книги / Механика деформируемого твердого тела.-1
.pdfВ наиболее общей форме изложенные соображения можно сформулировать следующим образом. Представим себе две статически эквивалентные системы сил Si и S2. Для того чтобы установить их* равноценность (равнознач ность) для рассматриваемой модели, нужно образовать самоуравновешенную разность St — S2 и выяснить, совер шает ли эта разность работу на возможных перемеще ниях модели. Если окажется, что возможная работа равна нулю, то системы равнозначны и, следовательно, пол ностью обоснована их взаимная замена. В таких случаях при любых выкладках, относящихся к рассматриваемой модели, системы Si и S2 вообще неразличимы. Именно это и можно видеть в приведенном выше решении Кирх гофа.
Г л а в а 2
О С О Б Е Н Н О С Т И П Р Е Д Е Л Ь Н Ы Х П Е Р Е Х О Д О
§ 8. О предельных переходах в механике
Предельные переходы в механике представляют собой с п е ц и а л и з а ц и ю , при которой из найденного общего решения выявляются результаты, относящиеся к неким крайним (предельным) частным случаям. Нередко резуль таты для предельных задач, как более простых по поста новке, получаются независимо от анализа общего случая и заранее известны; тогда предельные переходы могут служить полезным (хотя, возможно, и не радикальным) средством контроля правильности найденных общих ре шений.
Языком механики служит математика, и предельные переходы в механике описываются также на этом языке. Однако каждый такой переход — не только «игра» абст рактных количеств, но и некоторое, пусть умозрительное, преобразование физических образов: за устремлением не которого числа к нулю (или к бесконечности) может скрываться, скажем, переход от упругой опоры к абсо лютно жесткой, от вязкоупругой системы к упругой, от стержня с криволинейной осью к стержню с прямой осью, от пластины, имеющей форму правильного многоуголь ника, к круглой пластине и т. и. Поэтому естественно, что в рамках механики говорят не только о предельных значениях некоторых величии, но и о предельных меха нических образах, а вырожденную механическую си стему трактуют как предел для соответствующего общего случая.
Чаще всего предельные переходы вполне ясны по за мыслу, просты в смысле выкладок, а в их результатах трудно усмотреть что-либо удивительное. Но бывает и по-иному, когда предельные переходы непросты по своей сути и приводят к неожиданным выводам. Тогда обсуж дение переходов может натолкнуть на важные заключе ния — вплоть до вывода о непригодности, казалось бы, вполне добротной теории. Таким особенно интересным
случаям посвящены следующие параграфы этой главы;
хотя |
в настоящем |
параграфе мы остановимся |
на |
более |
||||||||
заурядных |
случаях, |
однако заметим, что |
даже |
в самых |
||||||||
простых предельных |
переходах |
порой |
обнаруживаются |
|||||||||
достойные внимания любопытные частности. |
|
|
||||||||||
Начнем с задачи об изгибе статически неопределимой |
||||||||||||
балки, на правом конце кото |
|
|
|
|
|
|||||||
рой |
имеется |
дополнительная |
|
|
|
|
|
|||||
упругая опора в виде растя |
|
|
|
|
|
|||||||
жимой нити. Введем |
обозначе |
|зшжшш± |
|
|||||||||
ния: |
q — интенсивность |
рав |
|
|||||||||
номерно |
распределенной |
на |
|
|||||||||
грузки, Е — модуль |
упругбсти |
|
|
|
|
|
||||||
материала |
балки, |
J— момент |
|
|
|
|
|
|||||
инерции ее поперечного |
сече |
Рис. 8.1. К предельному пе |
||||||||||
ния, I — ее ддина, Ея— модуль |
||||||||||||
реходу |
для консоли, |
под |
||||||||||
упругости |
материала |
нити, |
крепленной |
упругой |
опо |
|||||||
Fn — площадь |
ее сёчения, |
1Я— |
рой на правом конце |
длина нити (рис. 8.1).
Пользуясь известными способами теории сопротивле
ния материалов, можно найти реакцию нити |
|
= ^ ------------- А --------jr- |
(8.1) |
8i + 3EJlu/(EnFHls)
иизгибающий момепт в защемленном сечении балки
М = |
!ï! |
(8.2) |
|
2 |
4 [1 + 3EJlB/(EHFHl*)] |
Рассмотрим два предельных перехода. Если нить имеет весьма большую'жесткость, то в выражениях (8.1) и (8.2) можно положить Fя °о. Это приводит к известным ре зультатам для балки, правая опора которой абсолютно жесткая в вертикальном направлении,
N = 3^/8, М = дР/8.
Если же пить отсутствует, то в выражениях 4(8.1) и (8.2) достаточно положить Ея==■0; тогда получится
N = 0, M ^qlV 2
— результат, соответствующий, консольной балке.
Даже в этом простом случае имеется одна любопыт ная деталь, на которой стоит задержаться. Из выражения (8.1) видно, что с неограниченным уменьшением площади
сечения нити и уменьшением усилия в . ней до нуля напряжение в сечении нити стремится к конечному пределу
|
0 я |
(N/FH)F^ о - qEEü/(8EJla). |
(8.3) |
|
Этот |
результат |
может показаться |
несколько |
неожидан |
ным |
и даже мистическим — н и т ь |
и с ч е з л а , |
а напря |
жение в ней имеет вполне определенное значение! Однако ничего особенно странного в этом нет. Пред
ставим себе, что правый конец достаточно жесткой балки подвешен к весьма податливой, скажем, тонкой резино вой нити. В этом случае поддерживающее действие нити будет практически неощутимым, т. е. прогиб правого конца балки можно без заметной ошибки вычислять по выражению
/ ~ qV'/(8EJ),
соответствующему консольной балке. Практически той же величине равно и удлинение нити, следовательно, ее относительное удлинение можно определить по выраже
нию |
е = ///и = gZ4/(8Æ7ZH) |
и из закона Гука |
следует |
прежний результат (8.3). |
предельных переходах |
может |
|
В |
других случаях при |
возникнуть неопределенность; как правило, она легко раскрывается. Примером может служить предельный пе
реход в задаче о чистом изгибе «кривого бруса» |
(стержня |
с криволинейной осью) к случаю прямого |
стержня. |
Пусть для простоты рассматривается стержень с прямо угольным сечением размерами b и /г; если М — заданный изгибающий момент, г — радиус кривизны оси центров тя жести сечепий, то для наибольшего нормального напря жения в теории сопротивления материалов устанавлива ется выражение
И (h — 2е) |
(8.4) |
|
bhe (2г — h) 1 |
||
|
||
в котором |
|
|
h |
(8.5) |
|
е = г - |
||
ln-2r+ h |
|
|
2r — h |
|
|
— расстояние нейтральной оси сечения |
от его центра |
|
тяжести. |
|
Выражение (8.4) соответствует приближенной теории Винклера*) (1867 г.), которая поныне излагается во всех учебниках сопротивления материалов. В основе этой теории лежит предположение о том, что продольные во локна испытывают одноосное растяжение или сжатие; взаимное надавливание волокон в этой теории не учиты вается.
Естественно ожидать, что при неограниченном увели чении . радиуса г записанное выражение перейдет в вы ражение, соответствующее стержню с прямой осью. Хотя в данном случае подстановка г-*®° сначала приводит к неопределенности в выражениях (8.4) и (8.5), но эта неопределенность немедленно раскрывается после заме ны в (8.5) натурального логарифма двумя выписанными членами разложения
2r + h |
+ ... . |
|
In 2 r — h |
||
В самом деле, |
при этом е = |
и вместо выражения |
(8.4) получаем |
|
|
— известный результат для стержня с прямой осью. |
||
При решении |
относительно |
сложных задач бывает, |
что решение непредставимо в замкнутой форме и запи сывается, например, через бесконечные ряды* из-за этого переход к предельному случаю в аналитическом виде может оказаться затруднительным. Однако и в этой си туации полезно* внимательно рассмотреть результаты вы числений для частных случаев, чтобы судить о том, достаточно ли естественно ведет себя решение при по степенном приближении к ранее изученному предельному случаю.
Обратимся к примеру. О. М. Сапонджяну. принадле жит решение задачи об изгибе защемленной по контуру пластины, имеющей форму правильного ^-угольника, под действием равномерно распределенной нагрузки [53].
*) Э. Винклер (1835—1888)— профессор теории сооружений и мостов в Дрездене, Праге, Вене и Берлине. Автор технической тео рии изгиба стержня с круговой осью, ряда работ по расчету балок на упругом основании, неразрезных балок и арок.
Для прогиба цептра пластины найдено следующее выражение:
^шах — ОЬдЯD_4 ’
в котором q интенсивность нагрузки, R — радиус опи-
санной окружности, D = |
Eh3 |
2) |
цилиндрическая |
12(1 |
|||
жесткость (£ — модуль упругости |
материала, h — толщи |
||
на пластины, V —- коэффициент Пуассона). Коэффициент |
|||
а найден вычислениями с |
помощью |
рядов. Он зависит |
от числа сторон многоугольника к, как это видно из сле дующей таблицы:
к |
3 |
4 |
5 |
6 |
8 |
а0,00151 0,00507 0,00798 0,0100 0,01230
Последовательность точек, показанных на рис. 8.2 в осях А, а, наглядно показывает, что с увеличением к коэффициент а плавно и закономерно приближается к
ос= 0,01563
0Д5-
0,010-
ojoœ- |
• |
|
|
|
|
|
o'__ 1____I |
i l |
7 |
l |
з |
||
3 |
4 |
5 |
6 |
8 |
к |
Рис. 8.2. С увеличением числа сторон пластины, имеющей форму правильного многоугольника, прогиб центра стремится к значению, соответствующему круглой пластине
ранее известному и независимо найденпому значению 0,01563 для круглой пластины; ее естественно рассмат ривать как предел, к которому стремится fc-угольная пла-г стина при к о о.
Впрочем, в подобных случаях нужен более тщатель ный анализ всех обстоятельств предельного перехода и, в частности, проверка того, что граничные условия в об-' щем случае и в предельном случае — одни и те же. Для рассматриваемой здесь жестко защемленной /с-угольной пластины при любом к в каждой точке контура выпол няются условия
(ш —- прогиб, п — направление нормали к контуру). Поскольку условия на контуре жестко защемленной круг лой пластины — те же самые, то в данном случае нет оснований сомневаться в том, что решение для /с-уголь- ной пластины при к -+■ °о должно перейти в решение для круглой пластины, как об этом и свидетельствует рис. 8.2.
Хотя в каждом из рассмотренных выше случаев можно найти заслуживающие внимания детали, но никаких па радоксов принципиального характера мы пока не встре тили. Однако в действительности бывают и такие случаи, когда при предельных переходах обнаруживаются серьез ные и заранее непредугадываемые особенности. Этому посвящены последующие параграфы настоящей главы.
§ 9. Предельный переход в одной схеме поперечного изгиба балок
Для балки, показанной на рис. 9.1, а, согласно техни ческой теории изгиба можно найти прогиб точки С в виде
f =*Pl(l — а) V (32?/). |
(9.1) |
Здесь Р — значение силы, приложенной к концу, I — рас стояние между опорой А д точкой С, а — абсцисса опо ры 2?, Е — модуль упругости материала, / — момент инерции поперечного сечения относительно нейтральной оси. Выражение (9.1) справедливо и в случае, когда опора В находится левее опоры А (а < 0). Коэффициент жесткости балки (с = P/f) определяется выражением
c=>ZEJ/[l(l-ay] |
(9.2) |
ж существенно зависит от абсциссы опоры а. Считая
величины EJ и I заданными, рассмотрим зависимость ко эффициента жесткости с от величины а (рис. 9.1,6).
Естественно, что при all — 1, когда^правая опора на ходится под силой Р, прогиб равен нулю и коэффициент жесткости оказывается бесконечно большим. Неудиви тельно и то, что с уменьшением а коэффициент жесткости постепенно уменьшается. Но, совсем странно, почему при
Рис. 9.1. Балка с копсолью: а) схема нагружения; б) зависимость коэффициента жесткости от расстояния между опорами (без учета сдвигов)
а 0 коэффициент жесткости оказывается отличным от нуля — ведь в этом предельном случае, когда обе опоры точно совпадают, система становится геометрически из меняемой и ее жесткость должна быть равна пулю. Под чиняясь очевидности, мы должны отказаться от соотно
|
шения (9.2) |
при |
я = О, но |
по |
||||
|
чему |
оно |
становится |
невер |
||||
|
ным? |
|
|
чтобы разобраться |
||||
|
Для того |
|||||||
|
в этом вопросе, задумаемся над |
|||||||
|
тем, |
как |
происходит |
согласно |
||||
Рис. 9.2. Балка с консолью |
обычной теории изгиб при ма |
|||||||
лых |
конечных |
значениях |
а. |
|||||
при весьма малом расстоя |
||||||||
нии между опорами |
В этом |
случае |
изгиб |
левого |
||||
|
участка |
балки будет мал, т. е. |
углы наклона касательных в пределах этого участка малы (рис. 9.2). Получается, что названный участок длиной а
играет роль заделки для |
правого участка длиной I —а, |
и притом тем лучше, чем |
меньше размер а. Во всяком |
случае именно это следует из технической теории изгиба. Но чем меньше я, тем большими становятся опорные реакции, а вместе с этим возрастают и поперечные силы
в пределах левого участка. Вот здесь и содержится ключ
к разрешению загадки: |
при больших поперечных силах |
н е л ь з я пользоваться |
обычной теорией изгиба, которая |
исходит из представления об отсутствии сдвигов. Иными
словами, при малых значениях а необходимо |
(не жела |
|||||
тельно, а именно н е о б х о д и м а ! ) |
учитывать |
перемеще |
||||
ния, |
обусловленные сдвигами в |
пределах |
участка АВ. |
|||
Как |
только это будет сделано, |
исчезнут |
и |
страпности |
||
решения, |
иллюстрированного |
графиком на |
рис. 9.1, б. |
|||
Пусть |
G — модуль сдвига, |
F — площадь |
сечения, Q =* |
|||
— Р(1 — а)/а — поперечная сила; тогда для |
определения |
угла поворота сечения В нужно к углу поворота, вычис ляемому по обычной теории,
Р (I — а) а
Ч>1- 3EJ
добавить угол поворота, связанный со сдвигами и опре деляемый приближенным выражением
P (I -г- а) aGF ‘
Таким образом, общий угол поворота сечения В равен сумме
|
P (I — а) а |
ZEJ \ |
Ф = <Pi + Ф 2 = |
3EJ |
a*GF ) * |
|
Соответственно, для прогиба конца балки получится
, P (I — а)8 п ч P (I — а)2 I ( , , 3EJ \ /п оч
Здесь первый член — прогиб конца, вызванный изгибом правого участка балки, а второй член — прогиб, обуслов ленный поворотом сечения В. (Несомненно малое влия
ние сдвигов, развивающихся в пределах п р а в о г о |
участ |
ка балки, здесь не учтено.) |
левом |
Из (9.3) следует, что при учете сдвигов на |
участке балки коэффициент жесткости определяется вы ражением
*^ ЗЕ£___________ 1___________
СГ (1 — a/lf [1 + 3EJKalGF)] ’
которое существенно отличается от зависимости (9.2)
при весьма малых зпачениях all (рис. 9.3). Как и долж но быть, с* стремится к нулю при неограниченном убы вании а.
Здесь ясно видно, что учет сдвигов принципиально исправляет кривую изменения коэффициента жесткости
c*L3
Рис. 9.3. Зависимость коэффициента жесткости от расстояния меж ду опорами балки (с учетом сдвигов)
и вместе с тем устраняет неясности, возникающие в пре дельном переходе в рамках технической теории.
Разобранный случай напоминает о хорошо известном правиле: если результаты предельного перехода абсурд
ны, то |
нужно .проверить |
сами о с н о в ы использованной |
теории. |
Однако было |
бы недостаточно ограничиться |
только этим, в общем, довольно банальным заключением. В нашем примере отчетливо видно и другое — теория, правильность которой оказалась под сомнением в резуль тате предельного перехода, будучи «локально неверной», с практической точки зрения может оказаться «глобаль
но верной» — в нашей задаче выражение |
(9.2) приводит |
к заметным ошибкам лишь при а/К 0,02. |
(Вряд ли та |
кие случаи могут иметь практическое значение.) Коротко говоря, обнаружив при предельном переходе, что контро лируемая теория неверна, и построив уточненную тео рию, всегда полезно сделать еще один шаг, а именно оценить рамки, в которых действительно необходима замена одной теории другой; часто эти рамки оказыва ются довольно узкими.
§ 10. Парадокс Сапонджяна
Бывает так, что результаты предельного перехода удивляют нас — но только в первую минуту; затем, вдумавшись в нестандартную ситуацию, мы начинаем понимать, что они вполне естественны.