книги / Общая теория анизотропных оболочек

	ПОЛОГИЕ АНИЗОТРОПНЫЕ ОБОЛОЧКИ					71
где для линейных операторов Ьг, Ь3 и Vk имеем
Ь <0«> ■= - Ш т А { ж		ЕЛ^ <0«>] + Ж '■ <D-‘> +
+	я [® '=<с „)1 -	§ h ( о„ )} + - ^ 1		1	{ £ [ в / , (О ,.)]	+
		+ “ А ( о . . ) + ^ № ( З Д - ^ - А ( о „ ) },
h (А» ) =	i - S T { s 1	1,	■+ £ Hi (■‘W	-	Л <4„)1 -
	2" Ж		h (A i,)} +	fi~{-^ ^ A (^n) +
	+ ^ № (A „) - /, (4 J ] - § • й Л И . ) - j£ Л M « ) } .

Таким образом, задача равновесия пологой анизотропной оболочки, очерченной по произвольной поверхности, приводится к разре­ шающей системе двух линейных дифференциальных уравнений (5.14) относительно двух искомых функций: ср (а, (3) — функции напряжения и w (а, (3) — функции перемещения, через которые определяются расчетные величины задачи.

В частном случае ортотропной оболочки во всех приведенных

выше уравнениях и соотношениях надо полагать		а1в= о 2в= 0 ,
Ви = В г6=0, С16= C2e= 0, D	2Ц—0, Аке—А26—0,	а для опре­

деления остальных а{к, A ik, В(к, и тем самым Cik,D tk, надо поль­

зоваться формулами, которые приведены в п. 10 § 1.

2. Весьма пологие оболочки. Название этого пункта, как и название этого параграфа, носит условный характер, так как излагаемая здесь приближенная теория оболочек применима не только для расчета весьма пологих оболочек, но и для расчета оболочек с большим показателем изменяемости, для построения простого краевого эффекта, для расчета оболочек с нулевой гауссо­ вой кривизной и т. д. Таким образом, трактуя предлагаемую здесь теорию как теорию весьма пологих оболочек, не будем за­ бывать, что она может быть применима и для рассмотрения иных задач теории оболочек.

Рассматривается весьма пологая анизотропная оболочка, очер­ ченная по некоторой части произвольной поверхности с гауссовой кривизной, отличной от нуля. Принимается, что рассматриваемая оболочка проектируется на плоскость, проходящую черех вер­ шины контура оболочки, в виде прямоугольника со сторонами а и b (рис. 25). Считается, что стрела подъема оболочки над этой плоскостью / ^ 1/5/, где I — наименьший характерный размер оболочки на срединной поверхности.

72

РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК

[ГЛ. I

Для такой оболочки приближенно принимается, что внутрен­ няя геометрия срединной поверхности ничем не отличается от евклидовой геометрии на плоскости.

Пусть теперь х в. у — декартовы координаты точки на пло­ скости основания оболочки. Тогда квадрат линейного элемента

О

на этой плоскости хОу представится обычной формулой

ds2= dx2-f- dy2

и коэффициенты первой квадратичной формы А и В будут равны единице.

Для рассматриваемой весьма пологой оболочки, представлен­ ной в криволинейной ортогональной системе координат а, (3, у, первая квадратичная форма срединной поверхности с достаточно высокой точностью представится такой же формулой:

	ds2 т da2- f - d p 2,
что равносильно	предположению, что A ^ i,	B ^ i.
В общем же	случае, когда координаты	а и р безразмерны,

а коэффициенты А и В яе равны единице и являются функциями

координат а и р, т. е. А = А (а, Р), В = В (а,	р), с точностью при­
нятых геометрических предположений надо	принять, что А и

В при дифференцировании ведут себя как постоянные. С такой же точностью следует принять, что и главные кривизны срединной поверхности кг=кг (а, р) и кг=к2(а, Р) при дифференцировании ведут себя как постоянные.

Присоединяя к приведенным чисто геометрическим предполо­ жениям исходные предположения общей теории пологих оболочек (см. начало настоящего параграфа), мы можем приступить к по­ строению теории весьма пологих анизотропных оболочек.

В силу принятых предположений для рассматриваемой весьма пологой оболочки имеем:

S 5]

ПОЛОГИЕ АНИЗОТРОПНЫЕ ОБОЛОЧКИ

73

уравнения

равновесия:

BTha +

A S '^ - A B X ,

ATtif +

BSia =

—A B Y ,'

АВ (kl Tl +

к2Т2) -

BNl>t - A N ^ =

ABZ,

(5.15)

ВM

АНшр = ABN 1(

А М ^ + В Н 'Л= АВХъ

соотношения упругости — см. формулы (5.4);

геометрические

соотношения*

е2 =

^

, Р +

^ .

1

®1 =

Т

В.. +

* ^ .

Х1 --

Д2 W,m>

(5.16)

1

1

1

2

1

Ш=

0

Ц.Р +

4

«’ k—

4 0

U7.«0’

Х2 —

В2 “ ’.РР»

уравнение неразрывности:

^2*1 “Ь ^iy-2

е2,ж

ав т .«э “Ь ~g2

,рр =

0.

(5.17)

Из (5.4) в силу (5.16) получим для внутренних сил и мо-

ментов

Г 1 =

( СПТТа +

J

^ - ) и +

( С16 ТТа + С*т щ ) v +

+ ( т ! г С “ + Ж

С » Ь

7,2 =

(C 12x | ; +

C2 6 F ^ )M+

( C22j ^

+

C26j | ; ) i ; +

+ ( ‘Й ГС^ + ^ - С 12)ш ,

S =

( Ci6ТТа + Сы ТГЗр) и +

( Сб8 j |

[ +

CWJ

+

(5.18)

d^w

+(жС18+1^ 26)1^

„,

/п

1

.

n

1 ^

I

o n

1

\

— —

02 dp* +

^ 1в ,4В

/’

м 2 —

/тл

1

d2u>

,

г>

1 Л

I

о п

1

d*w

\

\^ 2 2 "в? ар2"

Т" ^ 12 42 <?а2

1~

28 4 0

да д$ ) ’

Н

2D*

1

д2и»

I

/}

_1_ ^2ц) I

n

_J_ дгиЛ

да dp "ги 1ЯА2 (?а2г ^26 В2 (ЭД2 У

=

- (

68 40

и, наконец, в силу

(5.15)

Nх =

— Ег (Dik) w,

N2-•=

Е2(Dik) w,

( 5 . 1 9 )

74 РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. I

где

А (А * )

___ - Р п

д3

.

З Д 16

W3

. D J2 +

2 Д 66

d 9

■

Д г е

d 3

АЗ

даЗ Т

Л 2В

d a 2 dp

Л В 2

d a d p 2

В 3

d p 3 ’

Ег Ф л) ____-О гг

д 3

I

З Д 26

d 3

.

Р\2 +

2 В в6

<?3

■

- P is

(5.20)

да3 '

S 3

й р з

В Ы

д р д а

" f *

B A 3

d p d a 2

“ Г

АЗ

Подставляя значения внутренних сил Tlt Т2, S, JVlt N 2 соот­ ветственно из (5.18) и (5.19) в первые три уравнения равновесия (5.15), получим разрешающую систему трех дифференциальных уравнений относительно трех искомых перемещений и (а, |3), v (а, р), IP (a, р):

Ai { C ik) и + L 12 ( С №) v -f-L 13 ( С №) w =

—X ,

|

(5.21)

I ' * ( C №) * +

L a ( C ik) v

+

L K ( C tb) w =

- Y

,

А з (Cik) и+

^23(Eik) у +

А з Dik)(

w =

Z,

J

где для линейных операторов L ik имеем

г

/р

\ __ A i

д . 2 С 16

d 2

, С 66 d 2

11 '

< * '

Л 2 d a 2 ' Л В

d a d p " г £ 2 ^ 2 »

г

//^

\ __ А б

^ 2 I З С 26

д 2

I С 22

д 2

■^22

Л 2

d a 2 "т "

Л В d a dp

В 2

d p 2

’

г

//->

\ ___ д 2

I ^-12 +

С б а

d 2

.

С 2в

д г

12

Л 2 d a 2

Л В

да dp

В 2 d p 2 ’

А з (А *) -

(A A i +

A<A) i А

+ (ftlCie +

й^а.) ± ±

(5.22)

А да

ВО?

А з

(С « ) =

(*2А . + *с12) ~

+(к2с№+

к,си) 1

£ ,

А з

(А * ) =

(* К А

+2kjk2C12+

k\Ci2) +

Z)n

A

. i i

+

"f" ^

16л зв 1Щ Г “I"2 (А *

~ь2А в )

2dpa2 "I-

,

,

1

<?*

, г,

I d

“ Г 4 А

- 6 л

В 3 d a

dp3

“ Г

^ 22

Д 4

d p * * .

Таким образом, теория пологих анизотропных оболочек в пе­ ремещениях построена, ибо при заданных граничных условиях, решая систему уравнений (5.21), определим искомые перемеще­ ния в, v, w, а через них, посредством формул (5.18), (5.19) и (1.16), найдем все расчетные формулы задачи.

Разрешающие уравнения теории весьма пологих анизотропных оболочек могут быть представлены и в форме уравнений смешан­ ного метода.

§ Я	ПОЛОГИЕ АН И ЗО ТРО ПН Ы Е ОБОЛОЧКИ				75
Полагая,	что	в формулах (5.7)—(5.14),	согласно	исходному
геометрическому		предположению, функции	А (а, (3),	В (а,	р),
R-i (<*, Р),	( а,	р) при дифференцировании ведут		себя	как

постоянные, получим следующую разрешающую систему урав­ нений:

Li (Dik) v>+

=

Z, |

(5.23)

^ ( 4 ) ? - ^ = °- /

где для линейных операторов Lv Lt и VR имеем

^

+

4 ^

2 (Д12+

J

on

\

1

д1

I /i С26

.1I

7)22

Э*

1

да*др*

1

АВ* ЭаЭрЗ

1 Л* эр* ’

. ^22 ^

0

^26

^

4_/о л

|

(5.24)

А* да*

~ AW

даЗ^8

12 Г

I

I )

1

о

^16

1 Ап д*

1

•‘■ЧЪ/А2В2 да2^2

“ АВз ЭаЭР®

1 в* эр* •

1

1

Э2

1

1

Й2

Л2 Д2 0а2+

Bl

Д2 ^2 •

Для внутренних тангенциальных сил получим

гр __1_^?

г р ___ 1 Э2?

1

<?2Ч>

(5.25)

1— Я2Э32’

А* да2’

АВ ЭаЭр

Для внутренних моментов M lf М2, Н и поперечных сил имеем

формулы (5.18)—(5.20). Напомним

также, что

A ik=ailJh~1.

Система разрешающих

уравнений

смешанного

метода (5.23)

может быть приведена к эквивалентному ей одному разрешаю­ щему дифференциальному уравнению восьмого порядка относи­ тельно потенциальной функции Ф (а, р), через которую искомые

функции w ( а , р) и <р (ос,	р) представляются следующим образом}
^ =	£2(Л<й)Ф,1<р = УлФ.	(5.26)

Принимая (5.26), тождественно удовлетворим второму уравне­ нию системы (5.23), а из первого уравнения получим искомое раз­ решающее уравнение, которое имеет следующий вид:

	^	Л)Ь Ш(АЛ) 0 + W	=	Z,	(5.27)
где оператор LL (Dik)L2 (Aik) в раскрытой форме имеет вид					(3.28),
а для	имеем
	1 1 Э* , 1 1 Э* ,		2	1 д*	/с ой\

76

РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК

[ГЛ. I

В

этой постановке

расчетные величины задачи через искомую

функцию Ф = Ф (а, Р) представляются следующим образом:

2*

— - L —

T9= — — Vj&

1

В* 03*

2

А* да?

S =■

1

д2 ;Va®,

4 0

# i =

(Dik) УяФ,

/V2 = - Д 2 (Я.,) У„Ф,

д /

_____/ Дц

<?2 .

2

Die

д2

\ -

ф

(5.29)

Л/f

__

/®22

I

#12

,

9 Д26

\

V7 <fl

^ 2 — “ ' U 2

dp* +

7 *

2 4 0

Vs®’

j i

( о Дее

д2

I

Р м &

Д26

у /д

Я

~

\Г~АВ

да д$~'

А 2 да2

г

0 2 ^

V«® -

Для определения тангенциальных перемещений имеем следующие

формулы:

в _

|(&Иг2— йг2Д12) — — — (2^4 2б — к%А1в) -р^

+

■ + 1И б6 + ^ ) ^ - М и ] ^ 2^ - М

16^ ^ } Ф’

° ~

{(V ^ ll — * И и ) дз дрз-

(2 ^ 2 6 — ^ И ’ б) Й2^

+

+ [(^68 +

^12) К

К А-я\ 5X2 драТг

Л2^2в 7 з

Ф-

Таким образом, при заданных граничных условиях, имея решение разрешающего уравнения (5.27), с помощью формул (5.26) — (5.30) можно найти значения всех расчетных величин задачи.

Особый интерес представляет вопрос о том, в какой мере пред­ ставление (5.26) является общим, т. е. представляет общее реше­ ние системы (5.23). Этот вопрос возник и в § 4 настоящей главы при рассмотрении технической теории анизотропных цилиндриче­ ских оболочек.

Вопрос этот досконально изучен, но мы здесь, ради сокращения записи, приведем окончательные результаты и лишь для ортотропной оболочки.

Согласно результатам, приведенным в п. 10 § 1 настоящей главы,

для ортотропных оболочек будем	иметь
a1g==a25= 0 , i412=/423 =0, •В1в= .В а8=	0,	= 0, Z)ie=:Z)26= 0.

Будем полагать, что координатная система аО$ выбрана так, что коэффициенты первой квадратичной формы приближенно равны единице, т. е. A m i, Вm l.

§ 5]	ПОЛОГИЕ АНИЗОТРОПНЫЕ ОБОЛОЧКИ				77
Тогда для операторов, входящих в разрешающую систему
уравнений	(5.23),	будем	иметь
L, ф ау=		г>„ £ ■ + 2 (0 „ + 2D,,) 5^		+ Dn £
	==1*гг55, + ( 2А , , + Л м) ^ ^ р			+ А п ^ - ,	(5.31)
	у — — Л л . — —
	B~ R 2 даР'’		•

Очевидно, представление (5.26) является разрешающим для второго уравнения системы (5.23). Возможность и общность та­ кого представления существенно зависят от свойств корней разре­ шающего уравнения

1 + - - !'С /	е6Х2+	Й Х4 = ° ’ Х* =			+ * v	(5-32)
Приведем окончательные результаты				исследования возмож­
ности представления	(5.26).	Было	установлено, что			функция
Ф (а, (3), реализующая (5.26),		всегда существует, если
	+	(г =	1,	2).		(5.33)

При этом функция Ф определяется с точностью до полинома вида

Ф = аа2+ 2&а,8-f- с|32 +		Пх, к2а + ftjC= 0,	(5.34)
где Пх — произвольный	полином	первой степени.
Если же условие (5.33)	нарушается хотя бы для одного		корня,
например для Xlf то для	того, чтобы представление (5.26)		было

осуществлено, необходимо ввести в рассмотрение некое определен­ ное соотношение между искомыми функциями w (а, р) и <р(а, Р). Если же и это последнее соотношение нарушается, то представле­ ние (5.26) становится несостоятельным и его следует заменить новым. Однако все эти представления и соотношения здесь не при­ водятся, так как круг наших интересов ограничивается такими оболочками положительной или нулевой гауссовой кривизны, для которых условие (5.33) выполняется безоговорочно.

3. Весьма пологие анизотропные оболочки большого прогиба. Здесь рассматривается теория весьма пологих анизотропных оболо­ чек в случае, когда перемещения оболочки не малы. При этом тео­ рия будет строиться в предположении, что по сравнению с едини­ цей малы не только деформации, т. е. удлинения и сдвиги, но и углы поворота элементов оболочки.

Будем полагать, что для рассматриваемой весьма пологой оболочки система ортогональных криволинейных координат и, Р выбрана так, что коэффициенты первой квадратичной формы срединной поверхности равны единице, т. е. А ~ 1, В = 1.

78

РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК

1ГЛ. I

Будем полагать также, что начальные кривизны срединной по­ верхности оболочки ki=ki (а, |3) и кг= к г (а, |3), как и в случае линейной задачи, при дифференцировании ведут себя как по­ стоянные.

С учетом сказанного, здесь, в отличие от нелинейной теории сильного изгиба оболочек, во всех исходных соотношениях и урав­ нениях теории упругости будем сохранять лишь те нелинейные члены, которые содержат нормальное перемещение и его про­ изводные. Тогда из основных уравнений нелинейной теории упругости для деформаций какой-либо точки оболочки по­ лучим

да “ v 1 / d a v \2

	_dop		,	. ± W		f
?		dp +		Я2+	2 \dp )		’
в -		А	,
Г— ду			"г 2 [д у J ’				(5.3Э)
	_	да		d u v	дау да.,
р
		ZZ2.A___ I _|___ I __I
“Т		ду	■	да	■ да	ду '
р		диа		дау	да., да.,
	— __£_|___I _|___I __I
		ду ~		dp “	dp	ду	’
	_ д и а			диЦ	даг даг
		dp		да ”■ да dp			’

В силу основной гипотезы недеформируемых нормалей, пола­ гая d = 0 , epv= 0 , еу= 0 (последнее условие целесообразно тракто­ вать как независимость нормального перемещения му от коорди­ наты у) и считая, что при у= 0 иа—и (a, J3), u^—v (а, J3), иу=ш (а, р), аналогично (1.4) получим

Uy = w, ив = и — уи>(Л, U p =y — ушр.		(5.36)
Подставляя значения иу, иа,	из (5.36) в неиспользованные

соотношения (5.35) и в силу основной гипотезы принимая (1.5), получим для компонент деформаций срединной поверхности и изме­ нений кривизны и кручения следующие формулы:

		__ да	,	w	.	1	/du>Y	_______d 2w
	ei — d		7	+	+				da2 ’
		___ dv	.	w	,	1	fdw\2	___ ____ d 2u>		(5.37)
	e 2 ~ d p + ^ + y V d p 7 ’ X 2 —								I p 2 ’
		__da	. d v		.d w dw			___	л d 2u?
	Ш	dp ” r " d a "T " da dp ’ T							d a dp "

§ 5 J ПОЛОГИЕ АНИЗОТРОПНЫЕ ОБОЛОЧКИ 79

Из (5.37), исключая тангенциальные компоненты перемеще­ ния, получим следующее выражение неразрывности:

	д-Ы		д-&2	VRW-	w),	(5.38)
	да <?р	<?р2	да2
	где VR — известный	линейный оператор			(5.24), а	нелинейный
	оператор
		■	) - * [ £ $ - ( £		) ] .	(5-39)

Уравнения равновесия дифференциального элемента тела обо­ лочки da dp df после деформирования, с принятой здесь точностью, запишутся следующим образом:

. ^„3 . ^тЭт_п

д$	да “ г	d i	(5.40)
	2 d -w	_
			= 0.
	да д р Т“ 3

Отсюда, поступая обычным образом (см. § 1, пункт 6 настоя­ щей главы), получим для дифференциального элемента оболочки при отсутствии внешних тангенциальных сил следующие уравне­ ния равновесия:

д Т г	. dS = 0		’ д$ ^	— О
да	"г"<}р			да
д\г . dN2 ■ /д2и>	т.\ m I	fd^w__ ъ \ Т			I о д2ц> а ___ 7	(5.41)
			<?f*2
дМ,	d H _ N	”	д*Мя	д Н	--N,
~дГ~Г д$ ~				да

Для внутренних сил и моментов имеем обычные формулы:

Г 1==Сие1+ С 12«2+ С 1ва), M l= ~ D n^ - D ]2d^ - 2 D u-

да2			да д $ ’
d2w	.п	— __2D	д 2и>	(5.42)
Т2— С22еа-)-С12е]-)-С'2в(1), М2— — D22др2"“	»	д а 2	д а др ’
д 2и>	п	д 2ш	д 2w
*^= ^ 66Ш— ^16®! ~I- ^26®2» Н = 2Z?e' д а д $	U w	д а 2 ~ ~ и ^ ~ д ^ 2 '

Решая первую группу соотношений упругости относительжГкомпонент деформаций, получим

*1 = = ^ 1 ] ^ 1 + ^ 1 2 ^ 2 + ^ le 'S '»	®2 =	- ^ J2 ^ 2 + ^ 1 2 ^ 1 + ^ i e ‘S'* } (5.43)
^ = ^60*^ “Ь ^ie^i “Ь -^гб^г’	^ a =	aikh 1-

Очевидно, при рассмотрении симметрично собранных слоистых оболочек при определении коэффициентов A ik надо пользоваться более общими формулами (5.10').

80	РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК					[ГЛ. I
	Наконец, в силу	(5.42) из (5.41) для поперечных сил получим
	Ni =	— Ег (Dik) w, Nz — — Е2 (Dik) w,				(5.44)
где	для линейных операторов			Е{ (Dik)	имеем (5. 20).
	Полагая
	гр__d-у		т _	о ____		(5.45)
	1— др2’		12	да2*	дадЪ'

где (р=!р(а, р) — искомая функция напряжений, удовлетворим первым двум уравнениям равновесия (5.41), а из третьего урав­ нения равновесия (5.41) и уравнения неразрывности (5.38), в силу (5.43), (5.44) и (5.45), получим разрешающую систему двух нелинейных уравнений относительно двух искомых функ­ ций w и <р:

	L i ( D ik )w +				— L ( w > ? ) = z >			(5.46)
	L%(4,*) 9 — VBW+ у L К					w) =	0»
где линейные операторы Lx (Dik), L2 {Atk) и							даются формулами
(5.24),	нелинейный	оператор			L (w, w) — формулой (5.39), а не­
линейный оператор
	L{w,	?) =	^	i	д-w d2<p	2 d2^	d2w	(5.47)
		Y/	d<& (№ ~ TjfFita2			даЦдГд(Г
Система разрешающих уравнений (5.46)							является	естествен­
ным обобщением ранее полученной системы линейных уравнений
(5.23)	на случай конечных перемещений оболочки, т. е. на слу­
чай оболочек большого прогиба.
4.	Замечание. Из основных уравнений и соотношений теории

оболочек, изложенной в настоящем параграфе, легко получить необходимые разрешающие уравнения и расчетные формулы для различных типов анизотропных оболочек. В частности, полагая ft1=/?71 = 0, k2= R 21= R (Р), получим уравнения и соотношения теории цилиндрических оболочек, которые совпадут с соответ­ ствующими уравнениями и соотношениями технической теории цилиндрических оболочек. В связи с этим мы в последующем изло­ женную в этом параграфе теорию будем называть технической теорией^анизотропных оболочек.

§ 6 . Частично уточненная, или итерационная, теория ортотропных оболочек

Итерационную теорию будем излагать на уровне технической теории оболочек и лишь для ортотропных оболочек. При желании можно обобщить зти результаты на случай анизотропной оболочки, когда в каждой точке материала оболочки имеется лишь одна