книги / Функциональный анализ
..pdf§ 4. СОПРЯЖЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА |
51 |
ные в п. 5 § 2, являются нерефлексивными банаховыми прост ранствами.
Л и т е р а т у р а : [23], [25], [27], [30], [82], [91], [92].
8. Геометрия сферы банахова пространства. Банахово про странство Е называется строго нормированным, если для любых его элементов х и у из условий
11*11 = 1М1=1 и Wx + y\\ = 2
следует, что х = у. Геометрически это означает, что единичная сфера не содержит прямолинейных отрезков. Каждая точка единичной сферы является крайней точкой единичного шара.
Строго нормированные пространства обладают следующим
характеристическим |
свойством: пусть |
М — конечномерное под |
пространство £, тогда для всякого х0е |
Е существует единствен |
|
ный элемент у0^ М |
такой, что |
|
inf ||*о — у || = ||*о — Уо II-
у&М
Элемент уо называется элементом наилуншего приближения к х0, а величина ||*о — Уо\\— наилучшим приближением к х0.
Банахово пространство называется локально равномерно вы пуклым, если из условий
II *11 = 11*» 11=1 и II * + *л ||-> 2 при п * оо
следует, что хп-> х.
Если пространство сепарабельно, то оно изоморфно локально равномерно выпуклому. Существует несепарабельное банахово пространство, которое не изоморфно строго нормированному.
Банахово пространство называется равномерно выпуклым,
если из условий |
|
|
|
II *» II — \\Уп\\— \ |
и II *„ + У» II -* 2 |
при |
п-> оо |
следует, что || *„ — уп || -* 0.
Всякое равномерно выпуклое банахово пространство рефлек сивно. Однако имеются примеры рефлексивных банаховых про странств, не являющихся равномерно выпуклыми.
Если пространство Е'" строго нормированно или Е" локаль но равномерно выпукло, то Е рефлексивно.
Единичная сфера пространства Е называется гладкой, если норма пространства является функционалом, дифференцируе мым по Фреше (гл. VI, § 1, п. 2). Геометрически это означает существование в каждой точке сферы касательной гиперпло скости.
52 |
ЁЛ. 1. ОСНОЁНЫЁ Понятия |
Если сопряженное пространство Е' локально равномерно выпукло, то сфера в пространстве Е гладкая. Если сфера сопря женного пространства гладкая, то пространство рефлексивно.
Л и т е р а т у р а : [5], [25], [27], [39], [73].
9. Универсальные пространства. Постр^нство G называется
универсальным в некотором классе пространств 2)?, если |
G <= 2JJ |
и если для каждого Е <= Ш найдется подпространство |
G, изо- |
метричное Е. |
|
Пространство С(0, 1) универсально в классе сепарабельных пространств. (Отрезок [0, 1] можно заменить любым несчетным компактным метрическим множеством Q.) Этим же свойством универсальности обладает пространство A(D ), хотя оно не изо морфно никакому C(Q).
В классе рефлексивных сепарабельных пространств универ сального пространства нет.
Можно ввести другое понятие универсального пространства, потребовав, чтобы для любого Е ^ Ш нашлось фактор-простран ство пространства G, изометричное Е. В этом смысле универ сальным в классе сепарабельных пространств является 1{.
Л и т е р а т у р а : [2], [86], [94], [96].
10. Вложения пространств. Говорят, что линейное топологи ческое пространство F вложено в линейное топологическое про странство £, если задано взаимно однозначное отображение (оператор вложения) F на линейное многообразие в £, непре рывное и сохраняющее алгебраические операции. Если прост ранства Е и F нормированы и х х ' (х е £, х' е £ ) , то из условия непрерывности вытекает, что
II*, IIE < C ||* ||f,
где С не зависит от х. Если С — 1, то вложение называется
нормальным.
Часто само пространство F и его образ в Е обозначают од ной и той же буквой. Если образ F всюду плотен в £, то гово рят, что F плотно вложено в Е. Если каждое ограниченное мно жество в F имеет образ с компактным замыканием в £, то' F компактно вложено в Е. Основные факты анализа часто удобно формулировать в терминах вложения пространств. Например, тот факт, что пространство Сб)(0, 1) плотно и компактно вложено (при тождественном отображении) в пространство С(0, 1), озна чает, что непрерывно дифференцируемые функции непрерывны, что каждую непрерывную функцию можно равномерно аппро ксимировать последовательностью непрерывно дифференцируе мых функций и, наконец, что последовательность функций с рав номерно ограниченными производными компактна в смысле равномерной сходимости.
§ 4. с о п р я ж е н н ы е Пр о с т ра н с т в а |
53 |
Нормированное пространство F ядерно вложено в нормиро ванное пространство Е, если существуют последовательности
элементов х'п^ Е и функционалов fn F' такие, что для обра за х' любого элемента х F справедливо разложение
X ' ^ h f n(x)x'l,
причем
2 Ш И 1 * Л < ° о .
Ядерное вложение всегда компактно.
Пример . Пространство (0,1) ядерно вложено в С(0, 1). Действительно, для всякой функции x(s)i= № (0, 1) справедливо
разложение
оо
х (s) = х (0) (1 — s) + х (1) s — ^ - ^ 7 b'h sin THIS, l
где bn — коэффициенты разложения в ряд по синусам функции x"{s). Разложение обладает требуемыми свойствами, при этом роль функционалов на пространстве С<2)(0, 1) играют х(0), х(1)
и |
b'n>роль элементов пространства С(0, 1) —функции 1 —- s, |
s, —sin я ns.
Если нормированное пространство F вложено в нормирован ное пространство £, то сужение на образ F каждого непрерыв ного линейного функционала на Е естественно порождает не прерывный линейный функционал на F. Если при этом F плотно вложено в £, то функционалы, не равные на £, порождают не одинаковые функционалы на F. Таким образом, пространство Ег взаимно однозначно с сохранением алгебраических операций ото бражается в пространство F'. Это отображение непрерывно, т. е. Е' вложено в F'. Может случиться, что Е' не плотно вложено в F'. Если F компактно (ядерно) вложено в Е, то Е' компактно (ядерно) вложено в F'.
Л и т е р а т у р а : [23], [27], [47].
11. Нормированные пространства, связанные с локально вы пуклым пространством. Ядерное пространство. Пусть Е — ло кально выпуклое линейное топологическое пространство, U, V — замкнутые абсолютно выпуклые окрестности нуля этого про странства, а ри(х) и P v ( x ) — отвечающие им полунормы. Сово купность элементов, на которых ри(х) обращается в нуль, обра зует линейное многообразие Ми в Е. В фактор-системе Е/Мц можно ввести норму
II* 11=' inf Ри(х).
54 |
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ п о н я т и я |
Полученное нормированное пространство обозначается Еи. Таким образом с каждым локально выпуклым пространством Е связывается система нормированных пространств Ец.
Если окрестность U содержит окрестность У, то ру(х)^ри{х) и Mv а Ми. Поэтому каждый класс смежности Ху по Му содер жится только в одном классе смежности Хц по Мц. Это порож дает естественное отображение Ev —* EUf которое сохраняет алгебраические операции и обладает тем свойством, что для со ответствующих классов
Локально выпуклое пространство называется ядерным, если в нем существует такая фундаментальная система замкнутых абсолютно выпуклых окрестностей нуля, что для каждой окре стности U этой системы найдется такая окрестность У этой си стемы, что У с= U и отображение Еу -^Еи ядерно. Это означает, что найдутся последовательность элементов хп е Е и последова тельность функционалов fnе Е'у такие, что для любого ^ е £
|
|
/ |
* |
fn(x)xn |
|
|
lim p J x — 2 |
||||
|
N->00 |
\ |
п=\ |
|
|
причем |
|
|
|
|
|
|
S iifnii£/ i u j i B |
< 00. |
|||
|
|
|
h V |
hu |
|
В |
приложениях часто |
|
полунормы |
ри являются нормами, и |
|
|
оо |
|
|
|
|
тогда |
х = 2 f n М хп- |
|
|
|
|
|
П=1 |
|
|
|
|
Нормированное пространство является ядерным в том и толь ко в том случае, когда оно конечномерно. Ядерные пространства занимают в известном смысле промежуточное положение между конечномерными и бесконечномерными нормированными. Всякое ограниченное множество в ядерном пространстве имеет компакт ное замыкание. Если {е^}-—базис в ядерном пространстве Фре-
ше £, то в разложении любого элемента х = 2 «кек ряд сходится абсолютно.
Всякое подпространство ядерного пространства ядерно. Фак тор-пространство ядерного пространства по замкнутому подпро странству ядерно.
Для локально выпуклых пространств Е и F аналогично тому, как это описано в п. 6 для нормированных пространств, в тен зорном произведении E&F вводятся две топологии. Если Е —
локально выпукло, a F — ядерно, то E<8)F = E®F. Это свойство является характеристическим для ядерных пространств, т. е. если оно выполнено для любого локально выпуклого £, то F ядерно.
Л и т е р а т у р а : [25], [27], [47].
§ 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ |
55 |
§5. Линейные операторы
1.Линейные ограниченные операторы. Пусть Е и F — две ли нейные системы. Говорят, что на множестве D с= Е задан опера-
тор А со значениями в F (оператор, действующий из D в F),
если каждому элементу х D поставлен в соответствие элемент
у= Ах е F. Множество D называется областью определения
оператора и обозначается через D (Л). Совокупность всех эле ментов у из F, представимых в виде у = Ах ( х ^ £ ( Л ) ) , назы вается областью значений оператора А и обозначается через
• Я И ) . |
|
произведения |
Е X F, состоящее из |
Подмножество прямого |
|||
всех элементов вида |
{х, Ах} |
( х ^ £ ( Л ) ) , |
называется графиком |
оператора. |
|
|
|
Примером оператора в пространстве С(0, 1) может служить |
|||
оператор возведения |
в квадрат: Ax(t) = |
x2(t). Областью опре |
деления оператора служит все пространство С(0, 1), областью значений — совокупность всех неотрицательных функций из С(0, 1). Этот же оператор, рассматриваемый на пространстве L2(0, 1), будет отображать его в совокупность неотрицательных функций из Li(0, 1).
Оператор А называется линейным, если D (Л) — линейное многообразие в £ и для любых хь x2^ D ( A )
А (оС]Х| “f- СХ2Х2) — а{Ах{ “I- (Х2/4-^'2*
График линейного оператора является линейным многообра зием в Е X F-
Примерами линейных операторов в любой линейной системе Е служат: единичный или тождественный оператор /, ставящий в соответствие каждому элементу из Е сам этот элемент: /х = х ; оператор подобного преобразования: Ах = %х ( х е £ , Я — фик сированное число).
В конечномерном пространстве Еп примерами линейных опе раторов служат линейные преобразования пространства. Такие операторы могут быть заданы с помощью квадратной матрицы (aih) : если х = {£ь h> • • • >in} и у = {г]Ь х\2, • • •, ■%}, то
П
Лi ==2 ttik&k*
/г—1
Аналогами таких операторов в функциональных простран ствах являются интегральные операторы
1
у (t) = Ах (t) = JК (t, s) х (s) ds,
о
56 |
ГЛ. I. |
ОСНОВНЫЕ п о н я т и я |
Если, |
например, ядро |
K(t>s) непрерывно, то этот линейный |
оператор определен на всем пространстве С(0, 1) и отображает его в некоторую часть пространства С(0, 1).
В пространстве С(0, 1) можно рассматривать линейный опе ратор дифференцирования: Ax(t) = x'(t), определенный на не прерывно дифференцируемых функциях: D (A )= 0^(0, 1). Об ластью значений этого оператора будет все пространство С(О, 1). Если этот оператор расширить на совокупность абсолютно не прерывных функций, то его областью значений будет простран ство Li(0, 1). В теории обобщенных функций оператор диффе ренцирования расширяется на все пространство С(0, 1), при этом он отображает пространство С (О, 1) в некоторое простран ство обобщенных функций.
Для линейных операторов, отображающих линейную систему Е в линейную систему F, естественным образом вводятся
операции |
сложения и умножения на |
число. |
По определению |
А = aiAi + а,2А2 есть оператор, для которого |
|
||
|
Ах = аХА\Х + а2А2х |
(х е Е). |
|
Пусть теперь Е и F —два линейных нормированных прост |
|||
ранства. |
Оператор А называется непрерывным в точке х0е |
||
е£ )(Л ), |
если из хп -+хо (хп е /)(Л)) |
следует |
Ахп ->Ахо. Если |
оператор А определен и непрерывен в каждой точке простран ства £, то его называют просто непрерывным оператором из Е в F.
Линейный оператор, определенный в £, называется ограни ченным, если
II Ах \\р^ С|| х \\Е,
где С не зависит от выбора ^ е £ .
Для того чтобы линейный оператор, действующий из Е в F, был непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы он был огра ниченным.
Наименьшее из чисел С в предыдущем неравенстве называет ся нормой оператора А и обозначается так: \\A \\E -*F - Е сли F сов падает с Е, то пишут просто ||Л||. Из определения следует
И 11/7->/7 = sup -II И| |
= sup || Ах \\Р. |
х<=Е |
IIX IIJS—1 |
Если пространство Е разложено в прямую сумму двух под пространств: Е = Mt®M2, то можно определить линейный опе ратор Pi равенством
РхХ— Х{ (* = *! +*2, Хх^ М и Х2^ М 2).
Оператор Pi ограничен и р\ = Р х. Всякий линейный опера тор Р\у обладающий этими двумя свойствами, называется проеъ-
§ 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ |
57 |
тором. Каждому проектору отвечает разложение Е в прямую сумму: Е = Pi£® (/ — Pi)E.
, Л и т е р а т у р а : [23], [27], [39].
2. Примеры линейных ограниченных операторов.
1) О п е р а т о р ы в к о н е ч н о м е р н ы х п р о с т р а н с т -
в а х. |
Всякий линейный |
оператор Л, заданный |
матрицей (а^) |
||
в банаховом пространстве Еп, является ограниченным. Норма |
|||||
его зависит от той нормы, которая введена |
в пространстве. |
||||
Если ввести норму |
|
|
|
|
|
|
|x||= m ax||« -|, |
то |
| | Л | | = ш а х |
2 |
\aik |. |
Если |
i |
|
1 < i < / z |
fe=l |
|
|
|
|
|
|
|
|
И 1 = 2 | Ы > |
то |
II Л 11= max |
2 |
I a ik |. |
|
i= 1 |
|
1 |
|
|
Если |
ввести евклидову |
норму |
|
|
|
|
11*11= 1 / |
2 ll< I2. |
то II A 11= V vu |
|
||||
|
v |
i—l |
|
|
|
|
|
|
где pi — наибольшее |
собственное |
число |
матрицы АЛ' |
(здесь |
||||
А' = (ahi) ). Если матрица |
(aik) |
симметрична, то V\l*= |
^\y где |
|||||
— наибольшее собственное число матрицы. |
линейный инте |
|||||||
2) И н т е г р а л ь н ы е |
о п е р а т о р ы . |
Если |
||||||
гральный оператор с непрерывным ядром K{t,s) |
рассматривать |
|||||||
как оператор из С(0, 1) в С(0, 1), то он ограничен и |
|
|||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
Mlk-*c = |
max |
J l ^ ( f>S) \ds• |
|
|
|||
|
|
|
o<*<i |
i |
|
|
|
|
Этот же оператор, как ограниченный оператор из Li(0, 1) в |
||||||||
Li(0, 1), имеет норму |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
IIА I |
= |
max |
J I к (*>«) IdL |
|
|
||
|
|
1 |
0 < s < l |
|
|
|
|
|
3) |
Д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы е |
о п е р а т о р ы . Линейные диф |
ференциальные. операторы, рассматриваемые как операторы в одном и том же пространстве, как правило, являются неограни ченными. Так, оператор производной не является ограниченным в пространстве С(0, 1); если же его рассматривать как оператор из (^(О, 1) в С(0, 1), то он ограничен и его норма равна 1.
Аналогично линейный дифференциальный оператор /-го по рядка с непрерывными коэффициентами можно рассматривать как ограниченный оператор из С®(0,1) в С (0,1).
S8 |
fJI. I. ОСНОВНЫЕ понятия |
Для изучения линейных дифференциальных операторов в ча^ стных производных обычно привлекаются либо пространства
Гельдера (классический подход), либо пространства Wlp. Так, эллиптический оператор второго порядка
А х = - J |
+ |
+ |
/, /«1
определенный в и-мерной области G, обычно рассматривается
как ограниченный оператор из пространства WI{G)B простран ство L2(G).
Ли т е р а т у р а : [23], [30], [39].
3.Сходимость последовательностей операторов. Пусть {Ап} — последовательность ограниченных линейных операторов, дейст вующих из линейного нормированного пространства Е в линей ное нормированное пространство F.
Последовательность |
{Ап} |
называется |
сходящейся |
по |
норме |
|
к линейному ограниченному |
оператору |
Л0 из |
Е |
в F, |
если |
|
Пт || Л0- Л я 11^ = 0. |
|
|
|
|
|
|
П->ОО |
{Ап} |
называется |
сильно |
сходящейся к |
||
Последовательность |
оператору Л0, если lim || А0х — Апх ||f = 0 при любом х е £ .
П -> оо
Последовательность {Ап} называется слабо сходящейся к опе ратору Ло, если при любом последовательность {Апх} слабо сходится к А0х.
Из сходимости по норме следует сильная сходимость, из силь ной— слабая. Обратные утверждения, вообще говори, непра вильны.
Если последовательность {Ап} сильно сходится к Л0 й нормы операторов Ап ограничены в совокупности: II Ап \\Еш+р
(п = 1,2, ...), то оператор Л0 также является линейным ограни ченным оператором и
II Ло IIE->F ^ Пт || Ап П->оо
В случае, когда Е является банаховым пространством, по следнее утверждение значительно усиливается: если последова тельность ограниченных линейных операторов Лп, действующих из банахова пространства Е в линейное нормированное прост ранство F, сильно сходится к оператору Л0, то нормы операторов ограничены в совокупности, и следовательно, оператор Л0 также ограничен.
Доказательство этого факта основано на п р и н ц и п е р а в н о м е р н о й о г р а н и ч е н н о с т и : пусть на банаховом прост
§ 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ |
59 |
ранстве Е определено семейство неотрицательных непрерывных функционалов фа (х) ( а ^ Л ) , обладающих свойствами:
1) |
Фа(Х + У)< Фа(*) + Фа(У)> |
|
2) |
Ф а(М =1М фаМ - |
|
Если для |
каждого х ^ Е числовое |
множество {фсг(х)}а€=д |
ограничено, то существует константа С такая, что |
||
|
ФаМ < С || х || ( а е |
А). |
Для того чтобы последовательность ограниченных линейных операторов, действующих из банахова пространства Е в бана хово пространство F, сильно сходилась к некоторому линейному ограниченному оператору, необходимо и достаточно, чтобы: 1) нормы операторов Ап были ограничены в совокупности; 2) по следовательность {Апх'} была сходящейся при любом х* из не которого всюду плотного множества D с= Е.
Последняя теорема имеет многочисленные применения в во просах, связанных со сходимостью и суммируемостью рядов и интегралов, сходимостью интерполяционных процессов, процес сов механических квадратур и т. п.
Л и т е р а т у р а : [23], [39].
4. Обратный оператор. Пусть линейный оператор А отобра жает линейную систему Е в линейную систему F. Если оператор А обладает тем свойством, что Ах = 0 только при х = 0, то каждому у из области значений /?(Л) оператора А соответствует только один элемент х, для которого у = Ах (решение уравне ния у — Ах единственно). Это соответствие можно рассматри вать как оператор В, определенный на R (Л) со значениями, за полняющими Е. Оператор В —линейный. По определению ВАх = х, поэтому оператор В называется левым обратным к Л.
Если R(A) = Ft т. е. оператор А устанавливает взаимно од нозначное соответствие между £ и F, то оператор В определен на всем В, называется просто обратным оператором .к А и обо значается через Л-1. По определению
А~1Ах — х (х<=£) и АА~ху — у (y^F) .
Одним из глубоких фактов теории банаховых пространств яв ляется следующее утверждение.
П р и н ц и п о т к р ы т о с т и о т о б р а ж е н и я : при непре рывном линейном отображении банахова пространства Е на ба нахово пространство F образ каждого открытого множества есть снова открытое множество.
Из этого принципа вытекает важное следствие.
60 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ п о н я ти я
Если линейный ограниченный оператор Л, отображающий ба нахово пространство Е на все банахово пространство F, имеет обратный Л-1, то оператор Л-1 ограничен. (С. Банах) .
Эти утверждения перестают быть верными, если отказаться от полноты одного из пространств Е или F.
Теорема об обратном операторе, другими словами, означает, что из существования и единственности решения уравнения
Ах = у
при всякой правой части из F следует непрерывная зависимость решения х = А~{у от правой части у.
Если ограниченный линейный оператор Л из банахова про странства Е в банахово пространство F имеет обратный, то и близкие к нему линейные ограниченные операторы имеют об ратные: если
\В "E-+F 1 - 1
то оператор В имеет обратный В~1.
Ли т е р а т у р а : [23], [30], [39].
5.Пространство операторов. Алгебра операторов. Пусть
L(E,F)— совокупность всех линейных операторов, отображаю щих линейную систему Е в линейную систему F. Как отмечалось
вп. 1, для операторов из L(E,F) естественно вводятся понятия сложения и умножения на число. Таким образом, L(E,F) яв ляется линейной системой.
Если Е и F нормированы, то1множество L(E,F) всех линей ных непрерывных операторов может быть нормировано с по мощью ^AWg^p. Если F полно, то L(E,F) банахово.
Если рассматривать операторы, определенные и действующие в одном и том же пространстве £, то для них можно также вве сти операцию умножения: по определению Л = AIA2, если
Ах = Ах( А 2х ).
Умножение, вообще говоря, некоммутативно: возможно, что AiA2¥= A2AI. Если Л1Л2 = Л2Ль то говорят, что операторы ЛАи Л2 перестановочны.
Если Ль Л2е ! ( £ , £ ) , то и Л e L (£, Е ), причем
M I K M H III л2||.
Если в линейном нормированном пространстве введена опе рация умножения х-у так, что оно становится алгеброй и
т |
IU -*/IK IU IIII*/ll, |
то оно называется нормированной алгеброй (см. гл. VII).