книги / Основы прикладной теории упругих колебаний
..pdfсоответственно равные —су и —cz. Проекции сил инерции диска изображены на отдельных схемах (рис. 77, б—-г): проекции си
лы инерции относительного движения —ту и — mz; проекции силы инерции переносного движения тару и та>22 ; проекции ко
риолисовой силы 2mtdz и —2тсау. Уравнения движения диска
— су — ту + т<а2у + 2mcoz = |
0; |
(276) |
||
|
|
|
|
|
— cz — mz + mwzz — 2тшу = |
0. |
|
||
Если воспользоваться соотношением с = |
тр2 (где р — собст |
|||
венная частота невращающейся системы, причем р = |
сокр)» полу |
|||
чим основную систему уравнений |
|
|
|
|
У + |
(р2 — <»2)У — 2о)2 = |
0; |
|
(277) |
г + |
(р2 — а)2) 2 + 2шу = |
0; |
|
|
|
|
|||
при со ф р ее частное решение может быть принято в виде |
||||
у = агsin(Xt + a); z ='a2cos(Xt -+- а). |
(278) |
Подставив выражения (278) в уравнения (277), получим
— ааЯ2 + |
(р2 — ш2) аг + |
2«ш2Я = |
0; |
\ |
^79) |
— а2Я2 + |
(р2 — to2) а2 + |
2 т х% = |
0. |
J |
|
Эта однородная система имеет отличные от нуля корни толь ко в том случае, если равен нулю определитель, составленный из коэффициентов системы
р2 — со2 — Я2 |
2<оЯ |
2шЯ |
= 0, |
р2 — (ь2 — Я2 |
т. е.
[(р2 — ш2) — Я2]2 — (2шЯ)2 = 0.
Отсюда находим два корня для Я2:
= (р + °>)2; AJ = (р — со)2.
Подставляя поочередно каждый из этих корней в любое из уравнений (279), можно найти отношение между амплитудами ai и я2. Первому корню отвечает равенство а\ —а2, а второму а{ = —а2.
Поэтому общее решение системы (277) должно записывать
ся в виде |
Агsin [(р + |
со) t + |
ах] + Л2 sin [(р — со) t + |
а2); |
У= |
||||
2 = |
Л], cos [(р + |
(o)t + |
ах] — Л2 cos [(р — ш)£ + |
а2]. |
162
Постоянные Ль Аг, ai и аг определяются начальными условия ми движения.
Таким образом, всякое возмущение приводит к упругим ко лебаниям с постоянной амплитудой; это может служить свиде тельством устойчивости невозмущенного состояния равновесия как при (о < р, так и при © > р (случай со = р пока исключен из рассмотрения). Полезно заметить, что частоты обоих колебаний со -f р и со — р отличаются от собственной частоты колебаний невращающейся системы.
Втом особом случае, когда со —р, одна из частот обращается
внуль и соответствующая составляющая движения перестает носить колебательный характер; это сви детельствует о неустойчивости невозму щенного состояния равновесия.
Система, представленная |
на |
рис. 78, А |
в |
|||||
обладает несколько |
иными |
свойствами. |
|
|||||
В этой системе, также совершающей вра |
|
|||||||
щение с угловой скоростью со, упруго за |
|
|||||||
крепленный груз массы т может |
сколь |
|
||||||
зить вдоль направляющей АВ; |
©о |
вра |
|
|||||
щающейся |
системе |
координат |
г —0 и |
|
||||
движение |
описывается |
одной |
функцией |
|
||||
у = y{t). Положим, |
что |
жесткость |
пру |
|
||||
жины равна с и положение груза на оси |
|
|||||||
вращения |
соответствует |
состоянию |
рав |
|
||||
новесия. Исследуем |
свойства |
|
движения |
|
||||
груза при нарушении этого состояния. |
|
Пусть в текущий момент времени груз находится на расстоя нии у от оси вращения. При записи дифференциального уравне ния относительного движения груза необходимо учесть силу упругости —су и силу инерции переносного движения ты2у; та ким образом, получаем
— су А- ттРу = ту,
т. е. |
(280) |
|
'« + Ц - « * ) у = ° -
Из этой записи уравнения непосредственно видно, что при со2 <
< — движение будет представлять собой колебания
т
у = a sin
т
163
6*
происходящие с частотой |
— — со2, меньшей, |
чем частота |
колебаний груза при отсутствии вращения р = |
. |
Поскольку возмущенное движение представляет собой колеба ния с постоянной амплитудой, постольку невозмущенное состоя ние равновесия груза (на оси вращения) следует считать устой-
чивым.
Обратимся теперь к случаю, когда
>—
m
При этом решение дифференциального уравнения (280) при обретает вид _______
т. е. движение носит характер апериодического ухода системы от начала координат. Это означает, что в данном случае невозмущеиное состояние равновесия неустойчиво.
Окончательно можно заключить, что рассматриваемая систе ма устойчива только при угловых скоростях, меньших, чем собст венная частота колебаний невращающейся системы. Напомним, что диск на валу (см. рис. 74) устойчив при любых значениях уг ловой скорости со, отличных от значения а>Кр, как при со < (£>кр, так и при со > сокр; в этом и состоит основное различие между си стемами .на рис. 74 и 78.
Устойчивость системы на рис. 74 при со > сокр объясняется относительным движением в направлении оси z и связанными с этим движением кориолисовыми силами, действующими вдоль оси у.
Гироскопический эффект
Выше рассматривался случай, когда вращающийся диск все время остается в одной плоскости. Это имеет место, например, для двухопорной схемы вала с диском, расположенным посреди не между опорами, и является прямым следствием симметрии. Однако в большинстве случаев плоскость диска меняет свою ори ентацию в процессе движения; при этом возникают специфиче ские явления, которые называют гироскопическими.
Прежде всего рассмотрим вспомогательную задачу о враще нии твердого тела, состоящего из тонкого диска и вала, вокруг оси АА\, которая составляет малый угол а с осью вала (рис. 79, а); угловая скорость вращения равна со, а расстояние А от центра диска О до оси вращения постоянно.
164
При этом движении любая точка диска описывает круговую траекторию, радиус которой г равен расстоянию от точки до оси АА\; соответственно этому элементарная масса dm развивает центробежную силу оo2rdm.
Свяжем с центром диска О оси подвижной координатной си стемы ху. Центробежная сила aPrdm параллельна плоскости ху и может быть разложена на составляющие (а2(х + A)dm (парал лельно оси х) и aPydm (параллельно оси у). Приводя совокуп
ность всех центробежных сил к центру О, получаем составляю щие главного вектора сил инерции
Рх — J ш2 (x -f- A) dm —тшаА;
( т )
Ру = f (o2ydm —О,
( т )
т. е. главный вектор сил инерции направлен вдоль оси х и не имеет составляющих вдоль других осей.
Обратимся к определению моментов сил инерции относи тельно осей х и у. Точка приложения элементарной центробеж ной силы расположена на расстоянии ах от плоскости ху.
165
Поэтому моменты этих сил относительно указанных осей
Мх = Г xau)*ydtn = 0; |
|
|
|
( т ) |
|
|
|
Му = — J хаю2 (х -f A) dm — — /^<0%, |
(281) |
||
( т ) |
|
|
|
где /у — момент инерции диска относительно его диаметра. |
|
||
На рис. 79, б |
представлено |
||
действие |
силы |
Рх и момента |
|
Му. Важно заметить, что |
мо |
||
мент относительно оси Му как |
|||
бы стремится совместить |
ось |
||
вала с осью вращения; в этом |
|||
и состоит существо рассматри |
|||
ваемого |
гироскопического |
эф |
|
фекта. |
|
|
|
Теперь можно обратиться к основной задаче. Обычно пере
кос диска |
не является |
задан |
|||||
ным, |
|
а |
возникает вследствие |
||||
изгиба |
вала, например, |
когда |
|||||
диск расположен в стороне |
от |
||||||
середины пролета (рис. 80, а). |
|||||||
Начальный |
эксцентрицитет бу |
||||||
дем считать отсутствующим и |
|||||||
определим |
критическую |
ско |
|||||
рость из условия |
возможности |
||||||
равновесия |
изогнутой |
формы |
|||||
оси |
вала. |
Пусть г — прогиб |
|||||
оси |
вала в сечении, с которым |
||||||
связан диск; а — угол поворота |
|||||||
этого сечения. На вал действу |
|||||||
ет центробежная сила ггкокрг и момент — 1у®кри' |
Воспользуемся |
||||||
единичными перемещениями (рис. 80, б, |
в). |
|
|
|
|
бтт — прогиб вала в месте расположения диска от единичной центробежной силы;
баг — прогиб вала в месте расположения диска от единичного момента;
баг — угол поворота плоскости диска от единичной центро бежной СИЛЫ (баг = б га ) ",
баа — угол поворота плоскости диска от единичного момента. При помощи единичных перемещений можно записать полные
перемещения г и а в следующем виде: |
|
|
г — }тш>кргЬгг |
■7уЮК0а6га; |
|
ОС — JTIWк р ^ 8 а г |
% |
JOLCLy |
166
или
/* (1 иШкр8гг) “Ь / у^крЬгаР- — 0 ;
(282)
ГГШРкрЬаг ~Ь" ОС (1 — Iу<йкрЬа.а) = 0 .
Полученные два алгебраических уравнения относительно не известных (прогиба г и угла а) однородны; поэтому чтобы пере мещения г и а не были равны нулю, необходимо равенство нулю определителя:
(283)
2 |
1 |
2 |
ПШкрЬаг |
1 |
/ у®крбаа |
составленного из коэффициентов системы уравнений (282). Раз вернув определитель, получим биквадратное уравнение для кри тической угловой скорости
4 |
тЬгг - |
1 у К , |
О)Кр |
= 0. (284) |
|
m/ff(6**6r r - 6l ) |
|||
|
|
mlg(baabrr-b lr) |
||
Уравнение (282) |
имеет только |
один положительный корень |
||
для со^р |
и поэтому |
определяет единственное значение критиче |
ской угловой скорости. Если действительная угловая скорость отличается от со*Р, то определитель, составленный из коэффици
ентов системы (283), будет отличаться |
от нуля и |
вместе с тем |
|||||||
получится г = |
0 и а = 0. |
|
|
|
|
|
|
||
Подробно остановимся на случае консольного вала. В этом |
|||||||||
случае |
|
|
|
|
р |
|
|
I |
|
бГ — |
|
|
|
бact — |
|
|
|||
|
|
|
2EJ ’ |
EJ |
’ |
||||
|
|
|
|
|
|
||||
и уравнение (284) принимает вид |
|
|
|
|
|
||||
4 |
, 12EJ |
( |
ml2 |
2 |
12ЕЧ2 |
= |
0. |
(285) |
|
ш кр + |
mlyl3 |
V |
3 |
|
mlyl4 |
||||
|
|
|
|
|
|
Для дальнейшего исследования удобно ввести безразмерные параметры
/С = |
’™1р13 |
D = |
|
EJ |
ml2 |
Тогда вместо уравнения (285) получим К *+ « ( - 1 - 3 ) - ^ = о,
т. е.
К —2 3
167
(отрицательный знак перед корнем опущен, как приводящий к физически невозможному результату). На рис. 81 представлен график зависимости К = K(D). Предельными являются случаи D = 0 (отсутствие инерции поворота диска) и D -> -^ (бесконеч но большая инерция поворота диска); в первом из этих случаев
получается обычный результат (^ткр = |
^а во ВТ0Р0М — ре- |
зультат, |
соответствующий |
такому |
диску, который со |
храняет |
неизменную плос |
кость вращения.
|
- |
г |
- П |
г |
а — |
— «-даа-Н 1 |
|
Рис. 81 |
Рис. |
82 |
Пример 17. На конце консоли двухопорного вала (рис. 82) находится тонкий диск диаметром 0,6 а (а — пролет вала); долина консоли равна 0,5 а. Определить критическую угловую скорость вращения вала с учетом гироско пического эффекта.
Прежде всего находим единичные перемещения
бгг = |
0,125 |
EJ |
баг = |
6га |
0,292 — |
; |
||
|
|
|
|
|
|
EJ |
||
|
|
баа = |
0,833 |
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
EJ |
|
|
|
Далее находим момент инерции массы диска |
|
|
|
|||||
|
j = |
jBj O |
^ |
= 0 0 2 2 5 |
т |
а 2 . |
|
|
|
У |
1А |
|
|
9 |
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
Уравнение (284) |
принимает вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
EJ |
2 |
о осп ( |
|
|
|
|
(Окр + 250 ——(окр— 2350 |
|
= |
0; |
|||||
|
|
т а? |
|
|
(■ |
|
||
отсюда |
|
|
|
та |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
EJ |
|
|
3,02 |
|
EJ |
|
0)«-n — 9}1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
*кр |
|
т ег |
|
— |
|
1 |
т а |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
Если не учитывать гироскопического влияния, то по элементарной формуле получим
шкр = р = |
I |
1 |
2,83 _ / ' |
EJ |
||
т б гг |
1 |
/ |
т а |
|||
|
||||||
|
|
|
Таким образом, гироскопический эффект повышает критическую скорость почти на 7%. Увеличение критической скорости есть результат повышения жесткости системы вследствие сопротивления д и ск а изменению плоскости вра щения.
168
Критические скорости вращения вала, сечение которого имеет различные главные моменты инерции
Рассмотрим случай, когда сечение вала имеет различные глав ные моменты инерции (вал со шпоночными канавками или сня тыми лысками, вал ротора двухполюсной электрической машины с продольными вырезами для обмотки и т. д.). Положим, что на чальный эксцентрицитет отсутствует, и не будем принимать во внимание гироскопический эффект; эти упрощения позволят наи более четко определить влияние основной особенности — разли чия изгибных жесткостей вала. Угловые скорости вращения вала и диска будем считать одинаковыми и неизменными во времени; как указывалось выше, это может быть обеспечено надлежащим изме нением внешнего вращающего мо мента.
Воспользуемся прежним спосо бом рассуждений и рассмотрим воз мущенное положение сечения, пока занное на рис. 83. Здесь необходим более определенный выбор вращаю щейся координатной системы. При рассмотрении схемы на рис. 77 ука зывалось, что координатная система
ху вращается с той же угловой скоростью ©, что и диск; сейчас дополнительно отметим, что оси у и z выбраны параллельно главным осям инерции сечения вала (1—1 и 2—2). Параллель ность будет сохраняться все время, так как угловые скорости вращения диска и системы координат одинаковы. В таком слу чае уравнения движения диска будут иметь вид уравнений (276), но вместо жесткости с придется иметь дело с двумя жесткостями Ci и Сг, различными для осей /—1 и 2—2. Тогда получим систему
— ciУ— ту + тш2у + 2 тсог = 0; |
(286) |
||||
— c2z — mz + ma>2z ■ |
2тшу = 0. |
||||
|
|||||
Заменим С\и с2 по формулам |
|
|
|
||
ci = |
тр\\ с2 = тр1, |
(287) |
|||
где pi и р2 собственные |
частоты |
колебаний |
невращающейся |
||
системы. |
|
|
|
|
|
Тогда подобно уравнениям (277) получим |
|
||||
У +{р\ — ш2) у — 2(02 = |
0; |
(288) |
|||
2 + (р| — <о2) 2 + |
2(»у = |
0. |
|||
|
Наибольший интерес представляет основной вопрос — при ка ких угловых скоростях вращения ш имеет место критическое со
169
стояние. Из рассмотрения системы (288) можно заключить, что критические состояния соответствуют угловым скоростям « = р\ и со = р2. В первом случае возможно решение у = const и z = О, а во втором случае у = 0 и z — const. Оба решения определяют критическое состояние, поскольку изгиб вала сохраняется при от сутствии начального эксцентрицитета е.
Остается пока неясным, каким будет состояние вала при уг ловых скоростях (о, лежащих в интервале [pj, р2]. Докажем, что критические состояния соответствуют всему этому интервалу.
Решение системы уравнений (288) ищем в форме
у = агеи\ z = агеи. |
(289) |
||
Подставив выражения |
(289) |
в уравнения |
(288), получим два |
однородных уравнения относительно ахи я2 |
|
||
(А2 + р\— ш2) ах— 2шАа2 = |
0; |
||
2u)Ай j |
(A -J- р2 — о) ) й2 == 0. |
||
Условие ненулевых решений для ахи а2 имеет вид |
|||
А2 + р\ — ш2 |
— 2шА |
= 0, |
|
2«>А |
|
A2 -J- р | — о)2 |
|
|
|
т. е.
А4 + А2(р2 + pi + 2ш2) — (р2 — to2)(р\ —ш2) = 0.
Решив это биквадратное уравнение, получим два действи тельных корня для А2:
А2 = |
— (р 2 + pi + 2<о2) + ]/* ( р ! — р 2) “ + 8<о2 (р 2 + р 2)j . |
Поэтому все корни АД/ = 1, 2, 3, 4) — чисто мнимые или дей ствительные. Мнимым корням соответствует колебательное дви жение с постоянными амплитудами, а отрицательным действи тельным корням — апериодический затухающий процесс. Одна ко, если имеется положительный корень А, то с течением времени смещения у и z будут стремиться к бесконечности, т. е. исходный режим неустойчив.
Но для положительности одного из корней необходимо, что бы выполнялось неравенство
V (pi — p i)2 +8ш2(р? -{- р2) > р2 + pi + 2со2. |
(290) |
Возводя обе части неравенства (290) в квадрат и приводя по добные члены, получим
(со2 — р2) («)2 — р2) < 0.
170
Это неравенство удовлетворяется, если (о лежит в пределах Р\ ^ ю ^ р2, что и доказывает неустойчивость вала в указанном интервале угловых скоростей вращения.
Из сказанного вытекает, что различие жесткостей Су и с2 вы зывает увеличение опасности наступления критических состояний.
Влияние веса диска при горизонтальном расположении вала
Если ось х вала на рис. 83 горизонтальна, то при составлении уравнений движения необходимо учесть также силу веса, проек ции которой соответственно равны —mg sin о>/ и —mg cos со/. Тог да вместо уравнений (286) получим
—сгу — ту + тш2у + 2ти>г— mg sin Ы= 0;
—c2z — mz + nmh — 2mcog— mgcos ш/ = 0.
Заменив Су и с2 по формулам (287), приходим к неоднородной системе уравнений
У+ (р? — °>2) g — 2i»z = — g sin со/; |
(291) |
|
z + (pi — ш2) г + 2ti>g = — g cos ш/, |
||
|
которая отличается от системы (288) наличием правых частей. Общее решение системы (291) состоит из суммы решения одно родной задачи (288) и частного решения уравнений (291). Реше ние однородной задачи (289) обнаруживает критическое состоя ние во всем интервале [pi, р2]. Рассмотрим частное решение си стемы (291), которое позволит выяснить еще одну возможность критического состояния. Примем частное решение в форме
у — агsin ш/; |
z —а2 cos ш/. |
(292) |
Подставляя выражения (292) |
в уравнения |
(291), приходим |
к неоднородной системе алгебраических уравнений для амплитуд
а.\и а2:
—си0)2 + (р? — ш2) ay -f 2а2о)2 = — g;
—а2а>2— (pi — ш2) а2 -f- 2ai<n2 = — g.
Решив систему, получим
p i — 4ю2
ai = — g
p \p l — 2ш2 (р? + Р%)
— 4Ц>2
а2 = — g
р?р| — 2ю2 (р| + р|)
171