книги / Функциональный анализ
..pdfПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ |
11 |
лиза, так и монографии, посвященные специальным его вопро
сам.
Настоящее издание отличается от первого большим объемом материала и его большей специализацией. Введены две новые главы и содержание оставшихся глав существенно переработано и дополнено. В ряде мест изложение доведено до уровня совре менных исследований. Естественно, что при этом стали больше сказываться вкусы авторов, так как изложение всех вопросов функционального анализа на современном уровне является не
выполнимой задачей. |
|
К адец, |
В написании гл. I принимали участие М. И. |
||
С. Г. К рейн, Ю. И. П етуни и , Э. С. Ц и т л а н а д зе ; |
гл. II — |
|
П. П. За брей ко, С. Г. К рейн, Я. Б. Р у ти ц к и й , |
Е. М. Се |
|
м ен ов; гл. III — П. П. За брей ко, С. Г. К рейн, |
Ю. И. Пе- |
|
т у н и н, Е. М. С е м е н о в; гл. IV — М. Ш. Б и р м а н, |
И. С. И о х- |
видов, А. Г. К остю ч ен ко, С. Г. К рейн, В. И. С о б о л е в ; гл. V — С. Г. К р е й н; гл. VI — П. П. 3 а б р е й к о, М. А. К р а с-
н о сел ьск и й , Я. Б. Р у ти ц к и й ; VII — Е. А. |
Г о р и н и |
Б. С. М и т я г и н; VIII— М. А. К р а с н о с е л ь с к и й |
и В. Я. Сте- |
ц е н к о; IX — М. Ш. Бирма н, Л. Д. Ф а д д е е в ; X.— Н. Я. В и- л е н к и н .
Читатель, знакомый с содержанием первого издания, заме тит, что во втором больше внимания уделено линейным тополо гическим пространствам и геометрии банаховых пространств. Детально рассмотрены важнейшие классы функциональных про странств. Достаточно полно изложена теория линейных уравне ний, спектральная теория и операторное исчисление в банахо вом пространстве. Приведены основные факты эргодической теории. Исследованы дифференциальные и интегральные опера торы.
Шире развернута теория вполне непрерывных несамосопря женных операторов в гильбертовом пространстве, изложена тео рия расширений симметрических операторов, теория возмуще ний. Включен новый раздел об операторах в пространствах с индефинитной метрикой.
Заново написана глава о коммутативных банаховых алгеб рах, при этом описано современное состояние почти всех вопро сов из этой области (пожалуй, не охваченной осталась лишь тео рия однородных алгебр).
Много результатов, полученных в последнее время, включено в главу об операторах в пространстве с конусом.
Значительно переработано содержание главы по квантовой механике. Здесь больше внимания уделено спектральной теории операторов квантовой механики.
Авторам кажется, что расширение и осовременивание мате риала справочника не слишком испортило стиль его изложения.
12 ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Читатель, который интересуется лишь основами функциональ ного анализа, найдет их изложенными достаточно популярно.
По-прежнему в справочник не вошли такие разделы как тео рия представлений групп, теория некоммутативных операторных алгебр, теория банаховых многообразий, приближенные методы решения операторных уравнений и дрГЛишь частично затронута общая теория полуупорядоченных пространств.
При пользовании справочником следует иметь в виду, что в нем отсутствуют леммы и теоремы и нет занумерованных фор мул. Элементарными частицами изложенного материаяа следует считать пункты, отмеченные в оглавлении. Для получения справ ки рекомендуется разыскать пункт по оглавлению, либо по ал фавитному указателю и прочитать весь пункт. В нем обычно содержится связное и относительно замкнутое изложение цикла вопросов.
Идя навстречу критике, авторы изменили методику составле ния списка литературы. Все утверждения, имеющиеся в книге, можно найти в учебной и монографической литературе или в спе циальных статьях, при этом ссылки на соответствующую литера туру, помещенную в библиографии, даны в конце каждого пунк та. Если результаты какой-либо статьи уже помещены в учебнике или монографии, то в список литературы она не вносится, по этому литературные ссылки ни в какой степени не могут служить для выяснения исторических и приоритетных вопросов. Мы при носим извинения тем читателям, которых больше всего интере суют эти вопросы.
Всем лицам, помогавшим созданию этой книги, мы выражаем глубокую благодарность. Особенно полезной была критика и по мощь, которую оказал редактор обоих изданий справочника В. Ф. Гапошкин.
С. Крейн
Г Л А В А I
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
§1. Линейные системы
1.Понятие линейной системы. Понятие линейной системы является одним из основных в функциональном анализе.
Множество Е называется вещественной (комплексной) ли
нейной системой или векторным пространством, если для каж дых двух его элементов х н у определена их сумма х + у — эле мент того же множества — и для любого элемента х и вещест венного (комплексного) числа % определено произведение Хх, являющееся также элементом множества £, причем эти опера ции удовлетворяют следующим условиям (аксиомам):
1) |
(х + |
у) + z = x -\-(у + z) (ассоциативность |
сложения); |
2) |
х + |
у = у + х (коммутативность сложения); |
любого х е £ |
3) |
в Е существует такой элемент 0, что для |
будет Ох—0;
(дистрибутивность);
6)(Яр,)х=Я(рх) (ассоциативность умножения);
7)1х=х.
По своей природе линейная система является алгебраической структурой, в которой отражены свойства, связанные со сложе нием и умножением на числа векторов евклидова пространства.
В |
линейной |
системе Е |
можно |
ввести операцию, |
обратную |
|||
к операции сложения элементов, которую естественно назвать |
||||||||
вычитанием: под разностью |
х — у |
понимают |
выражение x-j? |
|||||
П р и м е р ы |
л и н е й н ы х |
систем. |
векторов «-мерного |
|||||
а) |
Пусть |
Еп есть |
совокупность всех |
|||||
евклидова пространства. |
Операции |
сложения |
двух |
векторов |
||||
х = {Еь ъ ........ in) И у — {тц, Т]2, .... |
Т]и} из множества Еп и умно |
|||||||
жения |
вектора x = { |i,|2. •••, |
Еп} |
на |
вещественное число Я вво |
||||
дятся естественным образом: |
|
|
|
|
|
|||
|
х + У — {ll + |
Г),, |
| 2+ |
Л2> •••> In + |
Лп}> |
|
Ах = {Л£,, Я |2, . . . , Я|„}.
14 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ п о н я т и я
Множество Еп, наделенное этими операциями, становится веще ственной линейной системой.
б) Примером комплексной линейной системы является мно |
||
жество А всевозможных комплексных последовательностей х = |
||
= {£ь £2, . . . , |
£п> • • .}, в котором операции |
сложения элементов |
*={§ь h , . . . , |
£n,...} И у={у\и Г]2, . . . , Г)п,.. |
} И умножения эле |
мента х на комплексное число К определяются аналогичным об разом:
X У =={ll + Ль |
?2 4“Л2> |
• • • > 1/г “Ь Л/г> • • •}> |
= |
ц |
я> ...}. |
в) Множество С (0, 1), состоящее из всевозможных непрерыв ных функций, определенных на отрезке [0, 1], становится веще ственной линейной системой, если ввести обычным образом опе рацию сложения функций и умножения функции на число.
2.Линейная зависимость и независимость. Система элемен
тов хи хъ . . . , хп называется линейно независимой, если соотно-
п |
|
шение вида 2 |
возможно лишь при %\= %2= ... =ХП= 0. |
k = \ |
элементы Хи *2, ..., хп называются ли |
В противном случае |
нейно зависимыми.
Бесконечная система элементов называется линейно незави симой, если любой конечный набор различных элементов этой системы линейно независим.
Линейно независимая система {ха} называется алгебраиче ским базисом или базисом Хамеля линейной системы £, если всякий элемент х ^ Е может быть представлен в виде линейной комбинации конечного числа элементов из {ха}:
п
X = 2 ^{Ха..
Так как алгебраический базис является линейно независимой системой, то указанное представление элемента х определяется единственным образом.
Всякая линейная система обладает алгебраическим базисом. Любые два алгебраических базиса линейной системы Е имеют одно и то же кардинальное число %. Это кардинальное число называется размерностью линейной системы Е.
Линейная система Е называется конечномерной, если ее раз мерность есть натуральное число п. В этом случае алгебраиче ский базис состоит из п элементов ей НУ. . . , еп и обычно назы вается просто базисом. Каждый элемент х ^ Е однозначно пред ставим в виде
п
х= 2 h ei- i=1
$ 1. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ |
15 |
Числа %г называются координатами элемента х в базисе |
{ej. |
В случае бесконечного % линейная система Е называется
бесконечномерной.
Пусть {еа} — произвольное множество символов еа. Рассмат
ривается совокупность символов вида ^ Х аеа, где числа Ха от личны от нуля лишь для конечного числа индексов а. Эта сово купность становится линейной системой £, если в ней опреде лить действия:
2 |
”f‘ 2 |
= 2 (Ла 4“ ^а)£а |
И |
Я2 ^а£а == 2 (^а) |
||
Каждому |
символу еао отвечает |
элемент системы |
2 ^ а , для |
|||
которого |
|
Ха = |
0 при а ф а0 и ? ч = 1 . |
Таким образом произ |
||
вольная система символов {еа} отождествляется с алгебраиче |
||||||
ским базисом линейной системы Е. Построенную систему Е на |
||||||
зывают свободной линейной системой, построенной по множе |
||||||
ству {еа}. |
|
|
|
|
|
|
Л и т е р а т у р а : [25], [29], [51]. |
|
|
|
|||
3. |
|
Линейные многообразия и фактор-системы. Непустое под |
||||
множество М линейной системы Е называется линейным много |
||||||
образием, если |
всякая линейная |
комбинация A,i*i + |
любых |
двух элементов хи х2 из множества М также принадлежит М. Пусть S — произвольное подмножество элементов из Е. Со
вокупность всевозможных линейных комбинаций элементов S образует линейное многообразие, называемое линейной оболоч кой множества 5.
Линейное многообразие М называется максимальным, если оно не совпадает со всей системой £ и не содержится ни в каком другом линейном многообразии, кроме Е. Линейная оболочка максимального линейного многообразия и любого не принадле жащего ему элемента совпадает с Е.
Если S и Т — два подмножества линейной системы, то под алгебраической суммой S 4- Т множеств S и Т понимается мно
жество, состоящее из всех элементов вида х + у, |
где X G S и |
у ^ Т . Два линейных многообразия М и N называются алгебраи |
|
чески дополнительными, если М f| N = 0 и М |
— Е. В этом |
случае говорят, что Е разложено в прямую сумму М и N. Для |
всякого линейного многообразия линейной системы Е сущест вует алгебраически дополнительное линейное многообразие.
Классом смежности по линейному многообразию М назы вается совокупность элементов X = х М, где х — фиксирован ный элемент из Е. Два класса смежности либо совпадают, либо не пересекаются. Совокупность классов смежности будет линей
ной системой, если под суммой классов X и |
Y понимать класс |
|
$ |
Уу построенный по элементу х -f у, где х |
и у —■какие-либр |
16 |
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ п о н я т и я |
элементы классов X и У. Аналогично класс XX строится по эле менту Хх, где х е X. Эта линейная система называется фактор- системой Е/М линейной системы Е по линейному многообра зию М. При переходе к фактор-системе все элементы каждого класса смежности отождествляются и рассматриваются как один новый элемент.
С помощью понятия фактор-системы решается следующая за дача: дано произвольное множество символов {еа}. Требуется отождествить эти символы с элементами некоторой линейной системы так, чтобы элементы <Sa удовлетворяли заданной си стеме линейных соотношений
2и& *в = е |
( р е я ) |
(р.Р отличны от нуля лишь для |
конечного числа а). По множе |
ству {еа} строится свободная линейная система Е. В ней рас сматривается линейное многообразие М всех линейных комби
наций, составленных из элементов 2(j£ ea (Ре £)- |
Пусть Ei = |
|
= Е/М и |
— класс, содержащий элемент еа ^ Е . |
Тогда соот |
ветствие еа ‘->е?а решает поставленную задачу. При этом суще ственным является то, что между элементами <Sa не будет ника ких линейных соотношений, кроме заданных и получающихся из них линейными комбинациями. (Если заданных соотношений «слишком много», то система £4 может состоять только из 0).
Л и т е р а т у р а : [27], [29], [30], [39], [78].
4. Произведения линейных систем. По двум заданным ли нейным системам Е и F различными способами можно строить линейную систему G так, чтобы каждой паре элементов i e £ и и е £ отвечал бы некоторый элемент из G, называемый произве дением х и и. Самый простой способ состоит в рассмотрении формальных символов хи (х <= Е, и е F) и построении по ним свободной линейной системы G. Однако получающееся при этом произведение хи не обладает никакими алгебраическими свой ствами, при построении G алгебраические операции в Е и F никак не учитываются. «Разумные» определения произведения получаются, если потребовать, чтобы эта операция удовлетворяла определенным алгебраическим соотношениям. Этого можно до биться, производя факторизацию G по некоторым линейным многообразиям, как это описано в предыдущем пункте.
1 ) |
Пр я мое п р о и з в е д е н и е . Факторизация G произво |
|||
дится по многообразию М, состоящему из всех линейных ком |
||||
бинаций элементов вида |
|
|
||
или |
х,«1 + х2и2 — (х}-j- х2) (и, + |
и2) |
||
(A,X|) (Я«() — К{хи «,) |
(х( е=Е, |
U(^F). |
||
|
§ 1. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ |
17 |
Оказывается, что каждый класс смежности при этом содержит один и только один элемент хи и поэтому обозначается {х, и). Алгебраические операции над классами определяются равен ствами
{Х[у U]} "4" {-^2> ^2} === {^1 ”1“ Х2>^1 ”1“ ^2}» Я {Х(>
Под прямым произведением £ X F линейных систем Е и F и
понимают совокупность пар fcu} ( n e E . u e f ) , для которых алгебраические операции определены указанным выше способом.
Совокупность Е' элементов вида {х, 0} может быть отожде
ствлена с системой Е, |
а совокупность F' элементов вида {0, и)— |
с системой F. Тогда Е X F является прямой суммой Е' и F'. Если |
|
Е и F конечномерны, |
то размерность E y F равна сумме раз |
мерностей Е и F.
Аналогично определяется прямое произведение конечного числа линейных систем.
2) Т е н з о р н о е п р о и з в е д е н и е . Факторизация G про изводится по многообразию Mi, состоящему из всех линейных комбинаций элементов вида
х{щ + x2«i — (*i + |
х2) Щ, Х1Щ+ |
х{и2 — Xi (ы, + и2), |
\{ххщ) — {Ххх)щ, |
Я (x^i) — Xi (Ли,) |
( ^ е £ , |
Класс, отвечающий элементу хи, обозначается через х<8>и. Однако теперь такого вида классы не исчерпывают всю сово
купность классов смежности. Любой класс смежности предста-
k
вим неоднозначно в виде 2 xt ® «г (*г- ^ Е, щ e f , k =
«=1
= 1, 2, ...). Справедливы соотношения
xi + х2) ® щ = Xi ® «1 Ч- х2®щ, Xi ® (ы, + и2) — Xi ® «1 + хх® ы2,
Я (х! ® «,) = (Ях,) ® ил = хх® (Яи,).
Полученная линейная система называется тензорным произ ведением E®F линейных систем Е и F.
Пусть £ и F конечномерны, |
{ег}" и {ffc}J" — базисы |
в этих |
пространствах. Тогда элементы |
(i— \ ........ п, k = \, |
..., m) |
образуют базис в E®F, размерность E<B>F равна пт. |
|
Аналогично определяется тензорное произведение конечного числа линейных систем.
3) В н е ш н е е п р о и з в е д е н и е . Пусть линейные системы Е п F совпадают. К многообразию Mi, рассмотренному в 2), до бавляются еще элементы вида хх ( х е £ ) и их линейные комби нации с элементами Mi. Фактор-система по полученному мно гообразию М2 называется внешним произведением Е Л Е . Клас сы смежности, отвечающие элементам ху, обозначаются х А у,
18 |
|
ГЛ. |
I. ОСНОВНЫЕ понятия |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
Любой |
класс смежности представим |
в виде 2 |
** А Уь(**, y i ^ E , |
|||||
k = \ , |
2, ...). Произведение х Л у , |
кроме |
свойств тензорного |
|||||
произведения, обладает еще свойством |
|
|
|
|
||||
|
|
|
х А У = — у Л х |
|
|
|
|
|
и, в частности, х А х = |
0. |
|
|
|
|
|
||
Если Е конечномерно с базисом {е$\, |
то |
базисом |
в |
Е А Е |
||||
будет служить система элементов вида eiAej |
( / < / ) . |
Размер |
||||||
ность Е А Е равна |
п(п — 1)/2. |
|
|
|
|
|
||
Аналогично определяется внешнее произведение |
|
|
||||||
|
|
£ (г)— Е А Е А ... АЕ. |
|
|
|
|||
Его элементами |
будут |
формальные |
суммы |
элементов |
вида |
А х2А .:. А хт (Х{ е £). Произведение Xi А х2 А . • • А хг адди тивно и однородно по каждому множителю при фиксированных остальных и равно нулю, когда какие-либо два множителя оди наковы. Как следствие получается, что произведение Xi А х2А . ..
... А |
хг |
равно |
нулю тогда и только |
тогда, когда |
элементы |
||||||
Хи х2, |
..., хг линейно зависимы. |
|
|
|
|||||||
|
Если Е конечномерно с базисом {еЦ", |
то Е(г} — 0 при г > п. |
|||||||||
Если г ^ .п , то базисом |
в £ (г) будет служить система |
элементов |
|||||||||
вида et |
A е*2 А |
•. • |
Л ei |
, |
где |
ii < i2< |
... < ir. Если |
элементы |
|||
xh |
(k = |
l , ..., |
г) |
имеют |
в |
базисе {е*} |
координаты %h (i = |
||||
= |
1, |
2, |
. . . , п), то координата м- |
. |
элемента xi А х2 А ... |
||||||
... Л хг, |
отвечающая элементу |
базиса |
е* Л £/2 Л • • • |
А е* , есть |
минор порядка г матрицы Ягл, составленный из строк этой ма
трицы с номерами iu i2 |
ir. |
Д и т е р а т у р а : [23], [25], |
[56], [78]. |
5. Выпуклые множества. Под отрезком, определяемым эле ментами х и у линейной системы, понимается совокупность всех элементов вида о а + ( 1 — а)у, где O ^ a ^ l . Множество S линейной системы Е называется выпуклым, если оно целиком содержит отрезок, определяемый любыми двумя его элемен тами. Простейший пример выпуклого множества представляет собой любое линейное многообразие М а Е .
Для произвольного множества S а Е существует наименьшее
выпуклое множество S, содержащее S, называемое выпуклой оболочкой множества S. Выпуклая оболочка S состоит из
|
§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА |
|
19 |
|||||||
всевозможных элементов вида |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
* |
2 |
|
®kxky |
|
|
|
|
|
п |
|
|
k~i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п — любое натуральное число. |
||||||
где ak > 0 и 2 а* = 1» |
xk^ S , |
|||||||||
|
k~\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Множество 5 называется уравновешенным, если для любого |
||||||||||
x e S |
и |Л-1^ 1 элемент ЯхеМ. |
Выпуклое |
уравновешенное |
|||||||
множество называется абсолютно выпуклым. |
|
каждого |
||||||||
Множество 5 |
называется |
поглощающим, если для |
||||||||
: Е существует |
р > |
такие, |
|
|
Вводится |
функция |
||||
|
р{х) = |
inf |
|
р |
(хеЯ ). |
|
|
|
||
|
|
|
Р>0, 4-xsS |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Р |
|
|
|
|
|
|
Если |
множество |
5 — абсолютно |
|
выпуклое и |
поглощающее, |
то |
||||
р(х) |
обладает свойствами: |
|
|
|
|
|
|
|
||
1) |
р(Хх) = |Х|р(х) для всех X й х е Е\ |
|
|
|
||||||
2) |
р(х + У ) ^ Р{х) + Р(У) Для всех х, у е £ . |
|
или |
|||||||
Функция со свойствами |
1), |
2) |
называется |
полунормой |
преднормой. Полунорма, построенная по абсолютно выпуклому поглощающему множеству, называется его калибровочной функ цией или функционалом Минковского.
Л и т е р а т у р а : |
[5], [27], [30], [51], [56]. |
§ 2. Линейные |
топологические, метрические, нормированные |
ибанаховы пространства
1.Линейное топологическое пространство. Линейное тополо гическое пространство является сложной структурой. Порож дающие ее структуры — линейная система и топологическое про странство. В понятии топологического пространства отражены свойства, связанные с интуитивными понятиями окрестности, предела и непрерывности в обычном евклидовом пространстве.
Влинейном топологическом пространстве обе структуры связа ны между собой. Эта связь отражает свойства непрерывности
алгебраических операций над векторами в евклидовом прост ранстве.
В функциональном анализе в основном изучаются бесконеч номерные линейные топологические пространства, которые на ряду со свойствами, общими с евклидовым пространством, имеют ряд качественно новых свойств.
Пусть ZT— линейная система, наделенная отделимой (хаусдорфовой) топологией, задаваемой системами окрестностей {Vx}
20 |
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ п о н я т и я |
( х е £ ) |
*). Множество Е называется линейным топологическим |
пространством, если алгебраические операции непрерывны в то
пологии £, т. е.: |
|
|
|
1) для |
каждой пары элементов х, у ^ Е и окрестности Vx+y |
||
элемента |
х + у найдутся окрестность Vx элемента х |
и окрест |
|
ность Vy элемента у такие, что |
|
||
|
Vx + Vy<=Vx+tfi |
|
|
2) каковы бы ни были элемент х е £, число А и окрестность |
|||
V^x элемента А*, найдутся |
окрестность Vx элемента |
х и число |
|
6 > 0 такие, что |
|
|
|
|
V-Vx <=-V%x |
при ||Д, —Я| <б . |
|
В линейном топологическом пространстве задание системы {Vea)} окрестностей нуля полностью определяет топологию этого пространства — любая окрестность К*а) элемента х получается
из некоторой окрестности нуля Vea) путем ее «сдвига» на эле мент х:
V(xa) = xA -V ea\(
Всякая окрестность нуля является поглощающим множест вом. В ней содержится уравновешенная окрестность нуля.
Простейшим примером линейного топологического простран ства является конечномерное евклидово пространство Rn с обыч ной топологией.
Д р у г и е п р и м е р ы л и н е й н ы х т о п о л о г и ч е с к и х
п р о с т р а н с т в . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
а) |
|
В линейную систему А всех комплексных последователь |
||||||||||
ностей |
(см. пример б) § 1) топологию вводят с помощью систе |
|||||||||||
мы окрестностей следующим образом: окрестностью |
элемента |
|||||||||||
= |
|
^2» •••» |
Ъ°п> •••} |
называется |
совокупность, содержащая |
|||||||
все элементы |
х =Ц и £г,. . . , £п».. }, |
координаты которых |
удов |
|||||||||
летворяют условию |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
у |
1 |
11» —6» I |
< 8, |
|
|
|
||
|
|
|
|
nt t |
2" i + U“ - i „ | |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
*) |
Система |
$tx |
подмножеств |
Vx |
называется системой |
окрестностей |
||||||
точки |
х |
при выполнении условий: |
а) x ^ V x |
для любой Vx ^ $ l x; |
б) если |
|||||||
V е У1Х\ |
и |
|
то |
|
|
|
в) |
если Vx ^ ^ x |
и |
У |
Vx, то |
|
г) если |
1/х аШ х, то существует |
Vx ^ ^ x такое, что |
и х ^Щ>у для |
|||||||||
любого |
y ^ V x. |
Топология, |
задаваемая |
системами окрестностей |
(jс е £ ) , |
|||||||
называется отделимой, если |
любые две |
различные точки Е имеют непере- |
||||||||||
секающиеся окрестности. |
|
|
|
|
|
|
|
|