книги / Физические основы прогнозирования долговечности конструкционных материалов

шены, сеть С0. Тогда (суммарная по всем модам) концентрация С разрушенных к моменту t элементов есть

	С=С"Л1- М!>(—wr)] Ay		(4.9)
Интеграл в (4.9) определяется шириной спектра значений
0(у')> величина которой
	ДО = 0(0) — 0 (Д у) = в (Ay) (е“ — 1)
характеризуется параметром
	о» = Дус/кГ.		(4.10)
При	0 величина Л0 ~ мв(Лу)—<-0 и	подынтегральное

выражение (4.9) имеют характер дельта-функции аргумента Лу, т. е.

C = C «[l— ехр(— е ^ г ) ] ,|ри W <L

(4л1>

Таким образом, если со достаточно мала, то неоднороднонапряженный ансамбль элементов в процессе трещинообразования проявляет себя как однородный, состоящий из элементов с одинаковыми временами жизни 0(Ау). Как видно из (4.10), малость (о может быть достигнута не только тривиально за счет малых Ду, по также и малостью кинетического параметра. Поэтому такой тип разрушения элементов естественно назвать кинетически однородным трещинообразованием.

В другом предельном случае достаточно больших ы, когда должна быть учтена А©, прямое интегрирование (4.9), анало­ гичное приведенному в работе [272], дает

с » -^ -1 п(-ё'(д^- ) при W » l , f » 0 .

(4.12)

Этот тип накопления трещин будем называть кинетически неоднородным.

Получим результат (4.11) другим способом [182], выясняю­

щим его физический смысл. Аппроксимируем

	1	t < 0 ;
		t > 9

и рассмотрим выражение для скорости трещпнообразоваппя при t-*- 0 и м » 1 , возникающее при дифференцировании по времени (4.9): »

С„	А?
	(	dy'	_	Со	е (Ау).
Ау	3	е (у')	-	®

Па малом интервале времени At->~0 накопительный процесс лимитируется вкладом экстремальной (самой короткоживу­

щей) моды спектра на его краю с заселенностью Co/со. Оче­ видно, после ее вымирания через время 0(Ду) осуществляется переход к следующей моде. Далее процесс идет последователь­ ными шагами. Каждый шаг увеличивает концентрацию разру­ шенных элементов С на постоянную величину

АС = С0/о),

ипосле i шагов (/=^0, 1, 2 ...)

С= /ЛС.

Таким образом, лимитируется мода со временем жизни
©,+, = е(Ау — Ду		)= © (AY)ег.
За время t совершается / полных		шагов, число которых
определяется уравнением
t i= i e i' + i =	- T - T - e (AY)-
i'~0	е	1
Подставив в него
	С	со
	Со

получим
( e - i ) f	( е — 1) /	-)•	(4.12а)
с — § - t a [ 1 4 е(Ду)	0 (Ду)

Приближенное равенство справедливо здесь после несколь­ ких шагов. Как видно, полученное выражение совпадает с вы­ ражением (4.12) с высокой точностью (е— 1^1,73). Проведен­ ное рассмотрение, однако, вскрывает характер накопительного процесса, который заключается в выделении в каждый момент времени «слабейших» элементов и пх последовательном раз­ рушении.

Таким образом, кинетика термофлуктуацпоииого разрушения при наличии спектра барьеров в зависимости от величины и (4.10) характеризуется двумя предельными закономерностями (4.11) и (4.12). Обе они наблюдены на эксперименте по реги­ страции первичных продуктов термоактивпровапного разруше­ ния полимеров (рис. В.5, 4.11, 4.12).

Отмстим, что в обоих случаях [(4.11), (4.12)] скорость про­ цесса С со временем падает, в связи с чем накопление имеет «затухающий характер». Однако причины затухания различны. При кинетически однородном трещииообразовании этот эффект обусловлен истощением резервуара элементов Со, которые мо­ гут быть разрушены. При кинетически неоднородном трещипообразовании затухание, имея кажущийся характер, отражает сравнительное упрочнение, вызванное последовательным разру-

182

шепнем все более долгоживущих элементов. Характеристикой такого рода упрочнения может служить относительное время удвоения концентрации, которое в рамках вывода (4.12) будет сле­ дующим:

	t'ufti — е*.
Таким образом, если за время t
накопилась концентрация			С вслед­
ствие / шагов	(/ = 5), то для ее уд­
воения необходимо время примерно
на два порядка больше затрачен­
ного.				Рис. 4.11. Регистрируемое ме­
Такого рода накопление воспри­				тодом	электронного		парамаг­
нимается наблюдателем		как сильно		нитного	резонанса	накопление
				свободных радикалов			в капро­
затухающее.	Однако	достигнутая		не при	комнатной	температуре
концентрация	С = 2iC0/o)		при до­	и о = 600 МПа [208]
статочно больших о» может быть				приближении		к	которой
значительно ниже величины Со, при
может иметь место истинное затухание						тела при
Согласно	(4.1) долговечность т рассматриваемого

Рис. 4.12. Кинетика увеличения концентрации субмикротре­ щин в ориентированном капроне, регистрируемая меюдом малоуглового рентгеновского рассеяния, при комнатной темпе­ ратуре и о = 1 7 0 МПа: д--исходны е данные; б — их пере­ строение в полулогарифмических координатах

кинетически неоднородном трещинообразоваинп определяется уравнением

,1 . 7 3М( . \ _г*

С) \	е (Лу)7	f ) - Cl-
Отсюда
	Со — уо		;	(4.13)
т ^ т 0ехр—
				(4.13а)

183

Выясним влияние на величину т [(4.13), (4.13а)] размера кластера //, вносимое зависимостью С/ [(3.14а), (3.14)], согласно которой

Рассмотрим время dx, затрачиваемое на последний шаг при увеличении размера кластера /'/, т. е. на переход v — 1 -*■ и. Дифференцируя т по ц и полагая di = 1, имеем

dr	A ver
	kТ

Мы пренебрегли в формуле для С/ зависимостью основания сте­ пени от h и использовали обозначения (4.10), (3.14в).

Из (4.14)	следует, что при достаточно больших значениях
а) возможен	случай, когда dxj>x, т. с. время присоединения

к кластеру еще одного разрушенного элемента равно или больше времени формирования всего кластера. Этот эффект порожден логарифмическим характером накопления трещин. Такого рода кинетика приводит к ситуации, которая при се эксперименталь­ ном наблюдении выглядит парадоксальной: мгновенно (в мас­ штабе времени t/т) в теле накапливается концентрация началь­ ных трещин, близкая к критической, и образуется кластер раз­

мером ц — 1,	близким к	критическому	ц, а основное время
т уходит	на ожидание	последнего	перехода ц —

Вследствие этого наблюдателем может быть сделан ошибочный вывод об отсутствии причинной связи между накоплением тре­ щин до критической концентрации и разрывом образца: ее до­ стижение может быть произвольно отнесено к любому, в том числе к близкому к начальному моменту времени, и, глядя па эмпирическую кривую, можно прийти к выводу лишь о необхо­ димости, по не достаточности достижения критической концен­

трации для	разрыва тела — иллюзии,	разрушаемой	проведен­
ным теоретическим анализом.		отмеченного	характера
Другим,	объективным следствием

кинетики кластсрообразования является большой разброс вре­ мени разрыва в серии идентичных образцов. Это требует рас­ смотрения долговечности т как существенно случайной вели­

чины, а также описания ее функцией распределения				(см.гл. 6).
Рассматриваемый эффект позволяет также объяснить резуль­
таты	опытов	но	многократному разрушению [234],	в которых
нагружались		и	разрушались части разорванных	образцов.
Было	обнаружено, что долговечность их при одинаковом су

практически не меняется. В самом деле, пусть долговечность образца равна т, и выполняется условие dx^x. В части разор­

ванного	образца	ист кластера, размер которого	больше п — 1,
а для ее разрыва		необходимо совершить переход ц — 1-> й, па
который	затрачивается время dx^x. Таким		образом, для

разрыва части образца требуется то же время, что и для раз­ рыва целого образца,— долговечность ври последовательных разрывах сохраняется.

Наконец, заметим, что развитые представления о механизме разрушения неоднородного гетерогенного тела способны объ­ яснить эмпирическое, так называемое «правило смеси» прочно­ сти композитов. В самом деле, рассмотрим случай, когда дол­ говечность тела т определяется соотношением

Со I n Сь 0 = То ехр -и ?-~ уа ,

дающим

т« т0еС;/С°exp

иприводящим к следующему выражению для прочности о*. (В.4):

Рассмотрим композит, прочность а*г- каждого из / компонен­ тов которого описывается данным выражением, причем значе­ ния параметра у близки, т. е.

7 [ ‘/“ - к7'( 1пТ Г ~ Т г )] -

Пусть разрушающая трещина может сформироваться ча­ стично или полностью в любом из компонентов так, что проч­ ность композита в целом а*& определяется уравнением

^ Piin [т/е, (0*й)] = с ,/с „ i

где Pi — объемная доля i-ro компонента, £ Р , = 1, откуда

i

<7** = £ PiO*i.

i

Это и есть «правило смеси». Как видно, оно получено для композита, у которого все характеристики разрушения, кроме £/о, одинаковы (достаточно близки).

4.4. Динамическое нагружение

Динамическим называется нагружение, при котором иапря-

■•

жение на образце o = ci (o = const — скорость нагружения). Такой режим, позволяя определить прочность а*, является од­ ним из основных при испытании материалов. При нашем под­

185

ходе С7* = ат, где т —долговечность образца, определяемая из решения уравнения (4.1). Будем рассматривать кинетически однородное трещинообразование, когда временная зависимость концентрации трещин при о = const описывается выражением (4.11). Проведем его модификацию па случай нестационарного нагружения, когда о = с((). Зависимость o(i) может быть про­ извольной, и динамический режим представляется отпои из ее частных реализаций.

Модификация исходит из учета статистического характера термофлуктуационпого акта зарождения трещины. Определим вероятность P(t) (1.54) термоактивировапного перехода через барьер за время t:

/>(0 = [ 1- Р (0] dtle >

где вероятность перехода через барьер P(t) dt в интервале вре­

мени t,	t+dt	представлена	как произведение	вероятности
1 — P(t)	того,	что переход	к моменту t еще не	совершен, на

вероятность dtl@ перехода за время dL

Очевидно, такое представление сохраняет смысл и в усло­

виях нестационарного перехода, когда величина 0 со	време­
нем меняется. Тогда P(t) описывается уравнением
Р = (1 -Р)/вУ ),
решение которого при начальном условии Р(0) = 0 есть
р (t) = 1 — exp £ — j dt'/e ( О j•	(4.15)

Соответственно основное уравнение долговечности (4.1) при нестационарном нагружении принимает вид

%

Со j dt'/в (t') = С[. (4.16)

о

В выражении (4.16) мы учли, что Ci <С С0, в связи с чем ограничились при разложении экспоненты (4.15) сохранением первого неисчезающего члена.

Заметим, что величина	0 --Т<*7 является	статической
	Со
долговечностью (4.6). Введя ее в (4.16), получим
оIdt'/Xcr (t') = 1.		(4.16а)

Выражение (4.16) соответствует известному принципу Бейли суммирования повреждаемостей [278], позволяющему при рас­ чете долговечности осуществлять переход от статики к произ­

186

вольным нестационарным режимам нагружения. Для этого ис­ пользуется формула тгт(а) для долговечности в условиях о = = const, затем постоянное значение о заменяется на заданную

функцию c(t), и соответствующая долговечность т		находится
из интегрального уравнения (4.16а).
При динамическом нагружении концентрация трещин через
промежуток времени t будет следующей:
t
С (t) = С„ j dt'/x„exp- Ua^	f — =
~ C° To expP(UefltT) При f >	T9 = kT/yo,	(4.17)

а расчет долговечности согласно (4.16) на основе (4.17) приво­ дит к выражению для прочности

o. = -f(t/.-k rin -2 g -).

(4.18)

Оно совпадает (с точностью до множителя Со/С/) с формулой (3.5).

Прогнозирование прочности по формуле (4.18) требует зна-

т0Со чения величин Uo и у (при стандартных испытаниях In--- ——=

тъСi

= 30). Существенно, что в серии однотипных образцов £/0 яв­ ляется постоянным, в у — переменной, что отражает индивиду­ альность дефектной структуры отдельного образца. Поэтому UQ может быть найдено однократно для всей серии, и индивидуаль­ ный прогноз прочности сводится к оценке единственного пара­ метра — у.

Зпачение у может быть найдено из данных по кинетике трещипообразования. При динамическом нагружении это можно осуществить, измеряя наклон графика C(t) (4.17) в полулога­ рифмических координатах. Этот наклон

	d in С	1	у<т	(4.19)
	dt	тэ	кТ

Отсюда при известных значениях о и Т можно определить у. (Конкретный пример прогноза таким методом приведен в п. 9.8 применительно к оценке прочности антифрикционных полимерных покрытий.)

Рассмотрим при напряжении а = ао+ а/ трещииообразование и нагруженном кинетически неоднородном теле, в котором на­ копление критической концентрации трещин С, эквивалентно

гермоактивированному преодолению			некоторой	последователь­
ности (цепочки) барьеров, число которых (см. п. 4.3)
V	£j_	£L	(О.	(4.20)
	Л6'	с о

187

В этом случае величина Ауо является переменной как в силу структурной неоднородности, так и в силу возрастания напря­ жения, но мы будем далее пренебрегать изменением параметра Ау (обозначив его у)> полагая достаточно большой скорость нагружения,

о> соу/у.

Впринятой модели среднее время rv, затрачиваемое 11а v шагов, определяется на основе принципа Бейли из следующего уравнения:

С-Г0~*м*

Рис. 4.13. Эксперименталь­ но наблюденное [234] накоп­ ление субмикротрещии в капроне при cr = const (а)

и а = const (б)

xv

j dtf\Q(o0-|- ctf)= 1,

где v© — «статическая долговечность». Отсюда

TV = тэ (in

+ In v )*

(4.21)

В формуле (4.21) первое слагае­ мое— это время 0i, затрачиваемое на первый шаг, а второе — на осталь­ ные v — 1 шаги. Очевидно, что

T V « 0 1 .

(4.21а)

Эта опенка свидетельствует о «взрывном» характере преодо­ ления цепочки барьеров после инкубационного периода, свя­ занного с первым шагом. Взрывной характер приводит к суще­ ственному различию между кннетикамн накопления трещин при стационарном и динамическом нагружениях. Если в первом случае идет процесс длительного монотонного накопления тре­ щин, начинающийся практически с момента приложения на­ грузки, то во втором случае трещины появляются только неза­ долго до предразрывного состояния. Такое различие хорошо из­ вестно на опыте (рис. 4.13). Экспериментально наблюдаемая разница кинетик трещинообразования часто приписывается раз­ личию механизмов разрушения в условиях разных режимов на­ гружения.

Проведенное выше рассмотрение показывает, что ука­ занная специфика развития трещин при стационарном и динамическом нагружениях не является следствием различных механизмов разрушения, а в силу его термофлуктуанионной природы, приведшей к экспоненциальной зависимости 0(a), обусловлена лишь различием режимов нагружения.

Лавинообразное («взрывоподобное») разрушение после дли­ тельного инкубационного периода в условиях активного испыта­

188

ния является одной из причин иллюзии «предела прочности» — критического напряжения, приложенного к образцу или созда­ ваемого элементами структуры, как критерия разрушения.

В пользу вывода об эквивалентности кинетик разрушения при соответствующем пересчете свидетельствует также приво­ димое ниже рассмотрение распределения размеров трещин по размерам при динамическом нагружении.

Рассмотрим функцию распределения времени термофлуктуационного зарождения трещин (4.15) при динамическом нагру­

жении:
Р ( 0 = 1 — схр ( —	е'/Тэ) .

Введя сюда инкубационный период в, = тэIn (С-утэ),

имеем

Р (t) = 1 — exp ( —exp-17эв’~) •

(4.22)

Будем считать, что после инкубационного периода трещины растут локализованио, делая за время At i шагов, причем со­ гласно (4.21)

i = exp (At/r9).

Бели среднее приращение размера трещины за один шаг равно г (размеру области структурной гетерогенности матери­ ала), то после / шагов ее размер составит величину R = ir.

Будем полагать, что развитие трещин идет из множества центров с линейной плотностью примерно г-1. Рост трещин пре­ рывается их взаимными столкновениями. Поскольку рост трешин носит менее случайный характер, чем зарождение, то рас­ пределение трещин по размерам обусловлено в основном стати­ стикой времен их зарождения: при ее отсутствии, т. е. при t = = 0i, все трещины имели бы примерно одинаковый размер г. Таким образом, величина t — ©i является мерой различия раз­ меров трещин, а ее распределение (4.22) задает распределение трещин по размерам R. Полагая в (4.22)

t — ©, = Д* = тэ In (R/r),
приходим к распределению
/> (/?)= !— ехр (-Я/ГЯ » ,	(4.23)

где средний размер трещины </?> = /*—константа материала. Распределение трещин по размерам вида (4.23) как универ­

сальная эмпирическая зависимость приведено в работе [213], в которой исследовалась функция статистического распределе­ ния по размерам трещин (по геометрической классификации

189

разрывов сплошности — микропор), сплошь заполняющих по­ верхность излома, для ряда металлов и сплавов, различаю­ щихся но кристаллографическому строению, химическому со­ ставу, исходной структуре и разрушенных в условиях динамиче­ ского одноосного растяжения при разных температурах и ско­ ростях деформирования. Авторами работы [213] показательное распределение (4.23) было рассчитано в предположении о слу­ чайном во времени термоактивированном зарождении трещины и последующем пластическом подрастании ее с постоянной скоростью. При этом, однако, величина <У?> оказалась пропор­ циональной температуре в противоречии с опытом, что привело к отказу от представлений о термоактивированном механизме роста трещин в пользу деформационной модели. Такой вывод, как следует из проведенного нами рассмотрения, основан на не­ корректном использовании термофлуктуациониых кинетических закономерностей разрушения при динамическом нагружении. Как показано, распределение (4.23) с температурно-независи­ мой величиной <Я> обусловлено статистикой термофлуктуаций на стадии зарождения трещин при допущении, что кинетика всего процесса развития (зарождение и рост) трещин контроли­ руется тепловыми флуктуациями.

4.5. Циклическое деформирование. Учет саморазогрева

Для работы машин и механизмов характерно периодическое изменение напряжений и деформаций, в связи с чем прогнози­ рование долговечности материалов при циклических режимах нагружения для задач машиностроения имеет особое значение. При использовании кинетических представлений о разрушении традиционным является подход, основанный на принципе Бсилк (4.16а). Результаты такого рода расчета долговечности тд при гармоническом изменении со временем напряжения с использо­ ванием формулы Журкова (В.З) для статической долговечности Тот обобщены, сопоставлены с опытными данными и обсуждены в работе [208]. В ряде случаев (главным образом в области высоких температур при низкочастотном испытании металлов и жестких полимеров) расчетные и опытные данные совпадают.. Совпадение было отмечено уже в первых опытах [87] по сопо­ ставлению статической долговечности тгт при напряжении а и нагружении несколькими односторонними /7-образпыми цик­ лами растяжения с амплитудой а0 = а и длительностью in. Ис­ следования па наклепанной алюминиевой фольге показали, что циклическая долговечность тп(а„) =А /ц= т 0т(о), где N •— число циклов до разрушения. Это указало на возможность применения принципа Бейли.

В случаях, когда напряжение изменяется по закону

о = 0О + оa S in (o rf),

190