книги / Упругопластическое деформирование и разрушение материалов при импульсном нагружении

где \ Е у — возрастание удельной упругой энергии объемного сжатия

в ударной волне, A£V = -Д -		(г2 — е^.); Епл — удельная		работа плас-
	*Ро	е
тической деформации в волне, Епл = J ode/p0.
v		ЕТ
Из уравнений (4.22) — (4.24) для скорости ударной волны в области
давлений, близких к пределу текучести огг, получаем выражение
D2 = (1		Ря^ПЛ	ат\(£г еп )
	11+ 2
	Ро [1+2	РоЕщт----з	—е„)	(4.25)
где ат— предел		Kfrr-brr)2
	текучести при одноосном напряженном состоянии,

определенный по величине ап .	ап)
Напряжения за фронтом волны (аг >
аг = JrГ+ К. (fir — Rrr) + 2 Ро-^ПЛ	3~ (вг ®гг)|/(®г ёгг)-

Как следует из (4.15), скорость ударной волны зависит не от кри­ вой деформирования о (s) материала при прохождений фронта волны, а от удельной энергии неупругой деформации Епд.

Для идеальной упругопластинеской невязкой среды (модуль упроч­ нения равен нулю, М = 0) необратимые потери, связанные с пласти­ ческим деформированием материала при прохождении фронта ударной волны, Еал = сгхея/ро, где ея — деформация при линейном напряжен­ ном состоянии материала, эквивалентная деформации (ег — е^) в

плоской волне нагрузки, е„ = — (ег — e^). В этом случае скорость

распространения пластической ударной волны

D 1 = 4 ~	0 - Z'J- ~ 4 - -	(4 26)
Ро	Ро
т. е. она равна гидродинамической, а напряжения по нормали		к фрон­
ту волны аг = К (е, — егт) +	Пгт-	Ма Ф 0)
Для невязкой среды с упрочнением (модуль упрочнения

а = ат0 Н- Ма (е — t^o) работа неупругого деформирования, скорость распространения волны и уровень напряжений за фронтом ударной

волны определяются	выражениями
%
Е м	е„) +	- Ц р (е, - ег,)1;	(4.27)
° а = (1 - е- )а - ^ ( , + - г - т - ) :
° г	= ( * + “3“ MQ\ (sr	&гт) -|- О/т-

		Скорость распространения возрастает е по­
		вышением модуля упрочнения материала.
		Сопротивление материала пластической де­
		формации при	воздействии	ударной волны
		определяется совместным действием процессов
		упрочнения и	релаксации	напряжений с
		учетом эффектов вязкости и нагрева. Скорость
		деформации, упрочнение, среднее гидростати­
		ческое давление и другие особенности дефор­
Рнс. 57.	Схематическая	мирования материала влияют на реализуемый
кривая	деформирования	при прохождении волны закон деформирова­
материала в плоской вол­		ния и соответствующую ему кривую деформи­
не нагрузки
		рования а (е). Эта кривая и определяет			ско­
рость распространения ударной волны в соответствии				с реальной	ра­
ботой пластического течения материала.

В отличие от распространения упругопластической волны ударная волна при распространении практически не изменяет крутизну фронта и, следовательно, процесс деформирования материала и скорость при распространении волны сохраняются. Вследствие этого скорость волны независимо от ее удаления от поверхности возбуждения определяется по (4.25) кривой а (е), соответствующей высокой скорости деформации. Чем выше работа пластического деформирования материала при реали­ зуемой на ударном фронте высокой скорости, тем выше скорость рас­ пространения ударной волны. Возрастание скорости ударной волны по

отношению к	гидродинамической скорости определяется энергией
р £ пл, которая	соответствует площади заштрихованной области на

рис. 57 (сплошная кривая характеризует реализуемую при прохожде­ нии ударного фронта кривую деформирования материала).

На основании изложенного можно сделать вывод, что изменение сопротивления материала пластическому деформированию, связанное с деформационным упрочнением, вязкостью и другими эффектами, существенно влияет на скорость распространения пластической удар­ ной волны. Скорость ударной волны равна гидродинамической только в частном случае идеальной упругопластической невязкой среды с нуле­

вым упрочнением либо среды с постоянным уровнем средних напряже-

£

ний сгср = р0 — в процессе реализуемого при прохождении удар.

ной волны процесса деформации. В ударной волне данной интенсивности реализуется наиболее высокая скорость деформации, сохраняющаяся при распространении волны. Влияние поведения материала под нагруз­ кой на распространение ударной волны подтверджено численными рас­ четами при использовании различных реологических моделей материала.

5.Распространение упругой цилиндрической волны

втонком диске

Плоское соударение диска с преградой широко используется при экс­ периментальном изучении особенностей деформирования и разрушения материалов под действием импульсных нагрузок. В связи с этим пред­ ставляет интерес исследовать влияние волны разгрузки от боковой по-

верхности диска на радиальное распределение в нем напряжений и де­ формаций. Ниже приведен расчет напряженно-деформированного со­ стояния в тонком упругом диске после его соударения с плитой.

Рассмотрим соударение двух одинаковых дисков со скоростью v0 (рис. 58). Начиная с момента их соприкосновения, в обе стороны от поверхности контакта распространяются плоские волны нагрузки, за фронтом которых (исключая область возмущения боковой волной раз­ грузки — на рис. 58 заштрихованная зона) напряжения соответствуют одноосной деформации

!-°Н£

где1д0 — скорость распространения продольной волны, а в = ( ^ 4 -

~\- оуРо.

После выхода прямой плоской волны нагрузки на свободную поверх­ ность диска и ее отражения в виде волны разгрузки материал в области диска, не «затронутой» боковой волной разгрузки, возвращается в исходное напряженное состояние. В области, возмущенной боковой волной разгрузки, материал приобретает радиальную скорость, кото­ рая может быть рассчитана с помощью закона сохранения импульса в радиальном направлении. Волна боковой разгрузки распространяет­ ся по материалу, сжатому плоской волной, со скоростью продольных волн а0»а область ее действия в срединной плоскости диска b возраста­ ет с течением времени и к моменту tp прохождения плоской волны раз­ грузки через срединную плоскость имеет протяженность вдоль радиуса

b	(Z(ftp*
	Для узкой (по сравнению с радиусом диска R) зоны разгрузки (Ъ
	R) распределением скоростей по радиусу в этой зоне можно прене­
бречь, полагая v = vp. Средняя ско­
рость vp рассчитывается по импульсу
радиальных напряжений <хг : ortp =
=	p0bvp или, с учетом приведенных	&

выше выражений для b и сгг:

ур = »0 К

(4.28)

Кинетическая энергия узкой коль­ цевой зоны диска трансформируется в дальнейшем в кинетическую и потен­ циальную энергию материала за фрон­ том сходящейся к центру диска упругой волны. В начальный момент (момент возбуждения сходящейся волны на­ пряжений в средней разгруженной области диска) радиальные напряже-

а

Рис. 58. Схема соударения двух дисков (а) н распределение переме­ щений и напряжений по радиусу диска (б) в момент времени t — = 0,5, при /0 = 0,1

ния на боковой поверхности этой области (г » R) о (г, t)~ ра

поддерживаются постоянными в течение времени tQ=

t9

{а — скорость упругой волны в тонкой пластине при плоском напря-

женном состоянии, а2 = -р ^ __ v^ ; Е и v — модуль Юнга и коэффи­

циент Пуассона материала диска).

Таким образом, распределение напряжений и деформаций в диске определяется решением системы уравнений, включающей уравнения равновесия, связи напряжений и деформаций:

дЧо		даг	+ —	(ог — ств);
dt-		дг
ег —	dw		_1_	(4.29)
	дг		Е
ее =	Wг	. =

при нулевых начальных (ог (г, 0) = ое (г, 0) — и (г, 0) = 0) и задан­ ном граничном (оу (./?,£) = cr0 [1 — Н \t — /0)]) условиях; г — Лагран-

жева координата частицы материала; <т0 = ра

		я	(0	при		£ < 0			(4.30)
			I 1	при		£ > 0 .
Введя безразмерные переменные t —						а;	г =	; ог =	(1 — va);
а0	/1	2^	получаем			более		простую систему урав-
GQ = - g -	U — v )> w = -g - ,
нении		d*w
			1 ^ +	^	( а		, - а	9);
		dt*
		(I — ^ ~ д Г		=	° г ~		° ev;		(4.31)

(1 — v2) -j- = а9 — cFrv;

аг (г, 0) = ае (г, 0) = ш(г, 0) = 0

а , (1, t) = о0[ 1 — H{t — /0)]*

Учитывая нулевые начальные условия, решение приведенной си­ стемы целесообразно искать методом преобразования Лапласа: F (г, р) —

оо

м

= р \ f (г, f) exp (—pt) dt. В преобразованном виде система уравне­

ний (4.31)

p*w (г, р) = д°г ^ Р \ . -f- - i- (cyr — а0);

(1 — v2) -gp = or — voe; (1 — v2) у - = ое — vor

с граничным условием 'cr (1, р) =		<т0 [1 — exp (—pt0] сводится к вол­
новому 'уравнению для перемещения (цилиндрическая волна)!
_2 d2w (г, р)	-1- г ft? I f*	-----(р2 *2 +	ly w (г, р) = 0.	(4.32)
др
Принимая pr = Z, из уравнения (4.32) получаем уравнение Бесселя
первого порядка от мнимого аргумента
Z’ - g	' + Z	- w ( Z ,	р) (Z2 + 1) = 0.
общее решение которого w ( г , 0) =		C t (р) 1 г ( p r ) + С2 (р) /Ci (рг) содер­

жит две произвольные функции Сг (р) и С, (р) (/х (?) и /С2 (?) соответст­ вующие функции Бесселя).

За фронтом сходящейся

волны ш

О

при г

0, следовательно,

С» (р) = 0 как множитель

при значении

К\ (р),

возрастающем

при

г-*- 0.

Выражения для радиального перемещения и напряжений

ш(г, р) = С/(р) lt (pr);

«Т, (Г. Р) =

V

=

с, (р) [ - f /, (рГ) 4- pl\ (/»-)]

а© =

(1 — V2)

W (г, р)

+

var

г

с учетом граничного условия при R — 1 имеют вид

w {г, р) =

<J0 (1 — exp (— pt0))

/i (pr)_______.

pla (p) — (1 — v) л

(P) ’

1—v

(pr)

РЛ> (pr)--------------h

a' (r’

-

» •(1 -

exP

T

W

- t f - U

w

1 — V

v/>/0 (pr) -1-------------11 (pr)

(r,

p) =

cr0 (1 — exp (— pt0))

г

pin (p) — () — V) l\\p)

^учтено, что /i (?) =

=

/0 (?) — / г (?)/?).

Обратное преобразование этих зависимостей можно выполнить,

используя асимптотические разложения функций /0 (?) и 1г (?):

ш

=

exp?

1 1 _L

1

4_

^

**' ) ’

1

1

8?

+

128?а

exp?

/ j

3

15

\

'

V 2п?

[

8?

123?*

)

дающие удовлетворительное

приближение при ? = Pr /5> 1* т. е-

при

сравнительно малом времени от момента возбуждения сходящейся вол­ ны напряжений. Такое приближение приемлемо для данной задачи» поскольку безразмерное время t ограничено диапазоном (0; 1).

Разлагая выражения для аЛ, ое и w в степенные ряды и удерживая члены, содержащиеся в них с параметром £ в степени п > —2, полу-

w (г, Р) « ° 0 (1 - exp ( - М ) ^ E L - H L ( А . +	^	;
ff(r, р ) « о0(1 — exp (— pt0)) 1~ рх) ^1 + - J -	+	“f r ) :

<*в (г, /?) = сг0 (1 — ехР (“” Р*о)) (v + ~ + “ I") •

Значения А и В, функции от координаты г, определяются по следу­

ющим выражениям:
А г = ----------------- v);		^e	=	7	- [ l - v 2-
A _	1*	Q		7	Я	_ Vе
			—. —..._. .
“	А’		—	о	or	v>

+ VJf( - r + , ) ( - r a - - - r v) ] -

где x — расстояние по радиусу от нагружаемой боковой поверхности,

в случае сходящейся волны х =	1 — г.
Применяя обратное преобразование Лапласа, находим
и>(г, 0 » ~ у г { Н V'~~x) [А Л * —•*) + в*		{tТ *'~~] ~~
— Я (t — х — tQ) [И .« — х — 10) В ш~		2	j| *
M r , 0 « - ^ г {Я (Г- х) [ 1 + Лг ( / - х) 4- Вг (-^ - ] -
— Н (/ — X — /0) ^1 4~	— X — /„) + Яг	2		j| *
<Т0 (/■, о » - p j - |я(г( — х) j^v + A Q(t — х) + Яв		^	2*}	] ““
—Я (/ — -v — /0) + Ле (г—л:— 10) 4- Яе ~		^	”	]) •

Д ля стали при v =	0,29 Аш — 1; Аг — — 0,585 -----lj »*AQ = 0 ,1 7 -f*.
+ Ш - ; Bw = 0 , 5 8 5 - ^ - ; Я, ^ 0 , 0 0 6 - +		; ^ e -
= 0,002 + - 5 ^ —	- J r - *

Аналогично' решается задача о распространении расходящейся цилиндри­ ческой волны в пластине с отверстием при действии короткого импульса на­ пряжений на боковую поверхность от­ верстия (рис. 59). Такой случай имеет место при соударении двух пластин с от­ верстием. В безразмерных переменных для отверстия диаметром г = 1 и гранич­ ного условия на его поверхности аг (1, t) = а0 [1 — Н {t— Q\ получаем реше­ ние

ЛУ(г	п\ г=_________ ____________ у
1 * Р)		( \ ~ v ) K l {p) + pK0 {p)	х
	X о0(1 — ехр(— ptj);
а (г	п\ —	О ~~v) Кл (рг)!г + ркApr)	X
л	>Р) ~	( \ - ^ ) К х {р)Л-рКЛр)

X а0(1 — ехр(—pt0)).

SVo	-W
	ОД
§	ОМ
	ОМ

1,25	1,0

5

Рис. 59. Схема соударения пла­ стин с отверстием (а) и распре­ деление перемещений н напря­ жений по радиусу диска (б) в

момент времени t = 0,5, при

/Р= 0,1

Используя асимптотические разложения функций Ко (£) и		(£)»
*ч>(0 = У - |ге х р - ф - - 1 - + -т| |—	•••]:
^ ( 0 = / ^ е х р - с [ 1 + - | — j ^ - +	. . . ] .

и удерживая в решении (после разложения в степенной ряд) члены, содержащие р~п (п ^ 2), получаем расчетные соотношения, полностью идентичные приведенным выше для сходящейся цилиндрической волны с несколько измененными выражениями для А и В:

где х — г ■	1.
При v	0,29						0,746
АW	1; Аг = — 0,585- г — 1			Ае = — 0,17—
Bw =	0,585 -	0,375	£ , = 0,006-		0,342	,	0,337
						i	3 “
			0,437		0,246

BQ = 0,002 +

Из приведенных зависимостей следует, что амплитуда на фронте сходящейся (расходящейся) цилиндрической упругой волны возраста­

ет (снижается) пропорционально 1(Vт. Непосредственно за фронтом волны в диске в течение времени t0 действия импульса на граничной поверхности наблюдается спад напряжений, плавно изменяющийся во времени, а затем скачкообразное их изменение до напряжений обрат­ ного знака (см. рис. 58). Эти напряжения плавно снижаются до нулевых значений на граничной поверхности.

Изменение напряжений непосредственно за фронтом волны и после скачкообразного спада описывается степенным многочленом и, следо­ вательно, точность описания определяется числом удерживаемых чле­ нов в асимптотическом разложении функций Бесселя в решениях.

6. Волны напряжений в тонкой пластине, вызванные движением с постоянной скоростью поверхностной нагрузки

Задача о нагружении листовой заготовки конечной толщины в опера­ циях упрочнения и сварки взрывом может быть сведена к изучению напряженно-деформированного состояния материала в объеме заготов­ ки под действием поверхностной нагрузки, приложенной в узкой пря­ молинейной полосе, перемещающейся с постоянной скоростью. Эффекты, связанные с влиянием границ заготовки и распределением напря­ жений по толщине заготовки, резко усложняют анализ волновой карти­ ны нагружения. Возникающее в этом случае трехмерное поле напряже­ ний может быть рассчитано только численными методами, применение которых затрудняет анализ и получение практических рекомендаций по разработке оптимальной технологии. Ниже с целью качественного изучения особенностей нестационарного нагружения листовой заготов­ ки в технологических операциях, связанных с приложением движу­ щейся нагрузки, рассмотрено распространение упругих волн в тонко­ листовой заготовке в области несущественного влияния возмущений от контурных границ заготовки.

Рассмотрим нагружение полуплоскости толщиной 60 (рис. 60) под воздействием подвижной поверхностной нагрузки р = р (х, t), прило­ женной вдоль линии, параллельной границе листа и перемещающейся с постоянной скоростью v от этой границы. Нагрузка не изменяется по координате у , и, следовательно, имеет место плоская деформация при

плоском напряженном состоянии (ог = 0; гу =				0). Уравнения		связи
напряжений и деформаций (обобщенный закон Гука) для этого						случая
е* =	"15Г = (°* ~ ™ у)!Е;		еу = (ау — vox){E =		0;
	е =	dwz
		дх
и уравнения	равновесия
dhoх	дах		dzw2	I	Р*
	а?			дх	60 ’

составляют систему уравнений, опи­ сывающих процесс нагружения.

Нулевые начальные (ох (0, х) = = т (0, х) = ех (0. х) = 0) и гранич­ ные (а* (t, 0) = т (Л*0) = 0) условия определяют конкретное решение.

Указанная система уравнений приводится к двум волновым урав­ нениям, описывающим распростра­ нение упругих волн — продольной и поперечной:

d2w±	о д-шх	Рх (*, 0 .
дГ-	~~дх*~
	Е	дх ’ (4.33)
	I — V2

а

б

Рис. 60. Схема нагружения тонкой пластины перемещающейся нагрузкой (а), напряженное состояние элемента пластины (б) и распределение нагрузки по нагруженной поверхности (в)

д2а»г__	д2Ц'г ,	Рг (X, 0 .	__ п	дя2
Tt*~ ~~	дх*	р60	’ T “ U	дх ’

где а	и ах — скорости распространения продольной и поперечной уп-
ругой	волн соответственно, аг =	г
		ах = G/p.

В безразмерных переменных х, t, о, р, w уравнения (4.33) являются

идентичными и имеют вид
d*w	d*w	Р(Х, t)\ О	dw
W	дх2		Т Г '

Безразмерные переменные в приведенном волновом уравнении1для продольной упругой волны следующие:

(4-34)

Р = Рх (1 — v2)/£;	— -5е- »
	и0
для поперечной (сдвиговой) волны

где рх и рг — составляющие поверхностной нагрузки на единицу пло­ щади в направлении осей х и z соответственно.

Учитывая начальные нулевые условия, для решения волнового уравнения целесообразно применить операционный метод, основанный на одностороннем преобразовании Лапласа:

/(х, t ) F (х, £) = t J / (х, 0 ехр (—

В преобразованном виде волновое уравнение и граничные условия

имеют вид
Р 1+ Р (X, С) = 9® (х, £);	(4.36)
а(х, 9 = а" ^1 0 ; (г(0, 9 = 0 .

В дальнейшем рассмотрим П-образное распределение нагрузки на

поверхности пластины (рис. 60), которое запишем в виде
Р (х >0 — Ро	у	Н р	у	(х Н- б)j j ,	(4.37)
Р (X, 9 = Р. {ехр ( - - f *с) -		exp [— f		(* + 6) ? ]|
#(Й =	JO при £ < 0
	1 при	S > 0 ’
где скорость с равна скорости	продольной		волны или скорости по­

перечной волны в зависимости от рассматриваемой нагрузки (с ** a или с — ат).

Заменой w {х, £)= W (х, £) ехр^-----с— x^j уравнение (4.36) при на­

грузке (4.37) преобразуется в обыкновенное линейное дифференциаль­ ное уравнение второго порядка:

W	(х, 0	с	dW {х, 0	{	с J
дхг		v	дх
	X №(х, Q + Ро [ 1 — ехр( —				= 0 ,
которое заменой переменной
2 (х, й =	S* ( - г ) 2-		>]*<*. 0 +	P .[ l - e * p j( — f		вс)
в свою очередь преобразуется к более простому виду
^ < * ,9	_ 2£_^		+		1 2 (х, 0	= 0.
дх*

Общее решение последнего уравнения содержит две-произвольные постоянные (не зависящие от координаты х):

2 ( * ,9 = C ,(9 e x p [{ -f + ] W ' Сг (5) ехр [ ( v - 0 «

Поскольку при больших значениях х перемещение должно быть

ограниченным, постоянная Сх — 0. Выражение для	перемещения
W (х, Й = [С2 (Й ехр (— *£) — р.0ехр ^---- с-	х £ ^ I —

ISO