книги / Общая теория анизотропных оболочек

§ 3]	АНИЗОТРОПНЫЕ КРУГОВЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ				51
б)	вместо соотношений упругости (3.5)		берутся более простые
соотношения (1.24), удовлетворяющие шестому				уравнению	рав­
новесия		(1.23) приближенно;
в)	во	втором уравнении равновесия	(3.3)	опускается	член

N J R ;

г) второе уравнение неразрывности деформаций (1.8) удов­ летворяется приближенно, т. е. во втором уравнении неразрыв­

ности деформаций (1.8) пренебрегается членом

Исходя из сказанного, для круговой цилиндрической оболочки получим следующие упрощенные уравнения и соотношения:

уравнения равновесия:

				i r , , , + i s . = - r
		S N>-l =			z -	S„ =		su =		s,
	4 - " . . . +	т я . Р = л'.-		т " . . р		+	т	д . - =		" -
соотношения упругости:
Тг —C JJBJ - j - С		12е 2 - f - С	16(в,Мг = DUK1					Z?12X jDwi,-ф -
Т 3 =	С 22е2 -f- Cj2si		М 2=		^22Х2 ”1“		^12Х1 "I- ^ 26^>
S =	CggW "Ь ^18е1 “Ь ^26S2>		Н	== ^ВВ1 “Ь ^16Х1 +					^2вХ2>
геометрические соотношения:
	1	1	.	ц>		1		. 1
	®1— "л 'гг.«’	е2~~в V>P~^~~R ’			Ш	5 И.Р '			4
	х1= —	*2 =	_ ж Ы7.РЭ’			11=		~ ~ Ш W- а$'

Для внутренних сил и моментов в перемещениях имеем

	Т1=	- • Тя= . . .		(см. (3.7))
	s =	д			д ^			1	д
		д а	+ Сад i f			+	(р(*®А		да" +
									д \
							+ С2В~В			)v+ ^28
		1							1	дъ '
	ЛЛ =	'- (^ П 4 2				д а др		+ Dnfi2		) W,
	-*«=■	1	-5gF + 2 Z )264 fi						1	'да2() W,
		(^22 fi2				д а (9^ + А * 42
	я =	/on	1		| Z>	1			1 д* \		W.
				d[i			^ 2	+ ^26 В1		д ^ )
		\ГиЫАВ д а			1 U 16 4 2

(3.11)

(3.12)

(3.13)

4*

52

РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК

£ГЛ. I

Подставляя значения моментов из (3.14) в последние два урав­ нения равновесия (3.11), получим для поперечных сил следующие выражения:

		N ^ - E ^ D J w , N, =					- E 2(Dik)w,			(3.15)
где для линейных операторов третьего порядка имеем
E I (Dik) =	D u	дз		3/?jg	дз	+
	АЗ	да?	>	A W	даЩ
						Dj2_ + 2Z>,		д3	,/>26	д3
						^66
						лт		дадр2 "г В3		др» »
E*(Dik):	Do<	дз	^	3D.'26	д?					(3.16)
	В3	ф	^	ВЫ	др^да 4"
					■ Рц + 2Р|36				, P i 6 »
					"**	ВА2	др да2		1 АЗ	даЗ ’

Подставляя значения внутренних сил Тх,1г Т2, S и Nlf N 2со­ ответственно из (3.7), (3.14) и (3.15) в первые три уравнения равновесия (3.11), получим разрешающую систему трех диффе­ ренциальных уравнений относительно трех искомых перемещений;

Еп (Сас)и + L12(Cik) v + L13(Cik) w— — X,
^12(Cilc) и 4“ 7у22 (СО с ) V 4“ ^23 (Cik) W= --У»	(3.17)

^13 (С{к) U 4" ^23 (С ik) V 4" L 33 (CikE ik) W — Z>

где для линейных операторов Ln (С.,с), L12 (Cik), L13(Cik) и L33{CikDtk)

имеем представления (3.10), а

	Cm дг	, 2СЖ д*	£22^
^22 (Cik)-- А 2 да2 т" АВ дадр			S2 dp2>
	— Г£*2— _1_ £25		(3.18)
^23 (Cfk) —
	R I B	dp"*" A dej*

Таким образом, техническая теория анизотропных цилиндри­ ческих оболочек в перемещениях построена.

Уравнения технической теории могут быть представлены в форме уравнений смешанного метода теории статически неопре­ делимых упругих систем.

Полагая

TX= ± 4 ' K - A \ x d * t т%= ^ 1 ' Ш- в \ г д Ь

(3.19)

S ~ ~ А В <*’

$ 3) АНИЗОТРОПНЫЕ КРУГОВЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ

53

где <р=<р (а, р) — искомая функция напряжений, тождественно удовлетворим первым двум уравнениям равновесия (3.11), а из третьего уравнения получим

Г * Г - - Ц Г < * - Т Я ‘. - Т Я : > = г -

I3'20»

Решая соотношения упругости (3.12) относительно компонент деформаций, найдем

«О= 4 ^ + 4 ^ + 4 ^ , A.k — aikbrl.

|

^

Как было указано выше, результаты классической теории однородных анизотропных оболочек будут обобщены на случай симметрично собранных слоистых оболочек. Поэтому целесо­ образно записать здесь выражения коэффициентов A tk и в более общем виде, без подстановки значений жесткости С<к- Таким об­ разом, для Aik будем иметь

^ ii =	(CjgCgg — C|e) »		^ie =	(^12^5в	^ie^22)	»
■^22=	(С„Сбв	Cit) Q j,	4 26=	(ClftCle	CjgCjj) 2 j ,
■^бв=	(Сц С^	С12) 2j ,	4 12=	(C1$C„	CtfCgg)	,

a x =	(Cuc n -			ch) cm+ 2а				д	вс 2в -	c uc |e-	c^ch.
Далее,	в силу	(3.19)			из		(3.21) получим
	е	—	( А п		*	,	А п	*	А 1в	д 2 \
						'	А 2	д а 2	А В	да д $)) 9 +	ех>
	1 —			\ В 2	д$2
	-	_	М	. 2	<>2	, A 22		д 2	А г в	д 2 \
	2 ~ \ В 2					’	А 2 да2’		А В да д $ )
	m	- M		i «	»	1	-^26	<*2	А цц	д 2 \
		~ ~ \ В 2 Ф 2 1 А 2 д а 2							А В да д § )
где
	• ;* = — ( A UA \ X do. +							AuB J У dp), г= 1 ,2,6.

(3.21»)

(3.22)

Подставляя значения N k и N s из (3.15)	в уравнение равнове­
сия (3.20), а значения компонент деформаций elt е2,		ш из (3.22)
в третье уравнение неразрывности деформаций (3.6),		получим
разрешающую систему двух уравнений	относительно двух

54	РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК				[ГЛ. I
искомых	функций,	нормального перемещения w (а, В) и функции
напряжений (а,		р):
		+	= Z +	Yd%

			'Р “	R ~ A i W. m — -- J 2 e2,c<t< +						(3.23)
				|	1	*	1	*
					J s e e . «Э		£ 2 е 1. P3’
	где	для	линейных операторов		L t имеем
	(D ik) —		A "dot* "I" 4 A W даЩ + 2 (^12 +			2^6б) А 1В г даЩ
					\	^26		_L±_22_
						АП		*	Й4 /№4 »
						А В * д а ф		г	JJ4ap4	(3.24)
	г м	^	___о "4г6	d* I /2.1 4- /1 \			1	^
	^2\л а)~- Ai dai							д<#д$,2
					— 2	Чв	<Н		4ц д*
						АВЪдадф~В1 <?р*'

Таким образом, задача анизотропной цилиндрической оболочки на уровне технической теории приводится к разрешающей системе двух линейных дифференциальных уравнений (3.23) относительно функции напряжений <р(а, р) и функции перемещения w (а, р), через которые, с помощью формул (3.13), (3.7), (3.14), (3.15), ( 3 .22) и (1.16) могут быть определены все расчетные величины задачи.

Когда оболочка загружена лишь нормально приложенной внешней нагрузкой, т. е. когда X = У = 0 , Z=^=0 , система разреша­ ющих уравнений (3.23) перепишется следующим образом:

ЬЛАн) —	«« =	0 -
		(3. 25)
М Л « ) » + я -т ,? . ~ =		Z ’

Соответственным образом упрощаются и расчетные формулы, которые содержат X и Y.

Систему уравнений (3.25), как известно, можно привести к од­ ному разрешающему дифференциальному уравнению восьмого

порядка относительно одной разрешающей функции		Ф (а, р).
Полагая
w = L M i1c)®, =Р = ^	Ф .	(3. 26)

§ 3] АНИЗОТРОПНЫЕ КРУГОВЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ	55
тождественно удовлетворим первому уравнению системы	(3.25),

а из второго уравнения получим разрешающее дифференциальное уравнение задачи

Ьг (Dik)L 2(Aik) Ф+ = Z . (3.27)

Законность и общность представлений (3.26) являются пред­ метом особого обсуждения и будут рассмотрены в последующем.

Основной оператор уравнения (3.27) в раскрытой форме имеет следующий вид:

A (Dik) L2(Aik) =		DnA22-^ -^ -]-2 (2A22Dl6			DnA2^)-^^		+
+	[ A i (2412 +	4 66) - 8А И 26+		2 (D12+	2L>66) A2, ] J B2		+
	+ [^16 (2^12 + ^ 6б) 4-^26^22 ~					2^11^16 —
	^ (^12 “b 2Z)66) ^26J ДЬВS					87)ieA lg -f-
+	2 {Dn -f- 2Dm) (2A12-М вб)			-f- D22A22\ -jigi <мЗр4+
	+ [ ^	2в (2^12 + ^ee) + ^ 1 6 -411 — 2D224 26 —
	^ (^12 “Ь 2^бб) ^ie] ]pgb 5a55pa “1“ f^22 (2-^12 + ^вб)
	—. 87)^416 -f- 2 (D12+		2Z)6e) 4 U]			^здрв+
	+ 2(2Z)26/1U		M)	fa ^ 7 +		g$^pg •	(3.28)

В силу (3.26) из (3.7), (3.14), (3.19) получим следующие вы­ ражения для внутренних сил и моментов:

т __	1	1	т	1 11 <НФ
A	R А ^ В ^ да Щ ? ’		1 г	R A * d a i ’
	___ 1	1 <НФ

~~Д ЛЗВ (ЭаЗ^ *

	+	+		(329)
•^2 ~	( A S2Д2 +	^12 ]р 5^2+	да А	И,'*;) Ф >
^ =	(^ Ю J g	+ ^16 Л25^2+ ^26 g 2(jjp) A		(^<fc) Ф’

=

- Я

, (Ц£ >(.4* ), . , ) ф , I V , =

- Я L2,( 4( A<t)* Ф) .

.

56 РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. I

Перемещения срединной поверхности определяются посред-

ством

(3.26) и следующих формул:

1

( л

1 <33ф ,

л 1 да

л

1

|)ЗФ\

U ~ R VA ls

ЛЗ даз “ Г А ПA B zда

Л 18 A W да Щ ) ’

1 Г

..

1<>зф,

,^

^ ,

1

53ф

(3.30)

V —

R [Л11 S3 ^8

-Г 1л 15 “Г л бв; А 2В дащ

__2А _1 __2 £

_ л

1 2 * 1

16 АВ гдад $

г

2в^здаз]-

Подстановкой

можно

убедиться,

что

перемещения

и (а,

р),

v (а,

(3) и w (а, j3), представленные

формулами (3.26)

и

(3.30),

удовлетворяют

первым

двум

уравнениям

системы (3.17)

при X = У =0,

а третье урав­

нение дает известное нам разрешающее урав­

нение (3.27).

3.

Теория

осесимметричной

деформации

анизотропной замкнутой круговой цилиндри­

ческой

оболочки.

Пусть анизотропная зам­

кнутая

круговая

цилиндрическая

оболочка

как с точки зрения геометрии, так и физико­

механических свойств осесимметрична

отно­

сительно оси вращения z (рис. 23).

Пусть, далее, такая оболочка имеет по тор-

цам’осесимметричные граничные

условия

и

загружена

осесимметрично

относительно

оси z,

т. е. Х = Х (a),

Y = Y (а),

Z —Z (а). В

этом случае,

ввиду

полной симметрии, оболочка будет деформироваться осесиммет­ рично, т. е. после деформирования тело оболочки остается телом вращения с осью вращения z. Тогда все искомые расчетные ве­ личины оболочки будут функциями лишь одной переменной а,

т.е. оси не будут зависеть от угловой координаты & (рис. 22). Для рассматриваемой оболочки из (3.3)—(3.5) имеем: уравнения равновесия:

\_dT\		1	d S 12
A da		- * Г	da	+ д N* — — У,
		1	ip	1 dNi ^			(3.31)
		Ж	1 *	A	da
		1 d M j ___ д ,		1	dH ______д . ,
геометрические соотношения:				w	dv
1	da	5 а ’				1
8 !	Z			Ж'	ТТа'		(3.32)
	1	d^w		п	dv 2	1

—'JsdS "’ Х2—

’1~Ж~АТа' .

S 3] АНИЗОТРОПНЫЕ КРУГОВЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ

57

соотношения упругости:

Т г =

С ц е 1 “ Ь

^12е 2 “ Ь

^2 =

^22е2 “ Ь

^12®1 “ Ь

Sit =

Стт“Ь ^1бе1 +

Сгбе2 “Ь д (Рур -(- ^ie*i)>

(3.33)

$а =

^ee0* “Ь Cieei “f" ^2бе2> Н =

^вв5“Ь ^ i6*i*

Мj =

^ и х1~f~^ 1вт»

^ 2 == Di&i -f- Z)2eT-

Разрешающая система уравнений в перемещениях согласно

(3.31)—(3.33) (или из (3.9)) запишется

следующим

образом:

CJJ d ^ u Сjg d - v ^12 1 ^

__

у

Л2 da2"T“ ,42 da2"*" Д Л

d«

’

Л? da2 r ^ e e ~ r Д2-^66^ Д2da2“r

и"ш__

I

C26 1

Q^18 1

у

, D l6

d 3u;

(3.34)

+

R

A da

z

Д“"

ТзйаЗ

Ci2 1

j C28 1

| о W__

7

Г

/Гda^liT

<1£>16

7

Д ЛЗЙаЗ“Г Л*

da* ~ ^

Из

первых

двух

уравнений

(3.34),

с

точностью

до h*/R2,

легко получить

1

Ли.

С ц -fits —

^ 1 2 ^ 6 6

w

% ^ i g P i g

1

d2u>

+

A

da

o>]

R

R

o*j

A 2

da2

^16

ct

h % - \ Y A d * - b L \ X A d * + bv

<oi

1

d v

C] jCig — C 11^26

2 CnDie 1

d2w

(3.35)

A

da '

Д +1 R

“ l

42 da2

CJ- J 7 4 d a + - ^ - (X 4 d a - f 6 2

(Oj -- ^ 11^66

^?e-

Здесь

и

Ь2 — постоянные

интегрирования, которые

должны

быть определены из граничных условий оболочки.

и и v

Подставляя

значения

производных

от

перемещений

по а из (3.35) в третье уравнение (3.34),

с

точностью до h2/R2

получим

следующее разрешающее уравнение

задачи:

1

d*u>

.

4

Die (Сп С2ъ— С^Сщ)

1

d2w

,

S)

w __

A* da* "r

A 2 da2

D I . M J Д 2

— —— I.

^12^66~

^16^26 1

j XA da. ■ ^ii^26 ~

^12^:z \ \ Y A i « .

Dn

^

Dn“ i

R

D,itoi

щ

г (CA

+ c ^

+

2~&rtT w

i <-c » x -

c - y >’

<3-36>

58 РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. I

2] (С11^22 ^ 12) ^66 ~Ь Ж иСиСи С\\С\ъ ^22^1e- (3.37)

Таким образом, при заданных граничных условиях, которые имеют обычную структуру, решая уравнения (3.36), определим нормальное перемещение w(a), с помощью которого посредством формул (3.31)—(3.35) и (1.16) легко найти все расчетные вели­ чины задачи. В частности, имеем

2Y	A	da	+	'jeA	da		р	W
	С j j	dix			dv
rp	C-J2	dv	Г	^26	dv	|		w
	A	da5		A	da		* 2 ~R ’
J12'	C j g	dv	+(c«+A					S+(c«-	i £)b
	A	da
J 21 “ “	C jg	dv			dv
	A	da '		A da 1			36 л ’
		D u	d 2w	-	o n	1	1	du	(3.38)
		A 2	da2	1		R	A	da
		£>12	Й 2Ш	.	2	T) 20	dv
		A 2	d a 2	1	R	A	da	>
	2	£>66	dv		D ] 6	d^w
~	R	A	da		A 2	dat	>
Кг	D u		d*w	,	2
		A 3	da3	1	Д	A 2	d a 2 ’
	2	£>Be	d*v		Z ) ] 6	d 3u;
~ ~ R A * d a 2					A 3 d a 3 •
Рассматривая				формулы			(3.38) и (3.35),		нетрудно сообразить,

что, в отличие от осесимметрично деформируемых ортотропных оболочек вращения, здесь в общем случае ни одна из внутренних сил и ни один из моментов не обращаются в нуль.

Посмотрим, как будет выглядеть все это в случае технической

теории. Согласно		(3.11)—(3.16)			для	рассматриваемой оболочки
имеем:				1
уравнения равновесия:
1 d T t _		v	1 dS _		v	1 ( Ш , _		лт
A da	~	’	A	da ~		A	da	(3.39)
	1 гг		1 r f.V ,			1 d H		лт
	R	2	A	da	i“ ’	A	da ~
геометрические		соотношения:
ei	1	du			w	i	dv	'
	1 1 7 '			®2= T ’ (0 = T 1 7 ’				(3.40)
		1 d^w		y2=	0 , x — 0 ;
у.1
		A * da2 ’

§ 3] АНИЗОТРОПНЫЕ КРУГОВЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ

59

соотношения упругости:

Тг

С\\

du

-

С | 0

dv

+

C ^ = - \ X A d * +

c3,

А

da

+

А

da

т9

С,2

du

Счъ

dv

r

w

A

da

А

da

° 22

R ’

С •

du

(3.41)

= * = -cz f . + £f T .+ C» K = -

S rA * + < •

M

—

pn d'-w

M

— —

Д2

H —

Z>16

dgu;

1~ ~

4 3

dal ’

УИ2 —

da2’ Л —

Л2

da2 >

A T

____

P l l d 3 W

Z)q6 d3«>

1 ~

A 3 d a 3 1 N 2 =

4 3

d a 3

где c'3 и c\ — постоянные интегрирования, которые определяются

из

граничных

условий.

В этом случае разрешающая система уравнений (3.17) пере­

пишется

следующим

образом:

С ] ]

d 2u .

С 18

d'2v

С , 2 1

_

4

2

dai '

A 2

da2 “ I

R ~ ~ A ~ d a

C 16

d 2r

.

C 66 d ? i;

C 2e 1

dw

(3.42)

4 2 d a 2 ” r

4 2 d a 2 " r

R A da

C 12

1 du

,

C 26 1

d r

1 n

w

, D u

d*w _

r?

R A

R A da +

С 2 2 Д 2 " Г A t d a 4 — L -

Из первых двух уравнений (3.42) легко получим

1

du ____ С 13^26 —

^ м 2 ^ б б

^

й | | х л л + й * ( м * . + б к

A

da

ш ,

R

(3.43)

1 dv__—

^11^26 w

Г ХА da — ^11 f YAda-\-b4.

A da

ш ,

R

Ш ! J

J

1 1

Здесь, очевидно, для постоянных интегрирования имеем Ь3=с3, Ь4= с '4(читатель в этом может убедиться и обычной подстановкой).

Подставляя значения и и у из (3.43) в третье уравнение (3.42), получим разрешающее уравнение задачи в постановке техниче­ ской теории:

1 diw	w	Z - С\2С1
Л 4 da4
I	Сп^ге— ^12^16 1 [ У4 d a - - ^ ( < 7,263 + С2А ). (3.44)

Сравнивая разрешающие уравнения общей теории (3.36) и технической теории (3.44), замечаем их принципиальное отли­ чие, заключающееся в том, что в разрешающем уравнении

60

РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК

[ГЛ. I

технической теории член со второй производной шпо а отсутствует. Отсутствие этого члена может сказываться, в основном, на скорости затухания решений, т. е. на величине распространения краевого аффекта.

§ 4. Классическая теория ортотропной сферической оболочки

Рассматривается сферическая оболочка с радиусом кривизны срединной поверхности В. Полагается, что оболочка изготовлена из ортотропного материала так, что в каждой точке оболочки глав­ ные направления упругости материала совпадают с соответствую­ щими координатными линиями триортогональной системы коор­ динат а, р, у. Координатная система а, р, у выбрана так, что срединная поверхность сферы отнесена к криволинейным орто­ гональным координатам а, р, а прямолинейная координатная линия у, как и раньше, направлена по нормали к срединной по­ верхности.

Так как для сферической оболочки B 1= B 2=B =const, к1=к2=

= k = R ~ 1, то уравнения равновесия (1.21)							для случая однородной
задачи,	т. е. когда		X = Y = Z = 0 ,		после		некоторых			преобразова­
ний могут быть переписаны следующим образом:
[В [ Тг +	kMt) l a - В		а(Та +	кМ2) +
		+	[A (S + k H )lt +			A iP(S +			k H )= 0,
[А (Г, + Ш Д р -		А ,, (Т, +		кМг) +
		+	[В (5 +	кН)\а+		В „ (S +			кН) =	О,	(4.1)
	АВк(Тг +	Т2) - (B1V,),. -			(ANt)'t =			0,
	(BM x) >e +			A wfH	- В лМг =			ABNV
	(A M ^ + (BH)ta+			В aH — 4		рД/j — ABN2,

где учтено также, что соотношения упругости имеют наиболее

простой вид,	а именно:
Тг =	CJJSJ -f- C12es,		Ta	Cygp2“|- Cj2Sj,
Bi2=	Sn — S =	C66<o,	B 12 =	В и = В = Z)g6x,	(^-^)
Mj =	B JJXJ -}-	t2,	шг — B22x2-f-
	' ik	-hBik,	=	£ * ,* ■	(4.3)