cpo(£)> tyo{t), в окрест ности которой все траектории замкнуты. Она, очевидно, орбитно устойчива. Предположим, что период на L0 равен то, а на всех
близких к ней траекториях отличен |
от |
То |
(это — очень |
часто |
||||||
встречающийся случай). Всякая траектория |
L, |
проходящая при |
||||||||
t = to достаточно близко |
к точке фо(^о), |
tyo{to) |
на |
Lo, при |
значе |
|||||
нии t = to + T будет, очевидно, проходить (в |
силу |
теоремы о не |
||||||||
прерывной зависимости |
от |
начальных |
условий) |
сколь |
угодно |
|||||
близко к этой же точке при значении t = to + то. Но период на |
L |
|||||||||
будет отличаться от То на |
некоторую |
сколь |
угодно |
малую |
ве |
|||||
личину б. |
|
|
|
|
|
|
|
(t> |
пх, |
где |
Тем не менее при неограниченном возрастании t |
||||||||||
п — сколь угодно большое целое число) |
разность между to + ото |
|||||||||
и t' = to + п (то + т) будет |
уже больше |
некоторой конечной |
ве |
личины, и точка на L, соответствующая этому значению t', будет находиться на конечном расстоянии от точки фо(£о), фо(М траек тории Lo-
Таким образом, решение фо(0, ^о(0 неустойчиво по Ляпуно ву. В приведенной же выше теории особых и неособых траекто рий имеет значение лишь обратная устойчивость.
Г Л А В А 3
ИССЛЕДОВАНИЕ КАЧЕСТВЕННОЙ СТРУКТУРЫ ОКРЕСТНОСТИ СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ (ОСОБОЙ ТОЧКИ)
Введение. В предыдущих главах были даны сведения о том, какова вообще возможная качественная структура траекторий и расположения траекторий на фазовой плоскости, что нужно знать для того, чтобы знать эту качественную структуру. В част ности, как мы видели, нужно знать характер состояний равно весия. В настоящей главе будут указаны методы определения характера состояния равновесия для некоторых классов состоя ний равновесия').
§ 1. Простые состояния равновесия (особые точки). Пусть М{хо, уо)— состояние равновесия (особая точка) системы (А), так что
Р{хо, yo)=Q(xo, Уо) = 0.
Введем обозначения: |
|
Р х (•£()’ Уо) |
fa'O’ Уо) |
Л(*0 ’Уо) |
Q v (®о> Уо) |
Q x (*о> Уо) |
о — Р х ( х 0у у д)-Ь Q y (^0 ’ Уо)’
Состояние равновесия, для которого
А(хо, J/o )^ 0 ,
называется простым.
Разлагая в окрестности простого состояния равновесия 0 (хо, уо) правые части в ряд по степеням х — хо, у — уо, мы, оче-
*) Задача установления для конкретно заданной динамической систе мы существования предельных континуумов (в частности, предельных цик лов) и их взаимного расположения, а также расположения сепаратрис, не являющихся предельными, представляет очень большие трудности и в го раздо меньшей степени близка к решению, чем задача определения харак тера состояний равновесия. В гл. 6, 14, 15 будут указаны, существующие подходы и приемы решения задачи о существовании предельных циклов.
5 Н. Н. Баутин, Е. А. Леонтович
66 ИССЛЕДОВАНИЕ СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. 3
видно, получим
§ ■ — (* — Ч )Р*(*о» Уо) + (У— Уо)Ру (Ч ’ у) + Ф (* — ^0 ' У— Уо).
If- = (X — Ха) Qx (х0, у0) + (у — Уо) Qy (х0, у0) + ф (я — х о< У ~ Уо)’
где ф(.г — хо, у — уо) и ^{х — хо, у — уо)— ряды относительно х — хо, у — Уо, начинающиеся с членов не ниже второго порядка. Перенося начало координат в точку (х0, у0) , т. е., другими слова ми, полагая
х — х 0 = ъ, у — уо = ц,
мы можем записать систему |
(А) в виде |
|
|
||
%= |
о |
| + Ъц + ср (1, |
г ]), |
(А') |
|
Л = |
с\ + di\ + ф (£ , |
л ). |
|||
|
где
а — Рх (•*•<)>Уо)’ ^ — Ру (•*■<)>Уо)’
с = Qx (ч уУо), d = Qy (.е0, Уд),
а b
Д = с d ф о.
§ 2. Приведение динамической системы к каноническому виду.
При рассмотрении характера простых состояний равновесия ли
нейные члены в системе (А') надлежащим |
образом выбранным |
|
неособым линейным преобразованием |
|
|
и = Pul + Р1 2 Т], V = Р21%+ Р22Ц |
(1) |
|
Рц |
PiZ |
приводятся |
(т. е. преобразованием, у которого |
ф. 0 |
|
Р%1 |
Р22 |
1 |
к возможно более простому, так называемому «каноническому»
виду. Посмотрим прежде всего, при каких условиях |
надлежа |
||
щим преобразованием |
(1 ) можно привести систему (А') к виду |
||
(невыписанные члены содержат |
и и и в степени не ниже вто |
||
рой) |
|
|
|
duldt = |
%\и + .. ., |
dv/dt = %2v + . .. |
(2 ) |
Подставляя в (2) выражения (1) для и и у, а затем заменяя d%/dt и dr\/dt через их выражения из (А'), мы, очевидно, получаем тождества. Приравнивая в этих тождествах коэффициенты при линейных членах, получаем следующие четыре линейных одно родных уравнения относительно коэффициентов рц, /?12, ргь Р22 искомого линейного преобразования:
Ри(а —Х\)+ рпс = 0, |
Р21 (а —ta)+ р22с — 0, |
(3) |
|
Pub + pi2( d - h ) = 0, |
P2\b + p22( d - X 2) = 0. |
||
|
§ 21 |
ПРИВЕДЕНИЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ |
67 |
Эти уравнения |
дают для рп, р1 2 , Р2 1 , Р22 решения, не |
равные |
тождественно нулю, только в том случае, когда Ан и %2 являются |
||
корнями уравнения |
|
|
а — к |
Ь |
(4) |
с |
= к2— (а + d) к + (ad — be) = О, |
|
d — k |
|
|
которое называется характеристическим. Корни Ап и kz называ |
||
ются характеристическими корнями состояния равновесия (осо |
бой точки).
Рассмотрим различные случаи, которые здесь могут предста
виться. |
и к.2 действительны и различны. Тогда |
из урав- |
|||||||||||
1. |
Корни Я.1 |
||||||||||||
нений |
(3) можно найти ри, р1 2 , Р2 1 , Р22 |
|
|
|
Ри |
T’ai |
|
||||||
такие, что |
|
фО, |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рг\ |
Ргг |
|
|
и, следовательно, приведение динамической системы |
(А) к виду |
||||||||||||
(2 ) возможно. |
|
и %2 кратные, |
k i= k i = k. В |
этом |
случае |
приве |
|||||||
2 . |
Корни к\ |
||||||||||||
дение |
к виду (2), |
вообще |
говоря, невозможно. |
Однако |
в этом |
||||||||
случае можно указать неособые преобразования, с помощью ко |
|||||||||||||
торых система приводится к виду |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
du/dt = ku + . .., dv/dt = kv + |
ци + . . . |
|
|
(5) |
||||||||
(В частных случаях р. может быть равно нулю.) |
Этот вид назы |
||||||||||||
вается каноническим в случае кратных корней. |
|
|
к\ = а + ф, |
||||||||||
3. |
Корни |
Я.1 |
|
и ki— комплексные |
|
сопряженные: |
|||||||
Я.2 = а —ф ((J Ф 0 , а |
может как быть, так и не быть равным ну |
||||||||||||
лю). В этом случае при действительных | |
и т] мы получим комп |
||||||||||||
лексные сопряженные и и и, так что приведение к виду |
(2 ) |
не |
|||||||||||
возможно. В этом случае, |
вводя |
новые |
|
переменные |
щ, щ, |
и = |
|||||||
= щ + iv1 , v = и\ —iv\, нетрудно установить, что |
система может |
||||||||||||
быть приведена к следующему виду: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
du\/dt = aUi — |
+ ..., d vjd t = |
|
[}ui + av\ + ..., |
|
(6 ) |
|||||||
который в этом случае считается каноническим видом. Дополни |
|||||||||||||
тельно отметим, что если рассмотреть линейную систему |
|
|
|||||||||||
|
|
d'g/dt = а\ + Ьщ |
dr\/dt = |
|
+ с£г|, |
|
|
|
|||||
которая получается из системы (А') отбрасыванием нелинейных |
|||||||||||||
членов, то, как известно, общее решение этой системы имеет вид |
|||||||||||||
|
1 = с1е 1 |
+ с2е |
, |
= cfae |
1 |
|
+ с2кге . |
|
|
|
|||
Здесь Я.1 и Я.2 являются корнями |
того |
же |
характеристического |
уравнения (4).
Х а р а к т е р и с т и ч е с к и е к о р н и не м е н я ю т с я п р и л и н е й н о й з а м е н е к о о р д и н а т (характеристические кор-
5*
68 |
ИССЛЕДОВАНИЕ СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ |
1ГЛ. 3 |
ни являются инвариантами линейного преобразования коорди нат), т. е. пусть дана система
dx/dt = ах + by + . . dy/dt = сх + dy + ..
у которой характеристические корни Я[ и Яг. Пусть после линей ного преобразования
х = qnu + qizv, у = q2\u + q22v
мы получаем систему в новых координатах и и v
du/dt = Аи + Bv + ..., dvJdt = Си + Dv + . . .
Тогда характеристические корни последней системы, т. е. корни характеристического уравнения
равны Я[ и Яг2).
§ 3. Возможный характер простых состояний равновесия. Гру бые состояния равновесия. Сохраняем обозначения
Д = |
'*(*о' У0) |
Ру (V Уо) |
а = К (х0, у0) + Q'y(х0, уо). |
|
(хо Уо) |
Су (V ^о) |
|||
|
|
Характеристическое уравнение (4), очевидно, может быть за писано в виде Я2 —оЯ + Д = 0. Возможны следующие случаи.
I. А > 0, о2 —4Д > 0, корни характеристического уравнения действительны и одинаковых знаков. В этом случае все траектории, проходящие через некоторую достаточно малую ок рестность состояния равновесия О, стремятся к О:
при |
t -*■+оо) когда Я1 и Яг отрицательны, |
|||
при t |
когда Я1 и Яг положительны3). |
|||
Состояние |
равновесия называется |
устойчивым |
узлом, когда |
|
Я1 < 0, Яг < 0, |
и неустойчивым узлом, |
когда Я1 > 0 , |
Яг > 0. |
|
II. Д < 0, корни характеристического уравнения |
действитель |
ны и различных знаков: Я1Я2 < 0. Состояние равновесия являет
ся седлом. |
|
корни |
характеристического |
|||||
III. А > 0, о2 —4Д < 0, 0 =^0 , |
||||||||
уравнения комплексные |
сопряженные: |
Я1 |
= а + ф, Яг = а —ф, |
|||||
причем действительные |
части этих |
корней отличны |
от нуля. |
|||||
вытекает |
из связи между |
матрицами |
А |
ВЦ 1а |
^ |
|||
С |
DY 1с |
d |
||||||
|
|
|
|
|
иэлементарных предложений линейной алгебры.
3)Напомним (см. гл. 1), что изображающая точка не может стремить
ся к состоянию равновесия при t, стремящемся к конечному значению.
§ 4] |
ЗАМЕЧАНИЯ О МЕТОДАХ |
В этом случае (так же, как и в случае I) все траектории, проходящие через некоторую достаточно малую окрестность со стояния равновесия О, стремятся к состоянию равновесия О:
при $-► + <», когда а < О,
при t -*■— °°, когда а > 0 .
Состояние равновесия называется фокусом и при этом устой чивым, когда а < 0 , и неустойчивым, когда а > 0 .
§ 4. Замечания о методах установления характера грубых состояний равновесия. Указанный в предыдущем параграфе ха рактер состояний равновесия в случаях I—III может быть уста новлен различными методами.
В случаях I и III (узел и фокус) качественная структура со стояния равновесия может быть установлена, если заметить, что
в окрестпости этих состояний равновесия |
окружности |
(или |
в |
|||||
случае III — эллипсы) являются циклами без контакта, которые |
||||||||
все |
траектории |
пересекают, |
входя |
внутрь |
при |
Xi < 0 , |
Хг < О |
и |
о < |
0 (рис. 37, |
а, б) (или |
выходя |
из них |
при |
Xi > 0, |
Хг > 0 |
я |
а > 0). При этом узел или фокус имеют одинаковую качествен ную структуру в смысле введенного в § 14 гл. 1 определения* Качественный характер состояния' равновесия в случае II (сед ло) может быть установлен с помощью естественного выделения в окрестности этого состояния равновесия дуг без контакта, изо браженных на' рис. 38. Непосредственное рассмотрение поведе ния траекторий при наличии таких дуг без контакта с последую щим доказательством единственности в каждом из треугольни ков «разделяющей» (сепаратрисы) полностью устанавливает ка чественно характер состояния равновесия в этом случае [12,131].
Сведения о других методах исследования состояний равнове
сия в случаях I—III можно получить |
в [12] (где указана и со |
ответствующая литература). См. также |
[116—118], |
70 ИССЛЕДОВАНИЕ СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. 3
Отметим, что в случаях I—III качественная структура состоя ния равновесия определяется линейными членами правых частей
системы, и эта структура такая же, |
как |
и у соответствующей |
||
линейной системы, получающейся из системы (А) |
отбрасыванием |
|||
нелинейных частей. |
мы |
будем |
в дальнейшем |
|
Состояния равновесия типа I—III |
||||
называть грубыми состояниями равновесия. |
|
типа I и |
III |
|
Как уже указывалось, состояния |
равновесия |
|||
(узел и фокус) имеют одинаковую качественную |
структуру: |
все |
траектории, проходящие через достаточно малую окрестность со стояния равновесия О, стремятся к О в зависимости от знака А,1 , f a и а при t -*■+°° или t -*■—«>. Однако характер стремления к состоянию равновесия в случае I (узел) и в случае III (фокус) различен (откуда и различие в названиях этих состояний рав новесия).
В следующем параграфе будет указано, что в случае III (фо кус) траектории ведут себя как стирали. В § 7 будет указано, что в случае I траектории стремятся к состоянию равновесия в определенном направлении (см. § 7).§
§ 5. Состояние равновесия с чисто мнимыми характеристиче скими корнями. Рассмотрим особо случай, когда Д > 0, а = 0,
т.е. корни характеристического уравнения чисто мнимые. Рассмотрим соответствующую линейную систему, т. е. систему
dx/dt = —by, dy/dt = bx.
Нетрудно убедиться, что все отличные от О траектории замк нуты (являются окружностями, см. пример 5 в § 12 гл. 1). Дей ствительно, эта система имеет аналитический интеграл
х2 + у2= С.
Однако простые примеры показывают, что при наличии нелиней ных членов состояние равновесия может иметь характер фокуса.