И в заключение курса коротко о более редких случаях:

2.6. Когда разрывы на обоих концах и / или внутри отрезка интегрирования

Итак, тот же интеграл b f (x)dx , но разрывы уже на обоих концах отрезка. По

a

аналогии с несобственными интегралами 1-го рода, здесь можно записать двухстаночный предел, и мне таки придётся добавить пару новых букв, «эпсилон» и «ню»:

b
	f (x)dx lim F (x)	b	lim (F (b ) F (a ))
	0	a	0
a	0		0

Но усложнять оформление мы не будем, ведь такой интеграл можно разделить на две части – с дальнейшим вычислением знакомых интегралов. А иногда всё ещё проще.

Редко, да метко, и, между прочим, задачка с «заочки»… прям как Маяковский:)

Пример 39

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость

2		dx
		4 x	2
2

Подынтегральная функция терпит бесконечные разрывы на обоих концах отрезка интегрирования, но это не помеха:

2		dx				0		dx				2		dx
			2						2						2		– и в то же время, помеха :)
2		4 x				2		4 x				0		4 x

Поскольку подынтегральная функция является чётной, а промежуток интегрирования симметричен относительно нуля, то… правильно представили:

И чётностью пользоваться МОЖНО. Ибо если одна половинка конечна или бесконечна, то другая – такая же. Поэтому не будем допускать математический грех, интеграл споловиним, а результат удвоим:

2		dx			22					dx
		4 x	2			2				2			2
2				0								x
							x					b							b 2					b
2		lim	arcsin									0 2			lim			arcsin			arcsin 0			0	2	0
		b 2 0					2							b 2		0			2						2

…опять это удивительное число.

© Емелин А., http://mathprofi.ru, Высшая математика – просто и доступно!	42

Следующий интеграл для самостоятельного решения:

Пример 40

2

tgxdx

2

Точно так же, как у аналогичных интегралов 1-го рода, нечетностью функции пользоваться НЕЛЬЗЯ. Да, если интеграл сходится, то он действительно будет равен нулю, но если расходится, то… – смотрите образец решения!

Но, разумеется, подынтегральная функция может оказаться «обычной», да и промежуток интегрирования не симметричным относительно нуля:

Пример 41

	2	dx
		x(x 2)
	0

Заметим, что подынтегральная функция отрицательна на интервале (0; 2) , а значит,

сразу можно сказать, что результат (конечный или бесконечный) должен получиться отрицательным. И алгоритм тот же, делим интеграл на две части:

2

dx

1

dx

2

dx

x(x 2)

x(x 2)

x(x 2)

0

0

1

Чтобы не «таскать за собой» пределы интегрирования, сначала удобно найти

неопределённый интеграл. Выделяем полный квадрат в знаменателе и используем

табличную формулу

dx

1

ln

x a

– с той поправкой что ВМЕСТО x у нас

x2 a2

2a

x a

(x 1) :

dx

dx

dx

d (x 1)

1

ln

x 1 1

1

ln

x 2

x(x 2)

x2 2x

x2 2x 1 1

(x 1)2 1

2

x 1 1

2

x

1

x

2

1

1

1

1

x (x 2)

1

Контроль:

ln

ln

x 2

ln

x

2

x

2

2

x 2 x

2(x 2)x

x(x 2)

Вычислим первый интеграл – с разрывом в точке a 0 :

1

dx

1

x 2

1x

1

0 2

1

ln 1 ln

1

lim

ln

lim

ln

1

ln

(0 )

x(x 2)

2 x

0 0

x

2 x 0 0

x

2

2

0

0

Разберитесь, что куда стремится! И второй, с разрывом b 2 :

2

dx

1

lim

ln

x 2

x

1

lim

ln

x 2

ln

1

1

ln

0

0

1

ln(

0)

1

0

x(x 2) 2

x

2 0

x

2

x 2

x

2

2

2

1

Таким образом: 2

dx

, т.е. несобственный интеграл расходится.

x(x 2)

0

© Емелин А., http://mathprofi.ru, Высшая математика – просто и доступно!	43

Как быть, если точка разрыва находится прямо на отрезке интегрирования? Точно так же! Алгоритм такой же. Самостоятельно:

Пример 42

	3	dx
		x2	1
	0

Встречаются ли такие примеры на практике? Да, реально встречаются, и поэтому со всей серьёзностью отнеситесь к этим, вроде бы несерьёзным примерам.

Следует отметить, что для интегралов 2-го рода тоже вводится понятие сходимости по Коши, но я оставлю эту информацию за кадром, т.к. она не входит в аптечку скорой математической помощи. И напоследок что-нибудь вкусное:

2.7. Интегралы-«ассорти»

Такие интегралы включают в себя и бесконечность, и точки разрыва, например:

Пример 43

dx

0 x

Этот интеграл похож на интеграл 1-го рода, но, кроме того, подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв в точке a 0 . Как быть? Точно так же, делим интеграл на 2 части, в качестве точки «распила» удобно выбрать единицу:

dx		1	dx	dx
	x		x		x
0		0		1

Разделаемся с несобственным интегралом второго рода:

1

dx

lim ln

x

1x

lim (ln 1 ln

x

) 0 ln( 0) ( ) ,

x

x 0 0

x 0

0

0

dx

– уже найден ранее.

а несобственный интеграл первого рода

x

1

Таким образом: dx , т.е. интеграл-«ассорти» расходится.

0 x

Но если вам встретился подобный интеграл, то, скорее всего, это опечатка. А

может, и нет. Особенно, если у вас углублённый курс обучения. Так или иначе, здесь имеет смысл проконсультироваться с преподавателем.

И я вас поздравляю! Теперь вы во всеоружии на долгие многие темы вышмата!

Места осталось мало, и поэтому оставляю ссылку на соответствующий раздел портала, также читайте: К.А. Бохан 1-й том, Г.М. Фихтенгольц, 2-й том, Н.С. Пискунов.

© Емелин А., http://mathprofi.ru, Высшая математика – просто и доступно!	44