книги / Статистический анализ данных в геологии. Кн. 2

Рис. 5.52. Вид разреза, иа котором представлены контрольные точки (сква­ жины) с известными отметками поверхности (кровли формации).

Оценки в узле сети (стрелка) сделаны в результате горизонтального проекти­ рования и последующего усреднения

щади на поверхности будут содержать контрольные точки и. большинство узлов сети интерполяции будет лежать в проме­

жуточных значениях, так как среднее не может		лежать вне
области	влияния значений, по которым оно было вычислено.
В узлах	сети, расположенных вне большинства	известных то­

чек, оценки получаются экстраполяцией и будут близкими по величине к значениям в ближайших контрольных точках.

На рис. 5.53, а изображена серия наблюдений, причем кажкая точка охарактеризована значениями координат Х{ н X2t а также значением высоты над уровнем моря, которое приве­ дено справа от каждой точки.

Набор точек можно перенумеровать, т. е. приписать каж­ дой точке номер i. Следовательно, в новых обозначениях точка с номером i будет обладать координатами Хи и Х21, а также абсолютной отметкой К/. На рис. 5.53, б приведена выбранная правильная сеть точек, по которой будут строиться изолинии. Каждой из этих точек можно приписать соответствующий но­ мер k. Таким образом, точка этой сети с номером k будет об­ ладать координатами Х\*, Х 2к и вычисленным значением

Yh. Нам нужно вычислить оценку ?к по п ближайшим к ней исходным точкам наблюдения. Следовательно, сначала нужно найти эти п ближайших точек и подсчитать соответствующие им расстояния от точки с номером k заданной сети. Процедура поиска может быть простой или сложной; позже мы рассмот­ рим различные методы. Теперь мы предположим, что с помо­ щью некоторого метода мы определим п ближайших точек к заданной точке с номером k. Согласно теореме Пифагора рас­ стояние А й от точки с номером i до точки с номером k будет равно

92

а			б
•	6	• 5
	• 6
• 7	• 7	•	6
•	8		* 5
	. 6
	• 7
___ ^	и'и >	>
х,	О 5	10

Рис. 5.63. Последовательность вычислений для построения изолиний при на­ хождении значений в узлах сети:

а — исходный набор неравномерно расположенных контрольных точек на кар­ те; числа указывают абсолютные отметки; б — равномерная сеть, в узлах кото­ рой вычисляются значения; в — расположение четырех ближайших контроль­

ных точек по отношению к узлу равномерной сети; эти четыре ближайших значения используются для вычисления значения в данном узле; г — оконча­

тельный результат вычисления отметок в каждом узле равномерной сети

D ik = V (Xik - Х иу + (Х2к ~ X 2if .

(5.66)

Вычислив расстояние Ад для всех п ближайших точек, можно

подсчитать значение Yk по следующей формуле:

П

------------ •

(5.67)

£ ( 1 / а д

<=1

93

Процесс этих вычислений можно показать на примере дан­ ных, приведенных на рис. 5.53, в. Мы произвольно выберем че­

тыре ближайшие точки (т. е. п = 4) и			подсчитаем У*. На
рис. 5.53, в числа		1, 2, 3, 4 являются номерами		точек. Тогда
D lk -	V (2,0	— 1,5)2 -г (3,0 - 3 ,6 ) 2 =	/ О Ж	-	0,78;
В 2к =	У (2,0	— 3,0)2 -Г (3 ,0 - 3 ,0)2 =	VT00 =		1,00;
D3k =	К(2,0 - 2,0)2 + (3 ,0 - 2 ,4 ) 2 =		К р б	=	0,60;

Dik = V (2,0 -		1.0)2 +		(3,0 - 2 , 9)2 =				К Ш	= 1,00.
Используя полученные				расстояния,			можно		вычислить	Yk.
Числитель выражения (5.67) будет равен
6,0	,	6,0	,	/,0	,	7,0		пп о с
оЖ ~ Т Ж			^ "оЖ + Т Ж - а^ аь-
Соответственно	знаменатель определяется как сумма
1		1		0,60		1	1	== 4,95,
0,78		1,00					1,00
так что
		Ук~—		32,36	6,54.
				4,96
Точно так же можно выполнить						эту процедуру и для				ос­
тальных точек заданной			сети, которая				со	всеми	вычисленными

значениями У* приведена на рис. 5.53, г.

Этот тип алгоритма иногда называют «скользящим сред­ ним», так как каждый узел сети оценивается как среднее зна­ чение в контрольных точках внутри окрестности, т. е. оценка движется от узла сети к другому узлу. Такие алгоритмы могут рассматриваться как специальные случаи более общего множе­ ства процедур, которые содержат подбор плоскостей или ис­ кривленных поверхностей к контрольным точкам в пределах некоторой окрестности. Сначала находятся все контрольные точки вокруг оцениваемого узла сети, расположенные внутри заданной окрестности. Мы можем затем вообразить, что зна­

чения в этих точках приближенно	определяют	наклонную
плоскость. Эта плоскость может быть	охарактеризована		как
поверхность линейного тренда, коэффициенты уравнения			ко­
торого могут быть найдены методом	наименьших	квадратов.

Коэффициенты плоскости вычисляются в точности так же, как и коэффициенты поверхности тренда, только, конечно, по точ­ кам внутри используемой окрестности.

После того как найдено уравнение плоскости, в него под­ ставляются значения координат Х\н и Х2к, соответствующие

узлу сети. Это даст значение У*, которое является оценкой по-

94

Рис. 5.54. Вид разреза, иа котором представлены контрольные точки (сква­ жины) с известными отметками поверхности (кровли формации).

Оценки в узле сети (стрелка) сделаны путем подбора линейной функции (пло­ скости) А —А ' к известным значениям и последующего вычисления ее значений

всрхности для этого узла сети. Процесс подбора плоскости и получения с помощью ее уравнения оценок поверхности повто­ ряется для каждого узла сети. Эта плоскость задает общий наклон поверхности в окрестности узла сети. Действительно, значения поверхности в контрольных точках внутри окрестнос­ ти проектируются параллельно этой наклонной плоскости, за­ тем усредняются в узле сети (рис. 5.54). Если подбираемая плоскость не наклонная, а совершенно горизонтальная, то оценка, полученная этим методом, будет такой же, что и оцен­ ки, полученная методом скользящего среднего.

Процедуры построения сетей, основанные на таком	подбо­
ре плоскостей, иногда называются кусочно-линейными,	осно­

ванными на методе наименьших квадратов. Ее разновидность,, называемая кусочно-квадратичной, основанной на методе наименьших квадратов, отличается лишь тем, что подбираемая поверхность квадратичная, а не плоскость. Квадратичная, или тренд-поверхность второй степени имеет форму соляного купо­ ла, бассейна или седла и определяется уравнением, содержа­ щим квадраты переменных Х} и Х2 и их попарные произведе­ ния.

Так как эти алгоритмы используют наклон плоскости в не­ которой окрестности, то они работают лучше, чем простые ме­ тоды скользящего среднего, основанные на использовании ме­ тодов интерполяции между контрольными точками. В точках пеги получаются значения, которые могут быть либо больше, либо меньше, чем значения в контрольных точках. Однако вне этих зон контроля экстраполяция может дать экстремальные-

95>

значения, которые ничем не оправданы. Это случается потому, что любые наклоны, которые существуют вблизи полей конт­ ролируемой части карты, продолжаются неограниченно за пре­ делы данных. Использование квадратичной поверхности в этом случае нецелесообразно.

Несколько более сложный алгоритм позволяет вычислить локальный наклон или угол падения картируемой поверхности в каждой контрольной точке. С помощью линейного метода на­ именьших квадратов к контрольным точкам вокруг узлов сети подбирается плоскость, т. е. определяются коэффициенты урав­ нения плоскости, которая проходит через точки поверхности в окружающих контрольных точках настолько близко, насколько это возможно.

Алгоритм осуществляется в два шага. На первом шаге определяется окрестность вокруг каждой контрольной точки и находятся все точки внутри этой окрестности. Затем к извест­ ным значениям поверхности в этих точках методом наимень­ ших квадратов подбирается плоскость. Однако плоскость под­ чинена ограничению: она обязана проходить в точности через

значения в центральной	контрольной	точке.	Коэффициенты
этой плоскости, которые	определяют	наклон	поверхности в

центральной точке, вдоль нее сохраняются вместе со значением в этой точке.

На втором шаге определяется окрестность вокруг каждого оцениваемого узла сети. Находятся контрольные точки внутри этой окрестности и вычисляются уравнения плоскостей в каж­ дой из контрольных точек для этого положения узла сети. Различные оценки из этих плоскостей затем взвешиваются и комбинируются. Действительно, наклоны поверхности в конт­ рольных точках проектируются на узел сети и затем усредня­ ются (рис. 5.55).

Различные варианты этого алгоритма, иногда называемого «линейным проектированием», наиболее популярны из исполь. зуемых в пакетах алгоритмов, предназначенных для коммер­ ческого построения карт в изолиниях. В некоторых пакетах со­ держатся модификации этой процедуры, в которых к конт­ рольным точкам подбираются не плоские, а квадратичные по­ верхности. Эти алгоритмы особенно эффективны в пределах площадей, которые плотно заполнены равномерно заданными в пространстве точками. Подобно кусочно-линейным методам наименьших квадратов, они имеют неприятное свойство давать оценки узлов сети вне географических пределов данных.

Контрольные точки, используемые в оценке узла сети, не­ зависимо от того, проектируются они или нет, обычно явля­ ются взвешенными. Веса изменяются в соответствии с расстоя­ ниями между оцениваемыми узлами сети и контрольными точ­ ками. На рис. 5.56 представлено несколько часто используемых

96

а

6

Рис. 5.55. Интерполяция для равномерно расположенных точек сети с по­ мощью метода проектирования падения, который требует вычисления локаль­ ного падения в каждой данной точке (изображено в разрезе) [69]:

и — л ок ал ь н ое п а д е н и е				п о в ер хн ост и	в д а н н о й	точке	(ст р ел к а) н а х о д и т ся				с п о ­
м ощ ью	п о д б о р а п л оск ост и по б л и зл еж а щ и м точ к ам						м ето д о м		н аи м ен ь ш и х		к в а д ­
ратов;	п о д б и р а ем а я		п л оск ость д о л ж н а пройти			ч ер ез	д а н н у ю точку;			б — л ок а л ь ­
ное п а д ен и е стан ови тся ч асть ю дан н ы х д л я						к а ж д о й		к он тр ол ьн ой		точки;	в —
л ок ал ь н ое		п аден и е	в	к он трол ьн ы х	точ к ах	п р оек т и р ует ся			на	узл ы	сети
(ст р е л к а ).		З н ач ен и я ,		п ри п и сан н ы е	у зл а м , я вл яю тся			взвеш ен ны м и ср ед н и м и
				эт и х проекц и й

весовых функций. Большинство программ позволяет пользова­ телю выбрать требуемую среди этого множества функций.

Веса, приписанные контрольным точкам в соответствии с некоторыми функциями, подчиняются условию: их сумма долж­ на равняться единице. Поэтому весовые функции в действи­ тельности снабжаются пропорциональными весами и выража­

7—115

97

0,0	Расстояние		0.0
			Р асст ояние
Рис. 5.56. Примеры взвешивающих			функций от расстояния,	используемых
	в программах построения карт в изолиниях:
а — ф ун кц и и обр ат н ы х степ ен ей		р асстоя н и я ; б — ш к ал и р ов ан н ая		ф ун к ц и я о б ­
	р а т н о го	к в ад р ат а р асст оя н и я

ют относительное влияние на каждую контрольную точку. Широко используемая версия процесса взвешивания приводит к функции, точная форма которой зависит от расстояния от оцениваемой точки и от наиболее удаленной точки, используе­ мой в оценивании, или в одном из вариантов, от расстояния до внешних границ окрестности. Весовая функция обратных зна­ чений квадратов расстояний затем шкалируется, так что прини­ маемые ею значения на этом промежутке оказываются между нулем и единицей. Этот процесс можно записать единственным уравнением

(5.68)

Подобно другим весовым функциям, сумма весов полагается равной 1,0.

Наиболее очевидные отличия между различными програм­ мами построения карт в изолиниях заключаются в прменяемом методе поиска. Они основаны на алгоритмах, используемых для выбора данных точек внутри локальной окрестности во­ круг оцениваемой точки сети. Простейший метод выбора носит

название поиска ближайшего соседа (рис.	5.57, а).	Он основан
на локализации некоторого определенного	числа	контрольных

точек или скважин, которые находятся на ближайшем расстоя­ нии от оцениваемого узла сети. Множество возможных бли­ жайших контрольных точек выбирается из полного набора данных сортировкой координат Xt и Х2 этих точек. Затем вы­ числяются евклидовы расстояния от оцениваемого узла до каждой из этих точек и находится заданное число ближайших точек.

Возражение против простого метода поиска ближайшего соседа состоит в том, что при этом может случиться, что все близкие точки лежат в узкой полосе по одну сторону оцени­ ваемого узла сети. Окончательная оценка в сущности неограни-

98

Рис. 5.57. (а) Метод поиска, локализую­ щий п ближайших соседей вокруг оце­

ниваемого узла сети.		На	радиальное
распределение контрольных точек не на­
кладывается	никаких	ограничений,
(б) Схема поиска по квадратам, исполь­
зуемая для установления истинного рас­
пределения	контрольных точек вокруг
оцениваемых узлов сети,		(в)	Октантиый
вариант схемы поиска вокруг оценивае­
ф	мых узлов сети
ф

чена, исключая одно направление. Оно оказывается выброшен­ ным из-за некоторого ограничения поиска, обеспечивающего равномерное распределение контрольных точек вокруг оцени­ ваемой точки. На рис. 5.57, в проиллюстрирован один способ ограничения, называемый квадрантным поиском. Из каждого из четырех квадрантов вокруг оцениваемого узла сети должно быть извлечено некоторое минимальное число контрольных точек. Усложнение квадрантного поиска — это октантный поиск (см, рис. 5.57, в), который требует введения нового ограниче­ ния на радиальное распределение точек, используемых в урав­ нении оценки. Заданное число контрольных точек должно быть

найдено в каждом из	октантов, окружающих	оцениваемый
узел сети. Этот метод	поиска — один из наиболее изящных в
настоящее время, на нем часто основываются		коммерческие
программы.		ближайших
Любые ограничения на форму области поиска

контрольных точек, например, таких, как квадрант или октант, очевидно, приводят к уменьшению окрестности вокруг оцени­ ваемого узла сети. Вот почему некоторые близлежащие конт­ рольные точки могут перейти в разряд более удаленных точек з связи с необходимостью удовлетворения требования того, что только некоторые из них могут быть взяты из единичного объема. К сожалению, автокорреляция типичной геологической поверхности уменьшается с увеличением расстояния, так что

99

эти более удаленные контрольные точки	менее тесно	связаны
с оцениваемой точкой. Это означает, что	оценивание	будет

хуже, чем при использовании простой процедуры поиска бли­ жайшего соседа.

При использовании программы проведения изолиний весьма важно, насколько хорошо результаты согласуются с данными, т. е. насколько хорошо математическая модель согласуется с контрольными точками, которые были использованы при ее построении. Так как изолинии были проведены на основании соотношений между узлами сети, а не на самих контрольных точках, то правильный способ построения изолинии состоит в использовании значений сети, а неправильный — в использова­ нии данных в исходных точках. Это особенно важно, если сеть относительно груба. Обычно ошибки очень малы и легко обна­ руживаются на тех площадях, где поверхность круто изменя­ ется, так что изолинии расположены тесно. Однако на площа­ дях с очень плавным наклоном малое различие между значе­ ниями в узле сети и контрольной точке может быть достаточно

для смещения		какой-либо изолинии на	некоторое	расстояние
из точки,	с которой она по предположению должна			согласо­
вываться.	Это	сразу бросается в глаза	на примере	изолинии,

проходящей через контрольную точку не с той стороны. Тако­ го, конечно, не случается в методе треугольников, так как мо­ дель поверхности образуется с помощью самих контрольных точек. Вид изолиний не является надежным критерием того, насколько хорошо рассматриваемая математическая модель представляет исходные контрольные точки. Не существует фор­ мальной статистической теории, которая позволяет на чисто теоретическом уровне определить, какая процедура проведения изолиний лучше. В любой конкретной ситуации реализация конкретного алгоритма зависит от сложности картируемой по­ верхности, плотности и размещения контрольных точек, разме­ ра сети и, конечно, от самого алгоритма. Эмпирические кри­ терии качества различных сетевых алгоритмов, использующих типичные подповерхностные данные, были опубликованы Дэ­ висом в 1976 г. [22].

Однако представление известных данных настолько точно, насколько это возможно, но основная цель большинства задач картирования в изолиниях. Скорее всего, задача состоит в по­ лучении оценки (с наименьшими возможными ошибками) зна­ чений поверхности в точках, в которых измерения еще не были проведены. Возможность с помощью различных алгоритмов по­ лучить точные оценки в недоступных контролю точках была проверена эмпирическими критериями для данных, в которых небольшая доля доступных точек была опущена до начала картирования. Затем сравнивались истинные значения и полу­ ченные теоретически с помощью программы картирования. За-

100

1 0 0 '

Рис. 5.58. Карта в изолиниях, построенная по топографическим данным с по­ мощью программы, использующей равномерную сеть.

Изолинии проведены через 25 футов (7,5 м)

тем пропущенные точки были возвращены в множество дан­ ных, снова были выброшены другие точки, и процесс продол­ жался снова и снова [22].

Разочаровывающий (хотя п не удивительный) вывод состо­ ит в том, что различные объективные данные, которые исполь­ зовались для построения изолиний, не являются взаимозаме­ няемыми. Для того, чтобы успешно воспроизвести и учесть ис­ ходные контрольные точки с помощью алгоритма сетевого ти­ па, необходимо использовать весовую функцию, очень быстро убывающую с расстоянием и вычисленную на основе использо­ вания небольшой доли ближайших соседей. Такой алгоритм обеспечивает плохое предсказание или оценку в точках, в ко­ торых никакой контроль невозможен. Для получения нанлучшего предсказания поверхности в неопробованных точках, в каждом вычислении нужно использовать много контрольных точек узлов сети и придать большие веса удаленным точкам. К сожалению, полученная таким образом гладкая обобщенная поверхность довольно плохо согласуется с исходными конт­ рольными точками. В некоторых программах построения изоли­ ний делается попытка преодолеть этот тупик в два этапа. На первом этапе по некоторой схеме строится сеть, предназначен-

mi