книги / Теория функций комплексной переменной

§ 2 ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ 21

ответствующая последовательность {anjfc} по-прежнему сходит­ ся к а. Отсюда следует, что последовательность комплексных чисел {znk} = {аПк + гЬПк} также является сходящейся, причем

lim znk = z = а + ib, что и доказывает теорему.

>оо

2. К ри тери й К ош и . При исследовании сходимости после­ довательности во многих случаях удобным оказывается необхо­ димый и достаточный признак сходимости последовательности, известный под названием критерия Коши.

Критерий Коши. Последовательность {zn} сходится то­ гда и только тогда, когда для любого е > 0 MOOICHO указать такое N(e), что

k n - 2 n + m |< £

(1-7)

при п ^ N(e) и для любого номера т ^ 0.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Для доказательства критерия Ко­ ши мы опять воспользуемся эквивалентностью сходимости по­ следовательности {zn} и последовательностей действительных чисел {а п} и {Ьп}, а также тем обстоятельством, что критерий Коши является необходимым и достаточным признаком сходи­ мости последовательности действительных чисел1). Начнем с доказательства необходимости критерия Коши. Так как после­ довательность {zn} сходится, то сходятся и последовательности действительных чисел {ап} и {6П}. Отсюда следует, что для лю­

бого е > 0 и любого номера т > 0				\ап—ап+т\ < | при п ^ Ni(e)
и | Ъп —Ьп+т| < |		при п ^	iV2(бг) - Выбирая в качестве N(e) наи­
большее из N\ и N2, в силу неравенства треугольника получаем
|zn -	Zn+mI < £ при П > N(£).
Перейдем к доказательству достаточности признака Коши.
Из соотношения (1.7) при n ^ N следуют неравенства
|c&n	^ \%п	Zn+m\	£>	|^п ^n+m| ^ \%п ^n+ml ^

являющиеся достаточными условиями сходимости последова­ тельностей {ап} и {6П}, т. е. сходимости последовательности {zn}. Тем самым доказано, что для сходимости последователь­ ности {zn} с комплексными элементами необходимым и доста­ точным является выполнение критерия Коши.

3. Бесконечно удаленная точка. Введем понятие бес­

конечно удаленной точки комплексной плоскости, существенное для дальнейшего. Пусть дана последовательность комплексных чисел {zn} такая, что для любого положительного числа R най­ дется номер N, начиная с которого члены последовательности удовлетворяют условию \zn\ > R при N. Такую последова­ тельность назовем неограниченно возрастающей. Согласно вве-

*) См. вып. 1.

22 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ГЛ. 1

денным ранее определениям данная последовательность, так же как и всякая ее подпоследовательность, предела не имеет. Такое особое положение неограниченно возрастающей последователь­ ности вызывает ряд неудобств. Чтобы избежать этого, введем комплексное число z = оо и будем считать всякую неограниченно возрастающую последовательность сходящейся к этому чис­ лу, которому мы поставим в соответствие бесконечно удаленную точку комплексной плоскости. Введем понятие полной комп­ лексной плоскости, состоящей из обычной комплексной плос­ кости, и единственного бесконечно удаленного элемента — бес­

конечно удаленной точки1 ) z —оо. Если мы будем пользовать­ ся геометрической иллюстрацией, ставя в соответствие элемен­ там неограниченно возрастающей последовательности { zn} точ­ ки комплексной плоскости, то обнаружим, что точки рассматри­ ваемой последовательности с возрастанием их номера располага­ ются вне концентрических кругов с центром в начале координат, радиусы которых могут быть сколь угодно большими. Отметим, что точки данной последовательности стремятся к точке оо неза­ висимо от направления на полной комплексной плоскости.

В связи с введенными понятиями естественно называть окрестностью бесконечно удаленной точки множество точек z полной комплексной плоскости, удовлетворяющих условию \z\ > R, где R — достаточно большое положительное число.

Определим алгебраические свойства числа z = оо. Из эле­ ментов неограниченно возрастающей последовательности {zn}

составим последовательность	Эта	последовательность
сходится к точке z = 0. Действительно,		из предыдущих рас­

смотрений следует, что для любого е > 0 можно указать такой

номер N, что — < е при п ^ N. Очевидно и обратное утвер­ ди

ждение, т. е. если последовательность { f n} сходится к нулю и состоит из отличных от нуля элементов, то последовательность

{ }	сходится к бесконечно удаленной точке.
L Cn J	^	1
В связи с этим полагают — =		0 и - = оо. Вообще для беско-
	со	0

нечно удаленной точки устанавливаются следующие соотноше-

ния: z-oo = оо при z ф 0 и z+ оо = оо, — = 0 при z ^ оо, которые 00

естественны с точки зрения предельного перехода в операциях сложения и умножения. С этой точки зрения операция — , есте­ ственно, является неопределенной.

*) Заметим, что аргумент комплексного числа оо не определен, так же как и его действительная и мнимая части.

Q,G> D.

Рис. 1.3

§3

ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ.

23

§ 3. П онятие ф ункции комплексной переменной.

Непрерывность

1. Основные определения. Целью настоящего пункта

является введение понятия функции комплексной переменной. Это понятие вводится так же как и понятие функции действи­ тельной переменной. Будем говорить, что на множестве Е комп­ лексной плоскости задана функция комплексной переменной, ес­ ли задан закон, ставящий в соответствие каждой точке множе­ ства Е некоторое комплексное число. Множество Е будем назы­ вать множеством значений независимой переменной. Структура этого множества может быть весьма сложной и разнообразной, однако в теории функций комплексной переменной рассматри­ вают множества специальной структуры. Для дальнейшего нам потребуется ряд вспомогательных понятий.

Точка z называется внутренней точкой множества Е , если существует е-окрестность точки z, все точки которой принадле­ жат множеству Е. Например, точка z множества \z\ ^ 1 являет­ ся внутренней, если \z\ < 1; точка z —1 не является внутренней

точкой данного множества.

Множество Е называется областью, если выполняются следующие условия: 1) каждая точка мнооюества Е — вну­

тренняя точка этого множества; 2) любые две точки множе­ ства Е моэюно соединить ломаной, все точки которой принад­ лежат Е.

В данном определении области второе требование являет­ ся условием связности области. Например, множество точек \z\ < 1 образует область. Точ­

но также и е-окрестность точ­ ки ZQ (\Z —ZO\ < е) образу­ ет область. Множество точек \z\ ^ 1 не является областью, так как не все его точки яв­ ляются внутренними. Также не являются областями мно­ жество точек \z\ Ф 1 и мно­ жество \z\ < 1, \z —4 \ < 2 (рис. 1.3), поскольку они не

являются связными.

Для обозначения области обычно применяются буквы

Точка z называется внешней точкой области Q, если суще­ ствует такая е-окрестность точки z, все точки которой не при­ надлежат области Q.

Точка z называется граничной точкой области Q} если в любой ее е-окрестности содержатся как точки, принадлежащие области <7, так и точки, не принадлежащие области Q. Например,

Рис. 1.4

24	ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ	ГЛ. 1
точка z =	1 является граничной точкой области \z\ < 1.	Сово­

купность всех граничных точек образует границу области. В

дальнейшем границу области мы будем обычно обозначать бук­ вами 7, Г, С . Простейшим примером границы области, очевид­ но, является кривая; однако граница области может состоять и из дискретного множества точек. Например, множество точек \z\ ф 0 образует на комплексной плоскости область, границей которой является точка z —0.

Множество, полученное присоединением к области всех ее граничных точек, называется замкнутой областью. Замкну­ тую область обычно будем обозначать, ставя черту над симво­

лом области, например: Q, G, D.

В дальнейшем мы будем рассматривать те случаи, когда гра­ ница области представляет собой одну или несколько кусочно гладких кривых1), которые, в частности, могут вырождаться в отдельные точки. При этом будут рассматриваться как од­ носвязные, так и многосвязные области*2). Например, область z —%\ < 2 является односвязной областью, границей которой

является окружность \z —i\ = 2; круговое кольцо 1 < \z\ < 2 (рис. 1.4) представляет

собой двухсвязную область; множество то­ чек z Ф 0 представляет собой односвязную область и т. д.

Если область Q целиком лежит вну­ три некоторого круга конечного радиуса, то она называется ограниченной. В про­ тивном случае — неограниченной.

Мы будем рассматривать в основном те случаи, когда множество Е значений комплексной переменной представляет со­ бой область Q или замкнутую область Q

комплексной плоскости. Тогда однозначная функция комплекс­ ной переменной z, заданная в области Q, определяется законом, ставящим каждому значению z из области Q в соответствие определенное комплексное число w. Символически указанное со­ ответствие будем записывать в виде

w = f(z).	(1.8)
Множество комплексных чисел w, соответствующих	всем
z 6 Q, называется множеством значений функции f(z).	По­

скольку каждое комплексное число характеризуется парой дей­ ствительных чисел, то задание комплексной функции w = и + + iv комплексной переменной z = х 4- %у эквивалентно заданию

*) Понятие кусочно гладкой кривой см. выл. 2. 2) Понятие многосвязной области см. вып. 2.

§3

ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ.

25

двух действительных функций двух действительных перемен­ ных, что может быть записано в виде

w(z) = и(х, у) + iv(x, у).

(1.9)

Функции и(х, у) и v(x, у) определены в области Qплоскости дей­ ствительных переменных х, у, соответствующей области Qкомп­ лексной плоскости z. Функция и(ж, у) называется действитель­ ной, а функция v(x,y) — мнимой частью функции w = f(z). В дальнейшем, если это не оговорено особо, мы всегда будем поль­ зоваться представлением (1.9), обозначая действительную часть

функции f(z) символом и, мнимую — символом V.

Часто рассматривают многозначные функции комплексной переменной, когда каждому значению z £ Q ставится в соот­ ветствие несколько комплексных чисел. В настоящей главе мы будем рассматривать только однозначные функции комплекс­ ной переменной. Подробное рассмотрение многозначных функ­ ций будет проведено ниже.

Множество значений w функции f(z) на комплексной плос­ кости w может иметь самую разнообразную структуру. В част­ ности, это может быть область G или замкнутая область G. В дальнейшем мы будем рассматривать только такие случаи.

Заданием функции w = f(z) устанавливается соответствие между точками области Q комплексной плоскости z и точка­ ми области G комплексной плоскости w. Говорят, что при этом задано отображение области Qна область G. Очевидно, устанав­ ливается и обратное соответствие — каждой точке w £ G ста­ вится в соответствие одна или несколько точек z области Q. В последнем случае можно говорить, что в области G задана мно­ гозначная функция комплексной переменной w. Функция, осу­ ществляющая отображение области G комплексной плоскости w на область Q комплексной плоскости z, называется обратной функции / {z). В этой главе мы в основном будем рассматривать тот случай, когда обратная функция

z = (p(w)

(1*10)

является однозначной в области G. Тогда функция w = f(z) осуществляет взаимно однозначное отображение области Q на область G.

Функция f(z) называется однолистной функцией в области £7, если в различных точках z этой области она принимает различные значения.

Из этого определения следует, что однолистная функция осу­ ществляет взаимно однозначное отображение.

2. Н епреры вность. Перейдем к понятию непрерывности функции комплексной переменной. Пусть функция f(z) опреде­ лена на некотором множестве Е. Рассмотрим различные после-

26

ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ГЛ. 1

дователыюсти точек этого множества {zn}, сходящиеся к неко­

торой точке ZQ и состоящие из точек zn, отличныхх) от точки ZQ (zn ф ZQ)} и соответствующие им последовательности значений функции {f(zn)}. Если независимо от выбора последователь­

ности {zn\ существует единственный предел lim f(zn) = W Q ,

Zn-*ZO

то этот предел называется предельным значением, или преде­ лом, функции f(z) в точке zo, что записывается в виде

lim f(z) = WQ.	(1.11)
Z—¥ZQ

Часто употребляется и другое*2) определение понятия пре­ дельного значения (или предела) функции.

Число wo называется предельным значением функции f(z)

в точке zo, если для любого е	> 0 можно указать такое
S > 0, что для всех точек z € Е	и удовлетворяющих условию

О < \z —ZQ\< 6, имеет место равенство |/(^:) — гУо| < £-

Докажем эквивалентность этих определений. Пусть функция f(z) удовлетворяет второму определению. Возьмем произволь­ ное положительное число е и выберем для него соответствующее 5(e). Рассмотрим произвольную последовательность {zn} —> ZQ и найдем iV[£(e)] = N(e), начинал с которого 0 < \zn —ZQ\ < 8 . То­ гда по условию | f(zn) —гио| < £ для п ^ N(e)] а так как е > 0 —

любое, то это в силу произвольности выбора последовательно­ сти {zn} и означает, что lim f(zn) = WQ, т . е. функция f(z)

Zn->ZQ

удовлетворяет и первому определению. Тем самым из второго определения следует первое.

Докажем теперь, что из первого определения вытекает вто­ рое. Предположим, что это не имеет места. Тогда можно ука­ зать такое ео > 0» что для любого 8п > 0 найдется такая точка zn 6 Е, что при 0 < \zn — ZQ\ < 8п будет выполнено неравенство

|/(z „)-U )0| > ео• Выберем стремящуюся к нулю последователь­ ность {£п} -> 0 и соответствующую ей последовательность точек {zn}, удовлетворяющих приведенным выше неравенствам. Оче­ видно, zn zo, а последовательность {f(zn)} не сходится к чис­ лу wo, так как все члены этой последовательности отличаются от wo больше чем на еоНо полученный результат противоречит первому определению. Тем самым сделанное предположение не имеет места, т. е. из первого определения вытекает второе. Эк­ вивалентность обоих определений доказана.

*) При этом предполагается, что точка ZQ является точкой сгущения мно­ жества Е, т. е. существуют последовательности {zn} точек этого множества, сходящиеся к точке zo.

2) Заметим, что это определение, в отличие от первого, имеет смысл лишь для конечных значении ZQ и W Q .

§3

ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ.

27

Так же, как и в случае действительной переменной, важную роль играет понятие непрерывности функции. Начнем с понятия непрерывности в точке. При этом будем считать, что точка го, в которой определяется это понятие, обязательно принадлежит множеству Е задания функции.

Функция f(z), заданная на мноэюестве Е , называется непрерывной в точке ZQ G Е у если предельное значение этой функции в точке ZQ существует, конечно и совпадает со зна­

чением f{zo) функции /(г) в точке го, т. е. lim f(z) = /(го).

Z—¥ZQ

Это определение непрерывности распространяется как на внутренние, так и на граничные точки множества1).

Если функция /(г), заданная на множестве Е } непрерывна во всех точках этого множества, то говорят, что функция /(г) не­ прерывна на множестве Е. В частности, мы будем рассматривать функции, непрерывные в области, в замкнутой области и на кри­ вой. Подчеркнем еще раз, что в силу данных выше определений следует рассматривать предельные значения функции /(г) лишь на последовательностях точек, принадлежащих данному множест­ ву в последних случаях замкнутой области, кривой и т.д.).

С помощью е— ^-определения предельного значения условия непрерывности функции /(г) в точке го можно также сформу­ лировать следующим образом. Функция /(г) непрерывна в точ­ ке го, если для любого е > 0 можно указать такое 5 > 0, что для всех точек z £ E , удовлетворяющих неравенству |г — го| < 5,

имеет место неравенство |/(г) —/(го)| < е. Геометрически это означает, что функция комплексной переменной, непрерывная

в некоторой точке2) го, ставит в соответствие каждой точке из 5-окрестности точки го некоторую точку, принадлежащую

е-окрестности точки WQ = /(го).

Из непрерывности функции комплексной переменной /(г) = = и(х,у) + iv(x,y) следует непрерывность ее действительной и(х,у) и мнимой г»(ж, у) частей по совокупности переменных х, у 3). Имеет место и обратное утверждение, т. е. если и(х,у) и

х) Бели точка го является изолированной точкой множества Е (т. е. суще­ ствует такая е-окрестность точки го, в которой нет других точек множества

Е), то функция /(г), по определению, считается непрерывной в точке го*

2)Заметим, что данные определения понятия непрерывности функции /(г ) в точке го справедливы не только в случае конечной точки го, но и

вслучае бесконечно удаленной точки го = оо. При этом под предельным значением функции /(г ) в точке оо, в силу определения на с. 26, надо пони­ мать предел последовательности {/(г „)}, где {гп} — любая неограниченно возрастающая последовательность. Во втором определении непрерывности

условие |г —го| < 5 надо заменить на условие |г| > R.

3) Определение непрерывности функции двух действительных перемен­ ных по совокупности переменных см. вып. 1.

28 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ГЛ. 1

v(x,y) суть непрерывные функции по совокупности переменных ж, у в некоторой точке (жо, 2/о)>то f (z) = и{хчy)+iv(x, у) являет­ ся функцией комплексной переменной z = x+iy, непрерывной в точке ZQ = хо + гуо. Данные утверждения являются следствием того, что необходимым и достаточным условием сходимости по­ следовательности комплексных чисел является сходимость по­ следовательностей их действительных и мнимых частей.

Это позволяет перенести на функции комплексной перемен­ ной основные свойства непрерывных функций двух действи­ тельных переменных1). Так, сумма и произведение двух функ­ ций комплексной переменной fi(z) и /2(2), непрерывных в обла­ сти Qутакже являются непрерывными функциями в этой обла­

сти; функция ip(z) = J2\%) непрерывна в тех точках области Q.

где /2(2) ф 0, функция /(г), непрерывная на замкнутом множе­

стве Еу ограничена по модулю на Е и т. д.
3.	П римеры . Рассмотрим несколько	простейших приме­
ров.
1.	В качестве первого примера функции комплексной пере­
менной рассмотрим линейную функцию
	f(z) = w = az + 6.	(1-12)

Здесь а и Ь — заданные комплексные постоянные. Будем счи­ тать, что а Ф 0, так как в противном случае функция (1.12) ста­ вит в соответствие всем точкам z комплексной плоскости одно и то же комплексное число Ъ. Функция (1.12) определена при всех

значениях независимой переменной z. Областью ее задания яв­ ляется полная 2) комплексная плоскость z. Каждому значению z соответствует только одно значение w, т. е. f(z) — однозначная

функция z. Очевидно, обратная функция ip(w) — z — -w — - =

CL CL

= a\w-\-b\ обладает теми же свойствами, что и f(z). Тем самым f(z) — однолистная функция z на полной комплексной плоско­ сти, устанавливающая взаимно однозначное соответствие между плоскостями z и w. В силу непрерывности действительной и мни­ мой части f(z) по совокупности переменных ж, у эта функция непрерывна на всей комплексной плоскости при любых конечных значениях х, у). Чтобы выяснить геометрический смысл данно­ го соответствия, рассмотрим вспомогательную функцию £ = az.

*) См. вып. 1.

2) В дальнейшем мы будем говорить, что функция комплексной перемен­ ной f ( z ) определена на всей комплексной плоскости, если она определена для всех значений комплексного аргумента z, ограниченных по модулю, и будем говорить, что /(z ) определена на полной комплексной плоскости, если она задана и при z = 00. В нашем примере / ( оо) = оо.

§3 ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ. 29

На основании правила умножения комплексных чисел имеем

С = М • И • {cos (argа + argz) -f i sin (arga -f argz)} .

Отсюда следует |C| = |a| • \z\, arg С = arg^ + arg a. To есть функ­ ция С — az любому комплексному числу z ставит в соответствие комплексное число С, модуль которого в |а| раз больше модуля z, а аргумент получается из аргумента z прибавлением постоян­ ного слагаемого — аргумента комплексного числа а. Геометри­ ческий смысл этого преобразования очевиден: подобное растя­ жение плоскости z в |а| раз и поворот этой плоскости как целого вокруг точки z = 0 на угол arg а.

Возвращаясь к функции (1.12), которую теперь можно запи­

сать в виде w = £ + 6, видим, что геометрический смысл послед­ него преобразования состоит в сдвиге плоскости z, характери­ зуемом вектором 6.

Итак, линейная функция преобразует комплексную плос­ кость z в комплексную плоскость w путем подобного растяже­ ния, поворота и сдвига.

2. В качестве следующего примера рассмотрим функцию

w = f ( z ) = - .

(1.13)

Эта функция также определена на полной комплексной плос­ кости, причем / ( 0) = оо и /(оо) = 0. Как и в первом приме­

ре, устанавливаем, что f(z) является однозначной и однолист­ ной функцией z, отображающей полную плоскость z на пол­ ную плоскость w. Легко установить, что функция f(z) является непрерывной на полной комплексной плоскости, за исключением точки z —0. Для геометрической интерпретации данной функ­

ции воспользуемся показательной формой записи комплексных чисел: w = re1^ = - е l<p(z = рег<р). Это равенство означает, что

РI

argw = —argz , |iu| = г-?. Полученные соотношения позволя- 2

ют рассматривать отображение, осуществляемое данной функ­

цией, как	совокупность двух отображений: ( =	С М , гДе ICI =
= \z\, arg	С = — arg2, и w = w(Q, где \w\ =	argiy = arg С-

Первое отображение имеет геометрический смысл зеркального отражения относительно действительной оси, при котором точ­ ка z переходит в точку z, а второе отображение имеет смысл инверсии1) в единичном круге, переводящей точку z в точку)*

*) Инверсией (или преобразованием обратных радиусов) в круге радиу­ са а называется такое преобразование, при котором каждой точке внутри (вне) круга ставится в соответствие точка вне (внутри) круга, лежащая на луче, проведенном из центра круга в данную точку так, что произведение расстояний от этих точек до центра круга равно квадрату радиуса круга.

30	ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ	ГЛ. 1
w =	- (рисунки 1.5, 1.6). При этом точки плоскости z,	лежа­

щие вне единичного круга, переходят в точки, лежащие внутри единичного круга плоскости tu, и наоборот.

Рис. 1.5	Рис. 1.6
3. Рассмотрим функцию
w = f(z) = z2.	(1*14)

Эта функция является однозначной функцией комплексной пе­ ременной 2, определенной на полной комплексной плоскости z. Для изучения ее свойств опять удобно представить комплексные числа в показательной форме: z = рег¥>, w = гег^ = р2ег2<р. От­

сюда легко заключить, что точки плоскости г, лежащие на луче, составляющем угол (р с положительным направлением действи­ тельной оси, переходят в точки плоскости iu, лежащие на луче, составляющем с положительным направлением действительной оси угол 2(р. Поэтому точкам z и —2, аргументы которых раз­ личаются на 7Г, а модули одинаковы, соответствует одно и то же значение w (ег27Г = cos 27г -f i sin 27г = 1). Тем самым обрат­

ная функция оказывается многозначной. Рассмотрим подробнее отображение, осуществляемое функцией w = z2. Верхняя полу­ плоскость z вместе с действительной осью переходит в полную плоскость w. Положим для определенности, что в верхней по­ луплоскости аргумент z заключен в пределах 0 < (р < 7г. Тогда различным точкам области 0 < (р < жсоответствуют различ­

ные значения w. Такая область изменения независимой перемен­ ной, различным точкам которой соответствуют различные зна­ чения функции, называется областью однолистности функции. В предыдущих примерах областью однолистности являлась вся область задания функции; в данном случае для функции w = 22, областью задания которой является полная комплексная плос­ кость 2, областью однолистности служит полуплоскость. Отме­ тим, что в рассматриваемом случае границы области однолист­ ности — лучи ip — 0 п(р = т— переходят в одну и ту же пря­