книги / Электронная оптика и электроннолучевые приборы
..pdf8mUo |
|
|
e |
Bn si4 V 8^ г в"<2- 2">] |
(1.127) |
|
|
|
Выражение (1.127) |
является уравнением траектории (точнее |
|
проекции траектории) |
в меридиональной плоскости в интервале от |
2= 2Пдо Z = Zn+l.
Для определения угла поворота ф необходимо проинтегриро вать второе уравнение системы (1.98):
*(2)I п п-\-1 |
+8^У“7№ ndz = ^ +У |
Вп {Z ~ Zn)• |
|
|
|
|
(1.128) |
Подставив в |
(1.127) и |
(1.128) z= zn+l, получим |
соответственно |
гп+ь г'п+и фп+i— значения |
удаления траектории от оси, угла на |
клона траектории и угла поворота вокруг оси в конце n-го интер вала. Очевидно, полученные значения будут начальными данными для расчета траектории в следующем (я-Ы ) интервале. Применяя последовательно указанный прием, можно построить проекцию всей траектории на поворачивающуюся меридиональную плоскость, а суммируя углы ф, подсчитанные для каждого интервала, опреде лить конечный угол поворота.
Погрешность рассмотренного метода нахождения траекторий зависит от выбора величины и числа интервалов, на которые раз бивается исследуемая область поля. При удачном разбиении удается построить траекторию с относительной погрешностью не более 1,5— 2%, что обычно допустимо при решении практических задач.
Графо-аналитические методы нахождения траекторий электро нов в магнитных полях получили меньшее распространение, чем в случае электростатических полей. Это объясняется некоторым ус ложнением расчета и построения, связанным с необходимостью находить проекции траектории, по крайней мере, на две плоскости, так как в большинстве практически важных случаев траектория электрона, движущегося в магнитном поле, является пространст венной (не плоской) кривой.
Для примера рассмотрим метод графо-аналитического нахожде. ния траекторий электронов, движущихся в магнитном поле, в ос нове которого лежит определение радиуса кривизны проекций тра ектории на две взаимно перпендикулярные плоскости, рчевидно, что проекции пространственной кривой на две взаимно перпенди кулярные плоскости однозначно определяют всю траекторию.
Выберем две взаимно перпендикулярные плоскости X0Y и X0Z. В-случае осесимметричного поля в качестве одной из плоскостей Целесообразно выбрать меридиональную плоскость, тогда другая Плоскость будет перпендикулярна к оси. Предположим, что распре деление магнитного поля в исследуемой области известно (рас считано или измерено) и в любой точке (х, у, z) могут быть опре
делены составляющие магнитной индукции Вх, Ву, Bz. Предполо жим также, что в исследуемой области электрическое поле отсут ствует, т. е. 0(х, у, z) = C/o=const. В этом случае кинетическая энергия электрона во всех точках будет одинаковой:
и полная скорость электрона |
|
|/ |
9g |
0о = Уо* + о*у+ « а = |
— и0. |
Если касательные к проекциям траектории в плоскостях X0Y и X0Z составляют с осью ОХ углы а и р, то для составляющих ско рости электрона vx, vy, vz будут справедливы соотношения:
Vx = |
Vo |
|
|
tg2 а + |
tg2 р |
||
У1 + |
|||
vv = |
vx tg a, |
(1.129) |
|
vz = |
vx tg p. |
|
По составляющим скорости и ускорения можно определить ра
диусы кривизны проекций траектории |
на плоскости |
X0Y |
и X0Z: |
||||||||
|
Rxy = |
|
(V2x + |
V2y ) ' : |
|
|
|
(1.130) |
|||
|
|
dvx |
|
dvy |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
~dt - |
V x |
dt |
|
|
|
|
|
RXz = |
|
|
(vl + |
v\y>- |
|
|
|
|
||
|
|
|
dvx |
|
dvz |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Vl |
dt |
Vx dt |
|
|
|
|
|
Для вычисления ускорений dvjdt, dvjdt |
и dvjdt |
используем |
|||||||||
уравнения движения электрона в магнитном |
поле [см. (1.10)]: |
||||||||||
|
dvr |
= |
|
|
е |
_ |
_ |
|
|
|
|
|
—— |
|
—- — {vyBz — vzBy) , |
|
|
|
|||||
|
at |
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
^ l |
= |
- |
± |
{VzBx - v xBz), |
|
|
|
(1.131) |
||
|
dt |
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
^ |
= |
- |
± |
{vxB , - v , B x). |
|
|
|
|||
|
at |
|
|
m |
|
|
|
vy, |
|
|
|
Умножим первое уравнение системы (1.131) на |
второе на |
||||||||||
Vx и вычтем из первого уравнения второе: |
|
|
|
|
|||||||
dvx— vx —7j- = -------[ (Vx -I- vy ) Bz |
vz(vxBx -j- vyBy) ]. |
(1.132) |
|||||||||
dt |
dt |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналогично, комбинируя второе и третье уравнения системы (1.131), получим
duх |
dvт |
б |
|
|
9 |
9 |
vz |
vx — = |
j^\.vy{vxBx-{- vzBz) — (vx + |
v z) B y ] . (1.132a) |
|||
Заменяя в уравнениях |
(1.132) |
|
|
|
||
|
Ь |
2Х+ |
v xy, |
1v*x+ v * = |
v xz, |
|
|
Vx/vXy = |
cos a, |
iiv/vXy = |
sin a, |
|
|
|
vx/Vxz = |
cos p, |
Vy/vxz = |
sin p |
|
Рис. 1.33. Построение траектории электронов ме тодом радиусов кривизны
и подставляя (1.132) и (1.132а) в (1.130), получим окончательные выражения для радиусов кривизны проекций траектории электро на, движущегося в магнитном поле, на плоскости X0Y и X9Z:
2
Rxy = |
-------------------------Q |
^ ---------------------------- |
, |
(1.133) |
|
|
|
By sin a] |
|
||
------- |
|
[VxyBz — vz(Вх cos a + |
|
||
|
|
|
2 |
|
|
|
e |
|
vxzBy vv(Bx cos p “f- Bzsin p] |
|
|
|
[ |
|
|
Используя формулы (1.133)', можно рассчитать радиусы кри визны проекций траектории на взаимно перпендикулярные плоско сти по известным значениям магнитной индукции В(х, у, z) и ско рости электрона v(x, у, z)'. Построение проекций траектории ме тодом радиусов кривизны производят в такой последовательности (рис. 1.33).
Выбирают начальную точку проекции траектории А0 на одной из плоскостей, например X0Y. Исходя из начальных условий (по
тенциал в начальной точке, угол влета электрона) подсчитывают значения v0, vx0, vy0, vxyo, а также sin a0 и cos сю. Затем по извест ному значению магнитной индукции в исходной точке по формуле
|
|
(1.133) определяют Rxyо. Найденное зна |
||||||
|
|
чение Rxyо откладывают на перпендику |
||||||
|
|
ляре, восстановленном в точке Ао к vxv |
||||||
|
|
(точка С 0). Приняв точку |
С 0 за |
центр |
||||
|
|
кривизны, из начальной точки Ао прово |
||||||
|
|
дят дугу окружности Ао, Ai, которая и |
||||||
|
|
будет частью проекции траектории на |
||||||
|
|
плоскость X0Y. Затем для точки Аь яв |
||||||
|
|
ляющейся исходной точкой нового отрез |
||||||
|
|
ка |
проекции |
траектории, подсчитывают |
||||
__________ _____ |
|
значения vx\, vyi, vxyi, |
sinai |
и |
cos ai, |
|||
* |
определяют величину Rxyi, проводят дугу |
|||||||
О |
окружности |
до точки |
Аг, |
определяют |
||||
|
|
Rxy2 и т. д. Повторяя указанные опера- |
||||||
Рис. 1.34. Моделирование |
ции, получают всю проекцию траектории |
|||||||
траектории электрона с |
На плоскость X0Y в виде дуг |
сопряжен- |
||||||
помощью^ги^кого |
про- |
ных ОКруЖНостей. Аналогично |
получает |
|||||
|
|
ся |
проекция |
траектории |
на |
плоскость |
X0Z.
Точность построения проекций траектории рассмотренным мето дом при правильном выборе мест сопряжения отдельных дуг мо жет быть достаточно высокой (относительная погрешность не более 3—5% ). Практически достаточная точность соответствует случаю, когда значение магнитной индукции в конечной точке каждой отдельной дуги проекции отличается от значения В в начальной точке этой дуги не более чем на 5— 7%.
Из экспериментальных методов нахождения траекторий элек тронов в магнитных полях заслуживает внимание моделирование траектории при помощи гибкого проводника, обтекаемого током. Рассмотрим гибкий проводник с током /, расположенный в плоско сти X0Y (рис. 1.34).
Магнитное поле Вг направлено перпендикулярно к плоскости X0Y На элемент проводника dl будет действовать пондермоторная сила F—BzIdl, стремящаяся вытолкнуть проводник из магнит ного поля. Если проводник натянут силой Т, действующей по каса тельной к концам элемента dl, то элемент проводника расположит ся по кривой, радиус кривизны R которой может быть определен из условия равенства (по абсолютной величине) пондермоторной силы и радиальной составляющей силы натяжения проволоки. Из рис. 1.34 видно, что радиальная составляющая сила натяжения равна 2Т sin a. С другой стороны, sin a=dl/2R, т. е. радиальная си
ла, уравновешивающая пондермоторную силу, равна 7’ = — . Из
R
равенства этих двух сил следует условие равновесия гибкого про-
водника, обтекаемого током в поперечном магнитном поле:
(1.134)
Для «равновесного» радиуса кривизны получается выражение
1 _1В г
(1.135)
R Г
Формула (1.135) справедлива для любого элемента проводни ка, поэтому, используя известное выражение радиуса кривизны (1.59), получим дифференциальное уравнение кривой, по которой расположится проводник, натянутый силой Т, обтекаемый током I в поперечном магнитном поле Вг:
&у_
dx2 IB2
т |
(1.136) |
|
В случае однородного поперечного магнитного поля (Bz = const) кривая, описываемая уравнением (1.136), будет дугой окружности.
Теперь используем выражение (1.13) для радиуса кривизны траектории электрона в поперечном магнитном поле: R=mvleB. Сравнивая (1.13) с (1.135), нетрудно убедиться, что при выполне нии равенства e/mv= I/T траектория электрона будет описываться тем же уравнением (1.136), что и кривая, по которой расположит ся проводник, обтекаемый током. Таким образом, при соответст венно выбранных величинах тока / и силы натяжения Т проводник, помещенный в магнитное поле, расположится по кривой, совпада ющей с траекторией электрона, обладающего импульсом p= mv = = еТ/1.
Можно показать, что совпадение кривой, по которой распола гается проводник, обтекаемый током, с траекторией электрона справедливо для любого магнитного поля. Единственным условием, которое должно выполняться при моделировании траекторий гиб ким проводником, является устойчивость равновесия проводника в поле. Анализ показывает, что это условие выполняется в тех слу чаях, когда в исследуемой области поля нет точки пересечения тра екторий, т. е. нет фокуса.
Практически при моделировании траекторий электронов в маг нитном поле при помощи гибкого проводника с током используется тонкая (диаметром 0,03— 0,05 мм) медная или серебряная прово лока. Выбор малой величины диаметра обусловлен необходимостью пренебрегать весом и упругостью проводника. Кроме того, провод ник должен иметь возможно меньшее удельное сопротивление, что бы при малой величине поперечного сечения можно было исполь зовать не слишком малые токи; этим обусловлен выбор в качестве
п и т , одинаково удаленных от оптической оси. Это свойство по зволяет определить положение главных плоскостей, зная ход двух лучей — одного параллельного оси в пространстве объектов, дру гого в пространстве изображений. Продолжая прямолинейные уча стки лучей, лежащие вне линзы, до их пересечения, получим в пер-
Рис. 1.35. Кардинальные элементы линзы
вом случае положение плоскости h2, во втором — положение пло скости hi. Расстояния от главных плоскостей до соответствующих фокусов называются фокусными расстояниями fi = FiHu f2=F2H2. Между фокусными расстояниями пространств объектов и изобра жений имеется простая связь:
f i _ _ n 1
(1.137)
h~~ « 2’
где п\ и «2— показатели преломления в пространствах объектов и изображений.
Рис. 1.36. Построение изображения (для световой линзы)
Построение изображений по известному положению кардиналь ных точек производится в следующем порядке (рис. 1.36).
Из точки А проводятся два луча — один параллельно оси в про странстве объектов (луч АВ), второй — через фокус Л (луч АС),
ниже, стр. 47), следствием чего является смещение первой глав ной плоскости в сторону пространства изображений, а второй глав ной плоскости — в сторону пространства объектов, так что часто обе главные плоскости лежат по одну сторону от средней плоскости линзы, и вторая главная плоскость оказывается левее первой. Та кое перекрещивание главных плоскостей типично для большинства электронных линз.
Задание четырех |
карди |
|
|
|
|
|
|||||
нальных точек F[, F2, HI, Н2 |
|
|
|
ь |
|
||||||
электронной линзы достаточ- |
п |
|
|
|
|
||||||
un ттлст ппртппрния чгтрк’тппн- |
|
|
. it> |
! |
|||||||
но-оптического |
изображения |
|
|
|
|||||||
А za |
|
|
|
|
|||||||
(рис. 1.38). |
|
|
глав* |
р |
|
|
Zb А’ |
||||
перекрещивание |
|
i |
А |
И, 7^ . |
г |
||||||
ных плоскостей |
не изменяет |
J |
1а 1 |
||||||||
h< , |
N! Л' |
||||||||||
порядок построения. |
Обо- |
г" |
“ |
||||||||
значим |
координаты |
плоско- |
| |
а |
|
|
|
||||
стей объекта и изображения |
1" |
|
|
|
|
||||||
z„ и Zb- Тогда расстояния |
Рис- I-38- Построение^из<эбражения (для |
||||||||||
объекта |
и изображения |
от |
|||||||||
соответствующих |
фокусов |
|
электронной |
.иднзы) |
|
||||||
будут |
равны |
la=z(F 1) |
и |
|
|
|
|
|
|||
1ь = гь — Z (F2). Из рис. |
1.38 непосредственно следует, что линейное |
||||||||||
увеличение М=А'В'1АВ может быть представлено в виде |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
Л4 = |
А = |
А |
|
|
(1.140) |
|
|
|
|
|
|
|
la |
/2 |
|
|
|
откуда следует известное как уравнение Ньютона соотношение меж ду положениями объекта и изображения:
Ub = fih. |
(1-141) |
Если определить положение объекта и изображения расстояния ми а и &от главных плоскостей, то a=la+ fь b= lb+f2, и из (1.140), получается удобная для практического использования формула
Л_|_ А = 1. |
(1.142) |
аЬ
Следует еще доказать, что светооптическое соотношение (1.137) справедливо и для электронно-оптических систем. Допустим, что имеются два линейно независимых решения уравнения (1.82) — П(z) и r2(z). Подставим значения г\ и г2 в уравнение (1.81):
— d L iT T ^ |
1 r,„ |
Умножим первое уравнение на r2(z), второе на г\{г) и вычтем второе из первого:
(1.144)
Уравнение (1.144) можно представить в виде
(1.145)
Интегрирование этого уравнения приводит к соотношению
|
|
|
(1.146) |
где С— постоянная, определяемая начальными условиями. |
|||
Так как ri(z) |
и r2(z) |
линейно независимы, то |
на основании |
(1.146) можно написать |
|
|
|
i U a [ r 2 {Za) r [ |
( Za)'— |
r i (Z a ) r 2 (Ze) ] = УUb[r2(zb) П |
(Zb) — |
|
|
— п ( г ь ) г 2 ( Z b ) ] , |
(1.147) |
Uа и Ub— постоянные значения потенциала в пространствах объеК' тов и изображений; z„ и гь — координаты плоскостей объекта и изображения.
Если выбрать решения n (z) и r2(z) такими, чтобы луч Г\ был параллелен оси в пространстве объектов, а луч т2 параллелен оси в пространстве изображений, то
Г1 (Za) = 0 и |
r2 (Zb) — 0 |
|
и из (1.147) следует |
|
|
— iUari(za)r2 (za) = |
yUbr2(Zb)r'i (zb). |
(1.148) |
Выражение (1.139) позволяет определить фокусное |
расстояние |
|
в пространстве изображений: |
|
|
|
|
(1.149) |
Аналогично фокусное расстояние в пространстве объектов
(1.150)