книги / Статистический анализ данных в геологии. Кн. 2

Рис. 5.21.		И сп о л ь зо в а н и е дли н ы	вектора R	д л я в ы р а ж е н и я ди с п ер си и			н е к о т о ­
		р о го н а б о р а еди ни чн ы х векторов:
и — три	в ектора, р а с п о л о ж е н н ы х		в у зк о м	пучке	в ок р уг о б щ е г о направлен и я;
вектор	R	о т н о с и т ел ь н о дли н ны й,	бл изкий к	чи слу	я;	Г> — три ш и р о к о	р а с с е я н ­
		ных вектора; R и м еет лиги'', м е н ь ш ую				еди ни ц ы

Р и с . 5.22.	М н о ж е с т в а	еди ни чн ы х	векторов, и л л ю ст р и р у ю щ и е зн ачен ие, п о л у ­
чаемоепри	р а зл и ч н ом	р а с п о л о ж е н и и векторов во всех п р и м ер ах,		с р е д н е е н а ­
		п р авл ен и е — 52е:
а — R — 0,9 9 7 ; б — 7?= 0 ,90; ц — 7? =			0 ,7 5 ; г — 7?= --0,55; <9 — £ = 0 ,4 0 ;	С — Ж = 0 ,1 0

тора и изменяется от пуля до единицы. Эта мера аналогична дисперсии, но в некотором смысле противоположна ей. Боль­ шие значения В указывают па то, что наблюденные векторы находятся в узком пучке с малой дисперсией, а значения В, близкие к нулю, указывают на большой разброс векторов. На

42

2 2 5 °Х 2 =

4 5 °Х 2 = 90Э

рис. 5.22 представлены множества векторов, имеющих различ­ ные значения R. Для того, чтобы иметь меру дисперсии, кото­ рая увеличивается с увеличением рассеяния, R иногда заменя­ ют на его дополнение, называемое циклической дисперсией:

s0* = l — R= (n — R)/n.

(5.44)

Можно вычислить и другие направленные статистики, вклю­ чая циклические аналоги стандартного отклонения, моды, ме­ дианы. Их определения приведены в удобной таблице Гейлом

и Бертом [28J .

Ориентация данных может быть изменена до вычисления средних направлений или мер рассеяния. Так как ориентация может иметь одно из двух противоположных значений, то во избежание ошибок в определении дисперсии необходимо при­ нять некоторые соглашения. На примере ориентации речной гальки Крамбейн [47] предлагает новое решение этой задачи. Если все измеренные углы удвоить, будет записан тот же угол, независимо от того, какая ориентация была использована. Б качестве примера рассмотрим шарнир складки, которая про­ стирается с северо-востока на юго-запад. Его ориентация будет одинаковой независимо от того, задать ли угол равным 45° или 225°. Если удвоить углы, мы получим и = 450°, что составляет 450°—360°= 90°.

Среднее направление, длина среднего результирующего век­ тора и циклическая дисперсия могут быть найдены обычным образом после того, как ориентированные углы были удвоены. Для нахождения и с т и н н о й средней ориентации разделим вы­ численный угол среднего направления на два. Это проиллюст­ рировано на рис. 5.23.

Проверка гипотез о циклически распределенных данных

Для проверки статистических гипотез о циклически распре­ деленных данных мы должны иметь некоторую вероятностную модель, соответствующую изучаемому параметру. Существуют циклические аналоги одномерных распределений, которые мы обсудили в гл. 2, однако наиболее полезно из них распределе­ ние фон Мпзеса. Это — циклический эквивалент нормального распределения, также обладающий двумя параметрами: сред­

ним направлением 0 н параметром концентрации к. Распреде­ ление фон Мнзеса унимодально н симметрично относительно среднего направления. По мере увеличения параметра концент­ рации вероятность получения направленного измерения, очень близкого к среднему направлению, увеличивается. Если к рав­ но нулю, все направления равновероятны и распределение ста­ новится циклическим равномерным. На рис. 5.24, а представле­ на форма распределения фон Мпзеса для некоторых значений

43

Р ис.

5.23. У д воен и е у г л а

с ц ел ь ю вычисления

с р ед н ей

ориентации:

а —

о р и ен т ац и я

и зм ерен и й,

п р ед с т а в л ен н ы х

как

в екторн ы е

направлен и я;

р е ­

зул ь т ан т R

с р е д н е г о н ап р ав л ен и я

равен 285° и

б л и зо к

к н у л е в о м у

п о д л и н е

(/? = 0 ,0 8 );

б —

ор и ен тац и я

и зм ер ен и й , п р ед с т а в л ен н ы х

как

векторы

н а п р а в л е ­

ний

п осл е

у д в о е н и я

углов .

Р а с п р е д е л е н и е

б о л е е

не

я вл яется

б и м од ал ь н ы м ;

вектор R о т р а ж а е т правильны й

т р е н д у д в о е н н ы х

у гл о в

и б л и зо к к ед и н и ц е

п о

д л и н е (с р е д н е е

н а п р а в л е н и е —

120°; У ? = 0 ,9 7 ); в —

о р и ен т ац и и

вновь

н ан есен ы

как

и сход н ы е углы

и истинное

н ап р ав л ен и е

вектора

R

(81°) н а х о д и т с я д е л е ­

нием

п оп ол ам

н ап равлен и я R

в

«б»

к. Это распределение может быть также представлено в ус­ ловной форме (рис. 5.24,6).

Прямое определение параметру концентрации затруднитель­ но, но его можно оценить через R, если допустить, что данные

являются выборкой	из	совокупности,	имеющей	распределение
фон Мизеса. В табл.		5.6 приведены	оценки	максимального
правдоподобия _для	параметра к, соответствующие				некоторому
вычисленному R. В некоторых приводимых ниже					статистичес­
ких критериях мы	будем использовать эти оценки параметра
к.

Критерий проверки случайности. Простейшая гипотеза, ко­ торую можно проверить статистическими методами, это гипоте­ за о случайности направленных наблюдений. Это эквивалент­ но утверждению о том, что нет предпочтительных направлений

44

о

б

Рис. 5.24. Распределения фон Мизеса, имеющие различные параметры концент­ рации [33]:

а — расп р едел ен и е,	п р едс тав л ен н ое в п ол я р н ой ф ор м е; б — р асп р еде л ен и е,
п р с д е т а з л е н н о е как	усл о в н о е . И н т ер в а л и зм ер ен и я со о т в ет с т в у ет п олн ой
	о к р у ж н о с т и

						Т а б л и ц а 5.
	О ц ен к а м а к с и м у м а	п р а в д о п о д о б и я п а р а м е т р а			к он ц ен трац и и
	к д л я вы численны х		значений Я	[5,	33]
R	К		К		Л		К
0 , 0 0	0 . 0 0 0 0 0	0 ,3 4	0 ,7 2 5 5 6		0 ,6 8	I ,89 6 3 7
0 ,0 1	0 ,0 2 0 0 0	0 , 3 3	0 .7 4 7 8 3		0 , 6 9	1 ,9 5 3 5 7
0 , 0 2	0 ,0 4 0 0 1	0 , 3 6	0,7 7 2 4 1		0 , 7 0	2 ,0 1 3 6 3
0 , 0 3	0 ,0 6 0 0 3	0 ,3 7	0 ,7 9 7 3 0		0 ,7 1	2 . 0 / 6 8 5
0 , 0 4	0 , 0 8 0 0 6	0 , 3 8	0 . 8 2 2 5 3		0 . 7 2	2 ,1 4 3 3 9
0 . 0 5	0 , 1 0 0 1 3	0 , 3 9	0 ,8 4 8 1 2		0 , 7 3	2 ,2 1 4 2 5
0 ,0 6	0 ,1 2 0 2 2	0 , 4 0	0 ,8 7 4 0 8	1	0 ,7 4	2 ,2 8 9 3 0
0 , 0 7	0 ,1 4 0 3 4	0 ,4 1	0 ,9 0 0 4 3	I	0 ,7 5	2 ,3 6 9 3 0
0 , 0 8	0 ,1 6 0 5 1	0 , 4 2	0 ,9 2 7 2 0	j	0 ,7 6	2 . 4 5 4 9 0
0 , 0 9	0 ,1 8 0 7 3	0 , 4 3	0 ,9 5 4 4 0		0 , 7 7	2 , Г 1686
0 , 1 0	0 ,2 0 1 0 1	0 , 4 4	0 ,9 8 2 0 7		0 ,7 8	2 . 5 4 6 1 8
0 ,1 1	0 ,2 2 1 3 4	0 , 4 5	1 ,0 1 0 2 2		0 ,7 9	2 . тг-Зр 2
0 , 1 2	0 . 2 4 1 7 5	0 , 4 6	1 ,0 3 8 8 9		0 , 8 0	2	7 929
0 ,1 3	0 ,2 6 2 2 3	0 , 4 7	1 ,0 6 8 1 0		0 ,8 1	3 ,0 0 0 2 0
0 ,1 4	0 ,2 8 2 7 9	0 , 4 8	1 ,0 9 7 8 8		0 , 8 2	3 ,1 4 2 6 2
0 , 1 5	0 ,3 0 3 4 4	0 , 4 9	1 ,1 2 8 2 8		0 , 8 3	3 ,3 0 1 1 4
0 , 1 6	0 ,3 2 4 1 9	0 , 5 0	1,1 5 9 3 2		0 ,8 4	3,4 7 9 0 1
0 , 1 7	0 ,3 4 5 0 3	0 ,5 1	1 ,1 9 1 0 5		0 , 8 5	3,680-11
0 , 1 8	0 ,3 6 5 9 9	0 , 5 2	! ,2 2 3 5 0		0 , 8 6	3 ,9 1 0 7 2
0 , 1 9	0 . 3 8 7 0 7	0 , 5 3	1,2 5 6 7 2		0 , 8 7	4 ,1 7 7 0 3
0 , 2 0	0 ,4 0 8 2 8	0 ,5 4	1 ,2 9 0 7 7		0,8.8	4 ,4 8 8 7 6
0 ,2 1	0 ,4 2 6 9 2	0 , 5 5	1 ,3 2 5 7 0		0 , 8 9	4,85871
0 , 2 2	0 ,4 5 1 1 0	0 , 5 6	1 ,3 6 1 5 6		0 , 9 0	.‘ ,3 0 4 7
0 , 2 3	0 ,4 7 2 7 3	0 , 5 7	1,3 9 8 4 2		0 ,9 1	5 . 8 5 2 2
0 ,2 4	0 ,4 9 4 5 3	0 , 5 8	1 ,4 3 6 3 5		0 ,9 2	6 ,5 3 9 4
0 , 2 5	0 ,5 1 6 4 9	0 , 5 9	1 ,4 7 3 4 3		0 , 9 3	7 ,4 2 5 7
0 , 2 6	0 ,5 3 8 6 3	0 , 6 0	1 ,5 1 5 7 4		0 , 9 4	8 . 6 1 0 4
0 , 2 7	0 ,5 6 0 9 7	0 ,6 1	1 ,5 5 7 3 8		0 , 9 5	1 0 .2 7 1 6
0 , 2 8	0 ,5 8 3 5 0	0 , 6 2	1 ,6 0 0 4 4		0 , 9 6	12,7661
0 , 2 9	0 ,6 0 6 2 5	0 , 6 3	1 ,6 4 5 0 6		0 ,9 7	1 6 ,9 2 6 6
0 , 3 0	0 ,6 2 9 2 2	0 , 6 4	1 ,6 9 1 3 4		0 ,9 8	2 5 ,2 5 2 2
0 ,3 1	0 ,6 5 2 4 2	0 , 6 5	1 ,7 3 9 4 5		0 , 9 9	3 0 .2 4 2 1
0 , 3 2	0 ,6 7 5 8 7	0 , 6 6	1 ,7 8 9 5 3		1 ,0 0
0 , 3 3	0 , 6 9 9 5 8	0 , 6 7	1 ,8 4 1 7 7
или же	что вероятность	любого направления			одинакова.		Если

предположить, что наблюдения представляют выборку in со­ вокупности с распределением фон Мнзеса, то соответствующая гипотеза эквивалентна утверждению, что параметр концентра­ ции к равен нулю, так как при /с = 0 распределение циклически равномерно. Иными словами, нулевая гипотеза и альтернатива таковы: Н0 : л = 0, Hi : к > 0.

Критерий крайне прост и требует лишь вычисления значе­ ния R по формуле (5.43)._3атем эта статистика сравнивается с критическим значением Я для заданного уровня значимости. Если наблюдения извлечены из циклического равномерного

46

	Критическое значение R критерия Релся			Т а б л и ц а 5.7
	о наличии предпочтительного тренда [51]
..		УрО-ОРЬ ЗИП	а, %
Pill п	10	5	ДГ,	1
■
1	0 , 7 6 8	0 , 8 4 7	0 , 9 0 5	0 , 9 6 0
	0 , 6 7 7	0 , 7 5 4	0 , 8 1 6	0 , 8 7 9
0	0 , 6 1 8	0 , 6 9 0	0 , 7 5 3	0 ,825
	0 . 5 7 2	0 , 6 4 2	0 , 7 0 2	0 ,7 7 1
	0 ,535	0 ,602	0 , 6 6 0	0 , 7 2 5
9	0 , 5 0 4	0 . 5 6 9	0 . 6 2 4	0 , 6 8 7
10	0 , 4 7 8	0 , 5 4 0	0 , 5 9 1	0 , 6 5 5
11	0 , 4 5 6	0 , 5 1 6	0 , 5 6 7	0 , 6 2 7
12	0 . 4 3 7	0 ,4 9 4	0 , 5 4 4	0 , 6 0 2
13	0 , 4 2 0	0 , 4 7 5	0 , 5 2 4	0 , 5 8 0
	0 , 4 0 5	0 , 4 5 8	0 , 5 0 5	0 , 5 6 0
15	0 .3 9 1	0 . 4 4 3	0 , 4 8 9	0 , 5 4 2
1G	0 , 3 7 9	0 , 4 2 9	0 . 4 / 4	0 , 5 2 5
17	0 , 3 6 7	0 4 ’ 7	0 , 4 6 0	0 , 5 1 0
18	0 . 3 5 7	0 ,4 0 5	0 ,4 4 7	0 ,4 9 6
19	0 ,3 4 3	0 ,3 9 1	0 ,4 3 6	0 ,4 8 4
20	0 ,3 3 9	0 ,3 8 5	0 ,4 2 5	0 ,4 7 2
21	0 ,3 3 1	0 ,3 7 5	0 ,4 1 5	0 ,4 6 1
22	0 ,3 2 3	0 ,3 6 7	0 ,4 0 5	0 ,4 5 1
23	0 , 3 1 6	0 ,3 5 9	0 ,3 9 7	0 ,4 4 1
24	0 ,3 0 9	0 ,3 5 1	0 , 3 8 9	0 , 4 3 2
25	0 ,3 0 3	0 ,3 4 4	0 ,3 8 1	0 , 4 2 3
30	0 ,2 7 7	0 ,3 1 5	0 , 3 4 8	0 , 3 8 7
35	0 , 2 5 6	0 ,2 9 2	0 ,3 2 3	0 , 3 5 9
40	0 , 2 4 0	0 ,2 7 3	0 ,3 0 2	0 , 3 3 6
45	0 , 2 2 6	0 ,2 6 7	0 , 2 8 5	0 , 3 1 8
50	0 ,1 2 4	0 ,2 4 4	0 , 2 7 0	0 ,3 0 1

распределения, то можно ожидать, что R будет	мало (см.
рис. 5.22, е). Однако если вычисленная статистика	превышает
.•.оптическое значение, то нулевая гипотеза должна	быть откло-

: сна, и можно предположить, что наблюдения получены из co- г.'••дтнюстп, имеющей предпочтительную ориентацию. Этот кри­ терий был получен лордом Релеем в начале столетня; совре-

.■ч.‘и псе изложение соответствующих вопросов принадлежит

.. р.;иа [51]. В табл. 5.7 приведены кр,;гические значения R

.„дт различных объемов выборки п уровней значимости. Напомним, что критерий Релея основан на предположении,

ч;-; наблюденные векторы извлечены из совокупности с расп­ ределением фон Мизеса, т. е. совокупность векторов либо име­

ет равномерное распределение, если к = 0, либо	имеет	единст­
венную моду или предпочтительное направление.	Если	же в
дсм,. I опте.зьности векторы извлечены из бимодального		распре­
деления, такого, например, как изображено на	рис. 5.23, то
.дот крчтО’ШЙ дает ошибочные результаты.

Проверим, не имеют ли предпочтительного направления

штриховки ледника в Финляндии при уровне значимости 5%-
Так как имеется 50 наблюдений, то табл. 5.7 дает критическое
значение #5o;o.o5 = 0,244. Проверяемая	статистика — это просто
нормализованное значение В. Сумма	косинусов векторов равна

Х2 = —25,793 и сумма синусов	равна F2 = 31,637. Длина есть
R = |/( —25,793)2+	(31,637)2 = 40,819,

что, деленное на объем выборки, дает среднюю длину

# = 40,819/51=0,800.

Так как вычисленное значение В значительно превышает кри­ тическое, то мы отклоняем нулевую гипотезу о том, что пара­ метр концентрации равен нулю. Штриховки должны иметь предпочтительный тренд.

Критерий проверки специфического тренда. В некоторых случаях мы можем столкнуться с необходимостью проверить гипотезу о том, что наблюдения имеют некоторый специфиче­ ский тренд. Например, территория Финляндии, где проводились

измерения	направлений штриховки ледников,	расположена	в
пределах	обширной топографической депрессии,	вытянутой	с
северо-запада на юго-восток примерно на 105°.		Совпадает	ли

среднее направление движения льда, показываемое штрихов­ кой, с осевым направлением этой депрессии?

Точная проверка гипотезы о том, что выборка векторов бы­ ла извлечена из совокупности, имеющей некоторое заданное направление, требует использования обширных таблиц для оп­ ределения критических значений. Более простой метод состоит в определении доверительного угла вокруг среднего направле­ ния выборки и в проверке того, достаточен ли этот угол по ве­ личине для того, чтобы гипотетическое среднее вошло в него. Определение этого угла основано на стандартном отклонении оценки среднего направления 0, и потому для его вычисления используют полный объем выборки и ее дисперсию.

Прежде чем вычислять доверительный угол, применим кри­ терий Релея для подтверждения того, что статистически значи­ мое среднее направление существует. Затем, используя данные

табл. 5.6, вычислим среднюю длину вектора В	и оценим пара­
метр концентрации к. Приближенное значение		стандартного
отклонения среднего направления в радианах	есть se = l!~\'nRK.
Так как эта величина является мерой ожидаемого случай­
ного отклонения оценки среднего направления	от	выборки к

выборке, мы может использовать ее для определения вероят­ ностных пределов положения истинного среднего направления совокупности. Предполагая, что ошибки оценок нормально

распределены, заключаем, что интервал Q±Zase включает в се­

48

бя иотннное среднее направление совокупности в «% случаев. Например, если мы собрали наудачу 100 выборок одного объе­ ма из совокупности векторов и вычислили средние направления и 95%-ные доверительные интервалы вокруг каждого из них, то можно ожидать, что почти все интервалы, кроме пяти, бу­ дут содержать истинное среднее направление. Конечно, мы можем не знать, какие из пяти интервалов не будут охватывать среднее значение, но мы можем дать вероятностную характери­ стику этого события для каждого из них. Мы можем, напри­ мер, полагать, что интервал вокруг среднего значения выборки частного вида содержит истинное среднее направление. Вероят­ ность получить противоположный результат равна 5%.

Мы уже применили критерий Релея и отклонили гипотезу о том, что не имеется никакого тренда в наблюдениях штриховки ледника. Приближенное значение стандартного отклонения среднего направления в радианах теперь можно найти по фор­ муле

1

! . Т - 0 , 8 0 0 4 - 2 ,8 7 1 2 9	10,826	0,0924 (или 3,14°).
Поэтому вероятность того,	что интервал 129,2°± 1,96-3,14° со­

держит среднее направление совокупности, равна 95%. Други­

ми словами, 126,1 ° ^ 0 ^ 132,3°. Так как этот интервал не вклю­ чает направление вытягивания в линию топографической деп­ рессии, мы должны заключить, что он не совпадает со средним

направлением штриховки.
Критерий соответствия. Простая непараметрическая альтер­
натива к критерию Релея	проверки равномерности состоит в
подразделении единичной	окружности на подходящее	число
угловых сегментов. Если	эти сегменты одинаковы по размеру
и наблюденные векторы	распределены случайно, то	следует

ожидать, что в каждом сегменте число векторов примерно оди­ наково. Число действительно наблюденных векторов сравнива­ ется с ожидаемым с помощью критерия %2. Ожидаемая часто­

та	в каждом сегменте должна быть, самое меньшее,			равна 5,
п	они должны быть расположены между п) 15 и nj5		сегмента­
ми. Критерии у2 вычисляется обычным образом		с	помощью
уравнения (2.45) и имеет к—1 степеней свободы, где				к —чис­
ло сегментов.		для		проверки
	Та же процедура может быть использована

соответствия наблюденных векторов другим теоретическим мо­ делям, таким, как распределение фон Мизеса с заданным па­ раметром концентрации к, большим нуля и заданным средним

направлением 0. Вычисление ожидаемых частот однако может оказаться непростым. Примеры приводятся в работах [33] и

4 -1 1 5

49

Проверка равенства двух множеств направленных векторов. Иногда бывает необходимо проверить гипотезы об эквивалент­

ности двух выборок или наборов	на!фавленных	измерена:,.
Предположим, что мы имеем наборы направленных		палеоизме-
ренпн в двух стратиграфических	единицах. Задача	состоит в

гом, чтобы сравнить их средние направления для определения того, не являются ли они одинаковыми. Мы хотим знать, нс совпадают ли ориентации лпиеаментов, изображений, видимых со спутников, с ориентациями складок, существование которых установлено по фотографиям соответствующих площаде...

В несколько меньшем масштабе мы можем сравнить направле­ ние удлиненных зерен в тонких сечениях двух образцов керна песчаника из нефтяного месторождения.

Совпадение двух средних направлений может быть установ­ лено с помощью сравнения двух векторов, полученных по двум группам, с вектором, полученным при объединении двух мно­ жеств измерений. Если две выборки действительно извлечены из одной и той же совокупности, вектор объединенных выборок должен быть приблизительно равным сумме двух векторов. Если средние направления двух выборок значимо различаются, то объединенный вектор будет короче, чем сумма.

Если к — некоторое	большое	(>Ю)		значение, можно		вы­
числить значение /•’-критерия:
F 1,П—2	(и — -) (R1		— Rp)		(5.45)
	n — R , — Rz
где п — общее количество наблюдений;				Ry и R2 — векторы		по
двум выборкам; Rp— вектор объединенной выборки.
Используя данные табл. 5.6,		мы	можем оценить значение

к из Tip, результирующего длины вектора двух объединенных выборок. Если к меньше 10, но больше 2, то более точное зна- ч.ннс С-критерия находят следующим образом:

/,	3 ^	(,г — 2) (R, + R, — Rp)
/' х, г—2 — {! т	— )	/г — R, — R 2

Если к меньше 2, то необходимы специальные таблицы, анало­ гичные таблицам, приводимым Мардна [51J.

Можно также проверить равенство параметров концентра­

ции двух множеств векторов,	однако	вычисления	довольно
сложны. За деталями отсылаем	к [51], а также к		[56] и
[28], где приведен пример из геоморфологии.			как Нага
Складчатый пояс, топографически		выраженный

Хиллс и их отроги, занимает промежуточное положение между Индийским субконтинентом и Индокитайским полуостровом. Очевидно, связанный со сжимающими движениями, которые соз­ дали Гималаи, складчатый пояс включает ряд субпараллель­ ных антиклиналей вдоль восточной границы Бангладеш. В этом

Рис. 5.25. Карта Восточного Бангладеш, на которой указаны осевые плоскости больших антиклиналей (жирные линии) и обширные линеаменты, полученные со спутников (пунктир).

(Г рани ц ы г о с у д а р с т в п риведен ы по ори ги нал у . — П р и м , п е р е в .)

4'