книги / Основы прикладной теории упругих колебаний

(струна). При этом формула для р* дает неопределенность, так как р = 0 и к -* - оо. Раскрывая эту неопределенность, получим формулу для частоты колебаний струны

н,	4,181а _ /~EF
р =	т -

Эта формула относится к случаю, когда в положении рав­ новесия натяжение равно нулю. Часто задачу о колебаниях струны ставят в иных предположениях; считают, что перемеще­ ния малы, а растягивающая сила задана и остается неизменной в процессе колебаний. При этом формула для частоты имеет вид

где N — постоянная растягивающая сила.

Влияние неулругих сопротивлений

Выше предполагалось, что материал стержней идеально упругий и трение полностью отсутствует. Рассмотрим влияние внутреннего трения, считая, что оно является вязким; тогда связь напряжений с деформациями описывается соотношениями

	c = Et + k ^ ;			т = Су+ *»4г-					(200)
		at					at
Остановимся на		случае	свободных продольных колебаний.
В этом случае продольная сила запишется в виде
N = oF = EFe + kF-^ = EF —							+ kF—		(201)
				dt		дх		dxdt
Из уравнения движения элемента стержня выше было полу­
чено соотношение (156). Подставляя						в него		выражение	(201),
приходим к основному дифференциальному уравнению
	с 2	д2и ,	k_		дРи	_	д2и		(202)
		дх2	"р” ’ дхЩ ~ Ир*
которое отличается от уравнения					(157) вторым слагаемым, вы­
ражающим	влияние сил вязкости.					решение		уравнения	(202)
Следуя	способу	Фурье,		ищем
в виде
		ы = 2 Х Д * )Г Д 9 ,							(203)
			Г=1

где Хт— функция только координаты х, а Тт— функция только времени t.

132

При этом каждый член ряда должен удовлетворять гранич­ ным условиям задачи, а вся сумма — также начальным услови­ ям. Подставляя выражение (203) в уравнение (202), и требуя, чтобы равенство удовлетворилось для любого номера г, получим

c2X T , + ± -X ‘rT ,= X rt r\

(204)

здесь и ниже штрихи обозначают дифференцирование по коорди­ нате х, а точки — дифференцирование по времени L

k * Разделив равенство (204) на произведение Хг(Тт ----- 7Y),

Е

приходим к равенству

левая часть которого может зависеть только от координаты х, а правая только от времени /. Для тождественного выполнения равенства (205) необходимо, чтобы обе части были равны одной и той же постоянной, которую обозначим через —р* .

Отсюда следуют уравнения

х;+ 4т*г= 0;	(2 0 6 )
С и '
т,+ ±р;тг+р;т,= 0.	(207)
Е

Уравнение (206) совершенно не зависит от коэффициента вязкости k и, в частности, остается таким же в случае идеально упругой системы, когда k = 0. Поэтому числа рг полностью со­ впадают с найденными выше; однако, как будет показано ниже, величина рг дает лишь приближенное значение собственной частоты. Важно отметить, что собственные формы совершенно не зависят от вязких свойств стержня, т. е. формы свободных затухающих колебаний совпадают с формами свободных неза­ тухающих колебаний.

Возвратимся теперь к уравнению (207), описывающему, оче­ видно, процесс затухающих колебаний; его решение Эдмеет вид

Тг— е~пг1(Arsin p*t + Brcos p*t);

(208)

здесь

(209)

(210)

133

Выражение (209) определяет темп затухания, а выражение (210) — частоту колебаний.

Таким образом, полное решение уравнения задачи имеет вид

с/э
а = 2 K e~nrt(Лтsin p\t + Brcos p)t).	(211)

T— 1

Постоянные Сти DTвсегда можно найти по заданным началь­ ным условиям. Пусть начальные смещения и начальные скоро­ сти всех сечений стержня заданы следующим образом:

и (х, 0) = h (х); at (х, 0) =	fs(х),	(212)
где fi (х) и fz{x) — известные функции.	(211) и (212)	имеем
Тогда при t —0 согласно уравнениям

Г=1

h M ^ ^ ( A rp-r- B rnr)Xr(xy,

Г = 1

умножая обе части этих равенств на Хг(д:) и интегрируя в пре­ делах всей длины стержня, получим

Jf1	(*) х г(*) dx= ВrJ [Хг(х)]2 dx\
о	О
	(213)

I h (x)Xr(x)dx = (Arp*— B,nr) f [*,(*)]*<**•

о

Соответственно условию ортогональности собственных форм все остальные слагаемые, входящие в правые части этих ра­ венств, обращаются в нуль. Теперь из равенства (213) нетрудно найти Ати Втдля любого номера г.

Рассматривая выражения (209) и (211), заметим, что чем выше номер формы колебаний Хт, тем быстрее ее затухание. Кроме того, слагаемые, входящие в выражение (211), описыва­ ют затухающие колебания, если р* есть действительное число.

Из выражения (210) видно, что это имеет место лишь для не­ скольких начальных значений г, пока выполняется неравенство

2
kp2Ег < 1.	(214)

При достаточно больших значениях г неравенство (214) на­ рушается и величина р* становится мнимой. При этом соответст­ вующие члены общего решения (211) уже не будут описывать

134

затухающих колебаний, но будут представлять апериодическое затухающее движение. Другими словами, колебания, в обычном смысле слова, выражает только некоторая конечная часть сум­ мы (211).

Все эти качественные заключения относятся не только к слу­ чаю продольных колебаний, но и к случаям крутильных и изги­ бающих колебаний.

9. КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ ПЕРЕМЕННОГО СЕЧЕНИЯ

Основные уравнения

В тех случаях, когда распределенная масса и сечение стерж­ ня переменны по его длине, следует вместо уравнения продоль­ ных колебаний (157) исходить из уравнения

с	2 д_	(215)
	дх
Уравнение крутильных колебаний (168)		должно быть заме-

нено уравнением

(216)

а уравнение поперечных колебаний (173) — уравнением

(217)

Уравнения (215) — (217) при помощи однотипных подстано­ вок и = X(x)T(t); ф = X(x)T(t); у = Х(х)Т(f) можно привести к обыкновенным дифференциальным уравнениям для функ­ ции Х(х)

(FX') + -zr FX = 0;		(218)
(1Х'у +	IX = 0;	(219)
(EJX")"— mp2X = 0		(220)

и одному уравнению для функции Т(t).

Уравнения (218) — (220) в отличие от уравнений, решенных выше, имеют переменные коэффициенты.

Замкнутую форму решений можно получит^ лишь в отдель­ ных случаях, когда переменные F, /, £ /, m определены специаль­ ными зависимостями. В общем случае неизбежен переход к при­ ближенным способам. В частности, возможен путь, основанный на сосредоточении распределенной массы в ряде точек по длине стержня; после этого система сохраняет лишь конечное число степенной свободы, равное числу точек приведения. Широко

135

используются различные варианты вариационного метода (см. ниже). Наконец, с большим успехом может быть применен способ последовательных приближений.

Теорема Рэлея

Согласно этой теореме истинное значение низшей собст­ венной частоты всегда меньше приближенного значения часто­ ты, найденного энергетическим способом. Докажем эту теоре­ му для случая изгибных колебаний; совершенно аналогично она доказывается для других случаев.

Положим, что при решении энергетическим способом задачи о свободных изгибных колебаниях, была принята форма колебаний f = f(x). Тогда соответствующая статическая нагрузка [т. е. на­ грузка), способная вызвать изгиб по кривой f(x)] может быть представлена в виде

q = (EJf')",

и, следовательно, приближенным выражением для квадрата частоты (30) будет

i	i	(221)
р2 =	(EJf')"fdx|: ^j* rnfdxJ.
о	b

Ввиду известного произвола в выборе функции f(x) она не совпадает ни с одной из собственных форм, которые являются точными решениями; однако функцию f(x) можно представить в виде ряда по этим формам. Если ищут низшую собственную частоту, то функцию f(x) можно представить в виде

f (х) = Хг(х) + № (х) + bsX3 (х) + ...

(222)

При удачном выборе функция f(x) близка к ХД*), и поэто­ му коэффициенты Ъъ, 63... — малые числа.

Два раза продифференцируем выражение (222) по х, затем умножим обе части на жесткость EJ и вновь дважды продиффе­ ренцируем результат. Тогда получим

(EJfJ = (EJXd” + h (EJXiy + b3(EJXz,)" + . . .

(223)

Согласно основному уравнению (220) можно записать

СEJX])” = тр\Х\ {EJXly= тр\Х\. ..

Подставив это в выражение (223), получим

(Е1Г)" = т(р?Х, + 62р|Х2+ Ь„р1Х3+...) .

(224)

136

При 'помощи выражений (222) и (224) образуем числитель

формулы (221):
(EJrYfdx =	Г т (X, + Ь Л + Ь3X, + . . . ) (Р?Х, + (у>2А +
О	о
	+ KPV^Z + •••)<&•

Вследствие ортогональности собственных форм все интегра­ лы от произведений, где индексы сомножителей различны, рав­ ны нулю; поэтому

J (EJf'Y'fdx = p f j mX\dx +р\Ъ\J mXtdx + . . .

(225)

Знаменатель формулы (221) получим при помощи выраже­ ния (222) в виде

i i

	ш -f- boXn -j- b$Xз -f* •••)^dx =
о	о
	= J mX\dx -j- bl J mXtdx + b\JmXf - f .	(226)

Здесь также исчезают все члены, содержащие произведе­ ния ХтХп. Подставляя выражения (225) и (226) в формулу (221), получим квадрат низшей частоты

(227)

рТ

Так как р\<р $ < Рз-, то все дроби — больше единицы

Pi

и, следовательно, все члены числителя, начиная со второго, больше соответствующих членов знаменателя. Поэтому вся дробь, входящая в выражение (227), больше единицы, т. е.

Р2 > РЬ

(228)

что и утверждается теоремой Рэлея.

137

Неравенство (228) справедливо не только для изгибных, но и для продольных и крутильных колебаний.

Метод Ритца

Зададимся несколькими функциями fi(x), f2 (-v), fn(x), каж­ дая из которых удовлетворяет геометрическим граничным усло­ виям задачи, и образуем функцию f(x) как сумму

f (я) = Cifi +	Сз/ь + . . . -\-cnftr	(229)
Если эту функцию подставить в формулу Рэлея (30)
f EJ (f")4x
Р2= Ц	----------- ,	(230)
	|’ mf*dx
	о

то результат будет зависеть от конкретного выбора коэффициен-

ТОВ С\ч C2i £з> * * •у Сц*

Метод Ритца основан на простой идее: коэффициенты сi, с2, .... сп должны быть выбраны так, чтобы вычисление по форму­ ле (230) дало наименьшее значение для р2. Из теоремы Рэлея

вытекает, что такой выбор будет наилучшим					(при данной систе­
ме функций f{).
Условия минимума р2имеют вид
		I
	_д_	f EJ (f")4 x
		о	(г =		1,2 ... );
	dci	i
		j* mf^dx
		b
I		l	l		l
j El (П «* ]Г j mpdxj -			[ ^ - J mf*dxj [ f EJ (П М *) =			0.
o		0	0	l	0
Разделив это	уравнение на		интеграл J		mf2dx и учитывая
формулу (230),	получим
					(* = 1,2,..).	(231)
Уравнения (231)		однородны	и линейны относительно сь Сч...
и их число равно числу членов выражения				(229). Приравняв.ну­
лю определитель, составленный из коэффициентов при Си						—»

получим частотное уравнение. Это уравнение не только даст хо­ рошее приближение для низшей частоты, но также определит (хотя и с меньшей точностью) значения высших частот; при этом

138

можно будет найти столько частот, сколько слагаемых принято в выражении (229).

Метод Ритца, как и метод Рэлея,		позволяет решить задачу
в случаях разрывных функций £ / и т и		когда эти функции пред­
ставлены различными аналитическими		выражениями на различ­
ных участках	длины балки.	иной форме. Например,
Иногда та	же идея используется в

при исследовании поперечных колебаний турбинных лопаток за­

даются функцией f(x) — axs (начало координат									в закрепленном
конце). Применяя затем формулу
Рэлея		(230), получают частоту в ви­
де зависимости от показателя степе­
ни s. Затем определяют (обычно при
помощи числовых						расчетов), како­
му	значению s отвечает						наимень­
шая частота. Это позволяет доволь­
но надежно				определить как форму,
так	и	частоту				колебаний первого
тона.
Пример 15.				Определить методом Ритца низшую собственную частоту попе­
речных		колебаний консоли переменного сечения, имеющей							толщину, равную
							х		Л3 '	рА
единице; высота изменяется линейно: Ля = — Л (рис. 69); I =									~ ^3~.г; пг = ——х.
Точное значение низшей частоты найдено Кирхгофом в виде
						Р =	2.657А	Е_
Для		приближенного решения примем'/а /						Зр ’
f (х) =			(х) + Со/г (х) + . . . — ci						- к . . ; (232)
каждый		член	этого		разложения		удовлетворяет граничным		условиям	задачи:
fi (х)	=	0, f 'i	(я) =		0	при х =il.

Если ограничиться одним членом, то получим по методу Рэлея (ошибка около 3% )

Р =

Чтобы получить		лучшее приближение, возьмем два члена разложения
<232)	и, подставив их в выражение (231), получим
		,	^	2сгс2
J2j3	£(Cl — ^са)2 +	g ca(ci 2с2) -j- 6c|j — р2-~ ~ 30	1	105 + 280

Дифференцируя это выражение поочередно по Ci и с2, приходим к урав­ нениям

(233)

139

Приравнивая нулю определитель, составленный из коэффициентов этих уравнений, получим уравнение частоты; наименьший корень уравнения

2-660А Г R

Р =

1г у Зр *

дает ошибку 0,1 % QT точного значения.

Метод Бубнова—Галеркина

По этому методу в уравнение (220) следует вместо Х(х) под­ ставить приближенно выбранное выражение f(x) и затем образо­ вать интеграл

J [{EJf'Y — mp2f) fdx = 0;	(234)
о

отсюда, в частности, следует формула Рэлея (221).

Если принять f(x) в виде (222) и рассматривать каждое из слагаемых fi(x) как возможное перемещение, то вместо (234) получим соотношение, выражающее равенство нулю виртуальной работы,

J [{EJf')" — mp*f] fidx = 0.	(235)
о

Таких равенств можно записать столько, сколько слагаемых содержится в принятом выражении (222). Каждое из уравнений

(235)однородно и содержит неопределенные величины С\, с2, ...

впервой степени. Приравняв нулю определитель системы (235), получим частотное уравнение.

Метод Бубнова — Галеркина обладает одной особенностью, которая относится к граничным условиям. Если функции fc(x)

удовлетворяют только геометрически граничным условиям (как

говорилось, такие функции могут быть использованы при реше­ нии по способу Ритца), то это может привести к большим ошиб­ кам при решении по способу Бубнова — Галеркина. Дело в том, что не связывая функции f(x) силовыми граничными условиями

(например, не обращая внимания на условия = 0 при шарнир­ ной опоре или f"t —0 и fj” = 0 на свободном конце), неявно при­ знаем существование таких граничных усилий, которые в дейст­ вительности отсутствуют. Подсчитывая затем общую работу, одновременно вводим работу этих усилий, что и является источ­ ником ошибки. Для компенсации ошибки следует вычесть из ле­ вой части выражения (235) «излишнюю» работу этих гранич­ ных усилий.

Обычно поступают иначе, и заранее подчиняют функции не только геометрическим, но и силовым граничным условиям. При

140

таком выборе функций методы Ритца и Галеркина дают совпа­ дающие результаты.

Пример 16. Определить методом Бубнова—Галеркина низшую частоту поперечных колебаний консоли, рассмотренной в примере 15 (рис. 69).

Принимая в качестве формы колебаний

удовлетворяем как геометрическим условиям на правом конце, так и силовым условиям на левом.

Дифференцируя f(x) два раза, умножая на

и вновь дифференцируя два раза, получаем

Подставляя в выражение (235), находим

I

Отсюда получим те же уравнения (233), как и по методу Ритца.

В задачах о продольных или крутильных колебаниях стерж­ ней уравнения метода Бубнова — Галеркина (235) составляются подобным же образом.

Метод последовательных приближений

Прежде всего докажем, что обычный процесс последователь­ ных приближений (см. § 7) приводит к первой собственной форме. Основой процесса является сравнение двух кривых ап и ап+и из которых вторая получается как линия прогибов, вы­ званных нагрузкой тап; при этом приближенное значение квад­ рата частоты определяется формулой

шах

(236)

(°л)шах

141