книги / Общая теория анизотропных оболочек

$ 13]

АНИЗОТРОПНЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ

181

Присоединяя к системе (13.15) граничные условия, имеющие обычный вид (1.27)—(1.31), получим полную систему, решение которой позволит с помощью формул (13.7), (13.8), (13.12), (13.17), (13.22)—(13.24) определить все расчетные величины задачи.

Ввиду громоздкости окончательных формул расчетных вели­ чин в общем случае анизотропии, мы их здесь не приводим. Фор­ мулы эти получаются элементарно.

В случае, когда оболочка составлена из произвольного числа однородных ортотропных слоев так, что главные направления упругости в каждой точке каждого слоя совпадают с направле-

5.21)	для	коэффициентов Aik,		dik и	D°ik	E
»-	A2e — 0, dig -- ^26 —		0,	D l =	D0e =	i
»ОЭII-				1
I—*и-	C22	__ ^11
	£»0 ’	12~ So ’' ^66 ~ C gg’

•4j2 -11

1

=4 ?

> 20 = C11^22 “-c\2,

	Urf-ц, -_ KuC2ij ““			■^12^12	>	d„	K22Cn — K12C]2
						^22	20	(13.25>
						d
	cf	_ E12^22 — E22^12>					■^12^11 — Я n^i
	“12		Q0			a2l	s«
	^бв — ^бв — ^6в/^вб>
	D°n=		№ ,С 22 -	2КиКпСп +			К\2С1Л\ Q~\
	D\, =		[К иК ыСг2- (КиК22+				К\2) Сп + В Д 2Си1 2-1,
	D% =		[Ц 2Си -	2К22К12С12+			К\гСп] 2-i;

при этом для жесткостей С(1ен K ik имеем формулы (11.3), (11.4), (11.6), (11.7), а для коэффициентов Bik, как обычно,

Щг	Ч	в < — —	в< — Gi =G<
	1 — v(v£ ’	22 ----- 1 — V*V‘ >	■^88 -- ^12 --- ^	9
	_			(13.26)
			: Щц— О-
	1 — v j v f	1 — v jv | ’

Тогда система разрешающих уравнений (13.15) примет вид

Ь2(С) <р+ L3( d ) w - ± ± W 'm = —± B l,m- ±

L , (D - Щ w- L3 {d) 9 + -±- ± 9,„ =

(1 3 .2 7 )

182 РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. I

где для линейных операторов и дополнительных грузовых членов имеем

Т

/ Г>

Г > п \ _

^ 1 1 — М \ д * I ® 2 2 — ^ 2 2

I

ь л и

и ) —

л

Д4

^1 +

. (P ^ - P y + S t P M - P g e ) dt

+ 2 ■

AW*

даЩ2’

т

( f t \

_£ u

J _

I

^22

1

d*

/j l _______ n £ l 2\

t

(13.28)

^2 iw

—

Q0

Aidai i -

Q0

вi

dp

vCgge0/A 2B*

<^2<?Рг’

£ 3 (d )=

„

i 2

1

<J4

Kl2p22— ^22^12

1

<^4 i

£ l2 £ !!-tfiiC

A*dai

Q

Я4 ЛЯ4 T

—u

Bi dp

I /^22- ^11— -^^12^12

О ^66 i ^11^22

-^12^22N

^

d* .

2 0

во

^ * д * й а а д р » *

A f * =

^11^22— ^12^12^ \x da

К12СП — КuCl2fi f Yd$,

1

U0

J

U0

J

(13.29)

M: __

^ 2 2 ^ 1

1 ~ - ^ 1ft2 ^Г1 2YdB

^ 1

2

^ 2 2 ~

^ 2 2

^ 1Xd(Z,2 ^ f

Q 0

J

^

2 0

J

•;=-tf4Sx,J“+§BSr*

(13.30)

Расчетные формулы для внутренних усилий и напряжении в слоях оболочки в искомых функциях <р(а, р) и w (а, р) пред­ ставляются посредством следующих формул:

изгибающие и крутящий моменты:

М, =	- { D n -	Don) ±	w>m -	(Dl2 -		D«u) ^ w №+	M\ +
	I ^ 1 2 ^ 1 1 — ^ 1 1 ^ 1 2 1				I ^ 1 1 ^ 2 2 — ^ 1 2 ^ 1 2 _ L C p--.
	+ ---------Q-0		A	i f ^ - i		Q0	В
M 2=	~ (D 22 -	D\2) ±	Wtff-	(D12-		DM ± u , " K+	JVt +	(13.31)
	I ^ 1 2 ^ 2 2 — ^ 2 2 ^ 1 2 1 „				1 ^ 2 2 ^ 1 1 — ^ 1 2 ^ 1 2 _A_ m
	"I--------- Qj------- 5J				А2Г,т’
	Я =	- 2 (Z)„ - DU ±				^ <P, +
тангенциальные силы:
	r i =		— ^	( Xda,		а в Ч-^’		(13.32)

§131

АНИЗОТРОПНЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ

183.

напряжения в слоях

оболочки:

<

■

- в и Ь т . * . » -

:0

^0

K u P l l — -^12^12

, Кл-[С»В--- К\чС

+В1

Г£ n)w,‘w,W + ( Bn-

12^12

Q,о

J

K \ z C \ \ — ^ 1 1 ^ 1 2

Q0

- т ч . ) з ! » , - + а д + а д .

* =

{

*

• $

-

(13.33)

;

^12^1

■ к , , с ,

- { Б^ Ц - в ^‘ ) ^ м + { Б« -

I

D i ^11^22 — ^12^12

~rDn ~

QT~

(

R i

^ 2 2 ^ 1 1 — K-1 $C 12 |

o i

К ц С д — ^ 2 2 ^ 1 2

„

D i \

1

,,,

I

'V°22

20

i

Dl3.

Q0

+

а д

+ ^ 2 -

Д66 1

д29 . 1 2В* ( — __т^ —

w

(13.34)

СебА В д а д $ >

tB\Cm

' J A B

* Г

Таким

образом,

все

расчетные величины

задачи

представлены

с помощью

искомых

функций

w (а,

(3) и

<р(а,

(3),

которые

при

заданных граничных условиях могут быть определены из системы разрешающих уравнений (13.27).

Большое прикладное значение имеет случай, когда оболочка загружена лишь нормально приложенной поверхностной нагруз­

кой, т. е. когда X = Y = О, Z = Z (а,	|3).
В этом случае система разрешающих уравнений		(13.27)	пере­
пишется следующим образом:
	, .	|	(13.35)
Ь1(П - О Ч а > - Ь 3(<1)? +	± ± Г''' = г .	I

Систему уравнений (13.35) можно привести к одному разре­ шающему дифференциальному уравнению восьмого порядка отно­ сительно потенциальной функции Ф (а, |3). Полагая

W = L 2( C) Ф, ? = ^ Ф м - Ь 3( 0) Ф,

(13.36)

184

РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК

[ГЛ. I

тождественно удовлетворим первому уравнению системы (13.35), а из второго уравнения получим искомое дифференциальное урав­ нение относительно искомой функции Ф (а, |3):

	L, (Р) Ф - 2L, (Q) Ф +	i , -	! Ф , _ =	Z ,	(13.37)
	где для линейных операторов имеем
	д»		д»
	А 8 ()«8 Т 1 3 Ивй2 даЩ * " Г Р	A iB* да*д$*'
	i p		___ UP		(13.38)
	~ * A *B «		Г ^2 £8	»
	* A*B*даАдф	1AW* даЩ*‘

Коэффициенты этих операторов в развернутом виде запишутся так:

D

-

(^п

ии)-^+ (^----- щ----- J.

__/П

ПО \ С ц

I

/’ 12^11 — ^ llC l2 \2

р 2= (0 Я - D i ) ^ +

,

Р 3 =

2 [(Д 1а -

Я?,) +

2 Феб -

О Д

+ (Дп ~

т

( ±

-

2% ) + 2

'О

X

^ 22^-11

^12^12 __ £

^11^22— ^12С

Х(

Сев

' ) •

Л

=

2 l(Du -

DU +

2 (Du -

С»

Z)JJ1 £ +

+ № , - О Д

- 2^ ) + 2

х

у

/^9922С,цI — ^ ]2С].2

(13.39)

2 ^96 | ^11^22 — ^19^

Л =№. - £>Ы&+2 \и > а - вщ +

" ) •

+

2

( 0 „

-

е

д

(

£ ■

-

2 * и ) +

( В . -

-DS.) | ц +

4_ /К22^X1 — ЛГ12^12

о ^66 I

^цС22 — ^42ClgV

,

Q 0

ССеввв~г

S J

j +

+

2 (K I2CU — K ] ] C 12) (K J2C22 — ^ 22^ 12)

О

__

^ ДГ12С11 — K n C12

П

__ * ^12^22 —KwC

V l “

R

E

’

4* — R

2242

/)

---_ L ( K 2Spn

^12^12___

0^88 I ^11^22 — К Л2СЛ2\

Vs л ч

So

c66-l

aj

J*

14]

ПОЛОГИЕ АНИЗОТРОПНЫЕ ОБОЛОЧКИ

185

Подставляя значения w ( а, р) и <р ( а, Р) из (13.36) в фор­ мулы (13.31)—(13.34), получим выражения всех расчетных вели­ чин задачи через искомую функцию Ф (а, р). Ввиду элементар­ ности указанных подстановок, окончательные формулы для расчет­ ных величин здесь не приводим. Д ля полноты картины запишем лишь формулы тангенциальных перемещений:

_	К и	1 <?5Ф .
U ~	Q0 А5 д з * 'г
	" Ь	CMQQ^ 22^11	^12 (^12 ~ Ь 2#		б б)1 A3Q2 даЩ2 +
		Iе - <*.. +	2* » > -	<с .»+		с «)1	-
			1	С,2 1	дЗф	1 С 2 2 1	д з ф

_ К	22	1 Й5ф
V ~	Q 0	£ 5

—	а0 АВгдад$1 »

(13.40)

" Ь 6’66Q 0 ^ П^ 22 ^ 12 6б ^) ] Д2Д З 5а 25р З +

[С „ № , + 2ЛГ„) -		JT„ (С „ + СJ ] ^
_ _ _ _1	С22 1	< ? З Ф_ _W	J_ _ _ _ _ С 12\	1 3ф<?
R	Q0 ВЗ	R	Vcee Q0) A ?B да?д$-
Значения тангенциальных перемещений				приводятся здесь,

так как они не могут быть получены с помощью элементарных подстановок.

§ 14. Разрешающие уравнения и расчетные формулы классической теории пологих анизотропных оболочек, составленных из произвольного числа

однородных слоев

Рассматривается пологая оболочка, собранная из произволь­ ного числа однородных анизотропных слоев. Предполагается, что в каждой точке слоя имеется лишь одна плоскость упругой симмет­ рии, параллельная координатной поверхности у=0.

Как известно, теория пологих оболочек, наряду с основной гипотезой недеформируемых нормалей, базируется также на не­ которых упрощающих задачу предположениях, которые подробно изложены в § 5 и полностью распространяются на классическую теорию пологих многослойных оболочек.

Согласно принятым предположениям для рассматриваемой здесь теории получим следующие исходные соотношения и урав­ нения:

186

РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК

[ГЛ. 1

уравнения равновесия:

{B T i),* -B 'J , + (AS)s +

A'iS =

-A B X ,

(А Г2),9 -

Л „Г, 4- (B S)" +

B taS =

-A B Y ,

b i T i + W - j g U B N J * +

И ^ ) , 3] = Z,

(14.1)

(.вм ,)>а +

{А Щ ^+А ^Н -

В лМ2-= ABNг,

{АМ2)<9+

{ВН)Л+

В<аЯ — А^М1=

ABN2;

соотношения упругости:

Т\=- Сие^-j- C12e2 +

+

^ u xi ~h ^is*2 ~Ь

Т2 = . .

*5 =

C6Sa>-j- С16е1-j- С26е2 -j- •^еб^ ~Ь ^i6xi ~Ь

(14.2)

Мх=

Dnxj -j- Z)12x2 -j- Z?1gX-(-^rne1-f-if12e2-f-if]1g(D,

М2 = . . .,

Н =

^gg" -f- ^]g*l -j- ^2вХ2 ~Ь ^вб10~b ^16®1 ~Ь ^26®2>

где, как обычно, для жесткостей в общем случае имеем

(11.3)-

(И. 6);

геометрические

соотношения:

•i =

J u,« + jB A ,9v + kiw’

•*= ■ ••

- i

&

s

H

r L

-

(14.3)

х = - IB ( w-*t ~ ~ Т А

- Т в .^ о ) ;

уравнение неразрывности деформаций:

Ж2х1 +

кгх2+

~

j [ j [Яе2>0(+

(s2 — ®i) В л

о) р — <оА>рД ^ +

+ [ F

[ 4ei.P +

(®i— ®г)А ,р — Т

“

« " " 0>jB.J ] >p} =

( ^ ‘^

Здесь приведены лишь те соотношения и уравнения, которые будут использованы в последующем. Как и в любой многослойной оболочке, напряжения в классической теории будут определяться

опомощью обычных формул (10.8)—(10.10).

1.Разрешающие уравнения и расчетные формулы. Ограни чимся рассмотрением случая, когда оболочка нагружена лишь

§ 14]

ПОЛОГИЕ АНИЗОТРОПНЫЕ ОБОЛОЧКИ

187

нормально приложенной поверхностной нагрузкой Z (а, РЬ«>. Полагая

(14.5)

где <р=<р (а,	|3) — искомая	функция	напряжений, тождественно
удовлетворим	первым двум	уравнениям равновесия (14.1) (при
X —Y = 0 ), а из третьего уравнения			получим

Ш х * . к ) + | ( г * 4 ) > -

Решая соотношения упругости (14.2) относительно компонент деформаций и учитывая (14.3), (14.5), найдем

•i = /i H n ^ + M ^ i)

	®2 =	Л (^ 22) ? *t* -fs (^22) Wi							(14.7)
	® = /iH ee)<p + is (dJ w ,
где для линейных операторов имеем
А И ,*)	В L d p \ B	д $ ) ~ г		А * да д а ]
	A 6 fc r	д*	1	дВ	д	1	дА	а п
	А В 1_дад$		В да		д$	А	д$	д а \ '
			, ^ r < L ( ± ± \ . ± d A ± ' ]
			' А В				d a )~ t~ В * а(3		д р _|’
h (d ik) _	ГJL (—Л\о.i_JLdi.1_1								(14.8)
—	В L # \ S д $ ) 'Г A * da d a y
	1 0 < м Г	^		1 д В д		1 дА d I .
	~*‘ Л А В \ д а д $			В да			А	а а _ | т ~
		A			д а )	г ± . дАИ~]
			L	d « U		" Г	fi2	а р a p j *

Что же касается коэффициентов A ik и dik, то для них, очевидно,

будут справедливы формулы (13. 19)—(13. 21), так как они появи­ лись именно при решении соотношений упругости (11.2) или (14.2) относительно компонент деформаций.

188

РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК

[ГЛ. I

Исключая из соотношений упругости

(14.2) с помощью

(14.7)

компоненты деформаций elt е2, о>

и

учитывая

(14.3),

получим

M1= I 1(d n )9 - I ,(D u - D ^ t)w,

М2 =

h (^22) 9

h (^22

^ 22) W'

(14.9)

Н =

1г(<^ee) 9

h (^66

Dfje) w>

где для линейного оператора 12 имеем

h (D ik- D % )

P i l

e

- ( \

д\ ,

1

дВ

5~]

,

В

[_(?3Ч-®

д $ / ‘

А 2

да d a j ‘

.

о Рвк-

Р°вкГ 5*___

~Г

ЛВ

[**5 р

б

5а

5р

4

5|3 5аJ "1~

_L D)A -.d^

д а . ) ^

— - ]

(14.10)

^

А

\ J a \ A

В*д%

д $ у

v

>

В формулы (14.9) входят приведенные жесткости изгиба D°ik, которые могут быть определены согласно (13.18).

Из последних двух уравнений равновесия (14.1), учитывая значения моментов (14.9), получим для поперечных сил следую­ щие выражения:

^	i	{ ! № 1 ( r f j i + ^d h ю + 1					№ 1)] -
				«■ > } 9	- i	$ 14/2 < * « “	^	+
	+	^	4	(A * -	^ee) +	£ [B h Ф п -	^ )1	-
						~ § h ( D 22~ D lA w,
								> (14.11)
^	= Zs { i			(dee)l + ^		71W «) + Ц [Ah (dn)\ -
	- %		h (d n) } 9 - ± { f alB h (D n -D »J ] +
	+ £d h			Pm ~	D l) +	щ [A I2 (D2 -	Dl,)\ -
						~ -d^h(D n -D \S \w .

Подставляя значения поперечных сил (14.11) в уравнение равновесия (14.6), а значения деформаций и компонент изменения кривизны из (14.7) и (14.3) в уравнение неразрывности деформа­ ций (14.4), получим следующую систему разрешающих дифферен­ циальных уравнений задачи:

L2(D — D°)W — M d )? + Vfc4>= Z, I

(14.12)

L3(A)<?-[-Ls(d)w — Vkw = 0, J

§ 14]		ПОЛОГИЕ АНИЗОТРОПНЫЕ ОБОЛОЧКИ		189
где для линейных операторов L { и Vr имеем
	=	{ £ ц / , < Л .- * * > ] +
+ d£	l M	* - D l ) +	fa[B I2{Dn -D ° u)] -
~ t h (D*-		О*,)}+ ^	{ i [BIt(Dm- Z)»6)l +
4- £	/, (D„ - Doj +		щ[А1г {Dn - Do,)] -

(А) - 1 в г Л { в к 7> (* « > +				£	[/, ( ^ ) -		/i И и )] -
~ T	dp 7 l ~д£*1И в б ) } АВ+ d p 2 Г						dИp 7и *) +
+ £	[ I г Ии) -	h Ии)] -		1 к 71Иве) -			£	А Ивв)}.	(14.13)
И ) = i	й Г Й	^	№в)] +	¥	7l Ива) +
+ к №	(rfn)] -	£	/1№ 2)} + i		^ F {й Г*7х Нее)] +
	+	£	7, Ивв) +		[A1h И	» )] -		£ Л ( <	Ц .
^5 ( Ф ~ ~A J I йа Л"		да 73 Н 22) 4 ” ^"14з (^ 22)					(^ п )] ;
“ "2 dp 7з Иве) — ^			4 Кв)} + А В dp F {4 dp 7зНи) +
+ £	[/3 Hi,) -		h Н22М-Т Т Л Ива) -				£	/2 (dee)},
	v _ JL[iL(tLk				—		— ^1
	к ~ АВ [_rb U ** да) ^				dp \B	1d$)J "

Таким образом, задача о равновесии «пологой» многослойной анизотропной оболочки, очерченной по произвольной поверх­ ности, приводится к разрешающей системе двух дифференциаль­

ных	уравнений	(14.12)	относительно двух	искомых	функций
9 (а,	|3) и w (а, |3), посредством которых представлены все расчет­
ные величины оболочки.
Отметим, что в частном случае многослойной анизотропной
пластинки (Ai=0,		&2= 0 )	система уравнений	(14.12)	запишется
следующим образом:

L2(D — D°) w— Li (d)<.р = Z,

(14.14)

£3 (4)<p + £s (d)w = О,

190 РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. I

т. е., в отличие от однослойных или симметрично собранных много­ слойных пластинок, не распадается на два независимых между со­ бой уравнения.

2. Весьма пологие оболочки. Подробные сведения об исходных положениях теории весьма пологих оболочек были даны в п. 2 § 5 настоящей главы. Несмотря на зто, для стройности изложения здесь приводятся некоторые соображения об исходных положе­ ниях теории весьма пологих анизотропных слоистых оболочек.

Для весьма пологих оболочек считаются справедливыми все предположения, которые лежат в основе теории пологих оболочек (см. гл. I, § 5). Считается, также, что внутренняя геометрия координатной поверхности оболочки т= 0 ничем не отличается от евклидовой геометрии на плоскости. Далее, полагается, что коэффициенты первой квадратичной формы А (а, р), В (а, р), а также главные кривизны kt (а, р), кг (а, р) при дифференциро­ вании ведут себя как постоянные (см. гл. I, § 5, п. 2).

В силу принятых предположений для рассматриваемой обо­ лочки имеем:

уравнения равновесия:

					•4^2,0 + BS., = —ABY,
							- A N ttf =	ABZ,
					AMt>t + В Н " =			ABN2 ,
					л.	формулы (14. 2);
					п
	_1_			1	-f-k2w, * L = -
	’А			B V't				.1
	1	I	1	2			Х2 = -
	(0 = B U.t +		A V.«'	Т=: —	В	“W		52 Ш ,Р Р > J

уравнение неразрывности:

(14.15)

(14.16)

^2*1~Ь ^1*2~Ь ~STe2,cM

'АВ

« Р

г

г _вL2 ®1,pp —

(14.17)

напряжения

в слоях — см. формулы

(10.8)—(10.10).

Ив (14.2) в силу (14.16) получим для внутренних сил и момен­

тов следующие выражения:

r ' = ( Cu T £ + C» H ) “ + ( C“ T S + C» r | i > +

I (^\\

I^12__ к

1

д2

__ г\тт

I

d2

jp

1

д2 \

~ *Л Д Х

Д 2

А 2

да?

АВ дад$

* 12 В 2 H ^ ) W'

(14.18)

Г2 = ( С12 J

й '+

С26 ^ щ ) «*+ (^26

^

+

С*2 J

V+

/Г»

п

-

4

Л9.

о К

4

дг

А

Л9.

I /£22 I ^-12 J r

1 ^

1

К,

1

д2 \

W,

+ и 2 +

л Г ~

л2 да?

АВ dadg

\B2др)

12 ^