книги / Общая теория анизотропных оболочек
..pdfi 10] |
ТЕОРИЯ АНИЗОТРОПНОЙ СЛОИСТОЙ ОБОЛОЧКИ |
161 |
|
(10.15) |
поперечные силы могут |
быть получены из четвертого и |
|
пятого уравнений равновесия (10.13). |
|
||
При рассмотрении слоистых |
оболочек, как и в случае одно |
родной оболочки, соотношения упругости (10.15) можно несколько упростить. Полагая, что шестое уравнение можно удовлетворять приближенно, взамен приведенных соотношений для Sn и S2% можно брать
S = S12 = S2l = С Хй&1-f- С2ве2 -f- С и ш. |
(10.18) |
Если подойти к вопросу о соотношениях упругости чисто формально, то их можно записать несколько точнее, чем (10. 15); для этого при вычислении квадратур в (10. 14) можно оставить все члены. Однако этого не стоит делать, так как попытка уточ нить соотношения упругости, не выходя за рамки гипотезы недеформируемых нормалей, не имеет шансов на успех. Поэтому наилучшим из всех вариантов соотношений упругости надо счи тать тот, который не содержит формальных противоречий и ведет
кнаиболее простым выкладкам.
6.Заключительные замечания. Таким образом, классическую теорию анизотропной слоистой оболочки, составленной из не четного числа однородных слоев, симметрично расположенных относительно срединной поверхности оболочки, можно считать по строенной. Приведенных выше уравнений и соотношений доста точно, чтобы однозначно определить напряженно-деформирован ное состояние произвольной слоистой оболочки в рамках клас сической теории.
Н-а основании приведенных выше уравнений и соотношений легко построить разрешающие уравнения и расчетные формулы для различных типов слоистых (симметрично собранных) анизо тропных оболочек. Однако здесь этого делать не надо. Приведен ные здесь все исходные уравнения и соотношения, записанные
для симметрично собранной слоистой оболочки, полностью со впадут с соответствующими уравнениями и соотношениями одно родной анизотропной оболочки (см. гл. I, § 1), если в последних там, где надо, под жесткостями С и D -к понимать жесткости
слоистой оболочки (10.16), (10.17).
Таким образом, построенные в настоящей главе классические теории: симметрично нагруженной ортотропной оболочки враще ния (§ 2), круговых цилиндрических оболочек (§ 3), ортотропной
сферической |
оболочки |
(§ 4), пологих |
анизотропных оболочек |
(§ 5) — могут |
считаться |
классическими |
теориями соответствую |
щих слоистых (симметрично собранных) оболочек. Только при этом надо помнить, что жесткости должны быть определены по форму лам (10.16) и (10.17), а напряжения в слоях — по формулам (10.8) и (10.10).
ИС. А. Амбарцумян
162 |
РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК |
|
[ГЛ. I |
||
Не надо забывать также, что при получении разрешающего |
|||||
уравнения ортотропной |
оболочки вращения (2.24) было исполь |
||||
зовано |
равенство |
X= |
С 221Сц = D22/Dn , являющееся |
в |
случае |
слоистых оболочек |
приближенным. Однако, так как |
мы |
будем |
в дальнейшем ограничиваться лишь первым приближением асим птотического интегрирования уравнения (2.24), можно утвер ждать, что ограничивающее предположение X = С 221Сц — D22/Dn
теряет |
свою силу. В этом можно |
убедиться, |
рассматривая асим |
|
птотическое |
интегрирование разрешающего |
уравнения (2. 24) |
||
(см. гл. |
II, |
§ 4). |
|
|
|
§ 11. Классическая теория оболочек, собранных |
|||
|
из произвольного числа |
анизотропных слоев |
Рассмотрим многослойную тонкую оболочку постоянной общей толщины h, собранную из произвольного числа однородных анизо тропных слоев также постоянной толщины t. = h{ (рис. 34).
Координатная поверхность у = 0 может проходить внутри какого-либо i-ro слоя или, в частности, может совпадать с какой-
либо |
из поверхностей контакта слоев или |
|
с какой-либо из граничных поверхностей |
||
оболочки. Пусть число всех слоев оболочки |
||
равно т + п, при этом т — число |
слоев |
|
ниже координатной поверхности у = |
0, п — |
|
число остальных слоев. Если координатная |
||
поверхность у = О расположена внутри слоя, |
||
то под п подразумевается число слоев |
выше |
|
этого слоя плюс один, а если же координат |
||
ная |
поверхность у = О совпадает с какой- |
|
либо поверхностью контакта, то под п по |
||
дразумевается число слоев выше координат |
||
ной |
поверхности (рис. 35). |
|
i |
I |
Основной |
предпосылкой для построения |
||
классической |
теории и |
здесь является ги |
|||
|
|
||||
Рис. |
34. |
потеза недеформируемых |
нормалей, данная |
||
|
|
для всего пакета оболочки в целом. |
Принимая гипотезу недеформируемых нормалей, мы, как было указано для случая симметрично собранной слоистой оболочки, существенно упрощаем вопрос построения деформационной модели оболочки. Все характеристики деформации и перемеще ния каждого слоя получаются из элементов геометрии оболочки и перемещений координатной поверхности у = 0 приведенной оболочки.
Очевидно, что из результатов классической теории оболочек, составленных из произвольного числа слоев, легко получить все основные уравнения и расчетные формулы классической теории
§ И ] ОБОЛОЧКИ, СОБРАННЫЕ ИЗ АНИЗОТРОПНЫХ СЛОЕВ 163
оболочек, составленных из нечетного числа слоев, симметрично расположенных относительно срединной поверхности. С этой целью надо положить (рис. 34, 35)
m -fre = 2m + l, |
A — 8m = |
8m+1 — A = hm+1, |
= fhm+i= А , |
8 , |
hE 8 ht+1,^ = |
в результате чего для жесткостей получим K jk — 0, а для С,к и D jk — обычные формулы (10.16) и (10.17).
1. Перемещения, деформации, уравнения неразрывности, на пряжения в слоях, уравнения равновесия элемента оболочки, гра ничные условия. Принимая гипотезу недеформируемых нормалей
и оставаясь на позициях классической теории (см. гл. I, § 1),
легко сообразить, что и в случае произвольно составленной слоистой оболочки, когда в каждой точке каждого слоя имеется лишь одна плоскость упругой симметрии, параллельная коорди натной поверхности у = 0, исходные уравнения и соотношения совпадают с соответствующими уравнениями и соотношениями симметрично составленной слоистой оболочки.
В частности, для перемещений |
имеем формулы (10.3), в кото |
||||||
рых и = |
и (а, |
р), v = |
v (а, (3), ц? = |
w (а, |3) представляют пере |
|||
мещения |
координатной поверхности |
у = |
0; для |
деформаций и |
|||
их компонент |
имеем |
формулы (10.4)—(10.6); для определения |
|||||
напряжений в слоях |
имеем формулы (10.8)—(10.10); уравнения |
||||||
равновесия элемента |
оболочки |
имеют |
обычный |
вид (10.13), |
а уравнения неразрывности деформаций координатной поверх ности у = 0 и граничные условия, как и раньше, совпадают с со ответствующими представлениями однородной оболочки, т. е. имеем формулы (1.8), (1.8'), (1.27) —(1.31).
11*
164 |
Р А ЗЛ И Ч Н Ы Е ТЕО РИ И АН И ЗО ТРО П Н Ы Х О БО Л О Ч ЕК |
[ГЛ . I |
|
2. Соотношения упругости. Совершенно иную структуру имеют |
соотношения упругости. Несимметричное расположение слоев от носительно координатной поверхности у = 0 вносит свои кор рективы в соотношения упругости.
Из условий статической эквивалентности напряжений и внут ренних усилий для внутренних сил и моментов, отнесенных к единице длины дуг соответствующих координатных линий,
имеем (рис. 12, 13, 34) |
|
|
|
|
|
т+п Зв—Д |
т+п 8#—Д |
|
|||
л-42 Jдат. г,=42 |
( |
ф а г. |
|
||
8=1 |
|
8=1 3*_|—А |
|
||
т+п |
8$—А |
т+п 8$—Д |
|
|
|
*^12 --- 5 " 2 |
1 |
> ^21 — ЗГ 2 |
1 |
» |
|
8=1 |
_!—А |
8=1 8в_,-Д |
( 11. 1) |
||
т + п |
5в—А |
т + п |
8$—Д |
||
М1=7Г 2i S |
MS=J2 |
$ |
|
||
8=1 8в_,-Д |
8=1 Зв_!-Д |
|
|||
тп+и |
8$“ А |
т + п |
8j—Д |
|
//]2=^2 |
Sт5>твдг. я21=г2 ! |
zu H^ - |
||||||||||
|
|
|
|
8=1 3 8 _ ,-Д |
|
|
|
8=1 8,^-А |
|
|
||
|
Подставляя значения напряжений из (10.8) |
в |
(11.1), после |
|||||||||
соответствующих преобразований |
|
получим |
для |
внутренних сил |
||||||||
и моментов следующие простые представления: |
|
|
||||||||||
Т г = C J J S J - j - С ]2 е 2 ~ f“ ^ 1 6 0) ~ f“ ^ 1 1 X1 “ 1“ ^ 1 2 * 2 4 “ ^ 1 6 X> |
|
|
||||||||||
1*2 ~ |
^ 2 2 e 2 “ b |
^ 1 2 е 1 “ I" |
~ f" ^ 2 2 X2 “ 1“ |
^ 1 2 X1 ~ Ь ^ 2 6 X’ |
|
|
||||||
^ 1 2 |
~ |
*^21 ~ |
^ б в 40 ~ f “ C J6®1 ~ f “ ^ ,28®2 “ 1“ ^ *6 5 X ~ f “ ^ 1 6 x l “ I- |
|
( 11. 2) |
|||||||
^ 1 = ^ l l x l + А г х 2 + А в Х + ^ 1 1 * 1 + ^ 1 2 S 2 + ^ 1 6 ю > |
|
|||||||||||
|
|
|||||||||||
Л/g — Z)22x2 -j- Z>12Xj -j- Z>26T -j- ЛГ22е2 + |
^ 12S1 + ^ 26m> |
|
|
|||||||||
^ 1 2 |
= |
^ 2 1 ~ |
^ 6 6 X ~ f" ^ 1 6 x l ~ f “ ^ 2 в х 2 ~ Ь |
^-бв10 + ^ 1 6 ® 1 ~ Ь |
^2в®2> |
|||||||
где |
для |
жесткостей. |
Я ,*. £ ,* |
имеем |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
С , * = |
2 5 % (S ,-V x ) . |
|
|
(11.3) |
||
|
|
|
|
|
|
m-{-» |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* , * = 4 |
|
|
|
|
|
|
(11*4) |
|
|
|
|
|
|
|
8 = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т-{-я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D J* = |
i |
2 |
|
t(8' ” |
8- l) “ |
ЗЛ (8' “ |
8«-Л + |
ЗД2 (8' “ |
(11.5) |
|||
|
8«->)Ь |
1 11] О БО ЛО ЧКИ , С О БРА Н Н Ы Е И З АН И ЗО ТРО П Н Ы Х СЛО ЕВ 165
ИЛИ |
|
|
т\п |
|
|
* / * = т 2 " 5 . (4 |
|
|
*=Х |
(11. 6) |
|
т±п |
||
|
||
й / . = т 2 в у . « - , и - А (а г л |
|
|
Я—1 |
|
В частности, когда координатная поверхность у = 0 совпа дает с нижней поверхностью оболочки, А превращается в нуль и для жесткостей Kjk и DJk получим более простые формулы:
т -{-п |
m -f-я |
|
лгл = т 2 в : * ( Ч _ 8 ^ ) ' 0 л = |
т 2 |
в ; ‘ И - 8г->- (,1 -7> |
«=1 |
1=1 |
|
Рассматривая соотношения упругости (11.2), замечаем, что они находятся в противоречии с шестым уравнением равновесия (1.23), которое, как известно, является тождеством. Однако это противоречие можно устранить, видоизменив соотношения упру гости для S12 и <S21. Несколько увеличив точность этих представ лений, получим
^12==^в6СВ+ |
^16®1 + |
^26®2 + |
^66T + |
+ |
^26*2 + |
|
|
+ |
&2 |
+ |
^16®1+ |
^2в®2 + |
+ |
^16*1 + ^26хг)> |
( 11. 8) |
<$21 = |
+ |
Cl6el + |
^26®2 + |
^в6Т + |
^16х1 + ^26х2 + |
|
|
+ |
*1 |
+ |
^16®1+ |
^26®2 + |
^66~ + |
А л + D^y-b)- |
|
Пополнив соотношения упругости (11.2) новыми |
формулами |
(11. 8) для S jk, получим простые соотношения упругости, которые не содержат формальных противоречий.
Полученные здесь соотношения упругости (11.2), (11.8) прин ципиально отличаются от ранее рассмотренных (1.24), (1.26), (10.15). Дело в том, что здесь в соотношениях упругости фигури руют члены с коэффициентами K jk, характеризующие влияние изменений кривизны и кручения на тангенциальные силы и влия ние деформаций удлинения и сдвига —. на моменты. Очевидно, такое взаимовлияние будет иметь место в общем случае слоистой оболочки безотносительно к геометрии координатной поверхности у = 0, которая, по сути дела, характеризует тип оболочки.
Рассматривая формулы для К^к, замечаем, что в случае одно родной оболочки и слоистой симметрично собранной оболочки, когда координатная поверхность у = 0 совпадает со срединной поверхностью, жесткости K jk превращаются в нуль и исчезает указанное выше взаимовлияние. Очевидно, рассмотренное взаимо влияние не будет иметь места во всех случаях слоистой обо лочки, если К -к = 0.
166 |
РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК |
[ГЛ. Г |
|
В общем случае анизотропной слоистой оболочки Kjk =f= 0 ис |
|||
ходными должны считаться соотношения упругости |
(И .2), |
(11.8). |
|
3. |
Замечания. Принимая соотношения |
(11.2), |
(11.8), |
должны заново построить разрешающие уравнения и записать расчетные формулы для отдельных типов оболочек, собранных из произвольного числа анизотропных слоев, произвольно рас положенных относительно координатной поверхности у = 0. Если в окончательных представлениях не учитывать члены с К^к, то это может привести к недопустимым погрешностям. В этом нетрудно убедиться, рассматривая окончательное выражение потенциальной энергии деформации
F = |
у ^ |
(Спе1 + 2С12е1е2 + |
С22е§ + |
Свва)2 + 2С1ва)е1 -f- |
|
||||
+ |
2С2вше2) АВ da. dp -)- J J |
|
+ |
Kl2($^2 + |
e2xi) + |
|
|||
|
|
+ ^22S2X2 + # 66ШТ + |
^16 (®iT + |
<°*i) + |
|
|
|||
+ |
KS( £2г + |
« « ABг ) ] |
+ |
|
|
( ° n |
x i + |
|
|
|
|
+ |
D22X| + Dw# + |
2Die^ |
+ |
2Z>26xx2) AB da dp- |
(11.9) |
||
Здесь при любом точном представлении Cjk и Djk, если пре |
|||||||||
небрегать |
членами с коэффициентами |
Кjlc, |
то в общем |
случае |
можно получить неверные результаты. Однако следует учесть, что в некоторых случаях многослойных оболочек возможно пре небречь указанными членами, и это не приведет к существенным погрешностям.
Ниже приводятся разрешающие уравнения и расчетные фор мулы классической теории для различных типов анизотропных слоистых оболочек, составленных из произвольного числа слоев, произвольно расположенных относительно координатной поверх ности у = 0.
Подробный ход получения этих уравнений и расчетных формул читатель найдет в соответствующих параграфах первой главы и в монографии автора «Теория анизотропных оболочек».
§ 12. Разрешающие уравнения и расчетные формулы классической теории
симметрично-нагруженных ортотропных оболочек вращения, составленных из произвольного числа слоев
Рассмотрим ортотропную оболочку, координатная поверх ность (у = 0) которой является поверхностью вращения с осью симметрии z и совпадает с внутренней поверхностью оболочки, т. е. Л = 0 (рис. 16, 17, 35, 36). Предполагается, что оболочка
§ 12] ОРТОТРОПНЫЕ ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ 167
составлена из слоев, материалы которых ортотропны и располо жены так, что в каждой точке слоя одна из плоскостей упругой симметрии параллельна координатной поверхности, а остальные две перпендикулярны к соответствующим меридианам и парал лелям. Таким образом, оболочка в целом представляет собой ортотропное тело вращения, обладающее ортотропной анизотропией вращения.
|
Положение какой-либо точки М координатной поверхности |
у = |
0 будем определять гауссовыми координатами: углом <р = |
= |
р/г, являющимся азимутом плоско |
сти, проведенной через точку М и ось вращения z, и меридиональной дугой
s = |
а, |
отсчитываемой вдоль меридиана |
||
от |
некоторой |
начальной координаты |
||
s = sQ (рис. 16). |
|
|||
|
Считается, |
что рассматриваемая обо |
||
лочка |
нагружена симметрично |
отно |
||
сительно оси вращения, т. е. X = |
X (s), |
|||
Z = Z (s), Y |
= 0, и имеет соответству |
|||
ющие |
симметричные относительно оси |
|||
z граничные |
условия. |
|
||
|
Очевидно, |
рассматриваемая |
здесь |
оболочка будет деформироваться, оста ваясь телом вращения, поэтому вну тренние силы, моменты и перемещения ее не будут функциями угловой коор
динаты <р. В такой оболочке возникнут лишь внутренние силы
Тг = |
Тх (s), |
Т2 = |
Т2 (s), |
N x = |
N = N (s) и внутренние моменты |
М г = |
М х (s), |
М 2 = М 2(s). Из перемещений отличными от нуля |
|||
будут |
лишь |
и = |
u(s) и |
w = |
w (s). |
Метод получения разрешающих уравнений и расчетных фор мул для оболочек рассматриваемого типа подробно изложен в § 2. Не вдаваясь в подробности, приводим окончательные резуль таты, которых достаточно для решения различных задач по опре делению напряженно-деформированного состояния различных типов многослойных оболочек вращения.
1. Разрешающие уравнения и граничные условия. Разрешаю щие уравнения записываются относительно двух искомых функ
ций V = |
V (s) и |
W = |
W (s) |
и |
имеют |
вид |
|
||||
d*V |
sin » d V |
.I |
/ ^12 |
|
1 |
^22 sin2» \ |
TT |
|
|||
ds- |
г |
ds |
1 \ Cxx |
|
R I R 2 |
Си |
r2 |
) |
X |
|
|
|
|
_ P i |
|
d m |
, |
P 2 — Px |
Sin» |
dW |
(12.1) |
||
|
|
t'll |
|
ds% |
1 |
|
r |
ds |
|||
|
|
|
|
|
|||||||
| Г 2° |
1 |
K v fi 11— ^12^12 |
1 |
P 3 |
sin2 i |
|
|||||
1 |
|
Сц |
|
R iR z |
С ц |
r2 |
|
||||
1 L cu H* 1 |
|
|
|
168 РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК
dm |
sin 6 d W |
( Д]2 — |
D\i |
1 |
. |
D22 — #22 s in 2 9\ ух/ |
||||||
ds2 |
г |
ds |
|
_ D°n |
R ^ i ■+" D n - |
D f c |
r* ) |
W |
||||
|
|
Px |
|
d * V |
, |
|
^2 + |
^1 |
sin» |
d V |
|
|
|
” O o ( Я 11 - |
0 b ) |
ds* |
■+ ■ ^ o ( 0 |
l l - 0 ^ 1) |
г |
ds |
|
||||
|
__Г |
fl |
1 |
I |
0 |
11^22— 012^12 |
1 |
|
|
|||
|
L0U — 0?i R% |
|
(0ц — 0?i) |
010* |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
03 |
|
sin2 » |
|
. ( * ) . |
|
|
|
|
|
|
Ц |
) ( 0 |
Ц |
— |
0 ? |
r2 ] г + ф |
||
|
|
|
|
|
l ) |
|
|
1ГЛ. 1
( 12. 1)
где наряду с (11.3), (11.7) приняты следующие обозначения:
Pi — 75ГПС12 |
-^12^11’ |
Р%— K-yfiw |
^11^22’ |
| |
||
Ps= Kyfiyi — 7SL12^22» |
|
|
(12.2) |
|||
|
|
1 |
||||
D°n = № 1С22 - 2КпК12С12+ |
К\2Сп] 2-1, |
|
|
|||
Щ2= [К%Сп - 2К22К12С12+ |
К\2С22] 2-1, |
|
(12.3) |
|||
Щг ~ L^ll-^12^22 |
|
(7^11^22 -f~ 7^12) С\2-f~ 7^227^12^ 11] Ц/» |
||||
|
|
|
20 = СцС22 С\2. |
|
(12.4) |
|
Далее, для грузовых |
членов принято |
|
|
|||
Ф, |
|
|
|
sin » |
|
(12.5) |
|
|
г ds |
Pi («)’ |
|||
К 11^22 ~ 012^12 |
1 |
d р . . ______ г02[S)(») |
|
|
||
Ф2 = а,М 0 Ц - 0 ? l) |
г * |
11 ' |
г (D u - D ^ ) |
|
|
|
|
|
|
|
022^12— 012^22 |
sin ^ р |
(12.6) |
|
|
|
|
0 о (0 ц - 0 Ь ) |
г2 |
Л ) |
Здесь F. (s) являются функциями от внешней поверхностной нагрузки и, как для однородных оболочек, определяются с по мощью следующих формул:
|
Fj = sin б J rErds -|- cos & |
5 — |
S r£ - * |
|
|
8 |
|
|
(12.7) |
|
|
|
|
|
|
F2= — cos & J rErds -f- sin & |
|
|
‘ |
|
»0 |
*o |
||
где |
Er и Ez — составляющие внешней поверхностной нагрузки, |
|||
P°t |
— значение главного вектора внешних |
сил, |
приложенных |
|
к параллельному кругу s = s0 (рис. |
19). Очевидно, |
|||
|
Er = Z cos Ь — X sin ft, Et = |
Z sin &-|- X cos 0, |
||
|
P^— (T\ cos &0 -f- № sin &0) 2wr0. |
|
|
S 12] |
ОРТОТРОПНЫЕ ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ |
169 |
Уравнения (12.1) составляют полную систему дифференци альных уравнений относительно двух искомых вспомогательных функций. Присоединяя к этим уравнениям граничные условия, которые идентичны с граничными условиями однородной обо лочки вращения (см. § 2), определим искомые функции V и W, через которые представляются все расчетные величины задачи.
2.Внутренние силы и моменты. Внутренние силы и моменты
спомощью искомых функций V (s) и W (s) представляются следу ющим образом:
|
|
Тг |
sin $ |
|
Т2= |
d V |
|
|
|
|
г |
Р + |
Т - М *). |
ds |
’ |
||
|
|
|
д г __ |
cos 6 |
|
|
|
(12.9) |
|
|
|
V + ± - F 2(S), |
|
|
|||
|
|
|
|
г |
|
|
|
|
* . = |
- [ ( а |
. - 0 |
ь > 4 ? |
-(D 12-D 012) - ^ |
W + |
|
||
|
|
|
|
|
||||
I |
^ 11^12 |
K\lPn |
^11^22— ^12^12 SIB 6 Tjr |
|
||||
' |
|
Q 0 |
ds |
|
Оф |
Г |
|
|
|
|
|
|
|
КллС29— ^12^12 1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
T Fi ( s)]> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(12.10) |
|
К22^*]^— ^12^12 |
^22^12— ^12^22 sin & |
тТ I |
|||||
|
|
Q Q |
ds |
|
В о |
г |
^ |
' |
|
|
|
|
I |
^22^*12 — ^12^*22 |
1 р |
/_\"1 |
|
|
|
|
|
' |
а0 |
|
г |
“ *'.]• |
При получении выражений для моментов мы пользовались следующими формулами для изменений кривизны и деформаций:
|
|
|
dW |
|
|
=w |
и » |
ттт dw |
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
s i u f t |
|
|
|
|
Х1 — “ |
ds |
’ |
*2 |
|
~ |
’ w ~~~Ts |
~щ * |
||
__ |
1 Гл |
sm ft |
т. |
I |
л |
d V |
|
|
|
|
Н = — щ 1 С 2 2 -у -Г + Сг |
|
( К г*С 2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
'м -ds |
|
|
|
|
|
- а |
д 2) |
(КпС22- |
К12с п) *£ - - |
С221 |
F, (.)], |
|||||
= ^ [С 12 ^ |
|
|
|
4 f ~ ( V u - |
|
|
||||
- К |
12С12) ^ |
W + |
(К12Си - |
КпС12) |
- |
С121 F, (s) ], |
||||
|
|
|
|
|
— ^п^гг |
^12• |
|
|
(12.11)
( 12. 12)
(12.13)
3. Напряжения в слоях и перемещения. Основные напряже ния в слоях будем определять с помощью формул (10.8), (12.11) и
170 РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. I
(12.12). |
После соответствующих подстановок |
и |
преобразований |
|||||
для |
нормальных |
напряжений получим |
|
|
||||
|
1 |
{ . 1 |
sinft Г7 , к! |
dV\ . |
|
|
|
|
: = — а Д 4» — v + ^ - i r ) + |
|
|
|
|||||
|
+ [ ^ |
( 4'пйЬ — ^12Д11) — |
|
|
|
|||
- |
[ ^ |
(лг„4‘, - |
а д у - |
г В ! , ] ^ |
^ + - f - f |
в , и , |
||
О* = -вД 4 ^ |
|
|
|
|
|
(12.14) |
||
F + 4 » т г Н н г <к ч 4 в - а д у + |
||||||||
|
+ ? в 'и] т г + [ * ; < а д . - а д ы + |
|
|
|||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А * 1- - -®11^12 |
^ 1 2 ^ 1 1-*- |
^ 2 2 ^ 1 2 |
|
^ 1 2 ^ 2 2 » | |
||
|
|
Д?2 = В |
Д 2 - Я | 2С12, Ц , = |
В Ь С п - В |
[ 2С12. 1 |
В многослойных оболочках расчетный интерес представляют и касательные напряжения в слоях. Единственное отличное от нуля касательное напряжение т*т= V опре
деляется из (10.10). |
|
|
Подставляя |
значения |
о* и о* |
в (10.10), после |
некоторых |
преобра |
зований с учетом условий контакта смежных слоев (10.12) и на внеш
них |
поверхностях оболочки |
(1.13), |
|
для |
t* получим (рис. 37) |
|
|
^ = - ( Т - 8 . _ 1 ) Д а д - |
|
|
|
|
V- — 5?-1 |
|
|
|
А ( * ' * * ) - |
|
|
|
t—г, |
|
|
|
- 2 [ ( * . - W A W |
+ |
|
|
«=1 |
|
|
Рис. 37. |
& -ъ и Д(В‘ ,х )] - Х - , |
|
(12.16) |
|
|
||
где для операторов Д (B ise) и Д (.В}*х) имеем |
|
|
|
А (В%е) = ~ {5 7 [г C®Iiei + ® 12ег) + |
C®22s2+ ^ i2ei) sin ^]J > |
|
(12.17) |
|
|
|
д (5<fcx) = у {д - [г (S^xj + В*р2) + (5|2х2 + Я<л ) sin » l } .