Неоднорідне ... співвідношення
(3) f (n k) a1 f (n k 1) . . . ak f (n) q(n)
Теорема 6
f*(n) - окремий розв’язок (3)
F(n) - загальний розв’язок відповідного (1)
тоді
Загальний розв’язок (3)
може бути одержаний, як f(n)=f*(n)+F(n)
21
1 Нехай f(n) – розв'язок, знайдемо F(n), що: |
|
|||
17. |
F(n) - розвязок однорідного та |
|
||
|
f(n)=f*(n)+F(n) k |
|
||
- |
|
f (n k) ai f (n k i) q(n) |
|
|
|
k |
|
||
|
|
i 1 |
|
|
|
|
f *(n k) ai f *(n k i) q(n) |
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (n k) f *(n k) |
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
ai f (n k i) f *(n k i) |
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
F(n) f (n) f *(n) |
|
|
|
|
k |
|
|
|
F(n k) ai F(n k i) |
22 |
||
i 1
2 Нехай F(n) – розв'язок однорідного, доведемо, що |
|
|
|||
18. |
f(n)=f*(n)+F(n) буде розв'язком неоднорідного |
|
|
||
|
|
|
k |
|
|
|
f *(n k) ai f *(n k i) q(n) |
|
|
||
+ |
|
|
i 1 |
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F(n k) ai F(n k i) |
|
|
|||
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f *(n k) F(n k) |
|
|
||
|
k |
|
q(n) |
||
|
ai f *(n k i) F(n k i) |
||||
|
i 1 |
f (n) f *(n) F(n) |
|||
|
|
|
|||
|
|
|
k |
|
|
f (n k) ai f (n k i) q(n) |
23 |
||||
i 1
Лема 7 |
q(n)=p·bn |
|
|
|
|
Якщо b не є розв’язком (2), то окремий розв’язок (3)
при q(n)=p bn
може бути знайдений у виді f*(n)=c·bn
|
k |
c b n k |
ai c b n k i p b n |
|
i 1 |
24
k
c bk c ai bk i p
i 1
c |
p |
|
|
||
k |
||
|
||
|
b k ai b k i |
|
|
i 1 |
25