книги / Электронная оптика и электроннолучевые приборы
..pdfгде и— начальная энергия электрона, выраженная через эквива лентную разность потенциалов.
При фокусировке немоноэнергетических пучков возникают до полнительные ошибки изображения, называемые по аналогии со
световой оптикой х р о м а т и ч е с к и м и |
а б е р р а ц и я м и . |
Физи |
чески возникновение хроматических |
аберраций вызвано |
зависи |
мостью оптических параметров электронных линз от энергии элек тронов фокусируемого пучка. Эта зависимость непосредственно
следует из формул |
(1.156) и (1.196), в которых величины LJb и U0y |
||||||
стоящие |
перед |
интегралом, |
|
||||
имеют смысл |
меры |
энергии |
|
||||
электрона. |
|
|
траектории |
|
|||
Рассмотрим |
|
|
|||||
двух электронов, один из кото |
|
||||||
рых покинул |
катод |
с |
нулевой |
|
|||
начальной |
скоростью |
(и = 0), |
|
||||
второй — с отличной |
от |
нуля |
|
||||
начальной |
скоростью |
|
(и>0) |
|
|||
(рис. 1.60). |
первый, |
болег |
|
||||
Очевидно, |
|
||||||
медленный электрон будет на |
Рис. 1.60. Происхождение хроматических |
||||||
ходиться |
в поле |
линзы |
боль |
аберраций |
|||
шее время и, получив больший |
|
||||||
импульс, |
пересечет |
ось |
ближе |
|
к линзе, чем второй, более быстрый электрон. Рассматривая сово купность электронов пучка с начальными энергиями, распределен ными в интервале от нуля до некоторого значения ей, нетрудно убедиться, что ни в одной плоскости, перпендикулярной к оптиче ской оси, пучок электронов, вышедших из одной точки на оси, но имеющих разброс начальных скоростей, не может быть сведен в одну точку.
Предположим, что электроны с нулевыми начальными скоростя ми, вышедшие из точки га на оси линзы, пройдя линзу, соберутся в точке гь на оси. Тогда, очевидно, электроны с отличной от нуля начальной скоростью, вышедшие из той же точки zay пересекут ось в точках с координатами zb + kz. При этом, чем больше начальная скорость, тем больше значение Az. В плоскости zb электроны, име ющие отличные от нуля начальные скорости, создадут некоторый кружок рассеяния.
Предположим далее, что большинство электронов имеют на чальную энергию, не большую некоторого значения ей. Соответст вующую этому значению энергии величину Az обозначим АЪ. Тогда
согласно построению на рис. 1.60 радиус кружка рассеяния |
(радиус |
|||
кружка хроматической аберрации) будет равен |
|
|||
. , |
|
Ab |
АЬ |
(1.211) |
rxp = Abtgy2 = |
rd———— |
— , |
||
|
о |
До |
о |
|
где rd — радиус апертурной диафрагмы и величина Д6 < 6 .
Учитывая (1.142) и считая потенциалы по обе стороны линзы одинаковыми, определим положение изображений, создаваемых соответственно медленными (и = 0) и быстрыми (ы >0) электро нами
|
|
1 |
|
|
|
I _1_Т |
|
1 |
( 1.212) |
||
а |
b + |
АЬ |
/ + |
А Г } |
|
где Дf — величина, учитывающая |
увеличение фокусного |
расстоя |
|||
ния линзы для быстрых электронов. |
|
(1.212) первое и прене |
|||
Вычитая из второго уравнения системы |
|||||
брегая величиной Дf по сравнению с f, получим |
|
||||
"ь |
= ±f |
4 f- |
|
|
(1.213) |
Из (1.213) следует, что радиус кружка хроматической аберра ции пропорционален отношению Af/f. Используя формулу для оп тической силы электростатических линз (1.156), найдем отношение
№
\1 •*? Uy'jz) dz,
1 |
4ущ : |
|
(1.214) |
|
|
|
|
1 |
1 |
+ 0 0 Uo (2) |
dz |
/ + Д/ |
4]/L/ь +и |
УUо(2) |
I |
|
|
|
> |
Разделив первое уравнение системы (1.214) на второе, после несложных преобразований получим
Д/ _ 1 и
(1.215)
~ Т ~ Т 1 Г ь -
Таким образом, отношение Aflf пропорционально отношению начальной энергии электрона (ей) к энергии (еИъ)> приобретаемой электроном в ускоряющем поле. Окончательно на основании урав нений (1.211), (1.213) и (1.215) для радиуса кружка хроматичес кой аберрации можно записать:
Гхр = СхрГd-JJ . |
( 1 .2 1 6 ) |
Выражение (1.216) показывает, что хроматическая аберрация аналогично сферической аберрации имеет место для точек объек та, лежащих на оси. Этот вид аберрации носит название х р о м а т и ч е с к о й а б е р р а ц и и п о л о ж е н и я п л о с к о с т и изо -
б ра же н и я, или о т в е р с т н о й х р о м а т и ч е с к о й а б е р рации, так как величина гхр пропорциональна радиусу отверстия апертурной диафрагмы rj.
Как следует из (1.216), уменьшения отверстной хроматической аберрации можно добиться, уменьшая отверстие диафрагмы, т. е. диаметр электронного пучка, и повышая ускоряющее напряжение. Однако полное устранение этого вида аберрации невозможно.
При отображении точек объекта, не лежащих на оси, электро нами, имеющими разброс энергии, проявляется хроматическая аберрация, приводящая к искажению масштаба увеличения. Этот
вид аберрации |
называется х р о м а т и ч е с к о й а б е р р а ц и е й |
л и н е й н о г о |
у в е л и ч е н и я . Наконец, при использовании маг |
нитных линз разброс скоростей электронов приводит к х р о м а т и ч е с к о й а б е р р а ц и и у г л а п о в о р о т а и з о б р а ж е н и я . Два последних вида хроматической аберрации также зависят от отношения ulU, но в отличие от отверстной аберрации могут быть исправлены соответствующим подбором полей и положения диа фрагмы.
Поскольку радиус кружка рассеяния при хроматических абер рациях определяется отношением и/t/, этот вид ошибок изображе ния оказывается существенным при фокусировке медленных (уско ренных небольшой разностью потенциалов) электронов. Точно так же хроматическая аберрация приводит к заметному ухудшению четкости изображения при использовании электронных зеркал, так как в области отражения потенциал пространства близок к нулю и отношение u/U может стать весьма большим. В большинстве элек троннолучевых приборов используются ускоряющие напряжения больше 1 кв. При этом хроматическая аберрация имеет относи тельно меньшее значение, поскольку величина u/U в случае приме нения оксидного катода с температурой 1000° К (е м »0,17 эв) ока зывается меньше 10_3.
Когда поле линзы примыкает к источнику электронов (иммер сионный объектив, см. § 3.2), наличие начальных энергий электро нов и разброс начальных скоростей по величине и направлению могут заметно влиять на качество фокусировки. При этом следует учитывать не только абсолютную величину начальных скоростей, но и направления вылета электронов. Очевидно, чем меньше на пряженность ускоряющего поля у катода, тем в относительно боль шем угле «разойдутся» траектории электронов, выходящих с раз личными по величине и направлению скоростями из одцой точки эмиттирующей поверхности. Ввиду разброса начальных скоростей по направлению электроны, выходящие из одной точки объекта, вступают в поле линзы с различными апертурными углами. Раз брос этих углов приводит к появлению обычной сферической абер рации, а разброс по величине скоростей обусловливает хроматичес кую аберрацию. Таким образом, на качество фокусировки иммер сионного объектива влияет комбинированная сферохроматическая аберрация.
юз
Радиус кружка рассеяния за счет сферохроматической аберра ции в плоскости гауссова изображения определяется выражением
|
|
гСФ.хр = 2A f^ -, |
(1.216а) |
||
где |
М — увеличение электронно-оптической системы; щ — наибо |
||||
лее |
вероятная |
начальная |
энергия электрона, |
выраженная |
через |
эквивалентную |
разность |
потенциалов; Е — напряженность |
элект |
||
рического поля у поверхности катода. |
как формула Рек- |
||||
|
Выражение |
(1.216а) известно в литературе |
нагеля. В плоскости наилучшей установки (наибольшей резкости), не совпадающей с плоскостью гауссова изображения, радиус круж ка рассеяния будет несколько меньше. Как показал Л. А. Арцимо вич, он определяется формулой
Гсф.тр= 1.2М-5-. |
(1.2166) |
Jh |
|
Искажения электронно-оптического изображения наблюдаются при нестабильности источников питания электронных линз. Это яв ление следует рассматривать также как хроматическую аберра цию, поскольку при изменении потенциалов электродов электро статических линз и тока, создающего магнитную индукцию магнит ных линз, меняются оптические параметры линз.
§ 1.10. ФОКУСИРОВКА ПОЛЯМИ, НЕ ОБЛАДАЮЩИМИ ОСЕВОЙ СИММЕТРИЕЙ. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ И КВАДРУПОЛЬНЫЕ ЛИНЗЫ
Для фокусировки электронных пучков, кроме рассмотренных осе симметричных электрических и магнитных полей, в некоторых слу чаях могут быть использованы поля, не обладающие осевой сим метрией. Примерами таких полей являются электростатические и магнитные плоские поля, т. е. поля, не зависящие от одной из де
картовых |
координат |
(например, |
х). |
Для плоских |
полей |
|
U ( x y |
У, z) = |
U (0, у, z) |
и В(ху уу z )= B ( 0, |
уу z). Очевидно, |
такие |
|
поля |
имеют |
плоскости |
симметрии, |
перпендикулярные к оси ОХ. |
Электростатические плоские поля создаются диафрагмами со ще лями или парами плоских пластин, магнитные плоские поля — вы тянутыми катушками, которые могут быть заключены в ферромаг нитные оболочки со щелями.
Эквипотенциальные поверхности электростатических плоских полей являются цилиндрами с образующими, параллельными оси ОХ. Поскольку аналогом преломляющих поверхностей световой оптики в электронной оптике являются эквипотенциальные по верхности электрического поля, прохождение электронного пучка в плоском поле аналогично прохождению света сквозь цилиндричес кую линзу. На основе этой аналогии электронно-оптические систе мы, образованные плоскими полями, получили название ц и л и н д р и ч е с к и х э л е к т р о н н ы х линз .
Обычно электростатической электронной линзой является об ласть плоского поля, имеющего плоскость симметрии, параллель ную оси ОХ (рис. 1.61).
Выберем начало координат в этой плоскости. Тогда траектория электрона, начинающего движение из начала координат перпенди кулярно к плоскости X0Y, будет прямолинейной, совпадающей с осью 0Z. Это утверждение непосредственно следует из равенства нулю вдоль оси 0Z составляющих напряженности поля Ех (вслед ствие независимости U от х) и Еу (вследствие симметрии поля от носительно плоскости X0Z). Таким образом, эта траектория, сов падающая с осью 0Z, является осью электронного пучка.
Рис. 1.61. Плоское поле |
Рис. 1.62. Элементарный парал |
|
лелепипед |
Рассмотрим движение электрона в поле цилиндрической линзы (рис. 1.61). Поскольку поле плоское, составляющая напряженности поля Ех= 0. Сила, действующая на электрон в поперечном направ лении (вдоль оси OY), будет равна
d2u |
(1.217) |
т - ^ = - е Ё у. |
Для определения составляющей поля Еу используем теорему Остроградского— Гаусса. Построим параллелепипед с ребрами, параллельными осям координат (рис. 1.62).
Поток вектора Е через поверхность параллелепипеда будет равен
1 дЕ |
— xyl — y |
(1.218) |
х:1Еу -\-ху С— ^ -d z = |
||
о dz |
60 |
|
где х, у, I— ширина, высота и длина параллелепипеда; р — плот ность объемного заряда (Ех= 0 по условию) .
При малых величинах тока пучка можно считать, что поле не искажается зарядом электронов пучка, т. е. однозначно определя ется формой, расположением и потенциалами электродов. В этом случае можно положить р = 0. При малой величине I производная dEz/dz= — U" (штрихи обозначают дифференцирование по z) ма
ло изменится на длине / и может быть вынесена из-под знака интеграла. Тогда
|
Еу = |
U"y. |
|
(1.219) |
||
Подстановка значения Еу в |
(1.217) приводит к уравнению |
|
||||
|
m- ^ |
= |
— eU"y. |
|
( 1.220) |
|
|
dt2 |
|
У |
|
|
|
Ограничиваясь параксиальной областью, можно от дифферен |
||||||
цирования по t перейти |
к дифференцированию |
по z |
(см. § |
1.6). |
||
Применяя дважды дифференциальный оператор |
,!L = |
__1 |
и за- |
|||
|
|
|
|
dt |
dt dz |
|
мечая, что dz/dt — vz |
» га |
|
получим |
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
агХ |
d z’ |
2у у |
|
( 1.221) |
||
|
|
|
||||
или после дифференцирования |
|
V |
|
|
|
|
|
U' |
|
|
( 1.222) |
||
|
и’ А------- и = 0*. |
|
||||
У "+ ■2и |
^ |
2(Г |
|
|
|
Полученное уравнение является основным уравнением цилинд рической оптики. Оно показывает, что в одном направлении — в плоскости Y0Z— цилиндрическая линза действует аналогично осе симметричной линзе [разнипа между уравнениями (1.222) и (1.82) только в постоянном множителе в последнем члене], а в перпенди кулярном направлении — в плоскости X0Z — поле линзы не влияет
на движение |
электронов |
(Ех= 0). |
Следовательно, |
параллельный |
оси 0Z пучок |
электронов, |
пройдя |
цилиндрическую |
линзу, создает |
в ее фокальной плоскости изображение в виде отрезка прямой, па раллельной оси ОХ.
В параксиальном приближении можно тем же способом, что и для осесимметричных линз, определить оптическую силу цилиндри
ческой линзы: |
|
|
|
|
± |
= - ± |
J |
f “ l d z , |
(1.223) |
f |
2yu b 1 |
1/U |
|
|
или после интегрирования по частям |
|
|
||
1 |
1 |
+оо т |
Л 2 |
(1.224) |
|
|
|
■dz, |
f4уи ь
*Рассмотренным способом может быть получено основное уравнение трас-к. тории (1.82) для осесимметричного поля.
где Ub— значение потенциала вне линзы в пространстве изобра жений.
Сравнение выражений (1.223) и (1.224) с формулами (1.156) и (1.159) показывает, что при одинаковом распределении потенциа ла вдоль оси оптическая сила цилиндрических линз вдвое больше,
чем у осесимметричных линз. По аналогии |
с осесимметричными |
|||||||||
линзами цилиндрические электростатические |
линзы |
могут созда |
||||||||
ваться |
диафрагмой |
со щелью, |
двумя |
щелевыми |
диафрагмами |
|||||
или двумя |
парами |
плоских |
/ |
и |
|
|||||
пластин, |
тремя |
щелевыми |
•Ilf |
|||||||
/ диафрагмами или тремя па |
||||||||||
рами |
плоских |
пластин. Ци |
||||||||
линдрическую |
линзу можно |
|||||||||
также |
построить, |
комбини |
1 |
-и!гТиг |
||||||
руя щелевые |
диафрагмы и |
JIL |
||||||||
пары |
плоских |
пластин. Та |
||||||||
ким |
образом, |
|
получаются |
1 |
|
|
‘HJr |
|||
цилиндрические линзы-диаф |
о; |
|
б) |
i) |
||||||
рагмы, цилиндрические им |
|
|||||||||
мерсионные |
и |
|
цилиндриче |
Рис. 1. 63. Электродные системы цилинд |
||||||
ские одиночные линзы. |
рических электростатических линз: |
|||||||||
Для |
расчета |
оптических |
а —щелевая |
диафрагма; б — иммерсионная |
||||||
параметров |
цилиндрических |
линза; в — одиночная линза |
||||||||
линз |
можно |
использовать |
(1.224), либо |
приближенные выра |
||||||
либо общие |
формулы (1.223), |
жения, аналогичные приведенным для осесимметричных линз с со ответствующим изменением числового коэффициента. Например, фокусное расстояние цилиндрической линзы-диафрагмы прибли женно определяется формулой
/ |
(1.225) |
| £ г| — |£ || |
' |
где t/д— потенциал щелевой диафрагмы, а Е\ и Е2— напряженно сти поля слева и справа от диафрагмы.
Примеры электродных систем цилиндрических электростатиче ских линз приведены на рис. 1.63.
Интересно отметить, что в цилиндрическом поле при наличии особой седлообразной точки (например, в середине одиночной ци линдрической линзы) в отличие от осесимметричного поля эквипотенциали в этой точке пересекаются под прямым углом.
Цилиндрическая магнитная линза также создает линейный фо кус, но за счет «поворачивающего» действия магнитного поля фо кальная прямая оказывается повернутой на 90°, т. е. лежит в плос кости X0Y. Оптическая сила цилиндрической магнитной линзы
_1 е +оо
7 2mil
т. е. при одинаковом осевом распределении магнитной индукции цилиндрическая магнитная линза в 4 раэа сильнее осесимметрич ной линзы [см. формулу (1.196)].
Цилиндрическим линзам присущи геометрические аберрации, аналогичные аберрациям осесимметричных линз, а также хрома тическая аберрация.
Цилиндрические линзы иногда используются в электроннолуче вых приборах тогда, когда необходимо получить линейный фокус («штрих»-фокус). Цилиндрические линзы, образующиеся в прост ранстве отклонения электронных пучков, приводят к дополнитель ным ошибкам (искажениям) отклонения.
- и
Рис. 1.64. Поперечные фокусирующие |
Рис. 1.65. Квадрупольная электроста- |
поля |
тическая линза |
В осесимметричных и цилиндрических линзах траектории элек тронов в области линзы составляют малые углы с направлением напряженности электрического поля или магнитной индукции. Ины ми словами, в этих оптических системах электроны движутся при близительно вдоль силовых линий поля. Поэтому рассмотренные фокусирующие системы называются продольными. В продольных системах для фокусировки электронных пучков используется лишь небольшая (по сравнению с продольной) поперечная составляющая поля. Значительно более эффективны поперечные системы, в кото рых силовые линии поля направлены поперек пучка. Поперечные электронно-оптические системы получают все большее распростра нение, особенно для фокусировки электронов, обладающих боль шими энергиями. Поперечным системам присущи новые электрон но-оптические свойства, в частности, при использовании попереч ных полей возможно создание фокусирующих систем, свободных от аберраций.
Поперечные фокусирующие поля обычно создаются четырьмя электродами или четырьмя магнитными катушками, расположен ными вокруг оси системы, причем диаметрально противоположные
электроды или магниты имеют одинаковую полярность, а сосед ние— разную (рис. 1.64).
Такие четырехполюсные системы, обладающие двумя |
плоскос |
тями симметрии, получили название к в а д р у п о л ь н ы х |
э л е к т |
р о н н ы х линз . Особенностью квадрупольных линз |
является |
равенство нулю осевой составляющей поля. |
|
В качестве примера рассмотрим квадрупольную электростати ческую линзу, образованную четырьмя одинаковыми электродами в виде гиперболических цилиндров, расположенных симметрично на одинаковом расстоянии от оси с потенциалами ± t / t (рис. 1.65).
Распределение потенциала в такой симметричной системе опи
сывается уравнением |
|
U(x,y) = ± k (x z+ yz), |
(1.227) |
где k= 2 U\/a2 (а - - расстояние от оси до поверхности электродов). При распределении потенциала вида (1.227) составляющие на пряженности поля Ех и Еу являются линейными функциями коор
динат:
dU |
|
kx, |
Ех |
|
|
дх |
|
|
dU |
ь |
(1.228) |
Еу = - — |
=klJ, |
|
ду |
|
|
(Ez = |
0 ) , |
|
т. е. градиенты н^пРяженности поля постоянны. Поэтому квадрупольная линза с гиперболическими электродами называется л и н
з о й с п о с т о я И я ым г р а д и е н т о м .
Рассмотрим движение электрона, входящего в такую линзу па
раллельно оси 01- Нетрудно |
видеть, что в точке р, (рис. |
1.65) |
на |
электрон действует сила |
= —eEx= ekx, направленная |
от |
оси |
линзы, а в точке р2 — сила Fy— —еЕу— —eky, направленная к оси. Таким' образом И плоскости X0Z линза будет рассеивающей, а в плоскости yflZ-L собирающей. На электрон в любой точке поля, не лежащей в пло1«?Стях симметрии, будет действовать сила, всегда имеющая состаВРяющУю’ прижимающую электрон к плоскости X0Z и удаляющую ег0 от плоскости Y0Z.
Составим Упа<0нения Движения электрона в рассмотренном по-
ле, учитывая форр',Улы (1-228): |
|
|
dzx |
_ |
2eUi |
dzy |
— eEv = |
2eUi |
m —— = |
--------— |
|
dtz |
v |
az |
Поскольку поле на оси линзы отсутствует, вполне допустимо для приосевой области (параксиальное приближение) считать продольную составляющую скорости электронов постоянной:
Vi — |
Uо = const (здесь U0— постоянный потенциал на оси |
'т
линзы) и перейти в (1.229) от дифференцирования по < к диффе ренцированию по 2:
2eUi
а2 х,
2eUi
а2 У,
или
|
|
|
|
х" — хеХ = |
|
О, |
|
|
(1.230) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
У" + кеУ= |
|
О, |
|
|
|
|
||
где |
VE |
U, |
, штрихи обозначают |
дифференцирование по г. |
|
|||||||
, — |
aWс |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим |
теперь |
симмет |
||||
|
|
|
|
|
ричную квадрупольную |
магнит |
||||||
|
|
|
|
|
ную линзу (рис. 1.66). |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
При выбранном расположении |
|||||
|
|
|
|
|
координатных осей |
плоскости |
||||||
|
|
|
|
|
X0Z и Y0Z являются плоскостями |
|||||||
|
|
|
|
|
антисимметрии |
магнитного |
по |
|||||
|
|
|
|
|
ля *. |
Допустим, |
что электроны |
|||||
|
|
|
|
|
входят в линзу параллельным оси |
|||||||
|
|
|
|
|
0Z пучком со скоростью |
|
||||||
|
|
|
|
|
vz= |
у — U0. На электрон в точ- |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
11 т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ке pi будет действовать сила |
|||||||
Рис. |
1.66. Квадрупольная |
магнит |
Fx—evzBy, направленная от |
оси, |
||||||||
а на электрон в |
точке |
рг — сила |
||||||||||
|
|
ная линза |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
Fy= — evzBx, направленная к |
оси |
* Поворот осей ОХ и 0Y на 45° по сравнению с системой рис. 1.64 удобен при рассмотрении магнитных квадрупольных линз, так как в этом случае уравне ния траекторий в магнитной линзе совпадают с аналогичными уравнениями для электростатической квадрупольной линзы.