книги / Электронная оптика и электроннолучевые приборы

и использование мелкой ванны имеют большие практические пре­ имущества. Кроме того, измерение распределения потенциала в этом случае осуществляется весьма просто с помощью короткого зонда, перемещаемого по открытой поверхности электролита.

При моделировании плоских полей также целесообразно ис­ пользовать мелкую ванну, устанавливая электроды непосредствен­ но на непроводящее дно ванны.

При помощи электролитической ванны удается получить значе­ ние потенциалов с погрешностью нс более 1%; построение экви­ потенциальных линий может быть автоматизировано, что значи­ тельно ускоряет работу с ванной. Сетка эквипотенциальных по­ верхностей, полученная методом электролитической ванны для системы двух цилиндров с различными потенциалами, приведена на рис. 1.9.

Кроме значительных преимуществ (возможность моделировать практически любые электрические поля, достаточная для практи­ ческих целей точность) методу электролитической ванны присущи и некоторые недостатки, главным из которых является громозд­ кость установки, связанная с необходимостью использовать боль­ шие объемы электролита. Поэтому наряду с методом электролити­ ческой ванны для моделирования электрических полей применяются и некоторые другие методы.

При моделировании плоских полей может быть использован близкий к методу электролитической ванны способ моделирования электрического поля на полупроводящей бумаге. В самом деле, при моделировании плоского (двумерного) поля в электролити­ ческой ванне можно ограничиться тонким слоем электролита, за­ ключенным между непроводящим дном ванны и поверхностью жид­ кости. Очевидно, распределение потенциала не изменится, если тонкий слой проводящей жидкости заменить листом проводящего материала с электропроводностью, значительно большей электро­ проводности изолирующей подложки и значительно меньшей элек­ тропроводности металлических электродов.

Проводящим листом служит специальная бумага, содержащая в качестве наполнителя обволакивающего волокна бумажной мас­ сы мелкодисперсный углерод (сажу или графит). В зависимости от содержания углерода удельное сопротивление этой бумаги колеб­ лется в пределах 102— 103 ом-см. При подготовке к моделированию лист проводящей бумаги укладывается на изолирующий стол. Элек­

троды модели изготовляются из листового металла	(меди р ш и ла­
туни) и плотно прижимаются или приклеиваются	проводящим

клеем к бумаге. В качестве проводящего клея может быть исполь­ зован клей БФ-2, в который добавлена сажа (примерно 10% по весу). Зондом служит металлическая игла, перемещаемая по по­ верхности бумаги.

Поскольку в отличие от электролита проводящая бумага обла­ дает электронной (а не ионной) проводимостью, явления поляри­ зации в бумаге отсутствуют и принципиально возможно применять источники постоянного тока. Поэтому питание электродов модели

обычно осуществляется от аккумуляторной батареи или стабили­ зированного 'Выпрямителя. Постоянное напряжение позволяет при­ менять в качестве индикатора высокочувствительные измеритель­ ные приборы постоянного тока. При измерении потенциала в раз­ личных точках поля, смоделированного на бумаге, целесообразно использовать нулевой метод, аналогичный методу электролитиче­ ской ванны. Индикатором нуля в этом случае служит гальванометр с чувствительностью порядка 10-6 а/дел.

При использовании высококачественной бумаги и тщательном проведении эксперимента удается получить достаточную для прак­ тических целей точность. Так, напри­ мер, при моделировании полей, подда­ ющихся аналитическому расчету, бы­ ла получена величина относительной

погрешности не более 1,5— 2%. Моделирование электрических по­

лей на проводящей бумаге отличается большой простотой и удобством. Од­ нако ограниченность класса полей, Поддающихся моделированию, не­ сколько сужает возможности этого ме­ тода. Кроме того, на точность модели­ рования заметно влияют местные не­ однородности бумаги.

J HC. 1.10. Элемент сетки	Моделирование	электрического по­
сопротивлений	ля в электролитической ванне и на
	проводящей бумаге	есть моделирова­

ние при помощи сплошных проводящих сред. По существу моде­ лирование электрических полей при помощи проводящих сред (жидких или твердых) является одним из методов интегрирования уравнения Лапласа, которому подчиняется распределение потенци­ ала электрического поля, свободного от пространственного заряда. Поэтому любой интегратор (электрический или механический) при­ годен для решения задач по нахождению в явном виде [например, в виде U=U(x, у, г)] распределения потенциала в заданной обла­ сти с известными граничными условиями.

При анализе электрических полей с успехом используются элек­ троинтеграторы в виде сеток сопротивлений. Эти интеграторы яв­ ляются также моделирующими электрическое поле устройствами, но в отличие от моделирования в электролитической ванне и на проводящей бумаге здесь сплошные проводящие среды заменяют­ ся набором дискретных элементов — резисторов.

Сетка сопротивлений строится так, что каждому элементарно­ му объему сплошной проводящей среды в виде куба или паралле­ лепипеда соответствует структурный элемент сетки, составленный из шести резисторов, соединенных одним из выводов в общей (уз­ ловой) точке (рис. 1.10).

Предположим, что элементарный объем сплошной проводящей среды с удельной проводимостью А имеет форму параллелепипеда

со сторонами Ах, Ay, Аz. Тогда .проводимости между противопо­ ложными сторонами параллелепипеда 6} дут соответственно равны:

Ах — X	АуАг	AxAz	АхАу
	Ay — X	Л2 = X	(1.38)
	Ах	АУ	Az

Поскольку при замене сплошной проводящей среды резистора­ ми в каждом элементе сетки сопротивлений располагаются шесть резисторов, величина сопротивления каждого из них должна быть

Рис. 1.11. Двумерная сетка сопротивлений

вдвое меньше сопротивления между противоположными гранями элементарного параллелепипеда, т. е.

Я X	Яу =	(1.39)
		2Л„

Составив из подобранных таким образом резисторов простран­ ственную сетку, получим моделирующее устройство, эквивалентное сплошной среде. При моделировании электрического поля на сетке сопротивлений узловые точки сетки, соответствующие электродам моделируемой системы, соединяются вместе и к ним подводится напряжение данного электрода. Распределение потенциала опре­ деляется по его значениям в узловых точках сетки в междуэлектродном пространстве. Измерения обычно проводятся нулевым ме­ тодом, аналогичным методу электролитической ванны.

При исследовании плоских и осесимметричных полей нет не­ обходимости применять трехмерную сетку сопротивлений. Обычно в этих случаях используют весьма простую и удобную в эксплуа­ тации двумерную сетку (рис. 1.11), являющуюся аналогом мелкой электролитической ванны с тонким слоем электролита.

При моделировании плоских полей величина сопротивления всех 'резисторов сетки должна быть одинаковой. При моделирова­ нии осесимметричных полей величины сопротивлений резисторов должны изменяться аналогично изменению сопротивления слоя электролита в ванне с наклонным дном. Нетрудно убедиться, что величины сопротивлений должны быть обратно пропорциональны расстоянию от прямой, принятой за ось моделируемой системы.

В отличие от электролитической ванны работа с сеткой сопро­ тивлений имеет определенные преимущества — отсутствие электро­ лита, возможность использования постоянного тока и, следователь­ но, более чувствительных и точных измерительных приборов, удоб­ ство измерений непосредственно в узлах сетки. Очевидно, точность метода возрастает с увеличением числа элементов сетки. Однако, так как резисторы, из которых набирается сетка, имеют определен­ ные допуски величины сопротивления, чрезмерное увеличение чис­ ла резисторов может привести к снижению точности. Кроме того, чем больше резисторов, тем более трудоемким становится процесс измерения распределения потенциала. Практически на сетке, со­ ставленной из нескольких тысяч резисторов, можно определить распределение потенциала с относительной погрешностью не бо­ лее 0,01 %.

Еще большими возможностями обладают вычислительные ма­ шины, при помощи которых принципиально возможно рассчитать любые электрические поля с весьма высокой степенью точности.

При решении задач электронной оптики иногда применяют на­ глядный, но весьма приближенный метод моделирования электри­ ческого поля с помощью упругой мембраны. Моделирование поля этим методом основано на том, что уравнение, которым описывает­ ся форма поверхности деформированной упругой мембраны, при определенных условиях совпадает с уравнением Лапласа, а следо­ вательно, величина деформации мембраны позволяет оценить рас­ пределение потенциала в исследуемой системе.

Как известно, площадь поверхности деформированной упругой мембраны определяется двойным интегралом:

s = ' + {%;)*+{%Jd*dy-

е-40>

где z — величина деформации, т. е. отклонение поверхности мем­ браны от положения равновесия.

Так как площадь поверхности деформированной упругой мем­ браны минимальна, получается интегральное уравнение 65 = 0, ко­ торое сводится к дифференциальным уравнениям Эйлера. Уравне­ ние деформированной поверхности мембраны записывается в виде:

Г	/ dz \Ц д2г	Г	/ дг \21 d2z	.	d2z	dz	dz
			----------дх2	U 2	------дхду	-^ -• — = 0,
						дх	ду

(1.41)

где производные dz/дх и дг/ду определяют угол наклона деформи­ рованной поверхности мембраны. Если ограничиться малыми угла­ ми наклона [(dz/дх) <С1 и (dz/dy) 1], то квадратами первых про­ изводных по сравнению с единицей можно пренебречь и уравнение (1.41) перейдет в уравнение Лапласа:

d2z d2z

дх2 ду2

Практически моделирование поля при помощи упругой мембра­ ны осуществляется следующим образом. На жесткую раму натя­ гивается листовая резина. Рама устанавливается горизонтально. Для контроля равномерности натяжения на резину до натяжения наносится сетка из одинаковых квадратов. Растяжение произво­ дится так, чтобы сетка квадратов не искажалась, т. е. квадраты сохраняли свою геометрическую форму. Натяжение должно быть достаточно сильным, чтобы резина не провисала под собственным весом. Затем -под резиной (или над ней) устанавливаются нажим­ ные элементы, деформирующие резину в соответствии с располо­ жением и потенциалами электродов моделируемой системы; при этом масштабный множитель выбирается так, чтобы в местах с наиболее резким изменением потенциала угол наклона не превы­ шал 10— 15° Далее при помощи механического индикатора изме­ ряется величина деформации z и по формуле

U =	kz,	(1.43)
где k — выбранный масштабный	множитель,	рассчитываются зна­
чения потенциала U(xt у).

Опыт работы с резиновой мембраной показывает, что при тща­ тельном проведении эксперимента удается получить значения по­ тенциалов с относительной погрешностью не более 2— 3%, т. е. с точностью, достаточной в ряде практических случаев.

Наиболее часто магнитные поля, используемые в электронно­ оптических устройствах, создаются короткими круглыми катушка­ ми или длинными соленоидами, обтекаемыми током. В этих слу­ чаях расчет магнитного поля можно произвести весьма просто, применяя закон Био—*Савара. Магнитная индукция на оси оди­ ночного плоского круглого витка радиуса /?, обтекаемого током /, согласно закону Био— Савара определяется так:

\ioRI
В (2) =	(1.44)
2 (Rz +	ztyb'
где 2 отсчитывается от плоскости витка.
Если в (1.44) R и 2 подставить в	метрах, а / в амперах, то

индукция В будет иметь размерность тесла, если же R и z подста­ влять в сантиметрах, то индукция В получится в гауссах, что обыч­ но бывает удобно при практических расчетах.

Выражение (1.44) можно с достаточно хорошим приближением использовать для расчета магнитной индукции на оси короткой

катушки, имеющей п витков со средним радиусом намотки	Rcp.
\ioRcpflI	(1.45)
B(z) =
2 (/Pep + 2*)**

Внутри длинного соленоида, имеющего п витков, расположен­ ных равномерно по всей длине L, создается однородное магнитное

ками метода баллистического гальванометра являются большая трудоемкость (невозможность непрерывного измерения при пере­ мещении измерительной катушки) и затруднения, связанные с необходимостью ориентировать плоскость витков измерительной катушки перпендикулярно к силовым линиям поля, направление которых заранее неизвестно.

Непрерывное измерение магнитной индукции может быть вы­ полнено методом вращающейся катушки, перемещаемой в магнит­ ном поле. Небольшая измерительная катушка укрепляется на оси, лежащей в плоскости витков обмотки. Ось вращается при помощи небольшого синхронного электродвигателя.

Если площадь, охватываемая витками катушки, равна 5, то при ориентации плоскости витков катушки перпендикулярно к на­

правлению	магнитной индукции	В магнитный поток, сцепленный
с катушкой,	будет равен ЧГ=В 5 .	При вращении катушки магнит­

ный поток будет изменяться по синусоидальному закону, и в ка­ тушке будет наводится э. д. с.

Е =	dW	— riBSu) cos (at,	(1.48)
	— п —— =
	dt
где n— число витков	катушки;	(о= 2я/ — круговая частота	враще­
ния катушки.

Таким образом, э. д. с., наводимая в измерительной катушке, прямо пропорциональна величине магнитной индукции. Кроме то­ го, э. д. с. пропорциональна числу витков катушки, скорости ее вращения и площади сечения витков. Катушка принципиально должна быть небольшой, так как только при этом можно не учи­ тывать возможную неоднородность поля в пространстве, занимае­ мом катушкой. Поэтому для получения не очень малой величины, э. д. с. приходится применять катушки с 100— 200 витками из очень тонкой проволоки и электродвигатели со скоростью вращения 1500— 3000 об/мин. Измерение наводимой в катушке переменной э. д. с. производится либо ламповым вольтметром, либо прибором постоянного тока с полупроводниковым диодом. Если использует­ ся синхронный электродвигатель (f=const), то все величины (кро­ ме магнитной индукции), стоящие перед cosco^ в (1.48), постоян­ ны и амплитудное значение э. д. с.

Ет =	аВ,	(1.49)
где постоянная а может быть	рассчитана.	Однако более удобно

предварительно экспериментально определить постоянную а, вра­ щая катушку в поле с известной или легко рассчитываемой вели­ чиной магнитной индукции.

Относительная погрешность метода вращающейся катушки мо­ жет быть не больше 1— 1,5%. Этот метод, несмотря на указанные достоинства, не получил большого распространения при измере­ нии магнитных полей в электронно-оптических системах, главным образом из-за экспериментальных трудностей, связанных с введе­

Рис. 1.13. Датчик Холла

нием быстро вращающейся катушки в обычно небольшие прост­ ранства внутри полюсных наконечников магнитных линз. Кроме того, соединение вращающейся катушки с неподвижным измери­ тельным прибором требует наличия коммутирующего устройства (обычно в виде двух колец, по которым скользят токосъемные щетки), для размещения которого также требуется место. Неудоб­ ства, связанные с необходимостью хотя бы ориентировочно знать до измерения направление магнитной индукции, так же и в методе

баллистического гальванометра, остаются в силе и при использовании вращающей­ ся катушки.

Быстрое и достаточно точное опреде­ ление магнитной индукции может быть произведено путем измерения э. д. с. Хол­ ла £ х, возникающей в металле или по­ лупроводнике, обтекаемом током, поме­ щенном в магнитное поле. Как известно, величина холловской э. д. с. прямо про­ порциональна магнитному потоку, про­ низывающему металлическую или полу­ проводниковую пластинку, по которой протекает ток неизменной величины.

Практически для измерения магнитной индукции методом, основан­ ным на эффекте Холла, используется прямоугольная пластинка (размером 2ч-ЗХЗч-4 мм) из полупроводника (например, герма­ ния), имеющая выводы от всех четырех сторон (рис. 1.13), датчик Холла.

К двум противоположным выводам подводится стабилизиро­ ванное напряжение от внешнего источника, к двум другим выво­ дам подключается чувствительный прибор, измеряющий э. д. с. Холла. Помещая пластинку в магнитное поле и ориентируя ее пло­ скость перпендикулярно к силовым линиям поля, измеряют э. д. с. Холла и подсчитывают величину магнитной индукции B= kEx, где множитель k обычно определяют экспериментально, градуируя установку в поле с известной (или легко рассчитываемой) величи­ ной индукции. Описанный метод позволяет находить величину маг­

нитной индукции с погрешностью не более 2— 3%;	он весьма удо­
бен для быстрой оценки распределения магнитного	поля. Однако

для получения достаточно точных результатов требуется стабили­ зация температуры датчика, что несколько ограничивает возмож­ ности метода.

§1.5. ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ

ИМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ

Вбольшинстве электроннолучевых приборов для фокусировки элек­ тронных пучков применяются электрические и магнитные поля, об­ ладающие симметрией тел вращения. Движение заряженных частиц в таких полях аналогично распространению света сквозь

линзы. Как будет показано ниже, любое неоднородное электриче­ ское или магнитное поле, обладающее осевой симметрией, являет­ ся электронной линзой. Поэтому >в электронной оптике большое внимание уделяется изучению осесимметричных электрических и магнитных полей.

Для описания полей, обладающих осевой симметрией, целесо­ образно ввести цилиндрическую систему координат (рис. 1.14), в

которой значение потенциала в точке р выражается через три ко­ ординаты: z, г, т. е.

U =U (z,r,x(5).

Условие осевой симметрии в цилиндрической системе коорди­

нат может быть записано следующим образом:
U(z, г, I|J) = U(z, г, 0),	(1.50)

т. е. значения z и г однозначно определяют величину U независи­

мо от угла поворота [U—U{z, г)].	измерено
Обычно наиболее просто может быть рассчитано и
распределение потенциала вдоль оси системы (г= 0 ).	Поэтому

очень удобно представить распределение потенциала в некоторой области вблизи оси системы через значение известного потенциала на самой оси.

В поле, свободном от объемного заряда, потенциал удовлетво­ ряет уравнению Лапласа, которое в цилиндрической системе коор­ динат записывается так:

d2U	1	dU	&V	1	дЮ
" а ?	г	dr	дг2	гг	(1.51)
					dip2
В осесимметричном		поле	[U= U(z,	г)	f (TJ) ] последний член
уравнения (1.51) обращается			в нуль, и уравнение принимает вид:

d*U 1 dU d2U dz2 г dr dr2

Будем искать решение уравнения (1.52) в виде ряда по степе ням г.

U ( z , r ) = £/0(г ) + ^г(2)г2+ £/4(г)г4 + ...

(1.52а

Ряд содержит только четные степени г по следующим сообра жениям. Если рассечь пространство плоскостью, проходящей чере: ось, то 2 и г на этой плоскости можно рассматривать как декар товы координаты (рис. 1.15).

Две симметричные относительно оси 0Z точки а и b по условии характеризуются одинаковым потенциалом, так как одна перехо дит в другую при повороте плоскости на угол ф =я. В то же врем;

точка Ь отличается от точки а только	знаком координаты	г, кото
рый не изменит значения потенциала	лишь тогда, когда	все сте

пени г будут четные.

Первый член ряда Uo(z) определяет распределение потенциа ла вдоль оси системы (г= 0 ). Продифференцируем ряд (1.52а] дважды по 2, один раз и дважды по г и подставим его в уравненш (1.52), объединив члены с одинаковыми степенями г:

Uо' (2) + 4U2(2) +	[Uz (2) + 16С/4(2 )]г2 +
+ [ Щ ' (г) +	36£/6(2)]г*+... = 0

(здесь штрихи обозначают дифференцирование по г).

Так как это равенство должно быть справедливо при любы;

значениях г, то, очевидно, коэффициенты			при всех степенях i
должны равняться нулю:
Uo (2) + 4U2(z) =	0,	Uz (г) +	16U,(z) = О,
откуда
U2( z y = - ± U o ( z ) ,		t/4(2) =	l-£ /oIV(2),
или в общем случае
		U fh) (2 )
U2k =	( ~ l ) h22ft(£ !)2		'

Подставив значения коэффициентов при гк в ряд, получим вы­ ражение потенциала осесимметричного электрического поля:

U(г, г) = Uo(2) — j - Uo (2) г2 +			и]У (г) г4 — ,
		4	64
или в общем случае
U (z,r)=	2	( - 1 ) *	2k

h= О (*!)2