книги / Функциональный анализ
..pdf§ 4. ВЕКТОРНОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ |
101 |
Для того чтобы функция x(t) была суммируемой, необходи мо и достаточно, чтобы она была сильно измеримой и чтобы ее норма ||x(f)ll была суммируемой.
Интеграл по любому измеримому множеству е е [а, р] можно определить как
JРX e ( t ) x ( t ) d t = j X ( t ) d t ,
а е
где —характеристическая функция множества е. Интеграл Бохнера обладает многими обычными свойствами интеграла Ле бега. Для него также справедлива оценка
к* |
н |
J x(t)dt |
< |||* (* )||М . |
Функция y(t)j представимая неопределенным интегралом
y(t) = Jt x(x)dx
a
от суммируемой функции х{х), почти во всех точках отрезка имеет (сильную) производную, причем в этих точках у' (() = = x(t). Теорема о том, что всякая абсолютно непрерывная функ ция представима в виде неопределенного интеграла от сумми руемой, для функций со значениями в банаховом пространстве, вообще говоря, не верна.
Если А — ограниченный линейный оператор, отображающий банахово пространство Е в банахово пространство F, и x(t) — суммируемая функция со значениями в Е, то Ax(t) — суммируемая'функция со значениями в F и
Р |
Р |
| |
A x { t ) d t — A j х (t) dt. |
а |
а |
Совокупность всех суммируемых на [а, р] функций со значе ниями в банаховом пространстве Е образует линейную систему Li(E;[a, р]), в которой вводится норма
Р
L, Ш; [о, р]) “ { ИХW II dt-
102 ГЛ. II. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
В |
этой |
норме |
пространство Ь\(Е)[а, р]) банахово. Аналогич |
|||||
но |
скалярному |
случаю |
вводятся |
банаховы пространства |
||||
|
|
|
|
М £ ;[ а ,Р 1 ) ( 1 < Р < о о ) |
|
|||
с нормой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
? |
1iI P |
при |
1 < р < |
|
И |
Ы « |
> |
“ |
|
|
||
|
а |
|
|
|
||||
|
|
|
|
[ |
|
|
|
|
|
II |
|
[а. р,) = v гai sup ! ! * ( / ) II |
при |
р = оо. |
Ли т е р а т у р а : [27], [58].
Г Л А В А HI
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
§ 1. Теория линейных уравнений
1. Уравнения в конечномерных пространствах. Систему из
п линейных уравнений с п неизвестными можно'рассматривать как одно уравнение вида Ах = у в н-мерном евклидовом прост ранстве Rn, где у *—заданный вектор правых частей, х ~ иско мый вектор решений, А — линейное преобразование, определяе мое матрицей системы. В алгебре устанавливаются следующие основные факты:
1. Уравнение Ах — у разрешимо при любой правой части тогда и только тогда, когда однородное уравнение Ах = 0 имеет только тривиальное решение х — 0.
2.Уравнение Ах = у разрешимо тогда и только тогда, когда сопряженное уравнение A'g = / (с транспонированной матрицей А') разрешимо при любой правой части.
3.Уравнения Ах = 0 и A'g = 0 имеют одинаковое число ли нейно независимых решений.
4. Если уравнение Ах— у разрешимо не при любой пра вой части, то те правые части у, для которых оно разрешимо, образуют подпространство в Rn, являющееся ортогональным дополнением к подпространству всех решений уравнения
A ' g = 0.
Несколько более сложная картина возникает при рассмотре нии т линейных уравнений с п неизвестными при п Ф т. Для записи ее в векторном виде Ах == у следует считать, что опера тор А действует из и-мерного пространства Rn в m-мерное про странство Rm- В сопряженном уравнении A'g = f оператор А' будет действовать из Rт В Rn. Если, например, п > т , то одно родное уравнение Ах = 0 всегда имеет нетривиальное решение независимо от того, разрешима ли всегда система или нет. Таким образом, свойство 1 исчезает. Связь между разреши мостью уравнения и сопряженного к нему уравнения также нарушается*
104 |
ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ |
Вместо свойств 1—3 можно сформулировать такие: |
|
1°. Уравнение |
Ах — у разрешимо при любой правой части |
тогда и только тогда, когда однородное уравнение A'g = 0 имеет лишь тривиальное решение.
2°. Уравнение A'g = f разрешимо при любой правой части тогда и только тогда, когда однородное уравнение Ах — 0 имеет лишь тривиальное решение.
3°. Разность между максимальным числом линейно независи мых решений однородного уравнения Ах — 0 и максимальным числом линейно независимых решений сопряженного уравнения
A'g — 0 равна п — т.
Число п — т называют индексом уравнения Ах — у. Оно мо жет быть как положительным, так и отрицательным.
Свойство 4 остается в силе.
При рассмотрении линейных уравнений в бесконечномерных пространствах многообразие возможных случаев расширяется. Некоторые аналогии с конечномерным случаем теряются.
Ли т е р а т у р а : [57].
2. Основные понятия. Пусть на линейном многообразии
D(A) банахова пространства Е определен линейный |
оператор |
||
А, отображающий его в некоторое банахово пространство F. |
|||
Множество D (А) называется областью определения |
оператора |
||
А. Рассматривается линейное уравнение |
|
|
|
Ах = у |
(ye=F, xs=D(A))K |
(А) |
|
где у — заданный элемент |
пространства |
F, а х — искомый эле |
|
мент из D(A). Совокупность всех y ^ F , |
для которых уравнение |
(А) разрешимо, является линейным многообразием в F и назы вается областью значений R(A) оператора А.
Совокупность всех решений соответствующего однородного уравнения Ах — 0 является линейным многообразием в £ и на зывается нуль-пространством или ядром N (А) оператора А.
Различные свойства уравнения (А) описываются следующи ми определениями.
Уравнение (А) называется однозначно разрешимым нр, R(A),
если однородное уравнение Ах = 0 имеет только нулевое реше ние, т. е. А/(Л) = 0.
Уравнение (А) называется корректно разрешимым на R(A ),
если при x ^ D ( A ) |
справедливо неравенство ||*||я ^ k\\Ax\\p, где |
k не зависит от х. |
везде разрешимо, если /?(А) = F\ плотно раз |
Уравнение (А) |
решимо, если R(A) = F\ нормально разрешимо, если R(A) замк
нута.
Из однозначной разрешимости следует существование на /?(А) левого обратного оператора А~К Корректная разреши
§ 1. ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ |
105 |
мость эквивалентна ограниченности оператора Д-1. В этом слу чае решение уравнения непрерывно зависит от правой части.
Ли т е р а т у р а : [37].
3.Уравнение с замкнутым оператором. Линейный оператор
Аназывается замкнутым, если из того, что хп -+х0 и Axn -* y0 следует, что х0^ D(A) и Ах0= у0.
Ограниченный оператор, определенный на всем пространстве
Е, всегда замкнут. Весьма важным является тот факт, что и, на оборот, замкнутый оператор, определенный на всем банаховом пространстве, ограничен.
Если оператор А имеет левый обратный оператор, ограни ченный на замкнутом множестве /?(Л), то оператор А замкнут. В частности, только замкнутые операторы могут иметь ограни
ченные обратные, определенные на всем пространстве F. Расширением оператора А называется любой линейный опе
ратор Ai такой, что £)(Л!)=э£)(Л) и А{х = Ах для x<=D(A). Сужением оператора А на линейное многообразие D называется оператор Д2 такой, что D (Д2) = D и А2х = Ах при х <= D.
Если оператор А не замкнут, то он допускает замкнутое рас ширение в том и только том случае, когда из хп -> 0 (хп е D (А)) и Ахп -*у слёдует, что у = 0. Среди замкнутых расширений тогда есть наименьшее Д, которое является_ сужением всякого другого замкнутого расширения. Оператор А называется замы канием оператора А.
Изучение замкнутых операторов иногда сводится к изучению ограниченных операторов следующим приемом: в области опре деления D(A) замкнутого оператора А вводится новая норма
II * 1H I *11*+ 1Л* IIF (xs=D(A)).
В этой норме D(A) становится банаховым пространством ЕА. Оператор А ограничен, как оператор из ЕА в F. Более того, лю бой линейный оператор В, действующий из D(A) в F и допу скающий замыкание, будет ограничен, как оператор из ЕЛ в F:
|| Вх ||F |
С || х llj = С (|| х и# + |
1| Д*|| р). |
Нуль-пространство |
N(A) замкнутого |
оператора А является |
подпространством пространства Е. Имеют место утверждения: 1. Корректная разрешимость уравнения (А) с замкнутым опе
ратором А эквивалентна его однозначной и нормальной разре шимости.
2. Уравнение (А) с замкнутым оператором А нормально раз решимо тогда и только тогда, когда для каждого x ^ D ( A ) най дется такой элемент X G D (Д), - что А х = А х и II х || ^ k\\Ax || =? = &||Д*Н, где k не зависит от выбора x<=D(A).
Ли т е р а т у р а : [23], [27], [37], [58].
106 ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
4. Сопряженное уравнение. Обычно в приложениях линейный оператор А имеет некоторую естественную область определения, являющуюся линейным нормированным пространством. Это про странство можно пополнить до банахова пространства Е. Тогда оператор А будет иметь всюду плотную в Е область определения D(A)y что в этом пункте и предполагается.
Пусть g — ограниченный линейный функционал на прост ранстве F ( g ^ F ' ) \ тогда на D (А) определен линейный функ ционал g(Ax). Если он ограничен, т. е. \g(Ax) | ^ С\\х\\Е, то го ворят, что g<=D(A') и по определению полагают
(A'g) (х) = g (Ах).
Функционал A'g этой формулой определен только на D (Л), но так как D{A) всюду плотно в Е, то он допускает единствен ное расширение по непрерывности на все пространство Е : если,
хп -+х (xn ^ D ( A ) ) y то A' g(x)= lim g(Axn). Таким образом,
/2-* оо
можно считать, что А' отображает D(A')czFf в пространство Е'.
Этот |
оператор линеен и называется сопряженным оператором |
к А. |
Сопряженный оператор всегда замкнут. |
Следует иметь в виду, что область определения сопряженного оператора может не быть всюду плотной в пространстве F'. Если оператор А замкнут, то D(A') всюду плотно B F B слабой топо логии о(Е'уЕ). Если, кроме того, пространство F рефлексивно,
то D (А') всюду плотно в F7. |
сопряженное |
|
Наряду с уравнением |
(А) рассматривается |
|
уравнение |
|
|
A'g = f |
(f<=E't g t = D( A % |
(А') |
Для него аналогично вводятся понятия однозначной и кор ректной разрешимости, везде и плотной разрешимости.
Между свойствами уравнений (А) и (А7) имеются глубокие связи:
1. Для того чтобы уравнение (А) было плотно разрешимо, необходимо и достаточно, чтобы уравнение (А7) было однознач но разрешимо.
2. Для того чтобы уравнение (А) было однозначно разреши мо, достаточно, чтобы уравнение (А7) было плотно разрешимо.
Последнее свойство лежит в основе одного из методов дока зательства теорем единственности в теории дифференциальных уравнений: для доказательства достаточно показать, что сопря женное уравнение разрешимо для всюду плотного множества правых частей.
Нуль-пространство N (А') сопряженного оператора Л7 яв ляется ортогональным дополнением к области значений R(A) оператора А. Отсюда вытекает
§ и ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ |
107 |
3. Требование нормальной разрешимости уравнения |
(А) экви |
валентно требованию, чтобы оно было разрешимо для любой правой части, ортогональной всем решениям однородного урав нения A'g = 0.
Множества N (А) и R{A') также ортогональны, но каждое из них может не являться ортогональным дополнением к другому. В связи с этим для уравнения (А7) можно ввести два, вообще говоря, различных, понятия: уравнение (А7) называется замкну то разрешимым, если R{A') замкнута; уравнение (А7) называет ся нормально разрешимым, если оно разрешимо для любой пра вой части, ортогональной ко всем решениям однородного урав нения Ах = 0. Из нормальной разрешимости следует замкнутая разрешимость, но не наоборот.
4. Если уравнение (А) нормально разрешимо, то уравнение (А7) замкнуто разрешимо.
Свойство замкнутой разрешимости уравнения А7 эквивалент но следующему свойству уравнения (А): существуют константа k > 0 и плотное в /?(Л) множество М, для каждого элемента у\ которого найдется решение хх^ D ( A ) такое, что
5.Для того чтобы уравнение (А) было везде разрешимым, необходимо, чтобы уравнение (А7) было корректно разрешимым из /?(Л7).
6.Уравнение (А7) везде разрешимо тогда и только тогда, когда уравнение (А) корректно разрешимо на R{A).
Если оператор А замкнут, то замкнутая и нормальная раз решимость уравнения (А7) эквивалентны.
Ли т е р а т у р а : [23], [27], [29], [37].
5.я-нормальные и d-нормальные уравнения. Нормально раз решимое уравнение с замкнутым оператором Л, имеющим нуль-
пространство N (Л) конечной размерности я (Л), здесь называет ся п-нормальным (в этом случае оператор Л называют Ф^-опе ратором или я-нормальным оператором).
Множество М банахова пространства Е называется локально компактным в £, если пересечение любого шара Е с М компакт но в Е.
Для того чтобы уравнение (А) с замкнутым оператором А было п-нормальным, необходимо и достаточно, чтобы при ото бражении А прообраз каждого компактного множества из R{A) был локально компактным.
Нормально разрешимое уравнение с замкнутым оператором называется d-нормальным, если ортогональное дополнение к об ласти значений оператора /?(Л) имеет конечную размерность d(A).
108 |
ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ |
В следующей таблице указаны основные связи между свой ствами уравнений (А) и (А7) с замкнутым оператором А, имею щим всюду плотную область определения.
Уравнение (А) Уравнение (А')
однозначная разрешимость^ плотная разрешимость корректная разрешимость ФФ везде разрешимость
везде разрешимость |
ФФ корректная |
разрешимость |
плотная разрешимость |
^однозначная |
разрешимость |
нормальная разрешимость ФФзамкнутая |
разрешимость == нор |
|
n-нормальность |
мальная |
разрешимость |
ФФй-нормальность |
||
rf-нормальность |
ФФя-нормальность |
|
Л и т е р а т у р а : [37], [58], |
[139]. |
|
6. Априорные оценки. Как уже говорилось, для произвольно го оператора с плотной областью определения корректная раз решимость на /?(А), т. е. наличие оценки
II* HE < 6 II АхЦР (х <=D(A))
позволяет, утверждать, что сопряженное уравнение (А7) везде разрешимо. Для получения такой оценки не нужно знать, при каких правых частях разрешимо уравнение (А). С точки зрения теории уравнений ее содержание можно сформулировать так: если х — какое-нибудь решение уравнения (А), .то для него справедливо неравенство \\х\\Е ^ k\\y\\F. В связи с этим такие оценки получили название априорных.
' Для замкнутого оператора А наличие априорной оценки ^'gllp влечет за собой везде разрешимость уравне
ния (А). |
ч |
Таким образом, для замкнутого оператора А |
приведенные |
две априорные оценки являются необходимыми и достаточными условиями однозначной везде разрешимости уравнений (А)
и С4')-
Во многих случаях, однако, удается установить лишь более
слабые априорные оценки. |
компактно |
вложено (см. гл. I, § 4, |
|
Пусть пространство |
Е |
||
п. 10) в пространство |
Е0у а линейный |
оператор А с областью |
определения D(A)cnE является замкнутым оператором из E B F. Априорная оценка, о которой идет речь, имеет вид
\\х\\в < а \ \ х \ \ Е' + Ь\ \х \\р ( x e z D ( A ) ) .
В указанных условиях приведенная априорная оценка яв ляется необходимым и достаточным условием п-нормальности уравнения (А).
Аналогичный критерий имеется и.для d-нормальности урав нения.
§ 1. ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ |
109 |
Если оператор А замкнут, имеет плотную в Е область опре деления и пространство F компактно вложено в банахово про странство G, то для d-нормальности уравнения (Л) необходимо и достаточно наличие априорной оценки
II g II,, < а || g ||0 + b || A'g ||£, ( gz z D {А')).
В приложениях часто пространство Е' трудно описывается, поэтому вместо сопряженного оператора А' можно рассматри
вать оператор Л', являющийся сопряженным к Л, как оператору, действующему из Е0 в F (D(A) = Е = Е0). Оператор А' действует
из F' |
в Е'о и является сужением оператора А' на те функциона |
||
лы g |
из D(A'), для |
которых A'g е Е'о. Из замкнутой, |
нормаль |
ной |
разрешимости, |
н-нормальности, d-нормальности |
уравне |
ния (А) соответственно следует замкнутая, нормальная раз решимость, /г-нормальность, ^/-нормальность уравнения (А7).
При этом п(А') = п(А') и d (Л7) d (А') .
Если Е плотно вложено в Е0 и оператор Л замкнут, как оператор йз Е0 в F, то свойства нормальной разрешимости, /г-нор-
мальности и d-нормальности уравнения (А7) и (А7) эквивалент
ны. При этом d(A') = d(A') = п(А). Таким образом, при ука занных условиях для изучения свойств уравнения (А) можно
рассматривать лишь то из уравнений (А7) и (А7), которое иссле дуется проще.
Ли т е р а т у р а : [37].
7.Нетеровы уравнения. Уравнение (А) называется нетеро вым, если оно я-нормально и d-нормально. Оператор Л в этом случае называется нетеровым или Ф-оператором*). Число
и(Л) = л(Л)-£*(Л)**)
называется индексом уравнения (А) или индексом операто ра А ***).
Весьма важным является следующее свойство индекса: если операторы А и В нетеровы и оператор В имеет всюду плотную область определения, то произведение ВА также является нете ровым оператором и его индекс равен сумме индексов А и В:
к {ВА) = к (Л) + и (5).
Если D(A) = Е, то сопряженное к нетеровому уравнению (А) будет нетеровым и х(Л7) = —х(Л).
*) Терминология не установилась и часто Ф-оператор называют фредгольмовым.
**) Иногда индексом называют число —к (Л).
***) Для «-нормального уравнения можно считать к (Л) = —оо, для d-нормального уравнения к (А) = -f-oo,
п о ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Пусть оператор А действует в пространстве Е, имеет всюду плотную в Е область определения и является нетеровым. Тогда операторы Л2, Л3, '... также будут нетеровыми. Через Nh(A) обозначают подпространство N(Ah). Очевидно, Nk(A)cz Nk+i{A),
и если |
Nk(A) = Nh+i{A), то Nk( A) = Nh+m(A) (m > 1). |
Пусть |
Noo(A) |
является объединением всех подпространств |
А^(Л) |
( * = 1,2,...).
Если Noo{A) конечномерно, то уравнение (А) имеет неполо жительный индекс (х(Л )^О ). Если, кроме того, ^ ( Л 7) конеч номерно, то и (Л) = 0.
Л и т е р а т у р а : [20], [37], [121].
8. Фредгольмовы уравнения. Нетерово уравнение (А) и опе ратор Л называются фредгольмовыми, если индекс х(Л )=0.
В то время как нетеровы уравнения обладают свойствами, аналогичными свойствам системы алгебраических линейных уравнений с прямоугольной матрицей, фредгольмовы уравнения обладают всеми четырьмя свойствами, приведенными в п. 1 для алгебраической системы линейных уравнений с квадратной мат рицей.
Фредгольмовы уравнения имеют следующую конструкцию:
оператор А Фредгольмов тогда и только тогда, когда он пред ставим в виде
A = U 'l + T,
где U — ограниченный оператор, определенный на всем прост ранстве F и имеющий обратный t/_1, а Т — вполне непрерывный оператор, действующий из Е в F. Более того, в указанном пред ставлении оператор Т может быть выбран конечномерным.
Классическим примером фредгольмова уравнения является уравнение вида
х + Т х = у,
где Т — вполне непрерывный оператор, действующий в прост ранстве Е. Здесь это уравнение и оператор Л = / + Т называют ся каноническими фредгольмовыми.
Для канонического фредгольмова оператора Л = |
/ + Г |
су |
ществует наименьшее число k0 такое, что Nk0(Л) = |
(Л) |
(см. |
п. 7). Это же число k0 является наименьшим из тех чисел k, для которых R(Ah+i) — R(Ah) = Rk(A). Все пространство Е разла гается в прямую сумму двух инвариантных относительно Л под пространств: Е = Rko(A) 4- Nk0(A). На подпространстве Rk0(A) оператор Л имеет ограниченный обратный, определенный на всем /?*0(Л), подпространство А/&0(Л) конечномерно и в нем оператор Л имеет единственное собственное число, равное нулю. Для сопряженного уравнения (А7) "имеет место такое же разло