книги / Механика деформируемого твердого тела.-1
.pdfвеличин А, и Аг:
(3m W + 2 с - PI) А{ + (mPJi* + P I - с ) Ал= О, Xml2№— с) Ах+ (ml2K2 + с) Az = 0. (18.4)
Условием существования ненулевых решений для At и А2 служит равенство нулю определителя системы (18.4):
3m lh2+ 2c-PZ |
ml\ 2 + |
~ |
с I |
п |
(18.5) |
||
mZV — с |
|
mZV + c |
| |
1 |
|
||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
я4+ а д + в . - о , |
|
|
|
( а д . |
||
в котором |
7с — 2/>г |
|
|
|
|
|
|
я 2 |
|
в |
|
с2 |
|
(18.7) |
|
2ml2 |
1 |
°~~ |
2 m V |
|
|||
|
|
|
Свойства возмущенного движения зависят от вида корней биквадратного уравнения (18.6), которые опре деляются выражением
Х = ± |
] / |
- 1^ |
± У ^ |
- - В |
0. |
(18.8) |
Если дискриминант |
B l/i— В0 положителен, то все èop- |
|||||
ни. (18.8) мнимые, |
а |
это |
согласно |
(18.3) |
означает, что |
возмущенное движение представляет собой гармонические колебания. В противоположном случае корни оказывают ся комплексными и среди них найдется по крайней мере один с положительнойвещественной частью; этому корню соответствует неограниченно возрастающее возмущенное движение. Таким образом, для устойчивости рассматри ваемой системы необходимо выполнение неравенства
|
- r - B |
Q> |
0, |
(18.9) |
В частности, при Р = |
0 имеем |
|
|
|
* |
5 » |
41 |
с2 |
|
4 |
° ~ |
16 |
|
|
и условие (18.9) выполняется. При постепенном возра стании Р величина В2 убывает и, когда разность
В\/4 — BQ обращается в нуль, возникает' неустойчи
вость. Это происходит при силе
Р* = 2,086c/Z. |
(18.10) |
Запомним этот результат, полученный в предположе нии, что трение в шарнирах отсутствует, и обратимся к более общему случаю, когда ЪФ 0, и нужно рассматри вать дифференциальные уравнения (18.1). Воспользо вавшись прежней подстановкой (18.3) и последующими рассуждениями, мы придем вместо (18.6) к полному уравнению четвертой степени относительно К:
|
V + BSV + |
||
в котором |
|
|
|
о |
I |
с2 |
|
2m2Z4 ’ |
|||
|
|
1с — 2Р1
я 2 =
2ml2
B2l 2+ В& + Ро = |
0, |
(18.11) |
|
|
|
Ъс |
|
|
|
2,4 » |
|
|
|
т L |
|
1 |
62 |
1Ь |
|
2ml2 ' |
|
||
' |
2m2/4’ |
|
Как и в предыдущем случае, для устойчивости систе мы необходимо, чтобы все вещественные части корней уравнения (18.11) были отрицательными. Для этого должны выполняться известные условия Рауса — Гурвица (см. [33], с. 110-112)
В0> 0 , в х > о, в 2> о, в 3 > о, ВХВ2В3 - В\- В0В\> 0.
(18.12)
Первое из этих условий выполняется всегда, а остальные приводят к трем неравенствам:
i ) 6 > ° . |
2 ) p < |
ï + |
^3 ) p> < - S f 2mlз » |
из условия 1) следует, что при отрицательном коэффи циенте вязкости система всегда неустойчива (вряд ли это может кого-нибудь удивить). Условия 2) и 3) сходны по структуре, но условие 3) более жесткое, и именно из него определяется критическое значение силы
Р = |
41с |
Ъ2 . |
|
28/ + |
2ml3 1 |
т. е.— как и следовало ожидать — с увеличением коэффи циента вязкости критическая сйла в о з р а с т а е т . Если же коэффициент вязкости неограниченно убывает,
то в пределе получается критическое значение
P** = |
(18.13) |
существенно отличающееся от полученного выше значе ния (18.10).
В чем здесь дело, почему разошлись результаты, ко торые, казалось бы, должны совпадать? Какой из ре зультатов верен?
Для выяснения этих вопросов рассмотрим диаграмму устойчивости, сооответствуюгцую выражению (18.12); она показана на рис; 18.2, причем область устойчивости заштрихована. Здесь же по оси орди
нат |
отмечено значение Р * |
(18.10). |
|
|
|||||
чив |
Согласно |
решению |
(18.10) |
устой |
|
|
|||
участок |
оси ординат, |
располо |
Ц |
^ |
|||||
женный ниже точки Р%, |
а согласно |
||||||||
решению |
|
(18.13) — существенно |
|
|
|||||
меньший участок оси ординат, рас |
|
I |
|||||||
положенный |
ниже точки Р**, |
т. е. |
|
||||||
спорным |
оказывается |
участок |
оси |
о |
у////////////* . |
||||
|
|||||||||
ординат, |
расположенный между |
зна |
|
|
|||||
чениями |
Р * и Р%%. |
|
|
|
|
Рис. 18.2. Область ус |
|||
Любой точке этого спорного уча |
тойчивости заштрихо |
||||||||
стка соответствует возмущенное дви |
|
вана |
|||||||
жение в виде гармонических колеба |
|
|
ний; именно об этом (и только об этом!) свидетельствует анализ вырожденного биквадратного уравнения (18.6). В подобных случаях, когда движение системы без трения представляет собой гармонические колебания, мы склон ны думать, опираясь на анализ известных примитивных случаев, что вследствие неучтенного трения истинное движение системы будет носить характер затухающих колебаний, т. е. в действительности система асимптоти чески устойчива.
Однако это заключение в ряде случаев ошибочно — существуют механические системы, в которых силы тре ния могут оказывать дестабилизирующее влияние; об этом говорит одна из теорем Томсона и Тэта (см., например, [33]). Принимая с самого начала 6 = 0, мы привязываем свое исследование к оси ординат и попросту не можем судить об изменении ’ свойств возмущенного движения, если в систему вводится трение. Для такого суждения
необходим анализ полного уравнения (18.11), |
а он пока |
зал, что при любой силе Р (Р** <С Р <С Р%) |
и любом |
сколь угодно малом значении Ъ (не только отрицатель ном, по и положительном) система неустойчива.
Состояния равновесия, соответствующие участку оси ординат [Р*, Р**], нельзя считать устойчивыми в пол ном смысле этого слова, поскольку их видимая «устойчи вость» разрушается сколь угодно малым трением; такие состояния называют псевдо- или, лучше, квазиустой-
чивыми.
Главный вывод из нашего рассказа состоит в том, что прямой анализ устойчивости з а р а н е е в ы р о ж д е н ных систем может привести к ошибочным заключениям.
§ 19. Предельный переход в системе Ван-дер-Поля
Одним из эталонов теории автоколебаний служит си стема, описываемая уравнением Вап-дер-Поля *)
q — р(1 — qz)q + <7= 0, |
(19.1) |
|
в котором q — обобщенная |
координата, |
ц — постоянная. |
Тривиальное решение q = 0 |
описывает |
состояние покоя |
системы. Положим, что после некоторого малого началь ного возмущения состояние покоя нарушено и начинают ся колебания. Их общие свойства можно предсказать, не интегрируя уравнения (19.1), путем следующего грубо
упрощенного рассуждения. |
выполняется неравенство |
|
Пока колебания |
малы и |
|
q2< 1, коэффициент |
при q в |
(19.1) отрицательный, и |
система колеблется при сопровождающем действии отри цательного трения. Такое трение оказывает дестабилизи-*
рующее |
действие и |
приводит к |
возрастанию |
размахов |
колебаний. Но при |
возрастании колебаний и |
увеличе |
||
нии q |
неравенство |
q2 < 1 станет |
нарушаться |
и в тех |
интервалах времени, в которых q2> 1, коэффициент при q в (19.1) будет положительным. В этих интервалах вре
мени второе слагаемое левой части уравнения |
(19.1) |
бу |
дет оказывать д е м п ф и р у ю щ е е действие |
и рост |
ко |
лебаний станет замедляться; в остальных промежутках времени, когда q2< 1, это слагаемое будет по-прежпему способствовать раскачке колебаний.
В условиях соперничества двух противоположных влияний раскачка колебаний будет постепенно замедлять
*) Бадтазар Ван-дер-Поль (1889—1959) —- голландский физик и математик, автор метода медленно меняющихся амплитуд для решения нелинейных дифференциальных уравнений.
ся и движение будет неограниченно приближаться к ре жиму . колебаний с постоянными размахами, в котором эти влияния взаимно компенсируются. Этот режим назы вается установившимися автоколебаниями. Постепенный
переход |
к |
установившимся |
|
|
|
|
|
|
||||
автоколебаниям |
показан |
на |
|
|
n |
|
JY |
/Y |
||||
рис. |
19.1. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Если |
начальное возмуще |
|
|
- |
|
|
|
|||||
ние |
достаточно |
велико, |
то |
( I f |
|
|
|
|
|
|||
сначала |
колебания |
будут |
за |
|
|
|
|
*t |
||||
WJ |
J |
|
|
|
||||||||
тухать, |
постепенно |
прибли |
|
|
|
|
||||||
жаясь к тому же режиму |
il |
U |
U |
U |
||||||||
установившихся |
автоколеба |
|
|
|
|
|
||||||
ний, как и после малого на |
Рис. 19.1. Переходный процесс |
|||||||||||
чального |
возмущения. |
рас |
и установившиеся |
автоколе |
||||||||
Фазовая |
диаграмма |
|
|
бания |
|
|
|
сматриваемой системы схема тически показана на рис. 19.2, а, где буквой Р обозна
чен предельный цикл, т. е. фазовая траектория, соответ ствующая установившимся автоколебаниям; цифрами 1
Рис. 19.2. Фазовые диаграммы: а) для уравнения Ван-дер-Поля; б) для вырожденной консервативной системы
и II обозначены две типичные фазовые траектории, соот ветствующие переходным процессам, начинающимся при малом и большом начальных возмущениях.
Эти рассуждения качественного характера полностью подтверждаются соответствующими вычислениями. Опу ская ихг приведем приближенные окончательные резуль таты для стационарного режима в случае, когда коэффи циент \х мал по сравнению с единицей.
Оказывается, что стационарному режиму соответству ют колебания с частотой, которая весьма близка к соб-
ствеипой частоте вырожденной консервативной системы
(т. е. когда |
р = 0). |
Далее |
выясняется, что амплитуда |
|||
стационарного |
режима |
составляет |
А = 2 — независимо от |
|||
начальных |
условий (об |
этом |
уже |
было сказапо) и не |
||
з а в и с и м о |
от з н а ч |
е н и я |
р |
(об этом можно было |
только догадываться). Таким образом, получается, что хотя частота стационарного режима автоколебапий прак тически совпадает с частотой свободных колебаний вы рожденной системы, однако между этими двумя случая ми существует и принципиальное различие: стационар ному режиму автоколебаний соответствует е д и н с т в е н
ная амплитуда |
А = 2, |
тогда как |
амплитуда свободных |
|
колебапий вырожденной |
системы |
может быть |
л ю б о й |
|
в зависимости от |
начальных условий (фазовую |
диаграм |
му вырожденной системы см. на рис. 19.2, б).
Обдумаем, что меняется в системе Вап-дер-Поля при постепенном уменьшении параметра р. Сколь бы* малым ни был этот параметр, структура фазовой плоскости в принципе будет оставаться неизменной, а именно той, которая иллюстрирована выше рис. 19.2, а. Однако ясно и то, что при р = 0 должна возникнуть структура, типич
ная для* линейной консервативной системы |
(рис. 19.2, б). |
|
Как |
происходит перестройка ' фазовой диаграммы па |
|
рис. |
19.2, а в принципиально отличную |
фазовую диа |
грамму на рис. 19.2, б? Не происходит ли при этом некий неожиданный разрыв свойств?
Вдействительности никакого разрыва не происходит,
апрддельпый переход носит достаточно плавный харак тер. Дело в том, что при уменьшении значений р навив
ка любой фазовой спирали па рис. 19.2, а стайовится все б о л е е п л о т н о й , т. е. расстояния между витками убы вают, а темп изменения амплитуды колебаний уменьшает ся. При исчезающе малых значениях р, когда плотность навивки становится бесконечно большой, изображающей точке, соответствующей произвольно заданному началь-,
ному |
возмущению, |
суждено двигаться по п р а к т и ч е |
ски |
з а м к н у т о м у |
витку, т. е. так же, как по фазовой |
траектории на рис. 19.2, б.
Вырождение* системы Ван-дер-Поля, т. е. ее превра щение в консервативную систему, можно наглядно про иллюстрировать с помощью (умозрительного) стробоско пического освещения фазовой плоскости, когда фикси руется дискретная последовательность положений изобра жающей точки после каждого колебательного цикла. При любом, заданном ненулевом значении р изображающая
точка за один цикл переходит с одпого витка фазовой спирали на следующий виток; если, например, фиксиру ются положения изображающей точки в те моменты,-ког да обобщенная координата проходит через максимальные значения, то в стробоскопическом освещении мы увидим малые скачки изображающей точ
ки вдоль оси абсцисс фазовой |
||
плоскости (рис. 19.3). Если обо |
||
значить через АА величину одно |
||
го скачка, то осредненная фазо |
||
вая скорость (скорость |
движения |
|
изображающей |
точки) |
запишется |
в виде АА/Т, |
где Т = 2я — дли |
тельность одного цикла («период» |
Рис. 19.3. Скачок изобра |
||||
колебаний). Понятно, что фазовая |
|||||
жающей точки |
в стро |
||||
скорость |
существенно зависит |
от |
боскопическом |
освеще |
|
заданного |
значения ц — чем |
оно |
нии |
|
меньше, тем плотнее располагают ся витки фазовой спирали и тем меньше фазовая скорость.
При неограниченном убывании р, фазовая скорость также будет стремиться к нулю, т. е. в пределе изображающая точка будет оставаться на месте, а именно там, где она в зависимости от начальных условий находилась при пер вой же стробоскопической вспышке. Как видно, это в точ ности соответствует свойствам консервативйЪй системы.
§ 2 0 . П р е д е л ь н ы й п е р е х о д в д и с к р е т н о й ц е п н о й с и с те м е
Для сплошного упругого тела — основной модели тео рии упругости — в свою очередь может быть предложена дискретная модель в виде совокупности достаточно боль шого числа материальных точек или абсолютно твердых тел, связанных между собой упругими связями; при этом массовые и упругие характеристики элементов дискрет ной системы^ подбираются так, чтобы были выполцепы некоторые условия эквивалентности обеих моделей. Есте ственно ожидать, что с увеличением числа элементов свойства дискретной модели неограниченно приближают ся к свойствам сплошного тела. Однако при таком переходе иногда возникают вопросы, требующие пояс нений.
Сопоставим в качестве первого примера решения за дачи о продольном ударе для двух схожих моделей —
сплошного однородного стержня и дискретной цепочки материальных точек («грузов» )* соединенных упругими пружинами.
Предположим, что свободный сплошной упругий стер жень первоначально движется вдоль своей оси со ско ростью V; затем в некоторый момент, принимаемый далее за начало отсчета времени, передний конец стержня встречается с абсолютно жесткой преградой и мгновенно останавливается. Как известно, при этом появляется волна сжатия, распространяющаяся от преграды вдоль стержня со скоростью
а -У Я /р |
(20.1) |
(р и Е — плотность и модуль упругости материала стерж ня). В сечениях стержня при прохождении волны сжатия возникает продольная сила
N = vF1ç>E |
|
|
|
|
|
|
( 20.2) |
||||
(F — площадь сечения стержня). На |
рис. |
20.1 |
|
показано |
|||||||
|
§ |
распределение |
продоль- |
||||||||
'V |
ных |
|
сил |
по |
длине |
||||||
^ |
стержня |
в |
избранные |
||||||||
|
$ |
моменты процесса. Если |
|||||||||
|
|
I — длина |
стержня, |
то |
|||||||
_£2ШПШЪл/ по |
истечении |
времени |
|||||||||
*/4=4* |
|
|
|
|
|
|
|
|
(20.3) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
волна сжатия достигает |
|||||||||
|
|
заднего |
торца |
стержпя |
|||||||
|
|
и возникает |
|
встречная |
|||||||
t/t«=o,6 ■ |
|
волна |
растяжения, |
ко |
|||||||
|
торая |
через |
такой |
же |
|||||||
|
|
||||||||||
|
|
промежуток |
|
времени |
|||||||
tfeQfi |
|
(20.3) |
|
|
доходит |
до |
|||||
|
преграды. В этот мо- |
||||||||||
________ _______________ ^ |
|||||||||||
мепт в сечениях стерж- |
|||||||||||
11JШИШ111111ШJllLllUll111.11th Nпя |
напряжения |
отсут- |
|||||||||
Рис. 20.1. Распространение |
волны |
ствую т, |
а |
все его |
части- |
||||||
сжатия после удара упругого стерж- |
Щ>! |
обладают |
|
скоростя - |
|||||||
ня о жесткую преграду |
|
Ми |
—у, |
направленными |
от преграды, т. е. про тивоположно первоначальному направлению, и происхо дит отскок стержня от преграды. Общая длительность времени контакта с преградой составляет 2
Рассмотрим теперь «суррогат» сплошного стержня — цепочку, составленную из п одинаковых грузов и п оди наковых безынерционных пружин (рис. 20.2). Массу каждого из грузов .естественно принять равной 1/п мас сы заменяемого сплошного стержня:
т = pFl/n. |
(20.4) |
Для того чтобы найти коэффициент жесткости с каж дой из упругих пружин, заметим, что коэффициент жест кости всей последовательной системы пружин составляет
и, |
иг |
|
% |
Г П у У У Пу У У . . . . . . .V. A ( _ |
WV |
А |
|
|
Рис. 20.2. Удар "многомассовой системы о жесткую преграду
с!п. Приравнивая эту величину коэффициенту жесткости заданного сплошного стержня EF/1, найдём
с = hEF/L |
(20.5) |
Отметим, что-с ростом чжс,лк п величины т и с ме няются противоположным образом: первая из них убы вает, а вторая возрастает.
Пусть в момент времени £ |
= 0 передний конец голов |
ной (п-й) пружины внезапно |
останавливается. Последу |
ющее движение грузов описывается однородной системой |
дифференциальных уравнений
ти1— с (и2 ~ |
ui) = 0, |
|
ти2— с (и3 — 2и2 + и^) = 0, |
|
|
шиз — с {щ — 2иа + |
и2) = 0, |
(20.6) |
ш и п - l |
с { Ц п — 2 u n - i “Ь U n —2) 5= О, |
|
ïïtU'Yi — £ ( — 2 Ufi -j- Ufi—j ) = 0 |
(ии и2, ..., ип— перемещения, отсчитываемые от по ложений, занимаемых грузами в начальный момент
времени) и должно быть подчинено начальным условиям
щ (0) = и2(0) = ... = ип(0) = 0,
(20.7)
üi (0) = й2(0) = ... = ùn(0) = v.
Решение этой задачи можно за]гисать в виде (доволь но громоздкие выкладки опускаем — см. [35, 44])
Un = |
vt* |
|
2 < - ч |
i_! cos (р |
1/2) |is |
sm |
2nt . |
|
п (2п + |
1) |
sin (lls/2) tg (Ms/2). |
T7s m 2 |
|||||
|
S=l |
|
\ t* |
ï ) |
||||
|
|
|
(P = |
1,2, . . . . |
n). |
|
|
(20.8) |
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ |
= |
Я2в + 1 } |
P = |
1-2, |
|
|
(20.9) |
Продольная сила в д-й пружине дискретной модели равна
Nlt = c(uv — u1)+l)
(положительная в случае сжатия пружины) и йожет быть записана с помощью (20.5), (20.3) и (20.8) в без размерном виде
|
sm PPs |
2nt . |
( 20.10) |
N |
2п -р 12 ( - !)• % (tV2) sin |
-.7 5,11 T |
где N определяется выражением (20.2).
На рис. 20.3, а в виде сглаженных кривых показано распределение сил Np по пружинам десятизвенной мо дели (п = 10), вычисленное для нескольких характерных моментов времени. Сопоставляя приведенные ' графики с рис. 20.1 для продольных сил в сечениях сплошного стержня, можно отметить, что при ударе дискретной си стемы в несколько смягченной форме воспроизводится распространение волны сжатия, которая в сплошном стержне носит отчетливо выраженный разрывной ха рактер.'
Для того чтобы составить еще более полное представ ление о согласованности результатов, получаемых для двух различных моделей, полезно проследить за измене нием во времени усилия в какой-либо одной фиксирован ной пружине. Результаты вычислений для средней (пя той) пружины дискретной модели приведены в виде гра фика па рис. 20.3, б; здесь же штриховой линией по казано изменение во времени усилия в среднем сечении