книги / Нелинейные задачи динамики композитных конструкций

Отметим, что во многих задачах динамики оболочек погрешности, вносимые этими теориями, в основном влияют на локальные характеристики напряженнодеформированного состояния и значительно меньше - на интегральные характе­ ристики процессов - прогибы, критические нагрузки и т.д. Следовательно, даже достаточно грубые модели пластического деформирования материала позволяют во многих случаях получить адекватное представление о процессах деформиро­ вания. Характерной особенностью динамических задач является знакопеременное нагружение. С этой точки зрения, теории течения, вследствие их высокой апгоритмичности при численной реализации, обладают некоторыми преимуществами по сравнению с деформационной теорией.

Из анализа предложенных различными авторами математических моделей моделирования нестационарного деформирования композитных неоднородных оболочечных конструкций следует, что в настоящее время наиболее разработан­ ными и апробированными являются классические линейные и геометрически нелинейные теории оболочек Кирхгофа-Лява и корректированные (посредством учета деформаций поперечного сдвига и инерции вращения) классические теории типа Тимошенко. Разработана неклассическая линейная теория оболочек на основе математических методов приведения трехмерной динамической задачи теории упругости к двумерной и одномерной. На основе метода статико-кинематических гипотез разработан ряд геометрически нелинейных уточненных теорий упругих многослойных оболочек, учитывающих деформации поперечного сдвигай обжа­ тия слоев. Недостаточно разработаны методы построения разрешающих систем уравнений и решения геометрически и физически нелинейных задач динамики и устойчивости композитных оболочечных элементов и конструкций. Мало иссле­ дованными являются вопросы применимости прикладных теорий, особенно в нелинейных задачах.

1.1. Элементы нелинейной теории упругости ортотропной среды в ортогональной криволинейной системе координат

Введем, следуя [209], декартову систему координат x,y,z и свя­ занную с рассматриваемой средой ортогональную криволинейную систему координат а , (/ = 1,3). При этом параметры а. выбираются так, что зависимости ос, = а , (х, у , z) взаимно однозначны. Поло­ жение точек упругого тела в декартовой системе координат может быть задано их радиусом-вектором r(x,y ,z). Однако для тел, ограниченных криволинейными поверхностями или обладающих криволинейной анизотропией, более удобным является использо-

21

вание	криволинейной системы координат. В этом случае каж дой
точке	тела будет соответствовать зн ач ен и е р а д и у с а -в е к т о р а

г ( а ,, (Xj, а 3), причем а,. рассматриваются как координаты точки

в криволинейной системе координат. Единичные векторы касатель­ ных к координатным линиям а , (/ = 1,3) в заданной точ ке опред е­ ляются равенствами

	к,	1 дт		( 1.1)
		Н; 0 а ,	9

где Я, = |0г/0а,| = ^/(дх/да,) 2 +(ду/да , ) 2 + ( 0 z /0 a ,) 2 - па­ раметры Ламе, показывающие, сколько единиц длины содержится в единице координаты а , (/ = 1,3). Эти функции не могут быть выбраны произвольно. Для того, чтобы они определяли метричес­ кие свойства сплошной среды, должны выполняться уравнения Ламе:

д Г 1 д н Л + _ а _ Г j _ а я Л { 1 д н хд н 2

	0а, [ я ,	0а, J 0 а 2 ( я	2 0 а 2 J Н] 0 а 3	да3
	д2Н,			(1.2)
	0 а 20 а 3	Я 3 0 а 2 0 а з	Я 2 0 а 2 0 а 3 ’
				V

В случае, если одна из осей криволинейной системы координат,

например а 3, является прямой линией, то Я 3 = 1.

После деформации положение точек рассматриваемого упру­

гого тела определяется радиусом-вектором
г* = г + U,	(1.3)

где г - вектор перемещения соответствующей точки. Координатные линии а , (/ = 1,3) в соответствии с методом Лагранжа деформи­ руются вместе с телом. Единичные векторы касательных к линиям а. вдеформированном теле к* определяются по отношению к ор-

22

там к, с пом ощ ью формул:

		(1 + 7 п ) к , +
	~	1 + £ « ,			\ 2	Yl2+<° :
		( 1		>1	1
		У13	- © 2 к з		.	(1.2,3),
		4 2					<-
	1	dU x .	1			,	1	(1.4)
	Ун				2		я , я 3
	Я , 5 а , + Я ,Я 2 5 а 2
		Я 2	д	( и Л		Н,	д (и,
	у , г =ь ' =			(			1	-5)
	2 © ,	1						( 1.6)
		Я 2Я 3 ^ ( В Д ) - ^ ( Я Л )
		(1,2,3),		(Я „ Я 2,Я 3),

Еа - отн оси тельн ы е удлинения элементов среды по направлениям векторов к , (/ = 1,3) соответственно.

Д еф орм ация в лю бой точке тела характеризуется шестью пара­

метрами:
«И = У м + ; У м + ( д У 2| + ® з )	+ ( д У м - < в2) .
еп = У 12 + Г и ( д У.2 - “ з) + b [ ^ V i 2 +с° з ] +
+ [ | у |3 - ® 2] [ | у23+® |]>	( Ч ’3>-	(1'7)

23

С их помощью определяются относительные удлинения по направлениям к,(/ =1,3):

Ещ= 4 Г Т 2 ^ - 1 ( ! = й ) ,

(1.8)

углы сдвига между волокнами, первоначально направленными по

k ,.(/ = U ) :

( / * . / = 1,3),

(1-9)

(\ +Еа )(\ + Еа )

и отношения площадей деформированных граней объемного эле­ мента к их значениям до деформации:

5 - = 1/(l + 2 ^ )(l + 2ett) - 4 Ц * ]Ф к = 1,3).

В криволинейно ортотропной упругой среде, оси ортотропии которой совпадают с координатными линиями а , (/ = 1,3), связь между тензорами напряжений и деформаций определяется обоб­ щенным законом Гука, который можно записать в виде:

а п	- V ,-	_ и 12	(1,2,3).	(1.10)
е,, = —
Здесь имеют место условия симметрии упругих постоянных
	V12 —V21^2>	0>2,3).		(1-11)
		<-

Для вывода уравнения движения элемента сплошной среды воспользуемся принципом возможных перемещений, который в ортогональных криволинейных координатах записывается следую­ щим образом:

$ f ( Z a ‘/5e» +®ij8e12 + < 3 8% +<Тв8е23 j t / F +

24

= 0. (1.12)

Здесь о* = SJ / S, ■<Уу / ( 1 + Ea _) - компоненты тензора обобщен­

ных нап ряж ени й; bU, - геом етрически возможные бесконечно ма­ лые п ерем ещ ения; Ье0- соответствую щ ие им приращения компо­ нентов д е ф о р м а ц и и ;/? - компоненты вектора равнодействующей поверхностны х сил, отн есен ны х к единице площади тела до дефор­ мации; V ,Q - объем и площ адь поверхности тела до деформации; t - время.

Из принципа возможных перемещений (1.12) следуют урав­

нения движения:

3		( Я	1Я ,5 21) + / - ( Я	1а д , ) +
( Я 2Я 35 м) + - ^
З а,	З а ,		З а 3
ЗЯ ,	ЭЯ		ЭЯ2	дН3	_
+ Л 3 Л	^ 1 2 + Л 2 Л	Л 13	Л 22 Л 2 й		^ 3 3 “*
дс^2			9oCj	ооС|
	=Я ,Я 2Я 3		(1,2,3)		(1.13)

и краевы е услови я дл я тех участков ограничивающей тело поверх­ ности, на которы х зад ан ы внеш ние силы

5l,c o s (n ,k l) + iS21c o s(n ,k 2) + S31co s(ii,k 3) = / l*, (1,2,3),(1.14)

S u =<*n(l + Yii) + < 2(jY .2 -® з j + < 3 ^ Y i3 + ®2 j .

5,2=a"f i Yu+Шз) +a 'j(1+YH >+a'5( i T25” 0)1}

25

sa- а;,^Гв - “ i ) +	г» + ®I) +ст‘з	+ TM).
(1,2,3),		(1.15)

(n, k j , (n, k2), (n, k3) - углы, образуемые нормалью к рассматри­ ваемой площадке до деформации и единичными векторами к,

( / = й ) .

1.2. Построение разрешающей системы уравнений однородных изотропных и композитных оболочек на основе модели с разложением в ряд

Важным этапом формулировки разрешающей системы уравнений динамики элементов конструкций является построение соотно­ шений между деформациями и перемещениями. Рассмотрим их вывод, исходя из общих соотношений нелинейной теории упру­ гости, в ортогональных криволинейных координатах [209], изло­ женных в предыдущем параграфе.

Отнесем оболочку произвольной толщины h к криволинейной ортогональной системе координат а, (/ = 1,3), совпадающей с ли­ ниями главных кривизн и-внешней нормалью к основной поверх­ ности оболочки. Совместим основную поверхность а 3 = 0 с внут­ ренней поверхностью оболочки.

Для получения уравнений неклассической теории трехмерную систему (1.7), (1.10), (1.13), (1.14) необходимо привести к двумер­ ной. Для этого представим перемещения Ut(а ,,а 2,а 3,0 в виде раз­ ложений:

^ ( a i , a 2 , a j , 0 = M , V i , a 2>/ ) + ! / | ( a | , a 2>O a 3 +

N

+ 2 X ( a „ a 2,/)<pll(<x3), ( 1 о 2 ) ,

я=2

26

U3(a xia 2, a 2,t) = ul2(ax,a 2,t) + u23(al,a 2>t)a3 +

N
+ I X ( a l . a 2 ,0 4 > ;,(c t3).	(1 .16)
11=3
Л и н ей н ы е с о с тав л я ю щ и е деф орм аци и оболочки	как трех­

мерного тел а и повороты элем ента тела относительно координат­

ных линий а , ( / = 1,3) (1 .4 )-( 1.6) с учетом разложений (1.16) запи­ шутся в виде:

Ун = — (би+сх,®,,+ае"), (1в 2),

z i

Тзэ

= * з з + ®

и .

1

,

„

.

1

,

У\2 = —

(е,2

+

« 3 ® |2

+ a e i2) +

—

(«21 + « 3 * 2 |+ ® 2 |) >

г,

г2

У1з

=

(^13 “l"^1з)~*”®1з "I”®13»

0 ^

2),

(1.17)

Z \

2ш ,

=

(е 23 ■^е 2з)*~®23 —^23»

Z 2

2 о 2 = -

—

( е 13+ 8 ;'з ) + ае|3 + а е ; ',

г \

2©, = — (812 + а 3ае,2 +®"2) - — (е2| + а 3аг21 +ае2|),

Z\

z 2

где

е

1

ди0

+

дЛ,

+

к.и->,

О

< -> 2 ),

Ах За,

АХА2 да 2

1

ди\

и\

дАх

U < - > 2 ) ,

А,

За,

+ — =— г—~

АхА2 да 2

27

e ”, =	-	}	f	( « , ) ) + Е К Ф „ ( « з ) ) - т 1 Г | ^					+
	4 (,Й5а,				)	t i		Л,Л2 д а 2
		+ к , ^ и ; < р '„ ( а } ) ,						(1 <-> 2 ) ,
			1	9 MJ		ц |		м ^ 2 )
	6,2	-	4 " г а ,		4	^	а а	, ’
			1	awj		и!	дл,
	12		А, да|					( 1 < + 2 ) ,
					Л,Л2 да 2
							N		( 1. 18)
	3=33		= и 1		*з"з =		1 »	« ' ( а з)>

;= 4 А ,{№£ }д	?а, ф			- т г №		“-Ч (аз)]/д а^, 0 ° 2)’
		”(аз)]J		А,АЛ1\«=2£
„		1 f S H 32		а д и ;			, , ч
*13 = - 7 т			-	“ з + £	—	,	фп(« з )
		л , ^ 5 а ,		S	^ a
- А , " ! а з + £ м " ф „ ( а з ) ,							(1 <-> 2 ) ,
®п = «!.		О <-> 2),		ае"3 = ^<ф'„(а3), 0 <-» 2),
					я=2
		г , = 1	+	А :,аз,	( 1 < - » 2 ) ;
A l i A 1, k \ y k1 -	параметры Ламе и главные кривизны внутренней
поверхности оболочки.

28

В общем случае компоненты тензора конечных деформаций Грина etJвыражаются через введенные величины в виде (1.7). Од­ нако построение разрешающей системы уравнений с использова­ нием самых общих зависимостей вида (1.7) без каких-либо ог­ раничений приводит, как правило, к неоправданному ее услож­ нению.

Кроме того, следует отметить, что задачи, рассматриваемые в геометрически нелинейной постановке, можно разделить на две основные группы. К первой группе следует отнести задачи, в которых геометрическая нелинейность обусловлена характером работы конструкции. Здесь имеется в виду, например, расчеттранс­ формируемых конструкций, определение упругих характеристик чувствительных элементов измерительных устройств, а также анализ процессов формообразования, штамповки и отбортовки оболочек сложной формы из заготовок простой формы. В задачах второй группы рассматривается анализ напряженно-деформи­ рованного состояния несущих элементов конструкций, обладаю­ щих, как правило, не только достаточной прочностью, но и высокой жесткостью. Последнее исключает появление больших деформа­ ций, но не избавляет от необходимости привлечения нелинейных геометрических соотношений, которые, являясь более сложными, чем линейные, позволяют рассматривать задачи устойчивости и несущей способности элементов конструкций, выполненных как из традиционных, так и композиционных материалов. Отмеченные особенности задач второй группы позволяют ввести ряд сущест­ венных упрощений в исходные нелинейные геометрические со­ отношения. При построении приближенной нелинейной теории оболочек будем оценивать порядки удлинений, сдвигов и вращений поверхности следующим образом:

У » ~ е2. Уи ~ е2> < ° / ~ е ('>./ = 1.3), б « 1 -

(Ы 9)

Предположения (1.19) обеспечивают малость мембранных де­

формаций основной поверхности и одинаковый порядок малости

29

поворотов элемента оболочки относительно нормали а 3 и коор­ динатных линий а, (/ = 1,2). Кроме того, в силу (1.19), удлинения и сдвиги являются величинами более высокого порядка, чем соста­ вляющие вектора вращения. В приближении (1.19) для деформаций (1.7) получаются следующие зависимости:

е\\ = Уц	+ ®з]>	е22 = У22		+© з]»
«зз = Гзз + ^ К + < » 2 ].			«12 =y,2 - ffli®2.		(1.20)
^.3=Yi3-®i©3»		^гз	= Угз “ ^г^з*

В дополнение к оценкам (1.19) заметим, что в силу высокой мембранной жесткости оболочки естественно считать угол пово­ рота относительно нормали 0)3 к основной поверхности величиной одного порядка малости с удлинениями и сдвигами. Кроме того, в теории оболочек трансверсальные деформации играют второсте­ пенную роль и для них целесообразно в ряде случаев сохранить формулы, соответствующие линейному приближению. С учетом сделанных замечаний из (1.7) и (1.20) следуют соотношения про­ стейшего квадратичного варианта геометрически нелинейной тео­ рии оболочек:

« н = Г и + | ® 2 .

«33=УэЗ> е|2= У |2 -® 1® 2 . «13 = У|3> «23 = У23 * (I-21)

Однако следует заметить [260], что приближенные нелинейные геометрические зависимости (1.21) и их линейный аналог (1.17) приводят к появлению ложных деформаций различных порядков малости при движении оболочки как твердого тела. Тогда как пол­ ный нелинейный вариант геометрических зависимостей (1.7) и приближенные соотношения (1.20), учитывающие повороты эле­

30