книги / Механика деформируемого твердого тела.-1
.pdfДля того чтобы понять, в чем здесь дело, временно представим себе вместо втулки тележку с двумя парами колесиков (рис. 14.1, а) , полагая, что малое расстояние между колесиками равно А. На рис. 14.1, б показана схе ма реакций, передаваемых балке тележкой. При малых
Рис. 14.1. а) Схема упрощенной модели втулки; б) реакции втул ки; в) реакции втулки при Д-*-0; г) смятие втулки
значениях |
А для разности |
реакций |
можно |
найти |
N2— Ni æ G, |
но сами эти реакции очень |
велики, |
и при |
|
ближенно их можно записать в виде |
|
|
||
|
N ^ N ^ G |
i - l |
|
|
|
|
А • |
|
|
Углы поворота сечений балки под колесиками определя ются выражениями
АG ( 1 - 1 ) А
Ч>1 = |
6EJ А Ф2 = |
3E J |
• |
Определим теперь горизонтальные составляющие сил Ni и TV2:
^i<Pi |
G2 (i - i f |
^2<Pa = |
G2 (i - i f |
|
6E J |
3E J |
' |
Очень важно отметить, что они не зависят от размера А (если он мал). Обе составляющие направлены вправо, и их сумма равна
т G2 (I - |
j f |
(14.1) |
2E J |
|
|
Этот результат справедлив при |
любом |
малом значении |
А. Возвращаясь к исходной схеме абсолютно жесткой втулки (когда А- ^0) , мы должны принять, что втулка передает балке не только вертикальную силу N = N2 — Nt и момент if, но также и горизонтальную силу ЗГ, опре-
делаемую выражением (14.1) (см. рис. 14.1, в). Возник новение силы Т означает, что внизу у правого края втулки неизбежно происходит некоторое ее смятие, как это показано на рис. 14.1, г.
Сила Т весьма мала по сравнению с весом G (отно шение этих сил имеет порядок отношения прогиба конца балки к ее общей длине), но она должна быть извне приложена к втулке. Результат вычисления работы этой внешней силы
оо
конечно, совпадает с (13.14).
В сущности, схема, показанная на рис. 13.1, вообще
неудовлетворительна в статическом |
отношении — при от- |
|||||||||
|
|
G |
сутствии |
внешней |
силы |
л |
||||
|
|
изображенное |
на |
рисунке |
||||||
|
|
|
состояние не может быть со |
|||||||
|
|
|
стоянием |
покоя. |
(Конечно, |
|||||
|
|
|
в |
реальных |
условиях покой |
|||||
|
|
|
обеспечивается |
трением, |
но |
|||||
|
|
|
если исходить |
из идеализи |
||||||
|
|
|
рованных |
условий |
отсутст |
|||||
|
|
|
вия трения, то придется при |
|||||||
|
|
|
знать, что в схеме, пока |
|||||||
|
|
|
занной на рис. 13.1, равно |
|||||||
|
|
|
весия нет.) |
|
|
разберем |
||||
|
|
|
|
В |
заключение |
|||||
Рис. 142. Балка с перемещаю |
еще одну задачу того же ти |
|||||||||
щейся |
вправо |
опорой: а) схе |
па |
и |
рассмотрим |
балку |
с |
|||
ма; |
б) реакция подвижной |
правой |
подвижной |
опорой, |
||||||
опоры |
(не |
вертикальна!); |
показанную |
на |
рис. 14.2, |
а. |
||||
в) для равновесия опоры к |
Уточним |
представление |
о |
|||||||
ней должна быть извне при |
||||||||||
ложена горизонтальная сила. |
подвижности |
этой |
опоры |
и |
||||||
|
|
|
примем, что |
она может бес |
препятственно катиться по горизонтальной опорной по верхности и также беспрепятственно перемещаться отно сительно нижней поверхности балки.
Очевидно, что на балку со стороны подвижной опоры действует реакция N = GU%, направленная по нормали к изогнутой оси (рис. 14.2, б). Но в таком случае сама подвижная опора оказывается нагруженной со стороны балки не вертикальной, а наклонной силой iV, и для
равновесия этой опоры необходима |
внешняя горизонталь |
|||
ная сила iVq>, как это показано на |
рис. 14.2, |
в. |
схема |
|
Таким образом, в |
сущности и з м е н я е м а |
вся |
||
на рис. 14.2, а — для |
ее равновесия необходимо, |
чтобы |
копоре была приложена внешняя сила
Т= N<ç = GZcp/|. ‘
Так как в данном случае
Ф = G(Z —1)|/ (SEJ),
ТО |
(14.2) |
T = G2l(l-l)/ (3 E J ). |
Если подвижная опора принудительно перемещается сле ва направо (а груз постепенно поднимается вверх), то для равновесия системы в любой момент этого процесса внешняя сила Т должна убывать согласно выражению (14.2). Рассмотрим этот процесс с энергетической стороны.
При | 0, когда система представляет собой жестко защемленную консоль*), прогиб конца равен
f = Gl3/(3EJ) |
(14.3) |
и потенциальная энергия изгиба балки составляет Пизг= GfJ2.
При \ = Z, когда подвижная опора находится под гру зом, балка полностью распрямлена и потенциальная энергия ее изгиба равна нулю. Следовательно, к этому моменту полная энергия системы уменьшится на вели чину G//2 (из-за исчезновения изгиба), но одновременно увеличится на величину Gf (вследствие изменения уров ня, на котором расположен груз G). Следовательно, при ращение потенциальной энергии системы составит
- G //2 + G / = G2Z7(6£/).
Вычислим работу, которую совершает горизонтальная сила Т7, приложенная извне к подвижпой опоре:
(14.4)
Таким образом, при рассмотрении системы в це ло м энергетический баланс л^акже выполняется.
*) По этому поводу см. выше § 9.
Наряду с этим возможен иной анализ, соответствую щий рис. 14.2, б, когда мысленно отбрасывается подвиж ная опора и вычисляется работа приложенной к б а л к е реакции N. Горизонтальная составляющая реакции Niр работу не совершает, так как горизонтальные перемеще ния сечений балки отсутствуют, а вертикальная состав ляющая Gl/\ совершит работу, которую следует вычис лять с помощью выражения (12.5). При этом, конечно, получится тот же результат (14.4).
Закон, описывающий вертикальное движение конце вого груза, следует из выражения для прогиба конца балки
W = Gl(l —|)2/ (BEJ). t
В частности, при равномерном движении подвижной опо ры (l = vt)
w = J(l~vt/l)\ |
(14.5) |
где множитель / определяется выражением |
(14.3). |
Если стремиться к дальнейшему уточнению способов изображе |
|
ния опор (на чем автор ничуть не настаивает), то |
во избежание |
двусмысленности следовало бы обычные, т. е. несмегцаемые отно сительно балки подвижные опоры показывать, как на рис. 14.3, а,
|
|
|
|
|
поскольку |
изображение па |
||||
|
|
|
|
|
рис.. 14.3 б может быть не |
|||||
|
|
|
|
|
верно |
понято |
как |
опора, |
||
Ж |
* |
У//7//7/////, |
V//T77////À |
способная |
свободно сколь |
|||||
зить |
относительно |
б а л к и |
||||||||
|
а |
6 |
В |
, |
(т. |
е. |
как |
схема |
на рис. |
|
Рис. |
14.3. |
Варианты изображения |
14.2, |
а). |
|
|
руковод |
|||
стве |
В |
прекрасном |
||||||||
|
подвижной опоры |
|
|
[48] |
систематически |
|||||
подвижной |
опоры в виде |
ролика |
|
использовано |
изображение |
|||||
(см. рис. 14.3, в). Оно также не |
удачно и может вызвать ошибочное представление о возможности выскальзывания ролика при наклонах оси балки (о чем авторы упомянутого руководства, конечно, и не помышляли).
Точное (т. е. основанное на динамическом исследовании) ре шение задачи, представленной на рис. 14.2, выходит за рамки всей настоящей части, посвященной только статике механических сис тем. Однако читателю, вероятно, будет небезынтересно ознакомить ся с таким решением (которое здесь лишь формальпо может вы глядеть инородным включением, не будучи им по существу) — именно динамическое исследование позволит установить пределы применимости квазистатического решения.
При отсчете вертикальных перемещений концевого груза w вниз от уровня опор дифферепциалытое уравнение движения гру за по вертикали имеет вид
mw -f- cw — mg,
где т = G/g, а с — 3EJ/[lz( l — vt/l)2] — зависящий от положения опоры коэффициент жесткости.
Введя безразмерную координату у == и;//, придем к уравнению
с переменными коэффициентами |
|
3EJ |
3EJ |
У + ml3 (1 — vt/lf У ~ |
ml3 ' |
С помощью простой подстановки |
|
% — In (1 — vt/l) |
|
оно преобразуется в уравнение с постоянными коэффициентами (неожиданная удача!)
У |
* e2t |
(14.6) |
У" - / + - ! |
= — , |
|
а |
а |
|
где штрихи означают дифферепцировапие по т,
а = v/kl
(к — [3EJ/(mft)]l/2 — собственная частота колебаний балки при крайнем левом расположении подвижной опоры).
Рис. 14.4. Результаты решения дипамической задачи
Решение уравнения (14.6), удовлетворяющее начальным усло виям у — 1, у' = 0 при т = 0, имеет вид
У = ■a V /# |
2 № + 2) - sin ( Y \ ~ a%. |
I+ |
2a + 1 |
a V 4 - |
|
|
-j- 2 cos |
(14.7) |
|
|
2a4+ 1 |
На рис. 14.4 показаны результаты вычисления по (14.7) для нескольких значений безразмерного параметра скорости а; здесь
по оси абсцисс отложепы величины vtjl (т. е. 1 — ет), представля ющие собой безразмерную абсциссу подвижной опоры.
При а - у 0 из (14.7) (а также из (14.6)) следует
у = е 2х = (1 — vt/l)2,
что полностью соответствует квазистатическому решению (14.5). При а = 0,1 решение не очень сильно отличается от статиче
ского, но уже носит отчетливо выраженный колебательный харак тер. При дальнейшем возрастании параметра а закон движения груза все больше отличается от (14.5), а при а = 2 становится не колебательным:
2 т/9 , *8 t/2 |
1 2Т |
(14.8) |
ÿ = —ôteT/2 + ôe |
+-£е ' |
Если скорость перемещения подвижной опоры настолько вели ка, что а > 2, то решение (14.7) удобнее записать через гипербо лические функции
У =■ |
аУ/З |
2(«* + 2) J V a ' - i , + |
|
|
|
2а2+ 1 [-1V a' |
2а |
|
|
|
+2сЪ^}-Л |
о2Т |
||
|
|
|
||
|
|
|
2аг+ 1 |
|
|
|
|
2а |
Монотонность решений при а ^ 2 означает, что за время дви жения опоры от левого конца балки к правому груз не успевает совершить ни одного колебания.
Г л а в а 4
СИСТЕМЫ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМ КОНСТРУКЦИОННЫМ ТРЕНИЕМ
§ 15. Конструкционное трение: эталонная задача
Хотя упругость и считается обязательным свойством всякой доброкачественной несущей конструкции, но, как известно, идеально упругих конструкций в действитель ности нет. В реальных системах упругие несовершенства неизбежны, неизбежен и гистерезис, проявляющийся в условиях переменного нагружения, когда этапы возра стания напряжений чередуются с этапами убывания на пряжений. Здесь уместно напомнить, что роль, которую играет гистерезис, неоднозначна; наряду со случаями, когда гистерезис в р е д е н (например, в механических измерительных устройствах типа манометров), есть слу чаи, когда его следует считать п о л е з н ы м — вспомним, в частности, влияние гистерезисных свойств механиче ской системы на демпфирование колебаний.
Причиной гистерезисных эффектов служат^ не только упругие несовершенства материалов, из которых изго товлены элементы конструкций. Очень часто еще боль шую роль играет конструкционное трение — трение меж ду сочлененными элементами, возникающее при малых относительных перемещениях (проскальзывании) элемен тов в н о м и н а л ь н о н е п о д в и ж н ы х соединениях*); в этих случаях говорят о конструкционном гистерезисе и соответственно о конструкционном демпфировании ко лебаний. В системах с распределенным конструкционным трением, таких как прессовые или заклепочные, распре деление сил трения невозможно выяснить без анализа деформаций сочлененных элементов, а эти деформации
*) Мы совершенно не будем касаться вопросов трепня в ки нематических парах, т. е. в подвижных соединениях частей машип и механизмов; эти важные вопросы лежат далеко от темы настоя щей главы,
в свою очередь зависят от сил трения. Эта тесная вза имосвязь и определяет главнейшую особенность таких систем.
|
Для теоретического анализа квазистатического дефор |
|||||||||||||
мирования |
систем |
с распределенным |
конструкционным |
|||||||||||
|
|
|
|
|
трением можновосполь- |
|||||||||
аР |
|
|
а |
зоваться |
самыми просты- |
|||||||||
|
|
ми |
|
исходными |
допуще |
|||||||||
|
|
|
|
|
ниями; |
обычно |
принима |
|||||||
|
|
|
|
|
ют, |
что |
упругие |
свойства |
||||||
|
|
|
|
|
материала |
описываются |
||||||||
|
|
|
|
|
законом |
|
Гука, |
а |
фрикци |
|||||
ссР |
|
|
|
онные |
свойства |
контакт |
||||||||
|
|
£ |
ных |
поверхностей — зако- |
||||||||||
|
|
а, |
|
ном Кулона. |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
Проследим |
|
особенно |
|||||||
|
|
|
|
|
сти |
|
||||||||
|
|
|
|
|
анализа |
|
циклическо |
|||||||
|
|
|
|
|
го |
квазистатического |
де |
|||||||
|
|
|
|
в |
формирования |
на эталон- |
||||||||
|
|
|
|
ной схеме тонкой упругой |
||||||||||
|
|
|
|
|
полосы, прижатой к жест |
|||||||||
|
|
|
|
|
кому |
шероховатому |
осно |
|||||||
|
|
|
|
|
ванию |
|
(рис. |
15.1, |
а). |
|||||
|
|
|
|
2 Давление |
р |
будем |
|
счи |
||||||
|
|
|
|
|
тать |
постоянным, а |
сжи |
|||||||
|
|
|
|
|
мающую |
силу — сначала |
||||||||
|
|
|
|
|
возрастающей |
от |
нуля до |
|||||||
|
|
|
|
|
максимального |
|
значения |
|||||||
|
|
|
|
д Р, |
затем |
убывающей |
до |
|||||||
|
|
|
|
|
нуля, |
потом |
вновь |
возра |
||||||
|
|
|
|
|
стающей |
до |
значения Р |
|||||||
Рис. 15.1. Упругая полоса на ше |
и |
т. |
д. |
Значение |
силы |
|||||||||
в |
произвольный |
момент |
||||||||||||
роховатом |
основании: |
а) |
схема; |
процесса |
обозначим |
че |
||||||||
б) |
нагружение концевого |
участ |
||||||||||||
ка; |
в) силы, действующие на эле |
рез |
|
осР, |
где |
а — без |
||||||||
мент полосы в продольном на |
размерный |
параметр |
на |
|||||||||||
правлении; |
г) касательные |
уси |
грузки, |
|
меняющийся |
в |
||||||||
лия при разгрузке; д) |
касатель |
пределах |
от |
нуля |
до |
|||||||||
ные усилия при повторной на |
||||||||||||||
|
|
грузке |
|
|
единицы, |
|
Максимальное |
|||||||
|
|
|
|
|
значение |
силы |
Р |
пред- |
полагается недостаточным для того, чтобы вызвать сдвижку всей полосы по основанию, т. е.
где
q ~ fp b |
(15.2) |
—предельная сила трения (на единицу длины полосы)1,
Ъи I — ширина и длина полосы, / — коэффициент трения.
Если соотношение (15.1) нарушено, то речь должна идти о трении в подвижном соединении, а этот вопрос выходит за рамки нашей темы.
Итак, считая, что условие (15.1) выполнено, выясним развитие упругих перемещений на трех последователь ных этапах квазистатического процесса деформирования.
1.Нагружение: значение параметра а возрастает от нуля до единицы.
2.Разгрузка: значение параметра а убывает от еди
ницы до нуля.
3. Повторное нагружение: значение параметра а вновь возрастает от нуля до единицы.
Ниже мы увидим, что при многократном циклическом нагружении процесс будет описываться теми же соотно шениями, которые определяют этапы 2 и 3.
Прежде всего рассмотрим п е р в ы й этап. Принимая закон Гука для материала полосы и закон Кулона для фрикционных свойств соединения, мы исключаем возмож ность того, что где-либо действуют силы трения, отлич ные от нуля и в то же время меньшие, чем предельное значение q. Действительно, в деформированной зоне по лосы происходит проскальзывание точек полосы по осно ванию, и, следовательно, сила трения должна быть рав на g, а в той зоне, где полоса не деформируется, нет
инагрузки на полосу, т. е. силы трения отсутствуют.
Впроизвольный момент первого этапа нагружения длина деформированной зоны полосы (зоны проскальзы
вания) определяется |
из условия |
равновесия |
(см. |
рис. 15.1, б) в виде |
щ = аP/q. При |
постепенном |
возра |
стании нагрузки длина этой зоны будет возрастать и в конце первого этапа окажется равной aimtsx~Pfq.
Отметим, что поскольку длина деформированного участка растет, то обусловленное деформациями переме щение начального сечения будет возрастать быстрее, чем растет нагрузка (нелинейная характеристика системы — мягкая). Подкрепим это качественное рассуждение вы кладками, которые позволят получить и количественные результаты.
Пусть щ — Ui (х, а) — перемещение произвольного се чения в направлении оси я, N=**N(x, а) — продольная
сила |
в этом |
сечении |
(положительная |
при растяжении), |
|
F — площадь |
сечения, |
которую будем |
считать |
постоян |
|
ной, |
2?— модуль упругости материала |
полосы. |
Тогда в |
произвольный момент первого этапа относительное удли нение элемента, находящегося в деформированной зоне полосы, определяется выражением
|
|
и[ = |
N/(EF). |
(15.3) |
Из условия равновесия |
элементадлиной dx следует |
|||
(рис. 15.1, |
в) |
N' = q. |
|
|
|
|
|
||
Подставляя сюда |
(15.3), получим |
|
||
|
|
ul = ql{EF). |
(15.4) |
|
Решение |
этого уравнения |
должно |
бытьподчинено усло |
|
виям на концах |
деформированного участка полосы: |
|||
|
Щ fan |
<*) = О, й[ (0Ха) = |
— aP/(EF). |
(Отметим, что здесь возможен несколько иной, но, ко нечно, эквивалентный по результатам вариант рассужде ний. Можно было бы не определять размер из урав нения равновесия всей полосы, а считать его третьей неизвестной решения; тогда пришлось бы привлечь еще
и третье граничное условие щ {alt а) = 0. Именно так нам придется поступить в § 17 для более сложной за дачи, где условие равновесия всей полосы формулирует ся сложнее.)
После интегрирования (15.4) и определения посто янных получим
a )^ P 2{a -q x/ P )2/(2qEF).
Для дальнейшего нам потребуется вытекающая отсюда зависимость
U i(0,a)=a2P2/(2qEF), |
(15.5) |
которая определяет перемещение начального сечения в течение всего первого этапа; она отчетливо обнаруживает ожидаемую нелинейность связи перемещения с на грузкой.
Обратимся теперь ко в т о р о м у этапу. Как только сила Р станет уменьшаться, возникнут обратные переме щения элементов полосы, расположенных вблизи начала.